BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Umum Teori tentang antrian ditemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama.. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian. Antrian juga dapat diartikan sebagai suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seseorang paket pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan paket, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada paket dan pemroses masalahnya. 5
2.2 Sistem Antrian Gross dan Haris mengatakan bahwa sistem antrian adalah kedatangan paket untuk mendapatkan pelayanan, menunggu untuk dilayani jika fasilitas pelayanan (server) masih sibuk, mendapatkan pelayanan dan kemudian meninggalkan sistem setelah dilayani. Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas[1]. Klasifikasi sistem antrian adalah sebagai berikut: 1. Sistem pelayanan komersial. Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model-model antrian, seperti restoran, kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket, dan sebagainya. 2. Sistem pelayanan bisnis-industri. Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup sistem produksi, sistem material, handling, sistem pergudangan, dan sistem-sistem informasi komputer. 3. Sistem pelayanan transportasi. 4. Sistem pelayanan sosial Sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-kantor dan perusahaan-perusahan lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan lain-lain. 6
2.3 Defenisi Sistem Antrian Sistem antrian adalah suatu himpunan, pelayan (loket) serta suatu aturan yang mengatur kedatangan paket dan pemrosesan masalah pelayanan antrian dimana dicirikan oleh lima buah komponen yaitu : pola kedatangan para paket, pola pelayanan, jumlah pelayanan, kapasitas fasilitas untuk menampung para paket dan aturan dalam mana para paket dilayani [2]. 2.4 Komponen Sistem Antrian Proses antrian yang terjadi sangat sederhana atau sangat kompleks. Komponen dasar sistem antrian adalah kedatangan dan pelayanan. Komponen ini dapat terlihat pada Gambar 2.1 Sumber Kedatangan Antrian Fasilitas Keluar Gambar 2.1 Komponen Sistem Antrian Komponen dasar proses antrian ada 3 yaitu : 1. Sumber Kedatangan Sumber kedatangan ada proses input dengan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan proses random (acak). Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain-lain. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya 7
kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang dilayani bisa terbatas (finite) dan tidak terbatas (infinite). pola kedatangan bisa teratur, dapat pula bersifat acak atau random. Variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak kontinu. 2. Antrian Penentu antrian yaitu dari sifat kedatangan, proses pelayanan, dan disiplin antrian. Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan. 3. Pelayanan Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan. Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap-tiap fasilitas pelayanan kadang-kadang disebut sebagai saluran (channel)[3]. Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. 8
2.5 Karakteristik Sistem Antrian Sumber karakteristik yang menghadirkan kedatangan paket bagi sebuah sistem pelayanan memiliki tiga komponen karakteristik dalam sistem antrian [4] yaitu sebagai berikut: 2.5.1 Karakteristik Kedatangan Karakteristik kedatangan paket bagi sebuah sistem pelayanan memiliki karakteristik yaitu ukuran populasi, perilaku kedatangan, pola kedatangan yang dijelaskan sebagai berikut [4]: 1. Ukuran Populasi Ukuran populasi yaitu sumber konsumen atau sumber kedatangan dalam sistem antrian. Ukuran populasi terdiri dari populasi yang tidak terbatas adalah jumlah kedatangan atau paket pada sebuah waktu tertentu hanyalah sebagian kecil dari semua kedatangan yang potensial dan populasi yang terbatas adalah sebuah antrian ketika ada pengguna pelayanan yang potensial dengan jumlah terbatas. 2. Perilaku Kedatangan Perilaku kedatangan adalah perilaku konsumen yang berbeda-beda dalam memperoleh pelayanan. Perilaku kedatangan terdiri dari Paket yang sabar adalah mesin atau orang-orang yang menunggu dalam antrian hingga dilayani dan tidak berpindah dalam garis antrian, paket yang menolak tidak mau bergabung dalam antrian karena merasa terlalu lama waktu yang dibutuhkan untuk dapat memenuhi kebutuhannya dan paket yang membelot 9
adalah paket yang berada dalam antrian akan tetapi menjadi tidak sabar dan meninggalkan antrian tanpa melengkapi transaksi mereka. 3. Pola Kedatangan Pola Kedatangan adalah menggambarkan bagaimana distribusi paket dalam memasuki sistem. Pola kedatangan terdiri dari Constant arrival distribution adalah paket yang datang setiap periode tertentu sedangkan Arrival pattern random adalah paket yang datang secara acak. Cara yang umum dipakai untuk menggambarkan pola kedatangan adalah dengan menggunakan waktu antar kedatangan yang didefenisikan sebagai interval antara kedatangan yang berurutan. Bila kedatangan berubah-ubah secara stokastik, dibutuhkan pendefenisian fungsi probabilitas antar waktu kedatangan. Untuk membahas pola kedatangan, digunakan notasi sebagai berikut : tk merupakan rata rata waktu antar kedatangan. λ merupakan tingkat kedatangan. Besaran besaran tersebut dihubungkan oleh Persamaan 2.1 berikut: λλ = 1 tttt (2.1) Untuk menjelaskan pola kedatangan, sering kali distribusi dinyatakan dalam probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari waktu yang diberikan. Dengan mendefenisikan Ao(t) sebagai distribusi kedatangan, maka Ao adalah probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari t. AA 0 (tt) = 1 FF(tt) (2.2) 10
4. Pola Kedatangan Poisson Kedatangan biasanya dikatakan terjadi secara acak. Artinya kedatangan dapat terjadi setiap saat dan hanya dipengaruhi oleh kendala bahwa tingkat kedatangan memiliki suatu nilai tertentu. Dengan kata lain, diasumsikan bahwa waktu kedatangan berikutnya tidak bergantung pada kedatangan sebelumnya dan terdistribusi dalam interval Δt. Jika λ merupakan laju jumlah kedatangan rata- rata persatuan waktu, maka probabilitas kedatangan dalam Δt adalah λδt. Fungsi kerapatan probabilitas waktu antar kedatangan diberikan oleh : ff(tt) = λλee λλλλ (tt > 0) (2.3) dan distribusi kedatangan adalah AA 0 (tt) = ee λλ tttt (2.4) Notasi λ merupakan kedatangan rata-rata persatuan waktu. Jumlah kedatangan sebenarnya dalam periode waktu t merupakan variabel yang acak. 5. Distribusi Eksponensial Dengan mendefenisikan F(t) = y maka dengan menggunakan. Persamaan 2.4 yang dihitung dengan integral diperoleh fungsi kumulatif yang diberikan oleh tt 0 yy = λλee λλ tt = yy = 1 ee λλ tttt (2.5) Yang bila dibalik atau di inversikan akan menghasilkan seperti berikut: λλλλλλ = ln(1 yy) (2.6) 11
Karena y menunjukkan distribusi kumulatif, dimana untuk nilai 1- y berada di antara 0 dan 1. Dalam rentang nilai ini logaritma berharga negatif. Tanda negatif dalam rumus diatas akan menghasilkan nilai positif. Dengan menggunakan logaritma natural dan menggantikan nilai y dengan sederet bilangan acak yang terdistribusi serba sama antar 0 dan 1, akan menghasilkan keluaran berupa sederetan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial. Jika nilai nilai untuk 1 y juga berada di antara 0 dan 1 maka memungkinkan untuk menggunakan rumus: tttt = ln (yy) λλ = tttt ln(yy) (2.7) Dengan tk merupakan nilai rata-rata waktu antar kedatangan yang muncul sebagai pengganti dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial. 6. Pola Pelayanan Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga sesuai dengan salah satu bentuk distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan bagi distribusi waktu pelayanan adalah distribusi eksponensial negatif. Rumus umum fungsi kepadatan probabilitas eksponensial negative adalah: EE(tt) = μμee μμ tttt (2.8) dimana: tc E(t) μ i/μ = waktu pelayanan = probabilitas kepadatan yang berhubungan dengan t = tingkat pelayanan rata-rata = waktu pelayanan rata- rata 12
Fungsi distribusi kumulatif diperoleh dari distribusi eksponensial yang dihitung dengan integral sebagai berikut: tt 0 FF(tt) = μμee μμ tttt dddd = 1 ee μμ tttt (2.9) Dengan cara yang sama seperti beda waktu antar kedatangan (ta) pada Persamaan 2.9, didapatkan rumus: tttt = ln (yy) μμ = tttt ln(yy) (2.10) Dengan tp merupakan rata-rata waktu pelayanan yang muncul sebagai pengali dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial. 7. Keluar Bila seorang individu telah selesai dilayani, maka akan keluar dari sistem. Sesudah keluar ia akan bergabung pada satu diantara populasi.[4] 2.5.2 Disiplin Antrian Disiplin antrian merupakan aturan antrian yang terdapat pada peraturan paket yang ada di dalam barisan untuk menerima pelayanan yang terdiri dari [4]: a. First Come First Serve (FCFS) yaitu disiplin antrian yang digunakan di beberapa tempat dimana paket yang datang pertama akan dilayani terlebih dahulu. FCFS ini sering juga disebut First In First Out (FIFO). Contoh: bioskop, bank, dan lain-lainya. b. Last Come First Serve (LCFS) yaitu disiplin antrian dimana paket yang terakhir datang mendapatkan pelayanan lebih dahulu. Contoh: sistem antrian 13
dalam elevator (lift) untuk lantai yang sama dan pembongkaran barang dari truk. c. Shortest Operation Times (SOT) yaitu sistem pelayanan dimana paket yang membutuhkan waktu pelayanan tersingkat mendapatkan pelayanan pertama. Contoh: Unit Gawat Darurat (UGD). d. Service in Random Order (SIRO) yaitu sistem pelayanan dimana paket mungkin akan dilayani secara acak (random), tidak peduli siapa yang lebih dahulu tiba untuk dilayani. Contoh: Arisan, Pencabutan Hadiah Undian. 2.5.3 Fasilitas Pelayanan Komponen ketiga dari setiap sistem antrian adalah karateristik pelayanan. Dua hal penting dalam karateristik pelayanan adalah sebagai berikut: Desain sistem pelayanan pada umumnya digolongkan menurut jumlah saluran yang ada (sebagai contoh jumlah kasir) dan jumlah tahapan (sebagai contoh jumlah pemberhentian yang harus dibuat). Desain sistem pelayanan dapat digolongkan menjadi 4 yaitu : a. Single Channel Single Phase Jalur Antrian Server Gambar 2.2 Model Sistem Pelayanan Single Channel Single Phase 14
Pada Gambar 2.2 Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu fasilitas pelayanan. Contohnya adalah sebuah kantor pos yang hanya mempunyai satu loket pelayananan dengan jalur satu antrian, supermarket yang hanya memiliki satu kasir sebagai tempat pembayaran, dan lain-lain. b. Single Channel - Multi Phase Jalur Antrian Server Server Gambar 2.3 Model Sistem Pelayanan Single Channel - Multi Phase Pada Gambar 2.3 Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini atau menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Sebagai contoh adalah : pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. c. Multi Channel - Single Phase Jalur Antrian Server Gambar 2.4 Model Sistem Pelayanan Multi Channel - Single Phase 15
Pada Gambar 2.4 Sistem Multi Channel Single Phase terjadi di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Contohnya adalah antrian pada sebuah bank dengan beberapa teller, pembelian tiket atau karcis yang dilayani oleh beberapa loket, pembayaran dengan beberapa kasir, dan lain-lain. d. Multi Channel - Multi Phase Jalur Antrian Server Gambar 2.5 Model Sistem Pelayanan Multi Channel - Multi Phase Pada Gambar 2.5 Sistem Multi Channel Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih dari satu paket yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada model ini adalah : pada pelayanan yang dibarikan kepada pasien di rumah sakit dimulai dari pendaftarran, diagnose, tindakan medis, samppai pembayaran, registrasi ulang mahasiswa baru pada sebuah universitas, dan lain-lain[4]. 2.6 Notasi Sistem Antrian Dalam suatu sistem antrian digunakan sebuah notasi untuk mengetahui ciri dari suatu antrian. Notasi merupakan kombinasi proses kedatangan dengan 16
pelayanan. Pada umumnya notasi antrian ini dikenal sebagai notasi Kendall, yaitu[3]: (a/b/c):(d/e/f) (2.11) dimana simbol a,b,c,d,e, dan f ini merupakan unsur unsur dasar dari model sistem antrian.penjelasan dari simbol simbol ini adalah sebagai berikut[4]: a b : distribusi kedatangan (Arrival Distribution) : distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan (Service Time Departure) c : jumlah pelayan dalam paralel (dimana c= 1,2,3,, ) d e f : disiplin Pelayanan : jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem (Queue and System) : jumlah paket yang ingin memasuki sistem sebagai sumber Notasi standar ini dapat diganti dengan kode kode yang sebenarnya dari distribusi distribusi yang terjadi dan bentuk bentuk lainnya, seperti: M : distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson. Dapat juga menggunakan distribusi eksponensial. D : konstanta atau deterministic interarrival atau service time (waktu pelayanan). K Jumlah pelayanan dalam bentuk paralel atau seri. N : jumlah maksimum paket dalam sistem. Ed : distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan dengan parameter d. G : distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure). GI : distribusi umum yang independen dariproses kedatangan. GD : General Discipline (disiplin umum) dalam antrian. 17
NPD : Non-Preemptive Discipline PRD : Preemptive Discipline 2.7 Teori Antrian M/M/S Model M/M/S mempunyai dua atau lebih jalur atau stasiun pelayanan yang tersedia untuk melayani paket yang datang. Dalam hal ini asumsi terdapat paket yang menunggu pelayanan membentuk satu jalur yang akan dilayani pada stasiun pelayanan yang tersedia pertama kali pada saat itu. Model ini juga mengasumsikan bahwa pola kedatangan mengikuti distribusi Poisson. Pelayanan dilakukan secara FCFS, dan semua stasiun pelayanan diasumsikan memiliki tingkat pelayanan yang sama[4]. Karakteristik untuk model M/M/S adalah sebagai berikut: 1. Propobabilitas terdapat 0 paket dalam sistem (tidak adanya paket dalam sistem) PP 0 adalah : PP oo = 11 11 [ MM 11nn! nn=00 λλ μμ nn ] + 11 MM! (λλ MMMM )MM μμ MMMM λλ uuuuuuuuuu MM μμ > λλ (2.12) 2. Jumlah paket rata-rata dalam sistem antrian adalah : λλλλ( λλ μμ )MM LL ss = PP (MM 11)!(MMMM λλ) 22 00 + λλ μμ (2.13) 3. Waktu rata-rata yang dihabiskan paket dalam antrian atau sedang dilayani (dalam sistem) WW ss adalah : WW ss = LL ss λλ (2.14) 18
4. Jumlah paket atau unit rata-rata yang menunggu dalam antrian LL qq adalah : LL qq = LL ss λλ μμ (2.15) 5. Waktu rata-rata yang dihabiskan oleh paket WW qq adalah : WW qq = LL qq λλ (2.16) dimana : MM λλ : Jumlah jalur yang terbuka, Channel pelayanan : Jumlah kedatangan rata-rata persatuan waktu µ : Jumlah yang dilayani persatuan waktu pada setiap jalur LL ss : Jumlah paket rata-rata dalam sistem (yang sedang menunggu untuk dilayani) WW ss : Jumlah waktu rata-rata yang dihabiskan dalam sistem (waktu menunggu ditambah waktu pelayanan) LL qq WW qq PP 0 : Jumlah unit rata-rata yang menunggu dalam antrian : Waktu rata-rata yang dihabiskan untuk menunggu dalam antrian : Peluang terdapat 0 unit dalam sistem (yaitu unit paket kosong) Gambar 2.6 Teori antrian M/M/S 19
2.8 Pembangkit Bilangan Acak Bilangan acak merupakan bilangan sembarang yang dihasilkan dari suatu algoritma tertentu yang disebut pembangkit bilangan acak. Dasar pengembangan studi simulasi adalah kemampuan untuk menghasilkan bilangan acak, dimana suatu bilangan acak mewakili nilai suatu variabel acak yang didistribusikan secara seragam pada (0,1). Jadi bilangan acak adalah barisan angka Ui (0 Ui 1), yang dihasilkan dari suatu algoritma tertentu. Slgoritma ini disebut dengan pembangkit bilangan acak atau RNG[5]. Pembangkit bilangan acak atau RNG adalah suatu algoritma untuk dapat menghasilkan urutan-urutan atau squence dari angka-angka sebagai hasil dari perhitungan dengan komputer yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut muncul secara random dan digunakan terus menerus. Rumus yang digunakan untuk pendekatan untuk menghasilkan bilangan acak antara lain adalah rumus Pembangkit Bilangan Acak Additive/Arithmatic RNG. Bentuk Rumus dari pembangkit bilangan acak Additive/Arithmatic RNG adalah sebagai berikut[6]: 2.8.1 Additive / Arithmatic RNG Bentuk rumusnya adalah ZZ ii = (aa ZZ 0 + cc)mmmmmm mm (2.17) dimana: ZZ ii = merupakan hasil akhir ZZ 0 = merupakan angka pertama yang bebas tertentu m = angka modulo c = merupakan angka bebas tetapi tidak ada hubungan 20
Bagi Additive RNG ini diperlukan perhatian syarat-syaratnya sebagi berikut : a. Konstanta a harus lebih besar dari m. Dan biasanya dinyatakan dengan syarat: m/100 < a < m - m. b. Konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua. Tidak boleh nilai berkelipatan dari m. c. Modulo m harus angka integer dan cukup besar. d. Untuk ZZ oo harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup besar. Untuk mendapatkan bilangan acak Ui pada interval [0,1], maka menggunakan persamaan : UU ii = ZZ [ii] mm (2.18) 2.8.2 Multiplicate RNG Bentuk rumusnya adalah ZZ ii = (aa ZZ ii 1 + cc)mmmmmm mm (2.19) dengan catatan: Zi = angka random baru Zi-1 = angka random yang lama a<c, c<m, Z 0 <m. Syarat-syarat lainnya adalah sama dengan Additive RNG. Dalam perumusan multiplicate ini terdapat tiga variabel yang menentukan untuk nilainilai Random Number yang dapat diperoleh seterusnya dengan tidak ada 21
pengulangan pada angka-angkanya. Dan untuk pemilihan nilai-nilai yang terbaik dijabarkan sebagai berikut : a. Pemilihan nilai : m (modulo) merupakan satu angka integer yang cukup besar dan merupakan satu kata (word) dari yang dipakai pada komputer. Sebagai contoh : 1. Dalam komputer IBM 360/370 sistem sebuah kata adalah 32 bits panjangnya, berarti angka integer yang terbesar dalam satu kata komputer (computer words) adalah : 2 32 1-1 = 2 31 1 = 2147488647 2. Untuk mesin komputer sistem 1130 / 1800 IBM yang dikenal dengan 16 Bit words maka untuk memilih m adalah : m = 2 16 1 = 32.768 3. Pada microcomputer dengan 8 bit akan digunakan : m = 2 8 1 = 128 4. Nilai m ini adalah merupakan pembagi dari nilai ( a x Z1) yang mengikuti operasi modulo. Hal ini akan menjadikan mesin komputer hanya dapat tertinggi dengan integer m -1 dan apabila produk-produknya lebih besar dari nilai-nilai ini akan mengakibatkan overflow atau hang. b. Pemilihan konstanta multiplier a harus tepat. 1. Pemilihan nilai a harus bilangan prima terhadap m. a juga harus bilangan ganjil Pemilihan yang terbaik adalah dengan rumus a = 2 bb/2 ± 3 yang lebih mendekat pada ketepatan. 2. Untuk sistem IBM 1130/1800 dengan 16 bit akan diperoleh a = 2 16/2 ± 3 = 2 8 + 3 = 259 3. Untuk mikrokomputer dengan 8 bit,maka akan diperoleh a = 2 8 ± 3 = 2 4 + 3 = 16 + 3 = 19 22
c. Pemilihan untuk Zo, yang dikenal dengan : SEED = Zo mengharuskan bilangan prima terhadap m. Dengan demikian untuk Zo adalah setiap angka angka yang ganjil. d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga harus bilangan ganjil. 23