Kumpulan soal-soal level selesi provinsi: 1. Sebuah bola A berjari-jari r menggelinding tanpa slip e bawah dari punca sebuah bola B berjarijari R. Anggap bola bawah tida bergera sama seali. Hitung ecepatan sudut bola A etia meninggalan bola B! Anggap ecepatan awal bola A nol. Anggap gesean sangat besar, sehingga bola tida dapat slip. solusi: Pertama tentuan dahulu hubungan-hubungan sudut pada gera bola A. Perhatian busur AB pada bola A. Supaya tida slip, maa panjang busur AB pada bola A harus sama dengan AB pada bola B. Dari hubungan ini, didapat Rθ = rφ. Tetapi sudut φ dihitung relatif A θ B B A φ θ terhadap sumbu yang berubah-ubah terhadap watu (sumbu dari pusat bola A e pusat bola B). Kecepatan sudut bola A harusnya diuur terhadap sumbu yang tetap, sehingga ecepatan sudut A seharusnya terait laju perubahan sudut φ + θ atau diberian oleh ω θ + ω φ. Selanjutnya hitung energi ineti bola A saat di posisi sudut θ. Ada 2 omponen energi ineti: energi ineti translasi dan energi ineti rotasi. Kecepatan pusat massa bola A diberian oleh (r+r) ω θ, dengan ω θ adalah laju perubahan sudut θ terhadap watu. Energi ineti translasi = EK t = 1 2 mrr2 2 Energi ineti rotasi = EK r = 1 2 I 2 = 1 5 mrr 2 Energi potensial di sudut θ diberian oleh mg (r+r) cos θ. Energi meani mula-mula = mg (r+r) Huum eealan energi: mg rr=mg rrcos 1 2 mrr2 2 1 5 mrr2 2 atau g 1 cos= 7 10 rr 2. Tinjauan persamaan gera bola A dalam arah radial saat masih menyentuh bola B: mg cos N =m 2 rr 1 Bandung, Maret 2009
Saat persis aan lepas, N = 0, sehingga didapat g cos= 2 rr. Masuan persamaan ini e hubungan energi, didapat cos= 10 17. Masuan hasil ini embali e persamaan energi, untu mendapat = 10 g 17Rr. Kecepatan sudut bola A diberian oleh rr r = 10 grr 17 r 2 2. Sebuah batang ringan (massa diabaian) ujung-ujungnya diberi sebuah bola pejal dan ditahan secara horisontal (lihat gambar). Ketia dilepasan, batang berotasi terhadap sumbu horisontal 2m v 2L L yang melalui titi O. Tentuan elajuan v bola bermassa m saat di titi tertinggi. (Soal selesi provinsi 2006) solusi: O m Dalam pengerjaan soal ini, harus diasumsian uuran bola pejal m dan 2m. Jia dianggap jari-jari bola jauh lebih ecil daripada panjang L, maa pengerjaan soal ini menjadi relatif lebih gampang. Energi ineti mula-mula sistem adalah nol. Energi ineti ahir hanyalah energi ineti translasi. Karena seluruh sistem berotasi dengan ecepatan sudut tertentu, maa ecepatan linear m dan 2m, dihubungan oleh v 2m = 2v m = 2v. Perubahan energi ineti sistem diberian oleh ΔEK = ½ mv 2 + ½ 2m (2v) 2 = 4,5 mv 2. Perubahan energi potensial sistem diberian oleh ΔEP = mgl 2mg2L = - 3mgL. Karena energi eal, maa didapat hubungan ΔE = ΔEK + ΔEP = 0 atau 4,5 mv 2 = 3mgL. Sehingga didapat v= 2 3 gl 2 Bandung, Maret 2009
3. Sebuah massa m berada di atas sebuah massa lain M. Mulamula M diam dan m memilii ecepatan awal v. Berapaah etinggian masimum h yang dapat dicapai oleh massa m? Anggap seluruh sistem licin dan massa m meninggalan M dalam arah vertial e atas relatif terhadap M. solusi: Tim Olimpiade Fisia Indonesia Saat benda m terlepas dari benda M, eduanya memilii ecepatan dalam arah horizontal yang sama, yaitu v x. Dari hubungan eealan momentum, didapat mv = (m+m) v x. Dari huum eealan energi, didapat Dari edua persamaan ini, didapat 1 2 mv2 = 1 2 M v 2 x 1 2 m v 2 xmgh h= M v2 2 gm m 4. Sebuah bola homogen bermassa m 1 diletaan di atas sebuah papan yang bermassa m 2. Antara bola dan papan terdapat gesean dengan oefisien gese (statis dianggap sama dengan inetis) µ. Demiian juga antara balo dengan lantai terdapat gesean yang sama. Berapaah gaya masimum F agar bola tida terpeleset? solusi: Terdapat gaya normal dari bola pada papan sebesar N 1 sebesar m 1 g, sedangan gaya normal dari papan pada lantai diberian oleh N 2 = (m 1 +m 2 )g. Lantai aan memberian gaya gese pada papan sebesar f 2 = µ N 2 = µ(m 1 +m 2 )g. Gaya gese antara bola dan papan diberian oleh f 1. Persamaan gera papan: F f 1 m 1 m 2 g=m 2 a 2 Persamaan gera linear bola: f 1 =m 1 a 1 Persamaan gera rotasi bola: f 1 r= I, dengan I = 2 5 m 1 r 2, dan α adalah percepatan m v h M F 3 Bandung, Maret 2009
sudut bola. Tim Olimpiade Fisia Indonesia Syarat agar bola tida slip adalah f 1 µ N 1 = µm 1 g. Pada eadaan ini berlau hubungan r=a 2 a 1. Dengan menggunaan hubungan di atas, didapat 7 a 1 =2 a 2, a 1 = g, a 2 = 7 2 g, sehingga didapat F =2m 1 9 2 m 2 g 5. Sebuah sistem terdiri dari dua buah balo identi, masing-masing bermassa m. Kedua massa dihubungan dengan pegas ta bermassa yang mempunyai onstanta pegas. Pegas ditean turun dari posisi pegas endur sehingga panjang pegas berurang sebesar Δl. Setelah itu balo dilepas, sehingga balo atas bisa bergera dalam arah vertial. Berapaah besar Δl masimum agar balo bawah tida terangat? Anggap saat balo bergera e atas, sampai etinggian masimum, balo bawah tetap menyentuh lantai (tida bergera). Dalam eadaan ini, seluruh energi potensial awal diubah menjadi energi potensial ahir (tida ada energi ineti). Energi potensial mula-mula = 1 2 l 2 mg l, (ambil acuan energi potensial gravitasi adalah nol saat massa berada pada posisi pegas endur. ) Energi potensial ahir = 1 2 A2 mga, dengan A adalah simpangan masimum Syarat agar massa m bawah bisa mulai terangat adalah gaya pegas (arahnya e atas) sama atau lebih besar daripada gaya berat balo bawah: mg = A. Dengan memasuan syarat ini e persamaan di atas, dan dengan menggunaan huum eealan energi, didapat l 2 2 mg l 3 m2 g 2 2 =0. Δl 4 Bandung, Maret 2009
Dengan menyelesaian persamaan di atas, didapat Ambil solusi positif : l= 3 mg l=1±2 mg 6. Sebuah bandul dengan panjang tali l dan massa m mulanya dijaga diam dengan sudut orientasi θ. l θ y Berapaah impuls masimum dalam arah z (eluar bidang ertas) agar massa m tida menyentuh atap? (Soal selesi provinsi 2008) m z x Energi mula-mula adalah energi ineti dan energi potensial: Energi mula-mula: E= mgl cos 1 2 mv2. Supaya tida menyentuh atap, ecepatan ahir hanya dalam arah azimuthal saat θ = π/2. Energi ahir: E = 1 2 m v 2. Keealan momentum sudut: ml sin θ v=mlv φ. Dari persamaan-persamaan ini didapat v= 2 gl cos θ Implus masimum = mv=m 2 gl cosθ 7. Suatu pegas memilii onstanta pegas dan massa m. Untu memudahan perhitungan, pegas ini bisa dimodelan dengan sebuah sistem yang terdiri dari susunan massa dan pegas. Untu ' pendeatan pertama, anggap sistem pegas bermassa ini euivalen dengan sistem massa pegas yang terdiri dari 2 massa identi m,m m' ' dan 2 pegas identi ta bermassa dengan onstanta pegas. Jia ita menambah terus jumlah massa dan pegas dalam model ini, m' maa model ini aan semain mendeati pegas sesungguhnya. 5 Bandung, Maret 2009
Untu selanjutnya, tinjau gera dalam model seperti pada gambar di bawah (terdiri dari 2 massa dan 2 pegas ta bermassa) Gantung pegas dalam eadaan vertial. Mula-mula sistem dibiaran pada eadaan setimbang. Panjang pegas menjadi L (panjang pegas dalam eadaan endur adalah L 0 ). Jia ujung atas A dipotong, berapa percepatan massa bawah menurut model ini? Berapa percepatan massa atas menurut model ini? (percepatan gravitasi adalah g.) Pertama hitung dulu massa euivalen dan juga onstanta pegas euivalen dari model: Karena massa total harus sama, maa didapat m = 2m'. (Soal selesi provinsi 2007) Untu menghitung onstanta pegas euivalen, letaan pegas dalam arah horizontal, sehingga tida ada pengaruh gaya gravitasi. Tari pegas dengan gaya F. Dalam pegas sejati, pertambahan panjang adalah F/. Dalam pegas model, pertambahan panjang pegas adalah F/' +F/' = 2F/'. Karena pertambahan panjang harus sama, maa didapat 2 = '. Searang tinjau eadaan pegas model dalam posisi vertial dan eadaan esetimbangan. Pegas bawah bertambah panjang sebanya: l 1 = m' g = m g ' 4 Pertambahan panjang pegas atas diberian oleh: Tegangan pegas bawah adalah Tegangan pegas atas adalah l 2 = 2 m ' g = m g ' 2 ' l 1 =m' g= m g 2 ' l 2 =2m' g=m g Pada saat ujung atas dipotong, gaya total yang beerja pada massa bawah adalah ' l 1 m' g=m' g m' g=0, dan gaya yang beerja pada massa atas adalah ' l 2 =mg Percepatan massa bawah adalah nol 6 Bandung, Maret 2009
Percepatan massa atas adalah mg m' =2 g 8. Sistem yang digambaran di samping berada pada eadaan esetimbangan. Pegas bagian anan (onstanta pegas ) teregang sejauh x 1. Koefisien gese statis antara edua balo adalah µ. Anggap tida ada gesean antara balo dan lantai. Konstanta masing masing pegas adalah 3 dan, sedangan massa edua balo sama, yaitu m. Berapaah simpangan masimum, A, dari massa m agar edua balo masih bisa berosilasi bersama-sama? Abaian massa pegas. (Soal selesi provinsi 2005) Mula-mula, sebelum diberi gangguan, pegas anan teregang sejauh x 1. Karena sistem dalam eadaan esetimbangan, maa pegas iri juga harus teregang sejauh x 2. Hubungan eduanya diberian oleh x 1 = 3x 2, atau x 1 = 3x 2. Ketia edua balo bergera bersama-sama, sistem setara dengan sistem massa pegas yang terdiri dari satu massa dengan besar 2m dan 1 pegas dengan onstanta pegas 4. Freuensi sudut sistem diberian oleh: = 4 2m. Simpangan massa atas, relatif terhadap eadaan saat pegas atas endur diberian oleh 2 =x 2 A cos 2 m t, dan simpangan massa bawah, relatif terhadap eadaan saat pegas bawah endur diberian oleh 1 =x 1 Acos 2 m t. Persamaan gera massa atas diberian oleh f 3 2 =m a 2, dan persamaan gera massa bawah diberian oleh 3 m m 7 Bandung, Maret 2009
1 f =m a 1. Gunaan salah satu dari dua persamaan ini, misalnya gunaan persamaan untu massa atas: f =3 2 m a 2 =3 x 2 Acos 2 m t Nilai masimum f adalah saat fungsi cos mencapai harga satu. Jadi nilai masimum diberian oleh f m =3 x 2 A. Nilai masimum ini harus selalu lebih ecil atau sama dengan µn = µmg. Jadi sehingga atau m g 3 x 2 A. A m g 3 x 2, A m g x 1. Dengan menggunaan persamaan edua juga aan diperoleh hasil yang sama. 9. Tentuan percepatan balo 1 (massa m), 2 (massa m) dan 3 (massa M) untu sistem di samping. Anggap tali tida slip pada atrol (massa m ). Jari-jari atrol adalah R dan momen inersia atrol diberian oleh ½m R 2. Benda bergera pada lantai yang licin, sehingga tida ada gaya gese dan juga tida ada gaya gravitasi. F m M m 2 Percepatan massa 1 relatif terhadap atrol adalah a m. Demiian juga percepatan massa 2 terhadap atrol. Percepatan atrol dan massa 3 terhadap tanah adalah a M. Dengan menggunaan notasi ini, maa percepatan massa 1 relatif terhadap tanah adalah a m + a M, sedangan percepatan massa 2 relatif terhadap tanah adalah a M a m. Tegangan tali yang menempel pada 1 adalah T 1, tegangan tali yang menempel pada 2 adalah T 2 dan tegangan tali penghubung atrol dan massa 3 adalah T 3. Persamaan gera benda 1: F T 1 =ma m a M Persamaan gera benda 2: T 2 =ma M a m Persamaan gera lurus atrol: T 1 T 2 T 3 =m a M 1 m 3 8 Bandung, Maret 2009
Persamaan gera rotasi atrol: Persamaan gera benda 3: T 1 T 2 R= 1 2 m R2 T 3 = M a M Syarat tida slip: = a m R Dengan menyelesaian eenam persamaan di atas, didapat F a M = 2mm M, a m = 2 F 4 mm a 1 =a m a M = F 8m3m 2 M 2mm M 4 mm F m a 2 =a M a m = 2 M 2mm M 4 mm F a 3 =a M = 2 mm M 10.Sebuah silinder homogon berjari-jari R diputar terhadap sumbunya dengan ecepatan sudut mulamula ω 0. Dalam eadaan berputar ini, silinder ditempatan pada sudut suatu ruangan. Koefisien gese inetis antara dinding dan lantai dengan silinder adalah µ. Setelah berapa putaran silinder aan berhenti? Pertama perhatian diagram gaya yang beerja pada silinder. Karena benda tida bertranslasi, maa percepatan linearnya nol. N 1 + µn 2 = mg, N 2 = µn 1. Dari edua persamaan ini, didapat N 1 = mg 1 2 dan N 2 = mg 1 2. Kedua gaya gese aan memberi tora perlambatan terhadap rotasi. Usaha dari gaya gese aan menghabisan seluruh energi rotasi bola. µn 2 µn 1 N 1 N 2 9 Bandung, Maret 2009
Energi rotasi mula-mula E 0 = 1 2 I 2 0= 1 4 mr2 2 0 Usaha gaya gese: W = N 1 N 2 2 nr, dengan n adalah jumlah putaran. Dengan memasuan bentu gaya normal yang telah didapat sebelumnya e dalam persamaan usaha-energi, didapat W = 1 1 2 nr mg= 1 2 4 mr2 2 0 Sederhanaan, didapat n= R 2 0 1 2 8 g1. 10 Bandung, Maret 2009