BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) digambarkan dalam titik-titik, dan E adalah himpunan sisi-sisi (edges atau arcs) digambarkan dalam garis-garis yang menghubungkan sepasang simpul, V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak memiliki sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi pun dinamakan graf trivial (Munir R, 2007). Nama graf diberikan karena graf dapat disajikan secara grafik atau gambar, dan dengan bentuk gambar inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail. Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik. Penyajian graf secara gambar tidak harus tunggal. Penempatan posisi titik dan sisi tidak menjadi perhatian yang serius (Abdussakir, et all, 2009). 2.2 Jenis-jenis Graf Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul atau berdasarkan orientasi arah pada sisi (Munir R, 2007).
8 Berdasarkan ada tidaknya gelang atau busur ganda pada suatu graf maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis: 1. Graf sederhana (simple graph) yaitu graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (unordered pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita dapat juga mendefinisikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda disebut sisi (Munir R, 2007). 2. Graf tak-sederhana (unsimple graph) yaitu graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf taksederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). a. Graf ganda (multigraph) adalah graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bias lebih dari dua buah. Sisi ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama (Munir R, 2007). b. Graf semu (pseudograph) adalah graf yang mengandung gelang (loop). Graf semu lebih umum daripada graf ganda karena sisi pada graf semu dapat terhubung ke dirinya sendiri (Munir R, 2007). Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah. Menurut orientasi arah pada sisinya, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu: 1. Graf tidak berarah (undirected graph) adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah, pada graf ini, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan (Munir R, 2007). 2. Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah, Graf berarah sering dipakai untuk menggambarkan aliran proses, peta lintas suatu kota, dan sebagainya (Munir R, 2007). Graf juga ada yang mempunyai bobot atau nilai. Berdasarkan bobotnya, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu: 1. Graf tidak berbobot (unweighted graph) adalah graf yang tidak mempunyai bobot atau nilai.
9 2. Graf berbobot (weighted graph) apabila sebuah busur mempunyai sebuah nilai yang menyatakan hubungan antara dua buah simpul, maka busur tersebut dikatakan mempunyai bobot, dan graf disebut graf berbobot atau weighted graph. Bobot sebuah busur dapat menyatakan panjang sebuah jalan antara dua buah titik, atau jumlah rata-rata kendaraan perhari yang melalui sebuah jalan (Sjukani M, 2012). Contoh graf berbobot diperlihatkan pada Gambar 2.1. 2.3 Contoh Terapan Graf Gambar 2.1 Graf Berbobot (weighted graph) Aplikasi Graf sangat luas. Graf dipakai di berbagai disiplin ilmu maupun dalam kehidupan sehari-hari. Graf digunakan untuk memodelkan suatu persoalan. Dibawah ini terapan graf dalam beberapa bidang. 1. Rangkaian Listrik Pada tahun 1247 Kirchoff menggunakan graf untuk memodelkan rangkaian listrik. Berdasarkan graf tersebut Kirchoff menurunkan persamaan arus yang masuk dan keluar pada tiap simpul. Dari sistem persamaan lanjar (linier) simultan yang diperoleh dapat dihitung arus listrik yang mengalir pada setiap komponen (Munir R, 2007). 2. Isomer senyawa kimia karbon Pada tahun 1257 Arthur Cayley menggunakan graf dalam memodelkan molekul senyawa alkana CnH2n+2 untuk menghitung jumlah isomernya. Atom karbon (C) dan atom hidrogen (H) dinyatakan sebagai simpul, sendangkan ikatan antara atom C dan H dinyatakan sebagai sisi. Isomer adalah senyawa kimia yang mempunyai
10 rumus molekul sama tetapi rumus bagun (bentuk graf) berbeda (Munir R, 2007). 2.4 Pohon (Tree) Pohon adalah graf tidak berarah yang berhubungan tanpa terhubung dengan sirkuit sederhana, karena pohon tidak dapat memiliki rangkaian sederhana, pohon tidak dapat berisi beberapa tepi atau loop. Maka setiap pohon pasti sebuah graf sederhana (Rosen K.H, 2012). Konsep dalam teori graf terdiri dari beragam jenis, konsep pohon (tree) merupakan konsep yang paling populer karena konsep ini mampu mendukung pemecahan masalah dalam berbagai terapan graf. Dalam kehidupan sehari-hari, orang telah lama menggunakan pohon untuk menggambarkan hirarkhi. Misalnya, pohon silsilah keluarga, struktur organisasi dan lain sebagainya. Gambar dari pohon (tree) dapat dilihat pada Gambar 2.2 berikut: (a) (b) Gambar 2.2 Gambar a merupakan pohon, dan gambar b bukan pohon Gambar a disebut pohon karena merupakan graf yang tak berarah (directed graph) dan tidak mengandung sirkuit, sedangkan gambar b bukan pohon karena graf tersebut tidak terhubung. 2.5 Pohon Merentang Minimum (Minimum Spanning Tree) Pohon yang mengandung simpul-simpul dalam sebuah grafik yang saling terhubung disebut spanning tree. Permasalahannya adalah bagaimana mendapatkan suatu pohon
11 T yang mengandung semua simpul dalam grafik G dan mengandung jumlah minimum dari bobot simpul-simpulnya (u,v) dari pohon T (Purwanto E.B, 2008). Pernyataan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan : w(t) = (u,v) T w(u,v) (1) Algoritma MST (Minimum Spanning Tree) mengelola sebuah himpunan simpul A, kemudian menjalankan iterasi secara invariant (tidak berbeda). Perhatian utama pada setiap iterasi adalah A sebagai sub-himpunan dari beberapa MST, sehingga setiap langkah, akan ditentukan simpul yang dapat ditambahkan ke simpul A tanpa menghilangkan sifat invariant-nya. Untuk A {(u, v)} sebagai himpunan bagian dari MST (Purwanto E.B, 2008). Kasus yang dipecahkan dalam Minimum Spanning Tree adalah mencari biaya minimum (minimum cost) dari setiap ruas (ujung) pada grafik yang membentuk pohon pencarian. Sebagai catatan bahwa tidak semua grafik bisa dihitung menggunakan MST karena untuk dapat menghitung biaya minimum atas terbentuknya sebuah grafik harus memenuhi kriteria-kriteria spanning tree yaitu: a. Setiap ruaspada grafik harus terhubung b. Setiap ruas pada grafik harus mempunyai nilai (label) c. Setiap ruas pada gafik tidak mempunyai arah Langkah-langkah menghitung total biaya minimum dari suatu grafik sebagai berikut: 1. Dari suatu grafik yang terbentuk, perhatikan apakah memenuhi kriteria suatu spanning tree. 2. Lakukan pelacakan secara berurutan mulai dari simpul pertama sampai dengan simpul terakhir. 3. Pada setiap simpul perhatikan nilai (biaya) tiap-tiap ruasnya 4. Ambil nilai yang paling kecil artinya jarak terpendek dari setiap ruas simpul 5. Lanjutkan sampai seluruh simpul tergambar pada spanning tree. 6. Jumlahkan nilai yang telah dipilih atau cost minimal yang menghubungkan simpul-simpul tersebut.
12 2.6 Algortima Borůvka Algoritma Borůvka merupakan algoritma pertama untuk mencari pohon merentang minimum dari suatu graf ditemukan oleh Otakar Borůvka pada tahun 1926.Algoritma ini dimulai dengan memeriksa setiap simpul dan menambahkan sisi dengan bobot terkecil pada pohon merentang, tanpa memperhatikan pada sisi yang telah ditambahkan, dan melanjutkan menggabungkan sisi tersebut sampai terbentuk suatu pohon merentang (Nasution R.P, 2007). Untuk menentukan pohon merentang minimum dari sebuah graf dengan menggunakan Algoritma Borůvka maka diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1: Salin titik dari G ke graf baru L yang kosong. Langkah 2: Sedangkan L tidak terhubung (artinya hutan lebih dari satu pohon) Untuk setiap pohon di L, hubungkan sebuah titik ke titik yang lain pada pohon yang lain di L dengan menambahkan sisi yang berbobot minimum (Chartrand G. & Ortrud R.O, 1993).
13 Contoh pengerjaan Algoritma Borůvka dalam graf dapat dilihat pada Gambar 2.3. (a) (b) (c) (d Gambar 2.3 Proses pengerjaan graf berbobot dengan menggunakan algoritma pohon merentang minimum Borůvka
14 2.7 Algoritma Prim Algoritma Prim pertama kali diusulkan oleh Jarnik, tetapi dengan atribut yang spesifik terhadap Prim. Algoritma ini dimulai dari simpul yang berubah-ubah di setiap tingkatnya, diperbolehkan menambah cabang baru untuk membuat susunan pohon baru. Algoritma ini akan tertahan (hold) ketika simpul yang sedang dieksplorasi pada grafik sudah sampai pada simpul yang dituju. Strategi yang digunakan adalah strategi Greedy dengan menganggap bahwa setiap langkah dari spanning tree adalah augmented dan dipilih simpul yang nilainya paling kecil dari semua simpul yang ada (Purwanto E.B, 2008). Algoritma Prim banyak menghabiskan waktu untuk mencari simpul dengan nilai paling kecil. Dengan kata lain bahwa lama waktu didasarkan pada ketergantungan bagaimana mencari simpul terkecil. Cara singkat untuk mendapatkan simpul terkecil adalah dengan mencari deret adjensi dari jalur dalam V. Dalam kasus ini setiap iterasi memerlukan biaya atau energi sebanyak O(m) kali dan membutuhkan waktu eksekusi sebesar O(mn) (Purwanto E.B, 2008). Algoritma ini menitikberatkan pada pemilihan bobot minimum berdasarkan simpul yang diambil. Dan karena tidak perlu mengurutkan terlebih dahulu, algoritma Prim cocok untuk pohon dengan jumlah simpul banyak. Algoritma Prim akan selalu berhasil menemukan pohon merentang minimum tetapi pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik (Nugraha D.W, 2011). Langkah-langkah dalam menentukan algoritma Prim adalah (Munir R, 2007) ; 1. Menentukan titik awal lalu dilanjutkan mengambil sisi dari graf G yang berbobot minimum dari titik awal yang di pilih tadi, masukkan ke dalam T yang kosong. 2. Pilih sisi e yang mempunyai bobot minimum berikutnya dan bersisian dengan titik di T, tetapi e tidak membentuk sirkuit di T, masukkan e ke dalam T. 3. Ulangi sebanyak n-2 kali.
15 Contoh pengerjaan Algoritma Prim dalam graf dapat dilihat pada Gambar 2.4. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Gambar 2.4 Proses pengerjaan graf berbobot dengan menggunakan algoritma pohon merentang minimum Prim, akar vertex adalah a