BAB I KOMBINATORIKA Dr. Al Mhmud (Jurus Peddk Mtemtk FMIPA UNY) Combtorcs hs emerged s ew subject stdg t the crossrods betwee pure d plled mthemtcs, the ceter of bustlg ctvty, smmerg pot of ew problems d exctg specultos. (G-Crlo Rot) Kombtork dlh stud tetg pegtur objek-objek, ytu pemsg, pegelompok, pegurut, pemlh, tu peempt objekobjek deg krkterstk tertetu. Topk mul berkembg sejk bd ketujuh bels, yk dwl deg tuls Gottfred Wlhelm Lebz yg berjudul Dsserto de Arte Combtorc. Seljuty, kombtork semk berkembg pest deg bergm plksy d berbg bdg, sepert km, bolog, fsk, d komuks. Pembhs mege kombtork dwl deg pegel du kdh pecch, ytu kdh pejumlh d kdh perkl. Kedu kdh sgt bermft utuk meyelesk mslh yg kompleks deg cr memech tu megur mslh tersebut mejd beberp bg yg lebh sederh yg seljuty dpt dselesk deg kedu kdh tersebut. Msly, kdh pecch bermft utuk meetuk pkh terdpt cukup omor telepo tu lmt teret protocol utuk memeuh permt pelgg. A. Kdh Pecch Terdpt du kdh pecch, ytu kdh pejumlh d kdh perklh. Al Mhmud, Kombtork [1]
1. Kdh pejumlh Kdh pejumlh megut prsp umum bhw keseluruh sm deg jumlh dr bg-bgy. Secr umum, kdh pejumlh djelsk sebg berkut. Jk sebuh hmpu objek-objek S dprts mejd hmpu bg S 1, S,..., S m, mk byky objek d S k sm deg jumlh byky objek d S 1, S,..., S m. Kdh pejumlh dpt pul dytk sebg berkut. Jk pekerj pertm dpt dlkuk dlm m cr d pekerj kedu dpt dlkuk dlm cr, d kedu pekerj tersebut tdk dpt dlkuk secr smult, mk utuk meyelesk kedu pekerj tersebut dpt dlkuk dlm m + cr. Secr umum drumusk sebg berkut. Jk E ( = 1,,,..., k) dlh k pekerj sedemk sehgg tdk pekerj-pekerj yg dpt dlkuk tu terjd secr smult d jk E dpt dlkuk dlm cr, mk utuk melkuk pekerjpekerj tersebut terdpt 1 + + +... + k. Cotoh 1 Utuk beperg ke Crebo dr Yogy dpt mellu jlur Purwokerto, jlur semrg, tu mellu jlur Temggug. Deg megguk kdh pejumlh, dpt dtetuk bhw terdpt tg cr beperg dr Yogy ke Crebo. Cotoh Sutu perpustk memlk koleks 40 buku sosolog d 50 buku tropolog. Deg megguk kdh pejumlh dpt dtetuk byky kemugk bg ssw dlm memlh sebuh buku dr kedu jes buku tersebut tp memperhtk jes buku, ytu 40 + 50 = 90 cr. Cotoh Al Mhmud, Kombtork []
Sutu kels memlk 18 ssw perempu d 1 ssw lk-lk. Deg kdh pejumlh dpt dtetuk byky cr memlh seorg ssw d kels tersebut (tp memperhtk jes kelm) utuk mewkl kels tersebut, ytu 18 + 1 = 0 cr.. Kdh Perkl Utuk memhm kdh perkl, perhtk lustrs sebg berkut. Pk Bud bermksud membel seped motor. St d psr terdpt 4 merek seped motor yg terkel, yk Scorpo, Alf, Mercury, d Joss. Tersed jes kpsts slder utuk msg-msg seped motor tersebut, ytu 100 cc, 110 cc, d 15 cc. Msg-msg seped motor meyedk mcm plh wr, yk htm d merh. Berp mcm plh yg dpt dplh Pk Bud dlm membel seped motor? Utuk meggmbrk berbg plh yg dpt dplh Pk Bud, perhtk lur berpkr sebg berkut. Mul-mul Pk Bud meetuk merek seped motor yg k bel, kre hl k mempegruh hrg seped motor. Dlm hl Pk Bud dpt memlh slh stu dr 4 merek seped motor yg tersed. Jelsy, Pk Bud mempuy 4 plh. Setelh meetuk merek, Pk Bud hrus meetuk kpsts slder, kre hl pu mempegruh hrg seped motor. Dlm hl, pk Bud dpt memlh kpsts slder yg tersed. Jelsy Pk Bud mempuy mcm plh. Terkhr, Pk Bud hrus memlh slh stu dr du wr yg tersed. Jelsy, Pk Bud mempuy plh. Ketk Pk Bud memlh merek seped motor, pkry bercbg 4. Ketk memlh kpsts slder, pkr Pk Bud bercbg, d sewktu hrus memlh wr, pkr pk Bud bercbg. Jd byky semu plh dlh 4 x x = 4. Ketk Pk Bud meetuk byky plh, sesugguhy telh megguk kdh perkl, yg secr umum djelsk sebg berkut. Al Mhmud, Kombtork []
Jk kegt pertm dpt dkerjk deg 1cr yg berbed, kegt kedu dpt dlkuk deg cr yg berbed, kegt ketg dpt dkerjk deg cr yg berbed, d seterusy... kegt ke-k dpt dkerjk deg Cotoh 4 Dr sebyk 6 ssw lk-lk d 8 ssw perempu k dplh du ssw (lk-lk d perempu) yg k mewkl sekolh utuk megkut lomb mtemtk. Deg megguk kdh perkl, byky psg ssw yg mugk terplh dlh 6 x 8 ssw. Kdh perkl sebgm dkemukk d ts dpt pul dphm sebg kdh pegs tempt yg tersed yg dlustrsk sebg berkut. Berp byk pssword (kt kuc) deg pjg 5 gk yg dpt dbetuk dr gk-gk 1,,, 4, d 5 jk tdk boleh d gk berulg? Beberp cotoh pssword tu dlh: 145, 415, 541, d sebgy. Perhtk bhw 41, 14, tu 541 buk cotoh pssword dmksud. Megp? Utuk dpt meetuk byky cr dmksud, dpt dlkuk secr sstemts sebg berkut. Kt sedk 5 tempt yg dpt dtempt 5 gk yg dsedk. k cr berbed, mk byky cr utuk melkuk semu kegt tersebut secr berurut dlh: x x x... x 1 Tempt ke- 1 4 5 Byk cr 5 4 1 k Al Mhmud, Kombtork [4]
o Tempt pertm dpt ds deg 5 cr, yk gk 1,,, 4, tu 5. o Tempt kedu dpt ds deg deg 4 cr (megp?) o Demk seterusy, tempt kelm dpt ds deg 1 cr. o Deg demk, totl byky cr dlh 5 x 4 x x x 1 = 10 cr. Ketk kt meghtug byky cr meyusu pssword d ts, kt telh megguk kdh pegs tempt yg tersed, yg secr umum djelsk sebg berkut. Mslk: 1 : byky cr megs tempt pertm : byky cr megs tempt kedu setelh tempt pertm ters : byky cr megs tempt ke-k setelh ( k 1) tempt sebelumy k ters, Byky cr megs k tempt yg tersed tu dlh x x x... x 1 k Cotoh 5. Jk tdk terdpt huruf tu gk yg berulg, mk byky cr meyusu omor kedr bermotor tersebut yg terdr ts du huruf d dkut deg 4 gk dlh 6 x 5 x 10 x 9 x 8 x 7 =.76.000 cr. b. Jk pegulg dperbolehk, byky cr meyusu omor kedr yg terdr ts du huruf d dkut 4 gk, mk byky cr meyusu omor kedr tersebut dlh 6 x 6 x 10 x 10 x 10 x 10 = 6.760.000 cr. c. Jk pegulg dperbolehk, byky cr meyusu omor kedr yg terdr du huru vokl d dkut empt gk gep dlh 5 x. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.65 cr. Al Mhmud, Kombtork [5]
B. Nots Fktorl Sutu perkl blg sl berturut-turut dr 1 smp tu dr smp 1 dsebut fktorl yg dotsk deg!, ytu:! ( 1)( )( )... (1) = ( 1)()...( )( 1) Berdsrk defs tersebut, mk! = (-1)(-)(-)... (1) = (-1)! d 1! = 1 (0)! = 1. Akbty hrus ddefsk bhw 0! = 1. C. Permuts Dr 5 org yg bersed mejd pegurus sutu orgss kmpus, yk Al, Bud, Cc, D, d Edro, hy k dplh org yg k meempt poss (jbt) sebg ketu d wkl ketu. Byky semu cr yg mugk dlm meyusu permuts tersebut dpt dtetuk deg pegguk kdh perkl sebg berkut. Jbt Ketu Wkl Ketu Byk Cr 5 4 Jd, byky cr dmksud dlh 5 x 4 = 0 cr. Secr mtemts kt dpt megubh (mempuls) cr perhtug d ts sebg berkut. 5 4 ( 1) 5! 5! 5 4 x 1)! (5 )! ( Hsl terkhr seljuty dotsk sebg berkut. 5! P(5, ) (5 )! Al Mhmud, Kombtork [6]
Perhtk bhw ketk kt meetuk susu pegurus orgss tersebut yg terdr ts ketu d wkl ketu dr 5 mhssw yg bersed mejd pegurus orgss tersebut. Dlm hl, secr mtemts kt telh meyusu permuts objek dr 5 objek yg dkethu d dotsk deg P(5, ) Secr umum, permuts k objek dr objek (deg k ) dlh semu urut berbed yg mugk dr k objek yg dmbl dr objek. Deg kdh perkl dpt deg mudh dtujukk bhw byky susu permuts sejumlh k obyek yg bersl dr sejumlh obyek deg k ) dlh sebg berkut. Tempt ke- 1... k Byk cr 1... k 1 P (, k) ( 1)( )...( k 1) =! ( k)! Sebg lustrs, jk S = {, b, c}, mk b, c, b, c, bc, d cb dlh 6 buh permuts- dlm S. Dpt dphm jk r, mk P (, r) 0. Jk r =, mk permuts- dr hmpu S yg terdr ts usur dsebut permuts hmpu S tu permuts usur. Deg demk, permuts objek dlh semu susu berbed yg terdr ts objek deg memperhtk urut. Dpt dphm bhw byky permuts objek, yg dotsk deg P, dlh!. Jd, P =!. Sebg lustrs, permuts dr hmpu S = {, b, c} dlh bc, cb, bc, bc, cb, d cb. Jd, P (, ) =! = 6. Jels jug bhw P(,1), utuk setp blg bult postf. Al Mhmud, Kombtork [7]
1. Permuts deg Beberp Objek yg Sm Perhtk kt AMAN yg memlk du huruf A yg sm. Berpkh byky semu susu permuts tersebut? Adk du huruf yg sm (ytu A) tu kt ggp berbed, msly dotsk deg A 1 d A, mk beberp cotoh susu permuts tersebut dlh sebg berkut. A 1 A M N A A 1 M N Nmu sesugguhy du permuts tu merupk permuts yg sm ytu AAMN (kre memg A 1 d A tersebut sm). Deg demk, tetu byky semu permuts yg mugk k kurg dr 4!. Demk jug susu permuts MA 1 A N d MA 1 A N jug merupk du susu permuts yg sm, d sebgy. Dr ur tersebut dpt ddeskrpsk sebg berkut. Mslk dr 4 objek terdpt objek yg sm d ly berbed, mk byky permuts dr 4 objek tersebut dlh 4!. Pdhl byky permuts dr objek yg sm tersebut dlh!. Akbty byky permuts tersebut dlh 4!! Secr umum dpt drumusk sebg berkut. Mslk dr sejumlh objek terdpt sebyk: 1 objek jes pertm objek jes kedu objek jes ketg,... k objek jes ke-k Al Mhmud, Kombtork [8]
Byky permuts yg berbed dr objek tersebut dlh:!!!... 1 k!. Permuts Skls Permuts yg telh kt peljr d dep bsy dsebut permuts ler. Kt pkrk objek-objek yg dpermutsk dtur pd sebuh grs lurus. Jk kt meyusu objek-objek tu dlm susu melgkr, mk permuts yg demk dsebut sebg permuts skls. Permuts yg dsusu secr melgkr dmk permuts skls. Dlm permuts skls, ketg susu sepert berkut dggp sm. Megp? Perhtk bhw deg urut serh deg jrum jm, urut A B C sm deg urut B C A d C A B. Dlm permuts skls, yg dperhtk (yg membedk) dlh poss objek-objek terhdp objek-objek yg l (uruty) d BUKAN poss objek-objek terhdp lgkugy. A B C A B C C B A Jd, berpkh byky permuts skls dr objek? o Perhtk bhw byky susu permuts dr objek yg berbed dlh! o Terdpt mcm susu permuts skls yg sm o Deg demk byky susu permuts skls dr objek yg berl dlh:! xx1! ( 1)! Al Mhmud, Kombtork [9]
Perhtk bhw o Byky susu permuts dr objek yg berbed dlh! o Terdpt mcm susu permuts skls yg sm o Deg demk byky susu permuts skls dr objek yg berl dlh:! 1... ( 1) = 1! Jd, byky permuts skls dr objek yg berl dlh 1! Deg pemhm yg sm, dpt dtujukk bhw byky permuts skls k objek dr objek yg berbed dlh P (, k) k =! k( k)! D. Kombs Kt kombs lebh serg djump dlm kehdup sehr-hr drpd kt permuts. Perhtk cotoh berkut. Dr 5 pegurus hr Hmpu Mhssw Jurus Mtemtk, yk Ato, Bdru, Cdr, D, d Edro k dtetuk org yg k mewkl orgss tu utuk megkut pertemu orgss-orgss mhssw tgkt sol. Ad berp kemugk susu wkl orgss tu? Beberp susu wkl pegurus utuk megkut pertemu tersebut dlh sebg berkut. Ato Cdr Cdr Ato Bdru D D Bdru d sebgy Al Mhmud, Kombtork [10]
Perhtk bhw susu Ato Cdr d Cdr Ato sesugguhy sm, yk Ato d Cdr yg k mewkl orgss tu. Perhtk bhw, dlm hl, urut tdk dperhtk. Defs Sutu susu objek-objek yg tdk memperhtk urut dsebut KOMBINASI. Msly kombs ARUS sm deg kombs RUSA sebb huruf-huruf peyusuy sm. Susu k objek dr objek yg dkethu (deg k ) dsebut deg kombs k objek dr objek yg dkethu. Perhtk kembl kemugk susu pegurus dr 5 org pegurus hr orgss tu. Byky permuts du objek dr 5 objek yg dkethu (yk 5 pegurus) dlh P(5, ). Byky susu yg sm dr setp psg objek dlh! (msly psg Ato Cdr sm deg susu Cdr Ato). Deg demk, byky kombs objek dr 5 objek yg dotsk deg C(5, ) dlh sebg berkut. C (5, ) = Byky permuts objek dr 5 objek Byky susu yg sm = = P(5, )! 5! (5 )!! Secr umum, jk terdpt objek yg berbed, kemud dmbl k objek d try secr bersm, kt k meetuk byky kemugk susu I objek yg dmbl tersebut. Perhtk ur berkut. Al Mhmud, Kombtork [11]
Pegmbl k objek dr objek yg berbed meghslk permuts k objek dr objek tu P (, k). Byky susu yg sm dr pegmbl k objek td dlh k!, sehgg byky kombs dr k objek dr objek yg berbed yg dotsk deg C(, k) dlh sebg berkut. C (, k) = Byky permuts k objek dr objek Byky susu yg sm = = P(, k) k!! k!( k)! Perhtk bhw jk k, ddefsk C (, k) 0. Jk = 0 d k blg bult postf, mk C ( 0, k) 0. Hl tersebut k berkbt bhw C (0, 0) = 1. Fkt berkuty dlh utuk blg bult oegtf berlku C (, 0) 1, C(,1), d C (, ) 1. Cotoh 6 Dkethu 10 ttk berbed yg terletk pd sebuh bdg dtr d tdk d ttk yg koler. Berpkh byky grs lurus berbed yg dpt dluks mellu ttk-ttk tersebut? Jwb Kre tdk d ttk yg koler, mk setp psg ttk membetuk sebuh grs lurus. Deg demk byky grs lurus berbed yg dpt dbetuk sm deg byky kombs objek dr 10 objek yg dkethu, yk C (10, ). Al Mhmud, Kombtork [1]
Teorem 1 Utuk k,berlku C (, k) = C(, k) Sebelum membuktk secr forml teorem tersebut, berkut dberk lustrs tetg byky pegmbl objek dr 5 objek yg dkethu k sm deg byky pegmbl tu (5 ) objek dr 5 objek yg dkethu. Msl objek tersebut dlh, b, c, d, d e. Pemlh objek dr 5 objek ( objek terplh) Pemlh objek dr 5 objek (objek terss), b b, d c, d, e, c, e, c b, e b, d, e, c, d, d c, d b, c, e, b, e, e c, e b, c, d, b, d b, c d, e, d, e, b, c Tmpk bhw byky cr memlh objek dr 5 objek sm deg byky cr memlh tu (5 ) objek dr 5 objek. Bukt Perhtk bhw memlh k eleme dr eleme d meysk ( k) eleme pd dsry sm deg memlh ( k) eleme d meysk k eleme. Secr forml teorem tersebut dbuktk sebg berkut.! C(, k) = (()!()! =! ()! = C(, k) Al Mhmud, Kombtork [1]
Teorem (Rumus Pscl) Utuk blg bult d k, deg 1 k 1, berlku: C(, k) = C( 1, k) + C( 1, k 1) Bukt C( 1, k) + C( 1, k 1) = ()!!( + ()! ()!()! = ()()!!()! =!!()! = C(, k) Teorem tersebut secr sederh dpt djelsk sebg berkut. Mslk hmpu S memut eleme d hmpu T memut (+1) eleme, ytu semu eleme S dtmbh sebuh eleme bru. Meetuk C( 1, k) dlh ekuvle deg meetuk byky hmpu bg T yg memut k eleme. Dlm hl terdpt du ksus sebg berkut. Ksus 1 Hmpu bg tu memut (k 1) eleme S dtmbh eleme. Dlm hl terdpt C(, k 1). Ksus Hmpu bg tu memut eleme S d tdk memut eleme. Dlm hl terdpt C(, k). Deg megguk kdh pejumlh dperoleh C( + 1, k) = C(, k 1) + C(, k). Al Mhmud, Kombtork [14]
Formul tu detts tersebut dpt dguk utuk meyusu sutu pol tu tbel sebg berkut. Dlm hl, kolom-kolom memut l k deg k = 0, 1,,... d brs-brs memut l, deg = 0, 1,,... C(,k) k=0 1 4 5 6 7 8 9 10 =0 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 8 4 1 4 6 4 1 16 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 0 15 6 1 64 7 1 7 1 5 5 1 7 1 18 8 1 8 8 56 70 56 8 8 1 56 9 1 9 6 84 16 16 84 6 9 1 51 10 1 10 45 10 10 5 10 10 45 10 1 104 Perhtk bhw susu blg tersebut membetuk sutu pol tu segtg yg dkel deg segtg Pscl. Pol tu segtg dber m sesu m peemuy, ytu Blse Pscl pd thu 1654. I meyjk temuy tersebut dlm kryy yg berjudul Trgle Arthmtque. Bsy pol blg tersebut dsjk sebg berkut. Al Mhmud, Kombtork [15]
Perhtk bhw pd segtg Pscl tersebut, setp blg merupk jumlh du blg yg terletk pd kr ts d k ts blg tersebut. Betuk C(, k) yg kemud dsjk dlm betuk segtg pscl tersebut dkel deg koefse boml. Boml dlh ekspres ( + b), sepert ( + b), ( + b), ( + b), d seterusy. Betuk ( + b) dpt djbrk tu dekspsk sebg berkut. ( + b) = ( + b)( + b) =. +.b + b. + b.b = + b + b ( + b) = ( + b)( + b)( + b) = + b + b + bb + b + bb + bb + bbb = + b + b + b Perhtk bhw koefse dr suku-suku ( + b) dlh 1,, d 1 yg merupk blg-blg pd brs ketg segtg Pscl. Demk pul, koefse suku-suku dr ( + b) dlh 1,,, d 1 yg merupk blgblg pd brs keempt pd segtg Pscl. Utuk meetuk koefse suku-suku betuk ( + b) dpt djelsk sebg berkut. o Hy d 1 suku, sebb hy terdpt stu kemugk utuk membetuky, ytu memlh dr semu fktor, ytu C(, ) = 1. o Terdpt tg betuk b, sebb terdpt tg kemugk memlh dr tg fktor, ytu C(, ). o Serup deg hl d ts, terdpt betuk b, ytu C(, 1) d stu betuk b, ytu C(, 0) = 1. Al Mhmud, Kombtork [16]
Al Mhmud, Kombtork [17] E. Nots Sgm Utuk mejumlhk beberp eleme, sepert m, m+1, m+,..., m+, deg m d dlh blg bult postf, kt dpt megguk ots sgm sepert berkut. Dlm ots, dsebut deks pejumlh yg ly memlk bts bwh d bts ts. Berkut dberk beberp cotoh peggu ots sgm. 1. 7 7 6 5 4 7 j j. 4 0 4 1 0 4 1 k k, sebb 0 = 0. 101 1 99 10 100 11 1) ( 1) ( 100... 1 1 11 j k k j 4. 10 7 10 7 10) 9 8 (7 (4) 68 (10) (9) (8) (7) 5. 4 4 1 1 6. 5 5 F. Koefse Boml Teorem. (Teorem Boml) Mslk blg bult postf. Utuk semu x d y berlku 1 1 x y x 1... y x xy 1 y 0 y x k k k y x k 0. 7 j j 7 6 5 4 7
Sebelum memberk bukt secr forml, berkut dberk lustrs pd ksus khusus utuk = 4. Utuk = 4, koefse x y dlm eksps hsl kl (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) Fktor 1 Fktor Fktor Fktor 4 dlh byky cr memlh du x dr empt x yg dkethu. Perlu dctt bhw meskpu x tersebut dlh sm, kt perlu membedky mejd beberp bg, ytu x pd fktor pertm, x pd fktor kedu, x pd fktor ketg, d x pd fktor keempt. Perlu dctt jug bhw ketk kt memlh du x, kt megguk du fktor d megglk tu meysk du fktor l. Dr du fktor terss tersebut kt memlh du y yg dperluk. Msly utuk memlh fktor x y kt dpt memlh (1) x dr du fktor pertm d y dr du fktor terkhr tu () x dr fktor pertm d ketg d y dr fktor kedu d keempt. Tbel berkut memberk 6 kemugk plh tersebut. Fktor terplh utuk x Fktor terplh utuk y 1,, 4 1,, 4 1, 4,, 1, 4, 4 1,, 4 1, Kosekuesy, koefse x y dlm eksps (x + y) 4 dlh C(4, ) = 6, ytu byky cr memlh du objek berbed dr empt objek berbed. Seljuty berkut dsjk bukt forml teorem tersebut. Bukt Perhtk eksps berkut. (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)... (x+y) Fktor 1 Fktor Fktor Fktor 4... Fktor Al Mhmud, Kombtork [18]
Koefse x k y -k deg 0 k pd eksps d ts dlh byky cr memlh x sebyk k (d kosekuesy jug memlh y sebyk (-k)) dr fktor yg tersed. Slh stu cr tersebut dlh memlh x dr k fktor pertm d y dr k fktor berkuty terss. Totl byky cr memlh k objek dr objek yg tersed dlh C(, k) =. k Kre C(, k) = =, mk teorem boml dpt pul k k dsjk sebg berkut. (x + y) = k x y Cotoh 7 Ekspsk tu urk (x + y)4. Jwb ( x y) 4 4 j0 4 x 0 C(4, j) x 4 4 j y j 4 x 1 4 y x y 4 x y = 1x 4 + 4x y + 6x y + 4xy + 1y 4 4 y 4 4 Cotoh 8. Dr teorem boml dpt dtetuk koefse dr x 5 y dlm eksps (x+y) 7 dlh C(7, 5) = C(7, ) = 1 b. Utuk meetuk koefse 5 b dlm ( b) 7 dlh deg meggtk deg x d -b deg y. Dr teorem boml, koefse x 5 y dlm (x+y) 7 dlh C(7, 5) d C(7, 5) x 5 y = C(7, 5) ()5 (-b) = C(7, 5) ()5 (-) 5 b = 6048 5 b. Al Mhmud, Kombtork [19]
Cotoh 9 Tetuk koefse x 1 y 1 dlm eksps (x + y) 5. Jwb Koefse x 1 y 1 dlm eksps (x - y) 5 dlh! C(5,1) =!! = 5.00.00 Cotoh 10 Tetuk koefse x 1 y 1 dlm eksps (x y) 5. Jwb Perhtk bhw betuk tersebut dpt dekspsk sebg berkut. (x y) 5 5 j0 C(5, j)(x) 5 j ( y) j Koefse x 1 y 1 dlm eksps (x-y) 5 dlh C(5, 1) 1 (-) 1 = -!!! Teorem 4 Utuk setp blg bult > 0, berlku. C(, 0) + C(, 1) + C(, ) +... + C(, ) = b. C(, 0) - C(, 1) + C(, ) -... + (-1) C(, ) = 0 Bukt Deg megguk teorem boml utuk x = 1 d y = 1, bg () teorem dpt dbuktk. Demk pul, deg meggt x = 1 d y = -1 bg (b) teorem dpt pul dbuktk. Al Mhmud, Kombtork [0]
Teorem 5 Utuk blg postf, t, koefse x x x x dlm eksps (x 1 + x + x +... + x t ) dlh!!!!! Deg t dlh blg bult 0, utuk semu 1 t, d 1 + + +... +. Bukt Sebgm dsjk dlm teorem boml, koefse x x x x dlh byky cr memlh x 1 dr 1 dr fktor, memlh x dr dr 1 fktor terss, memlh x dr fktor dr 1 fktor terss,..., d x t dr t dr fktor terss 1...- t-1 = t fktor terss. Jd, koefse dmksud dlh C(, 1 ) C( 1, ) C( 1, )... C( 1 -... t-1, t) Yg dpt dsederhk mejd!!!!! Yg dpt pul dytk deg,,,, tu C(, 1..... t ) Ekspres seljuty dsebut koefse multoml. Cotoh 11 Dlm ekspres (x + y + z) 7, koefse x y z dlh 7 = 10. Semetr,, koefse xyz 5 dlh 7 1,1,5 d koefse x z 4 dlh 7,0,4 =!!!! = 5. Al Mhmud, Kombtork [1]
Cotoh 1 Utuk meetuk koefse b c d 5 dlm eksps ( + b c + d + 5) 16 dpt dlkuk deg meggt deg v, b deg w, -c deg x, d deg y, d 5 deg z. Deg meerpk teorem multoml dpt dtetuk bhw koefse dr v w x y 5 z 4 16 tersebut dlh,,,5,4 = 0.70.400. Teorem 5 Byky hmpu bg dr sutu hmpu yg terdr ts objek dlh C(, 0) C(, 1)... C(, ) Bukt Utuk membuktk teorem dpt megguk teorem boml sebg berkut. 0 1 1 1 1 x y y xy x y... x y x Utuk x = y = 1 dperoleh... 0 1 1 Perhtk bhw meujukk byky ggot hmpu bg 0 deg ggot 0 eleme, meujukk byky ggot hmpu 1 bg deg ggot 1 eleme, meujukk byky ggot hmpu bg deg eleme eleme, d seterusy, sert meujukk byky ggot hmpu bg deg eleme objek. Deg demk,... 0 1 1 byky hmpu bg sutu hmpu deg eleme. = meujukk Al Mhmud, Kombtork []
G. Sol Lth 1. Sebuh tm sepk bol memlk: b. kos puth, bru, hju, d merh. c. cel pedek htm d puth. d. kos kk merh, htm, d puth. Berp mcm kombs wr sergm yg dpt dsusu? Berlh beberp cotoh.. Sekepg ug logm rtus dlmbugk kl berturut-turut d dctt ss m yg mucul, pkh Agk (A) tu Gmbr (G). Berp mcm kemugk hsly?. Em peswt berbed terbg dr Yogykrt ke Jkrt d 7 peswt berbed terbg dr Jkrt ke Med. Berp byky cr melkuk peerbg dr Jkrt ke Med mellu Jkrt jk hrus bergt peswt? 4. Tetuk byky. Blg gep du gk b. Blg gjl du gk c. Blg gjl du gk sedemk sehgg kedu gk berbed d. Blg gep du gk deg gk-gk berbed 5. Terdpt 15 psg sum ster pd sutu pest. Tetuk byky cr memlh seorg wt d seorg lk-lk pd pest tersebut sedemk sehgg () keduy dlh psg sum ster d (b) keduy buk psg sum ster 6. Sutu orgss Kelompok Ilmh Remj berggotk 10 ssw kels stu, 8 ssw kels du, d 7 ssw kels. Dr setp kels k dplh stu org wkl sebg pegurus orgss tu. Berp cr susu pegurus tu dpt dbetuk? Al Mhmud, Kombtork []
7. Berp byk plt omor motor yg terdr ts 4 gk yg dpt dbetuk dr gk-gk: 0, 1,,..., 9 jk gk pertm tdk boleh kurg dr 4? 8. Berp byky blg yg berl tr 500 d 700 dpt dsusu dr gk-gk,, 4, 5, 6, d 7? 9. Tetuk byky blg yg terdr ts gk yg dpt dsusu dr gk-gk,, 4, 5, 6, d 7 deg syrt sebg berkut.. jk tdk boleh terdpt pegulg gk. b. jk boleh terdpt pegulg gk c. jk tdk boleh terdpt pegulg gk d gk pertm hrus 5 d. jk tdk boleh terdpt pegulg gk d blg tersebut gep. 10. Setp peggu komputer hedky memlk sebuh pssword, yg terdr ts 6 smp 8 krkter deg setp krktery dpt berup huruf mupu gk. Msg-msg pssword hrus memut setdky stu gk. Berp byky pssword yg mugk dsusu deg ketetu tersebut? 11. Yud membel koper yg dlegkp deg kode kuc pegm (pssword) dlm gk.. Apkh kode 091 sm deg kode 019? b. Ad berp byk kode yg dpt dbut pbl tdk boleh d gk yg sm? c. Megp kode kuc deg gk lebh m dbdg yg deg gk? 1. Terdpt 4 buku Mtemtk yg sejes, buku Bolog yg sejes, d 5 buku Fsk yg sejes. Berp mcm susu yg mugk jk. buku-buku yg sejes hrus slg berdmpg. b. buku-buku Mtemtk sj yg slg berdmpg. Al Mhmud, Kombtork [4]
1. Htuglh byky susu huruf medtr yg dperoleh dr kt BATANGHARI, jk susu hurufy dmul deg huruf koso. 14. Dkethu terdpt 5 bol merh, 1 bol hju, d 1 bol bru. Deg berp cr bol-bol tersebut dpt dsusu secr berderet? 15. Terdpt 4 beder berwr merh, 5 beder berwr puth, d 6 beder berwr kug. Berp mcm komposs wr beder jk dpsg berjjr pd sebuh jl? 16. Tetuk byky blg yg berbed dpt dsusu dr gk-gk pd blg berkut.. 114556 b. 57576 17. Terdpt 8 org k duduk deg poss melgkr. Jk terdpt du shbt krb yg sellu duduk berdmpg, berp mcm kemugk poss duduk merek? 18. Seorg deser pk memlk 5 mcm perk-perk. Setp jes perk memlk stu wr ytu merh, kug, bru, hju tu puth. I hy k memduk wr perk-perk dlm des terbruy. Ad berp mcm pdu perk-perk yg dpt but? 19. Sutu kelompok reg berggotk 1 pereg. Merek meyusu tm bertdg yg terdr ts pereg. Ad berp byk kemugk susu tm yg dpt dbetuk? 0. Pt membel 6 mcm sck. Apbl tp krdus hy ds 4 mcm sck, d berp mcm s krdus yg dpt terjd? 1. Tetuk koefse x 17 y 18 dlm eksps (x + y) 5.. Tetuk koefse x 17 y 18 dlm eksps (x - y) 5.. Tetuk koefse v w 4 xz dlm eksps (v + w + xy + z) 8 Al Mhmud, Kombtork [5]
Dftr Pustk Budys, K. (1995). Mtemtk Dskret I. Uversty Press IKIP Surby. (1996). Pegtr Teor Grf. Mklh dsjk Pd Kursus Pedlm Mter SMU d PPPG Mtemtk Yogykrt, Tggl 7 Oktober 1996 6 Nopember 1996. Blkrsh, V.K. (1995). Combtorcs. USA: Schum Outle Seres. McGrw-Hll, INC. Clrk, J. d Holto, D.A. (1991). A Frst Look At Grf Theory. World Scetfc Publshg Co., Sgpore. Grmld, R.P. (1999). Dscrete d Combtorl Mthemtcs Appled Itroducto. Fourth Edto. USA: Addso-Wesley. Hrrs, J.M., Hrst, J.M., & Mossghoff, M.J. (008). Combtorcs d Grph Theory. Seco Edto. Sprger. USA: Sprger. Lovsz, L., Pelk, J., & Vesztergomb. (000). Dscrete Mthemtcs. Elemetry d Beyod. USA: Sprger. Wlso, J.R. d Wtksos, J.J. (1990). Grf (A Itroductory Approch). Alh Bhs Oleh Theres MH Trt Seputr. Uversty Press IKIP Surby Thu 199 Al Mhmud, Kombtork [6]
Al Mhmud, Kombtork [7]