BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Potensial Coulomb untuk Partikel yang Bergerak Dalam bab ini, akan dikemukakan teori-teori yang mendukung penyelesaian pembahasan pengaruh koreksi relativistik potensial Coulomb atom hidrogen, antara lain: potensial Coulomb untuk partikel bergerak, model atom Bohr, transormasi Lorentz, dan persamaan Schrodinger. Secara umum, potensial dari suatu muatan titik q pada posisi tertentu dinyatakan sebagai Di mana, R adalah jarak titik dari sumber muatan Melalui prinsip superposisi, potensial dari sekumpulan muatan adalah Selanjutnya, adalah menghitung pengurangan potensial, dari suatu muatan titik q yang bergerak membentuk sudut terhadap jarak R dengan kecepatan v secara relativistik seperti gambar berikut R v Gambar 2.1.Muatan q yang bergerak dengan kecepatan v dan membentuk sudut terhadap jarak R
6 Maka akan diperoleh persamaan potensial Coulomb Di manar r vt yakni vektor dari posisi mula-mula dari suatu partikel terhadap titik r, adalah sudut antara R dan v, v = v, danc adalah kecepatan cahaya dalam ruang vakum dan t adalah waktu mula-mula. Bila keadaan nonrelativistik muncul,yakni maka persamaan (2.3) akan kembali ke persamaan (2.1). Prinsip ini disebut prinsip pengurangan potensial dan dikemukakan oleh Lienard- Wiechert. 2.2 Model Atom Bohr Gambaran klasik terhadap inti atom didasarkan pada gaya Coulomb antara inti bermuatan positif dan elektron bermuatan negatif yang mengelilingi inti. Sederhananya, pada atom hidrogen, dengan satu proton dan satu elektronyang terjadi pasti orbit melingkar. Elektron dengan massa m e dan bermuatan e bergerak melingkar dengan jari-jari rdan kecepatan tangensial v yang tetap. Gaya tarik Coulomb menyebabkan adanya percepatan sentripetal untuk mempertahankan gerakannya. Gaya netto yang dialami oleh elektron adalah sebesar gaya elektrostatik ataupun gaya sentripetal,, sehingga Dimana = 8,85 x 10 12 F/m yakni permitivitas ruang hampa. Besarnya gaya yang dialami bertanda positif namun pada arah r, dimana rmerupakan vektor pointing satuan dari inti atom menuju posisi elektron. Dari persamaan di atas, dapat ditentukan energi kinetik elektron (dengan mengabaikan efek relativistik) Sedangkan energi potensial elektron diberikan oleh potensial Coulomb
7 Energi potensial dalam hal ini bertanda negatif akibat tanda muatan elektron. Total energi E = K + V menghasilkan Secara klasik, elektron berada di sekitar inti (pengaruh gaya Coulomb) tidak sepenuhnya dapat menggambarkan spektrum atom, sehingga konsep tentang inti atom mengalami perkembangan berikutnya. Pada tahun 1911, Niels Bohr memodifikasi model atom. Energi elektromagnetik terkuantisasi, yakni perkalian bilangan bulat terhadap h f dimana f merupakan frekuensi foton. Bohr menyatakan bahwa orbit elektron hanya dapat terjadi pada keadaan tertentu dalam geraknya yang kemudian disebut sebagai keadaan stasioner, dimana pada keadaan ini tidak ada radiasi elektromagnetik yang dipancarkan. Pada keadaan ini momentum angular elektron, L merupakan perkalian bilangan bulat dengan konstanta Planck h dibagi 2. Pada keadaan stasioner ini momentum anguler dapat bernilai dan tidak pernah bernilai selain bilangan bulat. Keadaan ini disebut dengan kuantisasi momentum angular, dan merupakan bagian dari hipotesis Bohr. Hipotesis ini berbeda dengan hipotesis Planck dan berperan dalam membangun hipotesis kuantisasi energi. Untuk orbit melingkar, vektor posisi elektron r selalu tegak lurus dengan momentum linear p. Momentum anguler L = r x p bernilai L = r.p= m e.v.r.sehingga postulat Bohr terhadap kuantisasi momentum angular adalah n merupakan bilangan bulat positif. Persamaan ini memberi solusi kecepatan setelah menggunakan persamaan ini ke persamaan (2.4) diperoleh Yang menghasilkan deret jari-jari yang diizinkan
8 Dalam hal ini a 0 = 0,00529 nm yang disebut sebagai jari-jari Bohr. Persamaan (2.11) merupakan jari- jari elektron yang diizinkan dalam mengorbit atom hidrogen. Hasil ini lebih signifikan dan tidak dapat diprediksi oleh pernyataan klasik sebelumnya. Elektron hanya diizinkan mengorbit dengan jari-jari tertentu. Melalui persamaan (2.11), diperoleh kecepatan, momentum, dan energi total yang diizinkan dalam hidrogen Merupakan kuantisasi kecepatan, Merupakan kuantisasi momentum (momentum nonrelativistik), dan Merupakan kuantisasi tingkat energi. Di sini = 13,6 ev yang merupakan energi dasar sistem. Energi elektron terkuantisasi hanya pada nilai-nilai diskrit yang diizinkan. Tingkat energi yang paling rendah disebut keadaan dasar, energi elektron bernilai 13,6 ev. Keadaan yang lebih tinggi, n = 2,3,4,... dengan energi - 3,6 ev, -1,5 ev, -0,85 ev,... disebut keadaan tereksitasi. Bilangan bulat n yang menandai jari-jari dan tingkat energi yang diizinkan dikenal sebagai bilangan kuantum utama. Bilangan ini menandai tingkat energi dan keberadaan elektron. Ketika elektron dan inti terpisah pada jarak tak hingga (n ), maka E = 0. Untuk membawa elektron dari jarak tak hingga menuju keadaan tertentu, n, dibebaskan energi E = -(E f - E i ) = E n. Sebaliknya, bila elektron dipindahkan dari keadaan n menuju tak hingga, pasti dibutuhkan energi minimum E n. Energi ini dikenal sebagai energi ikat pada keadaan n. Bila diberikan lebih banyak energi dari E n terhadap elektron, maka kelebihan energi ini akan berubah menjadi energi kinetik untuk melepaskan elektron.
9 2.3 Transformasi Lorentz Kaitan antara dan yang rasional memenuhi : dengan menyatakan faktor pembanding yang tak tergantung dari besaran atau tetapi dapat merupakan fungsi. Pemilihan parsamaan (2.15) sebagai alternatif transformasi didasarkan pada pertimbangan-pertimbangan sebagai berikut : a) Persamaan tersebut linear terhadap x dan, sehingga suatu kejadian dalam kerangka bersesuaian dengan kejadian tunggal dalam kerangka, seperti seharusnya. b) Bentuk persamaan tersebut cukup sederhana, sehingga pemecahannya mudah dipahami. v Gambar 2.2. Kerangka acuan S dan Kerangka acuan S Menurut postulat pertama relativitas khusus, maka persamaan fisika harus berbentuk sama dalam kerangka dan, seperti Gambar (2.2), sehingga kaitan sebagai fungsi dan dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
10 sedangkan pada arah koordinat y dan z memenuhi persamaan : Koordinat dan tidak sama, hal ini dapat dilihat dengan mensubstitusi yang diperoleh dari persamaan (2.15) ke persamaan (2.16) diperoleh : Dari persamaan ini diperoleh : Persamaan (2.15), (2.16) hingga persamaan (2.20) merupakan transformasi koordinat yang memenuhi postulat relativitas khusus. Pada saat, titik asal kedua kerangka dan berada pada tempat yang sama. Menurut persamaan awal juga, dan pengamat pada masing-masing koordinat melakukan pengukuran kelajuan cahaya yang menuju ke titik itu. Kedua pengamat harus mendapatkan kelajuan yang sama yaitu c. Dalam kerangka S : sedangkan dalam kerangka : substitusi dan pada persamaan (2.15) dan (2.20) ke persamaan (2.22), dihasilkan : Kemudian dihitung nilai x :
11 Rumusan di atas sama dengan yang diberikan oleh persamaan (2.21) yaitu jika kuantitas dalam tanda kurung sama dengan satu, sehingga : Akhirnya diperoleh nilai : dengan memasukkan nilai ke persamaan (2.15) diperoleh persamaan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam kerangka terhadap pengukuran yang sesuai yang dilakukan dalam kerangka : 2.4 Momentum Anguler Orbital Dalam fisika klasik, momentum anguler partikel dengan momentum p, dan posisi rdinyatakan dengan Operator momentum anguler orbital dapat diperoleh dengan menggantikan r dan pdengan operator yang sesuai untuk posisi dan momentum, dan, dimana sehingga Komponen Cartesian adalah
12 Namun, momentum anguler bukan pada satu dimensi, sehingga komponen,, dan kuadrat dinyatakan sebagai Karena X, Y dan Z masing-masing komut, begitu juga dengan, dan dan karena,, diperoleh Dengan cara yang sama, diperoleh 2.5 Momentum Anguler Spin Keberadaan spin pertama kali diteliti oleh Stern dan Gerlach tahun 1922 dengan menggunakan atom perak (Ag). Perak mempunyai 47 elektron, 46 di antaranya membentuk distribusi muatan simetris yang sferis dan elektron yang ke-47 menempati orbita 5s. Bila atom perak pada keadaan dasar, momentum anguler orbital totalnya adalah nol,. Pada percobaan Stern-Gerlach, atom perak melewatimedan magnetik nonhomogen. Bila dalam percobaan, medan meagnetik dianggap searah sumbu z, secara klasik akan diperoleh pita kontinyu sekitar. Menurut teori gelombang Schrodinger, bila atom memiliki momentum anguler orbita, akan terjadi perpecahan menjadi bilangan diskrit (ganjil) komponen. Andaikan gerakan atom pada keadaan dasar, hanya ada satu titik yang dapat ditangkap oleh layar, dan apabila awan elektron menepati keadaan 5p ( ) akan terdapat 3 titik pada layar. Secara eksperimen, gerakan atom menurut prediksitidak seperti fisika klasik maupun teori gelombang Schrodinger. Mengatasi hal ini. Goudsmith dan Uhlenbeck mengemukakan pendapatnya tahun 1925, selain momentum anguler orbital, elektron memiliki momentum anguler
13 intrinsik, yang tidak seperti momentum anguler orbital. Hal ini dinamakan dengan momentum anguler spin. Tidak seperti momentum anguler orbital, spin tidak dapat digambarkan dengan operator diferensial. Dari teori klasik elektromegnetik, momen dipol magnetik orbital diperoleh dari gerak orbital partikel bermuatan q Di mana L adalah momentum anguler orbital partikel, m adalah massa dan c adalah kecepatan cahaya. Dengan cara yang sama, diperoleh analisis gerakan spin elektron sebagai momen dipol magnetik spin Dengan analogi momentum anguler orbital, partikel yang bercirikan 2 bilangan kuantum, bilangan kuantum orbital dan bilangan kuantum azimuth ( ). Momentum anguler spin jugan menjadi ciri 2 bilangan kuantum tersebut.