Gr Pohon n Implmntsiny lm rp prsoln Amir Munth NIM 13505041 Prorm Stui Tni Inormti, Solh Tni Eltro n Inormti, Institut Tnoloi Bnun Jl. Gnsh 10, Bnun E-mil : i115041@stunts.i.it..i Astr Mlh ini mmhs tntn stui Gr Pohon n implmntsi lm ri ontoh prsoln srhn. Gr Pohon mrupn Gr t-rrh trhuun yn ti mnnun siruit. Dlm mlh ini r pohon i titi rtn p pohon inr yitu pohon yn rrt msiml 2. Kt uni: pohon, tr, n, hil, r, prnt, pohon inr, lvl, un, r 1. Pnhulun 1.1. Konsp Pohon Pohon iinisin si sutu r t rrh trhuunn (onnt unirt rph) yn ti mnnun rnin srhn. Pohon lh ntu husus ri sutu r yn ny itrpn untu ri prlun. Mislny strutur ornissi sutu prushn, silsilh sutu lur, sm sistm uur sutu prtninn, n itn imi sutu molul lh nis r yn trolon si pohon. P pohon, simpulsimpul yn rrt stu inmn un (lv), snn simpul yn rtny lih sr rip stu inmn simpul n (rnh no) tu simpul intrnl (intrnl no) n umpuln pohon-pohon yn trpishn stu sm lin isut hutn (orst). 5. G ti mnnun siruit n pnmhn stu sisi p r n mmut hny stu siruit. 6. G trhuun n smu sisiny lh mtn. ontoh pohon : () itn imi 1.2. Sit-sit Pohon Torm. Misln G = (V, E) lh r trrh srhn n umlh simpulny n. M, smu prnytn i wh ini lh ivln: 1. G lh pohon. 2. Stip psn simpul i lm G trhuun nn lintsn tunl. 3. G trhuun n mmilii m = n 1 uh sisi. 4. G ti mnnun siruit n mmilii m = n 1 uh sisi. A D A B D D () prtninn sistm uur
1.3 Trminoloi p Pohon Brr h i l m h i 1.3.1. An (hil tu hilrn) n Orntu (prnt) n lh simpul stlh sutu simpul lm pohon, i ri mr its ithui,, n lh n-n simpul, n orn tu lh simpul slum sutu simpul lin lm stu pohon i lh orntu ri nn itu l m 1.3.5. Drt (r) Drt suh simpul lh umlh uppohon tu umlh n p simpul trsut, i yn imsun isini lh rt wh tu lur. Ji p mr its rt lh 3, rt lh 2, rt lh stu n rt lh 0. Drt suh pohon lh rt msimum ri smu simpul rt pohon itu sniri. Pohon i ts rrt 3 1.3.6. Dun (l) 1.3.2. Lintsn (pth) Lintsn lh lur yn hrus itmpuh ri sutu simpul simpul linny, pnn lintsn itntun ri simpul sl. i ri mr pohon its ithui lintsn ri lh,,, n pnn lintsn ri lh 3. h i 1.3.3. Sur nun (silin) Sur nun lh simpul yn mmpunyi orntu yn sm. Ji ri mr its ithui lh sur nun, ttpi, un sur nun, rn orntu mr r. 1.3.4. Uppohon (sutr) Uppohon tu sutr lh pohon yn intu nn mmoton pohon yn suh Dun lh simpul plin uun lm suh pohon. Ji un ti mmpunyi n n rrt 0. Simpul h, i,,,, l, n m lh un. 1.3.7. Simpul Dlm (intrnl nos) Simpul yn mmpunyi uppohon tu n isut simpul lm. Simpul,,,, n lh simpul lm. l m 1.3.8. Ars (lvl) n Tint tinin (hiht) tu Klmn (pth) Ars msimum ri sutu pohon isut tini tu lmn pohon trsut. Pohon i wh mmpunyi tini 4.
Ars 2. Prutn (routin) psn p rinn omputr. 3. Multist 0 1 2 h i 3 l m 4 () Routr Suntwor () 2. Tip Pohon 2.1. Pohon Mrntn Pohon mrntn ri r trhuun lh upr mrntn yn rup pohon. Pohon mrntn iprolh nn mmutus siruit i lm r. Shin stip r trhuun mmpunyi plin siit stu uh pohon mrntn n r t-trhuun nn omponn mmpunyi uh hutn mrntn yn isut hutn mrntn (spnnin orst). ontoh : () Jrinn omputr, () Pohon mrntn multist 2.2. Pohon Brr r Simpul n un Aplisi Pohon Mrntn 1. Jln trminimum yn mnhuunn smu ot Sutu r inmn pohon rrh il rh rusuny iin n sutu pohon rrh inmn pohon rr (root tr) il tpt stu simpul yn rrt msu 0, n smu simpul lin rrt msu 1. simpul rrt msu 0 inmn r, simpul rrt lur 0 inmn un, snn simpul yn rrt msu 1 ttpi rt lurny ti 0 isut simpul n. p mr i ts simpul lh r, simpul-simpul, lh simpul n snn simpul-simpul,,, n lh un. Simpul isut n (hil) ri simpul il rusu ri, lm hl ini simpul isut yh (prnt) ri simpul. Bil simpul
mmilii n li m n ri simpul mrupn turunn (snnt) ri simpul,,, rn lintsn rrh ri simpulsimpul trsut simpul n ri. Sliny, simpul-simpul,, n isut lluhur (nstor) ri simpul n ri. Bil lm mnmr sutu pohon rr, n sutu simpul n sllu itmptn i whny, m tn pnh rusu pt iin s. Torm 1 omtri pohon Bil (T,) lh pohon rr (T lh rlsi n lh r) m: - Ti silus lm T Gmr i wh unlh sutu pohon rr rn sutu silus ri - - mli. - mrupn stu-stuny r ri T Ti r slin p sutu pohon. V6 V7 V7 Gmr i ts unlh pohon rr rn mmpunyi 2 r pohon yitu n.
- Tip simpul i T uli mmilii rt msu stu snn rrt msu 0.Gmr i smpin unlh sutu pohon rr rn rny () rrt msu 1 n simpul lin yn rrt msu 2 yitu. Torm 2 - Irrlxiv Stip simpul ti rlsi nn simpul itu sniri.gmr i ts unlh pohon rr rn simpul rlsi nn iriny sniri. - Asymmtri Rlsi yn tri ntr simpul unlh mrupn rlsi ol-li (rlsi stu rh). Gmr i smpin un pohon rr rn V 2 n V 5 rlsi ol li.
- Ji (, ) T n (, ) T, m (, ) T Bil rlsi nn n il rlsi nn, m ti mmilii rlsi nn. Torm 3 Bil (T, v o ) lh pohon rr n v T m : T(v) u pohon rr nn r v. T(v) u sutr ri T nn wl v. () Pohon Trnr Sutr T(V 1 ) () Pohon Binr trtur Suh pohon rr yn simpul nny mmilii plin ny m n (msiml), isut nn pohon m-r (m-ry tr).dn suh pohon m-r itn trtur il stip simpul nny tpt mmilii m n. ontoh: uunn ntr nyy simpul n nn nyny un p sutu pohon m-r trtur is it liht p ontoh riut. Misln suh turnmn, p stip prtninn mnunn sistm uur. A 16 lu psrt turnmn, shin p hir turnmn hny trsis stu tim yn mni ur. Bil it tunn wl prtninnny lm ntu ri, ini mrupn ontoh suh pohon inr trtur imn stip simpul n tpt mmilii 2 n. M it pt mnmun hw umlh prtninn yn ilnsunn lh 15 prtninn (stu lih siit rip umlh lu psrt). () Pohon Binr
JUARA urutn n iri tu n nn pun in. Prhtin mr iwh ini, u ontoh ini mrupn pohon inr yn r. Bil i mnytn ny simpul n, n t mnytn nyny un, m iprolh huunn : i = t 1 hsil ini pt iprlus untu pohon m-r trtur linny mni : 2.3. Pohon trurut (m 1) i = t 1 Pohon trurut (orr tr). lh pohon rr yn urutn n-nny pntin. lm hl ini urutn is i inisin sniri. ontoh : 1 1 2.4.1. Pnnlusurn Pohon Binr Pnlusurn pohon inr 3 mm : 1. Prorr Kununi r Tlusuri n iri Tlusuri n nn 2. Inorr Tlusuri n iri Kununi r Tlusuri n nn 3. Postorr Tlusuri n iri Tlusuri n nn Kununi r ontoh : 2 3 4 3 4 2 5 6 7 8 9 8 9 6 5 7 10 10 2.4. Pohon Binr Pohon inr mrupn nis pohon m-r yn simpul nny mmilii msiml u n (m = 2). Krn n ri sutu n msiml hny u, m n n ini inmn n n iri tu n n nn. Dlm pohon inr, n iri n nn ini in (untu pohon sr umum ti). Bun hny nny s, hn h i Prorr : ---h--i---i---l Inorr : h----i-------l Postorr : h--i------l--- l
2.4.2. Pohon inr onon iri tu nn pohon onon iri (unr-lt) tu pohon onon nn lh pohon yn nny hny mnuu slh stu rh. ontoh : A Gr inr trurut ini mmpunyi lmhn yitu ti is mmpunyi u uh simpul yn sm. Klmhn ini is itsi nn mmri pnh (ountr) i stip simpulny. Dlm pmormn sotwr nn strutur t pohon inr trurut mrupn slh stu strutur untu mmprpt pnrin rn ti prlu mn smu t. ontoh: B D 2.4.3. Pohon Binr Simn Pohon inr simn lh pohon nn tini uppohon iri n tini uppohon nn yn simn, yitu r msiml 1. ontoh yn nr : 2.4.5 Pohon Brll ontoh yn slh: Pohon rll lh Pohon yn istip simpul mmpunyi trnn yn iunn untu mninisin hw irm trsut iunn untu tuun trtntu. Mislny iunn untu mrprsntsin lowhrt p prorm, iunn p pnunn snri rnti p ++, pnylsin prmslhn shri hri n siny. Ll iunn untu mmri trnn p simpul, simpul trsut mmpunyi unsi trtntu. ontoh : 2.4.4. Pohon Binr Trurut Pohon inr trurut (inry srh tr) lh pohon inr nn turn imn oot n iri ri sutu simpul hrus lih il ri oot simpul trsut n oot n nn ri sutu simpul hrus lih sr ri oot simpul trsut.
3. Implmntsi Pohon 1. Butlh ontoh n prtninn spol nn sistm uur yn iiuti olh 10 lu imn p hir turnmnt trsis 1 psrt si ur!, n tntun umlh prtninn yn tri! Jwn : Bn prtninn sistm uur lh ontoh pohon inr trtur, shin it pt mmut ontoh nny si riut : ini rrti tuuh ilnn trsut hrus iumlhn 3 li n pohon pnumlhnny pt imrn si riut : X4 X1 X2 X3 X5 X6 X7 B F X6 X7 A B D E F G X4 X5 Dlm pohon inr rlu i = t 1, imn i mnytn ny simpul n n t mnytn nyny un. Dnn rumus i ts m pt ithui nyny prtninn = 8 1 = 7 prtninn. 2. Bil suh omputr pt mnhitun 3 uh ilnn slius nn suh instrusi, rp instrusih yn iutuhn untu mnumlhn 7 uh ilnn? Jwn : Untu pohon m-r rlu (m 1 )i = t 1 Shin il itrpn lm sol ini : (m 1 )i = t 1 (3 1 )i = 7 1 i = 3 X1 X2 X3 3. Bil R inp sutu pohon n tip rlsi p R ittpn A m tntunlh r pohon itu, itntun A = {,,,,, } B = {(,), (,), (,), (,)} Jwn : rrti r pohon itu lh 4. Butlh suh pohon sprsi rsrn sprsi prix i wh ini : (7 + ( 6 2 ) ) ( x ( y 4 )
Jwn : pohon ) : h i 7 + 6 2 y 4 5. Tlusurilh pohon inr riut sr prorr, inorr, postorr! x 6. Gmrn pohon rll untu mnri r r ri x 2 + x + = 0 nn,, n mrupn msun ri usr! Jwn: P lowhrt ri prorm pnrin ri r r prsmn urt, yn mnpt input,, imn ti vril trsut iunn p prsmn x 2 + x + = 0. Prtm ilun pnrin prmtr D untu mnntun ph hsilny rup ilnn rl, iminr tu rl n sm niliny. Kti pilihn trsut iunn si simpul. Prormny : Muli Pnlrsin vril ; ; (input ri usr) D = 2 4.. i D > 0 thn o r rny nyt o X 12 = (- ± D 1/2 ) / 2. o slsi i D < 0 thn o r rny iminr o X 12 = (- ± i.(-d) 1/2 ) / 2. o slsi ls o rny sm o X 12 = - / 2 o slsi Jwn : h Prorr ( r n iri n nn ) : h i Inorr ( n iri r pohon n nn ) : h - i Postorr ( n iri n nn r i Pohon rll srhn Bin,,, x 1, x 2, = rl ; ; I D > 0 I D < 0 Els X 12 = rl X 12 =? n X 12 = X 12 =? n X 12 = sm X 12 =? n
Pohon rll lnp DAFTAR PUSTAKA [1] Munir, Rinli. (2006). Ditt Kulih IF2153 Eisi Kmpt. Prorm Stui Tni Inormti, Solh Tnio Eltro n Inormti, Institut Tnoloi Bnun. [2] Lim, Inrini. (2006). Ditt Kulih IF2182 Strutur Dt. Prorm Stui Tni Inormti, Solh Tnio Eltro n Inormti, Institut Tnoloi Bnun. [3] http://www.niml.hrr./n/ Animtion7.html. Diss p tnl 22 Dsmr 2006 m 13.00 WIB [4] http://www.rinto.w.um..i/ mystuy. Diss p tnl 22 Dsmr 2006 m 13.00 WIB [5] http://www.mti.um..i/~i/ ourss/rsours/lturs/dismth mystuy. Diss p tnl 22 Dsmr 2006 m 13.15 WIB 5. Ksimpuln Ksimpuln yn pt imil ri stui n implmntsi Pohon lh r pohon mrupn r nn prinsip untu mnyrhnn mslh mslh yn is munul p r p umumny. Gr pohon u runsi si slh stu strutur yn snt us i sutu prorm.