PERBANDINGAN LUAS ANTARA SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL

PERBANDINGAN LUAS ANTARA SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL Yulia Rahmi 1*, Hasriati 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen JurusanMatematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya 28293 Indonesia *yuliarahmi_90@yahoo.com ABSTRACT This paper discusses how to determine the length of excentral triangle sides through the relation of the excentral triangle sides and original triangle sides. Ratio between the excentral triangle area and original triangle area can be obtained by Heron formula. In addition, the paper also discusses how to obtain the comparison between the radius of incircle and radius of circumcirlcle of excentral triangle and original triangle. Keywords: collinier, comparation of area, comparation of incircle radius, comparationof circumcircle radius, excentral triangle. ABSTRAK Artikel ini membahas bagaimana menentukan panjang sisi segitiga excentral menggunakan hubungan antara sisi segitiga excentral dengan sisi segitiga asal perbandingan luas segitiga excentral dengan segitiga asal menggunakan formula Heron. Pembahasan ini dilanjutkan dengan menentukan perbandingan jari-jari lingkaran dalam segitiga excentral dengan segitiga asal perbandingan jari-jari lingkaran luar segitiga excentral dengan segitiga asal. Kata kunci : kolinieritas, perbandingan luas segitiga, perbandingan jari-jari lingkaran dalam, perbandingan jari-jari lingkaran luar, segitiga excentral. 1. PENDAHULUAN Suatu big datar yang memiliki tiga titik sudut tiga sisi,,,, disebut segitiga ( ). Suatu memiliki titik konkurensi yaitu incenter, circumcenter, excenter yang masing-masing merupakan titik pusat dari lingkaran dalam, lingkaran luar [1, h.503], lingkaran singgung luar suatu segitiga [2, h.24]. Pada terdapat tiga buah excenter sehingga terdapat tiga buah lingkaran singgung. Misalkan titik pusat masing-masing lingkaran singgung adalah,,, sehingga dengan menghubungkan ketiga titik pusat lingkaran tersebut dapat dibentuk 1

segitiga baru yaitu yang dinamakan segitiga excentral dengan,, sebagai sisi-sisinya [4]. I Gambar 1. Segitiga excentral. Weisstein, E.W [4] telah menentukan panjang sisi luas segitiga excentral. Pada artikel ini, penulis memperoleh panjang sisi segitiga excentral dengan menggunakan dalil Phytagoras yang berlaku pada panjang garis dari excenter ke titik puncak segitiga menjumlahkan panjang garis tersebut dengan panjang garis dari excenter lainnya ke titik puncak segitiga yang sama. Selanjutnya, diperoleh luas segitiga excentral tersebut menggunakan formula Heron [5, h.302] perbandingan luasnya dengan luas. Dari luas yang diperoleh penulis juga menentukan perbandingan jari-jari lingkaran dalam lingkaran luar dari dengan. 2. SEGITIGA EXCENTRAL Masing-masing sisi segitiga excentral memuat salah satu titik puncak segitiga asal. Sisi menyinggung titik puncak pada titik, sisi menyinggung titik, sisi menyinggung titik.dibuktikan ketiga titik tersebut kolinier dengan menggunakan Teorema Transversal Menelaus [3, h.256]. Teorema1. Jika titik,, berada pada perpanjangan sisi,,, maka,, adalah kolinier jika hanya jika 2

Gambar 2. Titik,, adalah kolinier. Bukti : Perhatikan, tarik garis dari titik ke, misalkan pada titik, sedemikian hingga. Perhatikan karena maka Dari kesebangunan Sd-Sd-Sd [1, h.336] maka perbandingan sisi, sehingga diperoleh Seperti memperoleh persamaan, ditunjukkan sehingga diperoleh Dari persamaan diperoleh Jika segmen garis searah jarum jam akan bernilai positif jika berlawanan arah akan bernilai negatif maka,,, sehingga persamaan menjadi Untuk membuktikan sebaliknya, misalkan hasil kali perbandingan ketiga garis bernilai maka ditunjukkan bahwa titik,, kolinier. Misalkan garis, berpotongan dititik, sehingga titik,, kolinier dengan dengan menggabungkan persamaan Teorema Transversal Menelaus dengan persamaan diperoleh Diperoleh, maka titik titik merupakan titik yang sama. Jadi titik,, adalah kolinier. Pada bagian ini, Teorema Transversal Menelaus digunakan untuk membuktikan bahwa titik,, kolinier, begitu juga dengan titik,, serta titik,,. Pada Gambar 1, perhatikan. Tarik garis sejajar dari titik ke, misalkan pada titik, sedemikian hingga. Selanjutnya, perhatikan, 3

karena maka Dari kesebangunan Sd-Sd-Sd, maka sisi, sehingga diperoleh perbandingan Seperti memperoleh persamaan, ditunjukkan sehingga diperoleh Dari persamaan diperoleh Sehingga dapat disimpulkan bahwa titik,, adalah kolinier. Dengan cara yang sama maka titik,, serta titik,, adalah kolinier. Kemudian, ditentukan panjang sisi-sisi,,,, menggunakan hubungan sisi segitiga excentral dengan segitiga asal. Gambar 3. tegak lurus terhadap perpanjangan sisi. Pada misalkan panjang sisi,, dari Gambar 3 garis merupakan jari-jari lingkaran singgung,, Dari persamaan diperoleh 4

Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik diluar lingkaran mempunyai panjang yang sama [1, h. 454], sehingga dengan Dengan menjumlahkan persamaan diperoleh Sehingga Untuk mengetahui panjang, misalkan maka Dengan menggunakan persamaan diperoleh karena nilai menyatakan nilai maka Dari persamaan, dapat ditentukan panjang menggunakan dalil Phytagoras, sehingga Berdasarkan formula Heron, maka nilai luas pada berlaku Dengan mensubstitusikan persamaan ke diperoleh Dengan cara yang sama memperoleh persamaan, untuk panjang diperoleh Dengan menjumlahkan persamaan maka 5

Dengan menggunakan cara yang sama memperoleh persamaan diperoleh 3. PERBANDINGAN LUAS ANTARA SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL Pada bagian 2 telah diperoleh panjang sisi-sisi segitiga excentral. Akan digunakan formula Heron untuk menentukan luas. Misalkan merupakan setengah keliling maka Untuk memudahkan dalam menentukan luas, misalkan Substitusikan persamaan,, ke maka diperoleh Selanjutnya akan ditentukan luas sehingga diperoleh dengan menggunakan formula Heron, Dengan mensubstitusikan persamanaan,, ke maka diperoleh 6

Substitusikan persamaan,, ke maka diperoleh Dari persamaan dapat dinyatakan, perbandingan luas antara segitiga excentral dengan segitiga asal 4. PERBANDINGAN JARI-JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL Lingkaran yang berada didalam sebarang segitiga menyinggung ketiga sisi segitiga dinamakan lingkaran dalam segitiga. Titik pusatnya adalah incenter suatu segitiga. Pada bagian ini, akan ditentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga asal segitiga excentral, kemudian akan ditentukan perbandingannya. Gambar 4. Titik merupakan titik pusat lingkaran dalam. Jarak titik terhadap ketiga sisi adalah sama yaitu, adalah jari-jari,. Selanjutnya teorema berikut memberikan persamaan umum jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga. Teorema 2. Diberikan sebarang dengan panjang sisi,,. Jari-jari lingkaran dalam dinotasikan dengan, dinyatakan dengan 7

Bukti : Pada Gambar 4, luas,,. dapat dihitung dengan menjumlahkan luas dari karena, substitusikan ke persamaan maka diperoleh Pada dengan panjang sisi,, jari-jari lingkaran dalam dinotasikan dengan maka dengan menggunakan cara yang sama dalam menentukan jari-jari lingkaran dalam, diperoleh Gambar 5. merupakan jari-jari lingkaran dalam. Akan ditentukan hubungan antara jari-jari lingkaran dalam dengan. Substitusikan persamaan ke maka diperoleh karena, maka Dari persamaan, perbandingan jari-jari lingkaran dalam antara segitiga excentral dengan segitiga asal dapat dinyatakan 8

5. PERBANDINGAN JARI-JARI LINGKARAN LUAR SEGITIGA EXCENTRAL DENGAN SEGITIGA ASAL Suatu lingkaran yang melalui ketiga titik sudut suatu segitiga dinamakan sebagai lingkaran luar segitiga. Titik pusatnya adalah circumcenter suatu segitiga. Gambar 6. Lingkaran luar dengan circumcenter. Teorema berikut memberikan persamaan umum jari-jari lingkaran luar suatu segitiga, Teorema 3. Diberikan sebarang dengan panjang sisi,,. Jari-jari lingkaran luar yang dinotasikan dengan dinyatakan dengan Bukti : Pada Gambar 6, misalkan tegak lurus terhadap merupakan garis yang melalui titik pusat, sehingga. Jika titik dihubungkan, maka karena menghadap busur setengah lingkaran sehingga karena menghadap busur maka. Dari kesebangunan Sd-Sd, diperoleh diperoleh perbandingan sisi karena maka maka Dengan menggunakan cara yang sama dalam menentukan jari-jari lingkaran luar, maka pada dengan panjang sisi-sisinya,,, jari-jari lingkaran luarnya adalah 9

Gambar 7. merupakan jari-jari lingkaran luar. Substitusikan persamaan ke sehingga diperoleh Dari persamaan perbandingan jari-jari lingkaran luar antara segitiga excentral dengan segitiga asal dapat dinyatakan 6. KESIMPULAN Semakin besar nilai sisi-sisi segitiga asal maka nilai sisi-sisi segitiga excentral akan semakin lebih besar. Sehingga luas segitiga excentral lebih besar dibanding segitiga asal. Sama halnya dengan lingkaran dalam lingkaran luar segitiga excentral segitiga asal, dengan menentukan jari-jari lingkaran segitiga tersebut diperoleh bahwa segitiga excentral akan memiliki jari-jari yang lebih besar dibanding jari-jari lingkaran dalam lingkaran luar segitiga asal. DAFTAR PUSTAKA [1] Down Jr., F.L.1964. Geometry. Addison-Wesley Publishing Company, INC., Reading. [2] Godfray, C & Siddons, A.W. 1908. Modern Geometry. Cambridge University Press, London. [3] Mashadi. 2012. Geometri. Pusbangdik. Universitas Riau. Pekanbaru. [4] Weisstein, E.W. 2013. Excentral Triangle. Math World. http://mathworld. wolfram.com/excentraltriangle.html, 18 November 2013. pk.08.05. [5] Yiu, P. 2003. Recreational Mathematics.1119 hal.http://math.fau.edu/yiu/ RecreationalMathematics.2003.pdf, 20 Desember 2013. pk. 10.50. 10