BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Regresi Perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat disebabkan oleh berubahnya variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut Untuk mengetahui pola perubahan nilai suatu variabel yang disebabkan oleh variabel lain diperlukan alat analisis yang memungkinkan untuk membuat perkiraan (prediction) nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya Teknik yang umum digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel adalah analisis regresi Analisis regresi (regression analisis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan garis lurus dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan (Mason, 1996 Hal: 489) Model matematis dalam menjelaskan hubungan antarvariabel dalam analisis regresi menggunakan persamaan regresi Persamaan regresi (regression equastion) adalah suatu persamaan matematis yang mendefinisikan hubungan antara dua variabel (Mason, 1996 Hal: 490)
Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai nilai variabel terikat (dependent) disebut persamaan regresi estimasi Persamaan regresi estimasi adalah suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui (known variable) dengan satu variabel yang nilainya belum diketahui (unknown variable) Regresi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton, pada penelitiannya terhadap manusia Penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan orang tuanya Istilah regresi pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel (tinggi badan anak) terhadap suatu variabel yang lain (tinggi orangtua) Pada perkembangan selanjutnya, analisa regresi digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut 211 Regresi Sederhana Regresi sederhana (simple regression) merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier antara satu variabel terikat dengan satu variabel bebas Variabel bebas biasanya disimbolkan dengan X, sedangkan variabel terikat disimbolkan dengan Y Variabel bebas adalah variabel yang nilai-nilainya tidak bergantung pada variabel lainnya, variabel bebas digunakan untuk meramalkan atau menerangkan nilai variabel yang lain Variabel terikat adalah variabel yang nilainya bergantung pada variabel lainnya, variabel terikat merupakan variabel yang diramalkan atau diterangkan nilainnya Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana yang menunjukkan hubungan antara dua variabel, yaitu variabel X sebagai variabel bebas dan variabel Y sebagai variabel terikat dari suatu populasi adalah sebagai berikut: (21)
Keterangan: = Variabel terikat = Variabel bebas = Jarak titik pangkal dengan titik potong garis regresi dengan sumbu Y (intercept) = Kemiringan (slope) garis regresi = Nilai kesalahan Parameter dan diduga dengan menggunakan garis regresi Bentuk persamaan garis regresi adalah sebagai berikut : (22) Keterangan: = Intersept, jarak titik pangkal dan titik potong garis regresi dengan sumbu Y = Kemiringan garis regresi Dalam hal ini: merupakan penduga titik bagi merupakan penduga titik bagi merupakan penduga titik bagi
Pendugaan dilakukan dengan mengambil contoh acak berukuran n dari suatu populasi Hasil pengamatan berupa pasangan X dan Y sebagai berikut : Jika data berpasangan tersebut digambarkan pada sumbu koordinat siku-siku, maka diperoleh gambar sebagai berikut : Y X Gambar 21 Diagram Pencar Dengan demikian diperoleh model regresi linier sederhana sebagai berikut: (23) Y X Gambar 22 Diagram Pencar, Garis Regresi dan Sisa
Pada umumnya tidak sama dengan, perbedaan antara dan dinyatakan dengan yang disebut dengan sisa (residual) Dalam hal ini: (24) Nilai dan diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least squares method) Metode kuadrat terkecil merupakan satu cara untuk memperoleh dan sebagai perkiraan dan, dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa sebagai berikut: (25) Syarat minimum adalah sebagai berikut: (26) (27) Untuk menentukan hubungan pengaruh perubahan variabel yang satu terhadap variabel yang lainnya, maka dibutuhkan peranan garis regresi Selanjutnya, dari hubungan dua variabel ini dapat dikembangkan untuk permasalahan regresi berganda
212 Regresi Berganda Regresi Berganda (multiple regression) merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier antara dua atau lebih variabel bebas dengan satu variabel terikat Variabel bebas disimbolkan dengan X, sedangkan variabel terikat disimbolkan dengan Y variabel bebas adalah variabel yang nilai-nilainya tidak bergantung pada variabel lainnya, variabel bebas digunakan untuk meramalkan atau menerangkan nilai variabel yang lain Sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainnya bergantung pada variabel lainnya, variabel terikat merupakan variabel yang diramalkan atau diterangkan nilainnya Bentuk umum persamaan regresi linier berganda yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat Y dari suatu populasi adalah sebagai berikut: (28) Keterangan: = Variabel terikat = Variabel bebas = Parameter regresi yang belum diketahui nilainya = Nilai kesalahan = 1, 2,, n Jika = 0, maka diperoleh persamaan regresi linier ganda dari suatu populasi adalah sebagai berikut: (29)
Pendugaan garis regresi populasi diatas dapat dilakukan dengan mengambil contoh acak berukuran dari populasi tersebut Model populasi diatas dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : (210) Keterangan: merupakan penduga titik bagi merupakan penduga titik bagi 22 Metode Kuadrat Terkecil Metode kuadrat terkecil (least squares method) adalah salah satu metode yang terbaik untuk memperoleh persamaan linier Persamaan ini merupakan petunjuk yang terbaik untuk menerangkan diagram pencaran data Karena setiap garis yang ditarik belum tentu melalui semua titik dalam diagram pencaran Apabila garis lurus tidak tepat pada titik-titik diagram pencaran, akan terdapat deviasi antara setiap nilai Y dan nilai yang ditunjukkan oleh garis Garis yang berdasarkan metode kuadrat terkecil menunjukkan penyimpangan tiap nilai dengan garis regresi Metode ini ditemukan oleh Adrien Legendre seorang ahli matematika Perancis pada awal abad ke 19 Dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa yang dikuadratkan, sehingga diperoleh S sebagai berikut: (211)
Dengan syarat minimum adalah sebagai berikut: (212) (213) (214)
(215) Dari persyaratan minimum diatas, menghasilkan suatu kumpulan persamaan normal sebagai berikut: (216) 23 Metode Numerik Metode numerik adalah suatu teknik penyelesaian yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi perhitungan dan dilakukan secara berulang-ulang dengan cara manual atau bantuan komputer Metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawaban yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan metode pendekatan(sangadji, 2008)
231 Perhitungan Parameter dengan Menggunakan Metode Numerik (Gauss Seidel) Dalam melakukan perhitungan parameter dengan menggunakan metode Gauss Seidel, proses penyelesaiannya dapat dimulai dengan nilai awal untuk sama dengan nol Nilai-nilai awal nol ini dapat dimanfaatkan untuk menghitung variabel berikutnya Menentukan nilai parameter pada regresi linier berganda dengan menggunakan metode Gauss-Seidel adalah sebagai berikut: Sehingga berlaku prosedur iterasi sebagai berikut: Iterasi 0 Iterasi 1
Iterasi 2 (217) Proses ini diulangi hingga mencapai kekonvergenan yang diinginkan Kemudian hasil hitungan iterasi yang telah diperoleh dapat dibuat dalam bentuk tabel
24 Metode Matriks Matriks didefinisikan sebagai suatu himpunan angka, variabel atau parameter dalam bentuk suatu persegi panjang, yang tersusun di dalam baris dan kolom dan diantarai oleh dua buah kurung siku atau kurung biasa Pada umumnya, matriks di notasikan dalam huruf besar sedangkan elemen-elemennya dalam hurup kecil, sebagai berikut: atau dimana: A = Matriks A [ ] atau ( ) = Notasi matriks adalah elemen dari matriks A, dimana menyatakan baris dan menyatakan kolom Misalnya: adalah elemen dari matriks A yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-1 (PUDJIASTUTI,2006) Jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut: 1 Matriks diagonal Adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar elemen diagonal utama sama dengan nol, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol 2 Matriks identitas Adalah suatu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya sama dengan nol, dan semua elemen pada diagonal utama sama dengan satu Matriks identitas yang berorde n biasanya diberi simbol I n
3 Matriks segitiga atas Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga atasnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol 4 Matriks segitiga bawah Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga bawahnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol 5 Matriks nol Adalah suatu matriks yang semua elemenya bernilai nol Matriks ini biasanya diberi simbol O dan bentuknya tidak selalu bujur sangkar 6 Matriks baris Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris Matriks ini sering disebut dengan vektor baris 7 Matriks kolom Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom Matriks ini sering disebut dengan vektor kolom 8 Matriks simetris Adalah suatu matriks bujur sangkar yang memiliki, sehingga transposenya sama dengan matriks semula 241 Tranpose suatu matrik Tranpose suatu matriks adalah merubah ordo suatu matriks dari x menjadi x Jika atau adalah transpose dari matriks, maka baris pada matriks menjadi kolom pada matriks dan sebaliknya kolom pada matriks menjadi baris pada matriks
242 Determinan Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar selalui operasi khusus Disebut operasi khusus karena dalam proses penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian Determinan dinotasikan dengan tanda Salah satu cara dalam perhitungan determinan, adalah dengan cara singkat Cara singkat yang lazim dikenal untuk menghitung determinan dari matriks adalah dengan menggunakan metode sarrus Caranya dengan menempatkan elemen-elemen pada dua kolom pertama disebelah kanan notasi determinan sebagai berikut: 243 Invers Matriks Invers matriks sering disebut dengan matriks kebalikan Biasanya dituliskan sebagai berikut: jika A adalah suatu matriks bujur sangkar maka merupakan invers matriksnya
244 Perhitungan Parameter dengan Menggunakan Metode Matriks (Invers Matriks) Nilai parameter pada regresi linier berganda dapat ditentukan dengan menggunakan metode matriks Jika banyaknya peubah bebas adalah, maka model regresi populasi dinyatakan dengan: (218) Keterangan: = Variabel terikat = Variabel bebas = Parameter regresi yang belum diketahui nilainya = Nilai kesalahan Pendugaan garis regresi populasi diatas dapat dilakukan dengan mengambil contoh acak berukuran n dari populasi tersebut Model regresi diatas dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut: (219) Keterangan: = Variabel terikat = Variabel bebas = Parameter regresi yang belum diketahui nilainya
Dalam hal ini: merupakan penduga titik bagi merupakan penduga titik bagi Dengan menggunakan persamaan matriks (220) Dengan (221) Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode untuk mendapatkan nilainilai vektor dengan meminimumkan adalah sebagai berikut: (224)
Langkah-langkah untuk menentukan nilai koefisien dari parameter pada regresi linier berganda adalah sebagai berikut: Langkah 1 Menghitung nilai matriks dengan cara sebagai berikut: (225) Langkah 2 Menghitung nilai determinan matrik dengan cara sebagai berikut: (226) Langkah 3 Mencari Adjoint matriks, dimana: (227)
Langkah 4 Mencari invers matriks dengan cara sebagai berikut: (228) Langkah 5 Mencari nilai matriks dengan cara sebagai berikut: (229) Sehingga untuk memperoleh nilai koefisien dari sebagai berikut: adalah dengan cara (230)
25 Perhitungan Simpangan Baku dari Model Persamaan (SUDJANA,2002 hal 93) Ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalah simpangan baku atau deviasi standar Pangkat dua dari simpangan baku disebut varians Untuk sampel, simpangan baku disimbolkan dengan, sedangkan untuk populasi disimbolkan dengan Varians untuk sampel dan populasi Pada umumnya, nilai-nilai koefisien regresi dalam bentuk vektor matriks adalah sebagai berikut: bervarias dan variansnya dari (231) Karena umumnya tidak diketahui, maka diduga dengan, sehingga perkiraan varians adalah: Keterangan: = Varians dari kesalahan pengganggu = Banyaknya observasi = Banyak variabel bebas observasi dapat dihitung langsung dari dengan nilai regresi yaitu selisih antara nilai
26 Interval Kepercayaan Sehubungan dengan Regresi Linier Berganda Jika simpangan baku populasi tidak diketahui dan ukuran sampel kurang dari 30, maka dugaan selang bagi rataan populasi ditentukan dengan menggunakan sebaran t dan jika ukuran sampel cukup besar, rataan populasi ditentukan dengan menggunakan sebaran data z untuk menghitung estimasi interval yang telah ditaksir oleh titik Selang kepercayaan (1-α) 100% bagi adalah sebagai berikut: (233) Jika cukup besar, maka: (234) = diagonal pada baris ke- kolom ke- dari 27 Hipotesis Hipotesis berasal dari kata hipo dan tesis yang berasal dari bahasa Yunani Hipo berarti di bawah, kurang atau lemah dan tesis berarti teori atau proposisi Jadi, secara umum hiportesis dapat didefinisikan sebagai asumsi atau dugaan atau pernyataan sementara yang masih lemah kebenarannya tentang karateristik populasi Oleh karena itu hipotesis perlu di uji kebenarannya Pengujian hipotesis dilakukan berdasarkan hasil sampel yang diambil dari populasi Adapun jenis hipotesis adalah sebagai berikut: 1 Hipotesis penelitian Dalam rangka membuktikan atau pengujian benar atau tidaknya suatu hipotesis penelitian (pernyataan penelitian), maka dilakukan pengujian secara statistik Pada pengujian ini digunakan hipotesis statistik
2 Hipotesis statistik Hipotesis statistik merupakan pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi Ada dua jenis hipotesis statistik, yaitu: a Hipotesis nol atau nihil ( ) Istilah nol atau nihil menunjuk tidak adanya perbedaan pada populasi akan selalu dituliskan dengan tanda kesamaan, sehingga spesifik pada nilai tunggal b Hipotesis alternatif atau tandingan ( ) Merupakan hipotesis tandingan atau isinya berlawanan dengan hipotesis Hipotesis yang mengandung pengertian sama pada pasangan dan adalah: 1, 2 3 4 Hipotesis yang mengandung pengertian maksimum pada pasangan dan adalah: Hipotesis yang mengandung pengertian minimum pada pasangan dan adalah:
Langkah-langkah uji hipotesis adalah sebagai berikut: 1 Tentukan hipotesis dan, melawan salah satu alternatif 2 Tentukan taraf signifikan/taraf nyata α 3 Tentukan uji statistik yang sesuai dan lakukan perhitungan uji statistik berdasarkan data sampel sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat Regresi JKR k RKR Galat JKG n-p RKG Total JKT n-1 F hitung 4 Tentukan wilayah kritis atau wilayah penolakan berdasarkan nilai α Tolak jika F hitung F tabel Terima jika F hitung F tabel 5 Keputusan uji statistik adalah menolak atau menerima 6 Kesimpulan akhir