Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk menentukn persmn hiperol, mislkn kit pilih titik-titik fokus F dn F terletk pd sumu-. Sedngkn sumu- diletkkn di tengh-tengh segmen gris FF. Mislkn kit tentukn titik fokusn dlh F (-c, 0) dn F(c, 0) sedngkn selisih jrk konstn tertentu dlh. (liht gmr 5.1). Q(, ) P(, ) F (-c, 0) F(c, 0) Gmr 6.1 Ltihn 6 C 31
Jik (, ) merepresentsikn titik pd hiperol, mk dri definisi diperoleh PF' PF = ( ( c)) ( c) = ( c) = ( c) + ( + c) + = ( c) + + 4 ( c) + 4 + c + c + = c + c + + 4 + 4 ( c) -4 + 4c = 4 ( c) - + c = ( c) ( c) = - + c c + c + = c c + c = c c Dlm segitig PFF terliht hw PF ' < PF + FF' PF' PF < FF' < c Ltihn 6 C 3
< c c > 0 Kren c dlh positif, mk is dignti dengn ilngn positif lin, seut sehingg dimn = c. Ini merupkn entuk ku persmn hiperol. Kedu sumu koordint sumu- dn sumu- dlh sumu simetri pd hiperol dn (, 0) dlh titik-titik potong dengn sumu-. Dlm hl ini tidk memotong sumu-, se untuk = 0 diperoleh, ng mn tidk d ilngn rel ng memenuhi persmn di ts. Sumu- (ng memut du titik dri hiperol) diseut sumu trnversl (trnsverse is) dn sumu- diseut sumu sekwn (conjugte es). Titik potong hiperol dengn sumu trsversl diseut titik ujung (dlm hl ini (, 0)) dn perpotongn kedu sumu simetri diseut pust hiperol. Jrk ntr kedu titik ujung dlh dn diseut sumu mor dn esrn diseut sumu minor. Dlm hl ini pnjng sumu mor tidk hrus leih esr dri sumu minor. Hl ini ered pd persmn ellips. Skets grfik persmn hiperol dn posisi titik-titik (, 0), ( c, 0), dn (0, ) dpt diliht pd gmr 6. erikut. Ltihn 6 C 33
(0, ) (-, 0) (, 0) F (-c, 0) F(c, 0) (0, -) Gmr 6. Gris = 0 diseut persmn gris simtotik dri hiperol. Teorem 6.1: Titik (, ) erd pd hiperol ng mempuni fokus ( c, 0) dn titik-titik ujung (, 0) jik dn hn jik memenuhi persmn Ltihn 6 C 34
dimn = c. Pernn sumu- dn sumu- dlm entuk grfik kn dintkn dlm teorem erikut. Teorem 6.: Titik (, ) erd pd hiperol ng mempuni fokus (0, c) dn titik-titik ujung (0, ) jik dn hn jik memenuhi persmn dimn = c. Dri teorem 6. dn 6. di ts, hw sumu mor sejjr dengn sumu ng vrieln erhrg positif. Contoh 1: Selidiki dn ut skets grfik dri persmn 9 16 Jw: Jik kit perhtikn terliht hw = 9, 6, dn c = + = 5. Hiperol ini mempuni pust (0, 0), titik-titik ujung ( 3, 0), dn titik fokus ( 5, 0). Persmn gris simtotik hiperol di ts dlh 3 4 = 0. Pnjng sumu mor = 6 sejjr sumu- dn pnjng sumu minor = 8. Skets grfik dpt diliht pd gmr 6.3 diwh ini. Ltihn 6 C 35
(0, 4) (-3, 0) (3, 0) F (-5, 0) F(5, 0) (0, -4) Gmr 6.3 Contoh : Jw: Selidiki dn ut skets grfik persmn 16 9 + 144 = 0. Kit uh persmn 16 9 + 144 = 0 ke dlm entuk ku, itu 16 9 + 144 = 0 9 16 44 16 9 Ltihn 6 C 36
Dri persmn terkhir terliht hw 6, = 9, dn c = + = 5. Hiperol ini mempuni pust (0, 0), titik-titik ujung (0, 4), dn titik fokus (0, 5). Persmn gris simtotik hiperol di ts dlh 4 3 = 0. Pnjng sumu mor = 8 sejjr sumu- dn pnjng sumu minor = 6. Skets grfik dpt diliht pd gmr 6.4 diwh ini. F(0, 5) (0, 4) (-3, 0) (3, 0) (0, -4) F (0, -5) Gmr 6.4 Contoh 3: Tentukn persmn hiperol ng fokus ( 4, 0) dn titik-titik ujung (, 0). Ltihn 6 C 37
Jw: Kren fokus ng dierikn terletk pd sumu- mk entuk ku dri persmn hiperol ng dicri seperti pd teorem 6.1. Dri titik fokus ng dierikn mk diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh = dn = c 6 4. Jdi persmn ng dicri dlh 4 1 3 Untuk memperoleh persmn hiperol ng leih umum, mislkn didkn trnslsi pust sumu koordint ke titik (h, k), mk diperoleh persmn hiperol menjdi ( h) ( k ) Untuk c = +, persmn di ts dlh persmn hiperol dengn pust di (h, k), titik-titik fokus (h c, k) dn titik-titik ujung (h, k) Hl ini dintkn dlm teorem erikut. Ltihn 6 C 38
Teorem 6.3: Titik (, ) erd pd hiperol ng mempuni pust (h, k), fokus (h c, k) dn titik-titik ujung (h, k) jik dn hn jik memenuhi persmn ( h) ( k ) dengn = c (liht gmr 6.5). (h, k + ) (h -, k) (h +, k) F (h -c, k) (h, k) F(h+c, k) (h, k - ) Gmr 6.5 Teorem 6.4: Ltihn 6 C 39
Titik (, ) erd pd hiperol ng mempuni pust (h, k), fokus (h, k c) dn titik-titik ujung (h, k ) jik dn hn jik memenuhi persmn ( h) ( k ) dengn = c (liht gmr 6.6). Ltihn 6 C 40
F(h+c, k) (h, k + ) (h -, k) (h -, k) (h, k) (h, k - ) F (h -c, k) Gmr 6.6 Contoh 4: Seuh hiperol mempuni persmn 9 4 36 8 + 68 = 0 Tentukn pust, titik ujung, titik fokus dn gmr grfik hiperol terseut. Jw: Ltihn 6 C 41
Kit uh entuk persmn di ts ke dlm entuk ku seperti pd teorem 6.3 tu teorem 6.4. 9 4 36 8 + 68 = 0 9 36 4 8 = -68 9( 4 + 4) 4( + + 1) = -68 + 36-4 9( ) 4( + 1) = -36 4( + 1) 9( ) = 36 ( 1) 9 ( ) 4 Dri persmn terkhir diperoleh informsi h =, k = -1, = 9, dn = 4. Dengn demikin c = + = 9 + 4 3. Menurut teorem 6.4 dptlh disimpulkn hw hiperol ng terjdi erpust di (, -1), titik-titik ujungn (, -1 + 3) = (, ) dn (, -1 3) = (, - 4), titik fokusn dlh (, -1 + 13 ) dn (, -1 13 ). Skets grfik dpt diliht di gmr 6.7 F(,-1+ 13 ) (, ) Ltihn 6 C 4
(0,-1) (,-1) (4,-1) (, -4) F (,-1 13 ) Gmr 6.7 Ltihn 6 C 43
Sol-sol: Pd sol 1 4 tentukn pust, titik ujung, titik fokus, dn ut skets grfikn. 1. 4 9 + 36 = 0. 4 5 10 5 = 0 3. 9 1 36 7 = 0 4. 18 16 + 180 3 396 = 0 5. 9 4 18 4 63 = 0 6. 4 40 + 95 = 0 7. 16 9 + 54 5 = 0 8. 4 9 4 18 6 = 0 9. 9 16 + 36 + 3 14 = 0 10. 9 4 + 90 + 3 + 15 = 0 Pd sol 11 13 tentukn persmn hiperol dengn informsi ng dierikn dn ut skets grfikn. 7. Tentukn persmn hiperol ng slh stu titik fokus (0, 0), jrk ntr kedu titik fokus 10 dn sumu mor erjrk 6 sert sejjr dengn sumu- (d du jwn) 8. Tentukn persmn hiperol ng mempuni sumu sekwn di, meninggung sumu- di (0, -), dn sumu minor erjrk 10. Ltihn 6 C 44
9. Tentukn persmn hiperol ng mempuni titik ujung (0, 6), dn fokus (0, 10). Ltihn 6 C 45