Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 71 75 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK SUCI SARI WAHYUNI, DODI DEVIANTO, HAZMIRA YOZZA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Adalas, Kampus UNAND Limau Mais Padag, Idoesia, sucisariwahyui 25@yahoo.com, ddeviato@yahoo.com, hyozza@gmail.com Abstract. Let X be a sequece of radom variables which have limited mea ad variace ad also S = Σ i=1 X i, the the weak law of large umber stated that S E[S ] 0 i probability, other variatio of the weak law of large is; if X is a sequece of radom variables that distributed radomly ad idetically with mea µ i limited variace, the S µ i probability. Some papers proved the weak law by usig aalysis properties of radom variable S. I this paper the law is is proved by usig characteristic fuctio. Kata Kuci: The weak law of large umber, coverget i probability, characteristic fuctio 1. Pedahulua Hukum Bilaga Besar (The Law of Large Number) adalah salah satu teorema petig pada kajia teori peluag. Beroulli adalah orag pertama yag mejelaska hukum bilaga besar. Semetara Poisso juga megkaji hukum bilaga besar da meamakaya dega La loi des Grad Nomber (The law of Large Number). Selai Beroulli da Poisso, matematikawa laiya yag juga megembagka The Law of Large Number adalah Chebysev, Markov, Borel, Catelli da Kolmogorov. Mereka meghasilka apa yag kita keal dega The Weak Law of Large Number da The Strog Low of Large Number. Hukum Bilaga Besar meggambarka stabilitas dari peubah-peubah acak dalam jumlah besar. Dalam Hukum Bilaga Besar diyataka bahwa jika diberika suatu sampel acak dari suatu sebara dega mea da variaya terbatas, maka rata-rata sampel aka medekati rata-rata populasi. Hukum Bilaga Besar mejelaska tetag perilaku jumlah parsial S = Σ i=1 X i dari barisa peubahpeubah acak {X i }, i = 1, 2,,. Pada dasarya, perbedaa atara Hukum Lemah Bilaga Besar da Hukum Kuat Bilaga Besar tergatug kepada kekovergea S E[S ]. Jika S E[S] koverge i probability yaitu lim P ( S E[S ] > ε) = 0 maka hukum ii disebut sebagai Hukum Lemah Bilaga Besar da jika S E[S] 71
72 Suci Sari Wahyui dkk. koverge almost surely yaitu lim ( S E[S ] ) = 0 maka hukum ii disebut sebagai Hukum Kuat Bilaga Besar. Variasi lai dari Hukum Lemah Bilaga Besar adalah jika X adalah barisa peubah acak yag terdistribusi secara bebas da idetik dega mea µ pada varia yag terbatas, maka S µ i probability. Hukum ii telah dibuktika dalam beberapa referesi dega cara megaalisis perilaku peubah acak S da hubugaya dega µ. Selai dega cara tersebut aka diterapka pola pembuktiaya dega megguaka fugsi karakteristik. Fugsi karakteristik adalah salah satu jeis trasformasi yag serig diguaka pada teori peluag da statistik. Fugsi karakteristik dari suatu peubah acak X, diotasika dega ϕ X (t), didefiisika sebagai ϕ X (t) = E[e itx ] di maa e itx = cos(tx) + i si(tx), < t < da i uit imajier.terlihat bahwa fugsi karakteristik idetik dega fugsi pembagkit mome M X (t) = E[e tx ] dega meambahka i pada bagia ekspoeya. Kajia tetag Hukum Lemah Bilaga Besar serta variasiya sagat mearik utuk dikaji karea keterpakaiaya yag sagat luas dalam membatu pembuktia teorema tertetu, pedugaa parameter populasi serta aplikasiya dalam bidag matematika terapa. Dalam tulisa ii aka dikaji tetag pembuktia Teorema Hukum Lemah Bilaga Besar da pembuktiaya dega megguaka Fugsi Karakteristik. 2. Pembuktia Teorema Hukum Lemah Bilaga Besar Dega Megguaka Fugsi Karakteristik Berikut ii aka dibahas Teorema Hukum Lemah Bilaga Besar kemudia aka dibuktika dega megguaka Fugsi Karakteristik, dimaa Defiisi Fugsi Karakteristik sebagai berikut : Defiisi 2.1. [3] Misalka X adalah suatu peubah acak dega fugsi kepekata peluag f(x) da fugsi sebara kumulatif F (x). Fugsi karakteristik ϕ X (t) dari peubah acak X didefiisika sebagai ϕ X(t) = E[e itx ] = e itx df (x) = e itx f(x)dx, di maa t R,i = ( 1) da e itx = cos tx + i si tx. Defiisi 2.2. [1] Suatu barisa peubah acak X dikataka koverge i probability ke peubah acak X, jika utuk setiap ε > 0 da berlaku. lim P ( S E[S ] > ε) = 0
Pembuktia Teorema Hukum Lemah Bilaga Besar 73 Teorema 2.3. [2] Misalka {X } adalah barisa peubah acak yag terdistribusi secara bebas da idetik dega mea µ da varia yag terbatas, maka S µ i probability. Bukti. Misalka fugsi karakteristik dari peubah acak X adalah da misalka pula di maa S = S µ, sehigga ϕ X (t) = E[e itx ], S = Σ i=1x i ϕ S (t) = E[e its ] = E[e it( S µ) ] = E[e it[ X 1 +X 2 + +X µ] ] = E[e it[ X 1 +X 2 + +X µ ] ] = E[e i t [X1+X2+ +X µ] ] = E[e i t X1 e i t X2 e i t X e i t µ] ] Dari premis diketahui bahwa X 1, X 2,, X salig bebas, maka diperoleh E[e its ] = E[e i( t )X1 ]E[e (i t )X2 ] E[e i( t )X ]E[e i t ( µ) ] = ϕ X1 ( t )ϕ X 2 ( t ) ϕ X ( t )E[e itµ ] Perhatika bahwa {X } adalah barisa peubah acak yag terdistribusi secara bebas da idetik, maka fugsi karakteristikya sama, sehigga dapat ditulis sehigga utuk, maka ϕ S (t) = [ϕ( t )] e itµ, = exp [l [(ϕ( t ) e itµ )]], = exp [l [ [ϕ( t )] e itµ ]], = exp [l ϕ( t ) l e itµ ], = exp [ l ϕ( t ) itµ]. ϕ( t ) ϕ(0) = E[e(i)(0)X ] = E[e 0 ] = E(1) = 1. Dega demikia ϕ S (t) = exp[ itµ]. Perhatika bahwa ϕ S (t) = e itµ = cos 2 ( tµ) + si 2 ( tµ) = 1 = 1, karea ϕ S (t) = 1 megakibatka E[e its = 1, sehigga its = 0 atau S = 0. Hal ii berarti bahwa P (S = 0) = 1, sehigga dapat diyataka bahwa hal ii meujukka S 0 i probability adalah apabila lim P ([S 0] < ε) = 1,
74 Suci Sari Wahyui dkk. karea S = S µ maka Hal ii meujukka S lim P ([S µ] < ε) = 1. µ i probability. 3. Cotoh Peerapa Pembuktia Hukum Lemah Bilaga Besar Dega Megguaka Fugsi Karakteristik Pada Sebara Seragam Misalka X UNIF (0, 1) dega fugsi kepekata peluagya f(x) = 1, 0 < x < 1. Nilai harapa dari peubah acak X adalah E(X) = 1 2, da fugsi karakteristik dari X adalah E[e itx ] = 1 Aka dibuktika bahwa S 0 e itx dx = 1 it eitx 1 0 = 1 it eit(1) 1 it eit(0) = eit 1. it 1 2 i probability. Perhatika bahwa ϕ S (t) = E[e its ] = E[e it( S 1 2 ) ], = E[e it[ X 1 +X 2 + +X 1 2 ] ], = E[e i t X1 e i t X2 e i t X e i t 2 ] ]. Dari premis diketahui bahwa X 1, X 2,, X salig bebas, maka diperoleh E[e its ] = E[e i( t )X1 ]E[e (i t )X2 ] E[e i( t )X ]E[e i t 2 ] di maa E[e i t X ] = 1 0 ei t X dx = 1 e i t i t X 1 0 = 1 e i t i t (1) 1 e i t i t (0) = ei t 1 i t Dega demikia, dapat diyataka E[e its ] = ( e i t 1 i t )( ei t 1 i t ) ( ei t 1 i t )E[e i t 2 ] = ϕ X1 ( t )ϕ X 2 ( t ) ϕ X ( t )e i t 2 Perhatika bahwa X adalah barisa peubah acak yag terdistribusi secara bebas da idetik, maka ϕ S (t) = [ ei t 1 i t ] e i t 2, = exp [l [(( ei t 1 ) e i t 2 )]], i t = exp [ l ( ei t 1 ) i t ]. i t Sehigga utuk, maka ϕ( t ) ϕ(0) = E[e(i)(0)X ] = E[e 0 ] = E(1) = 1.
Pembuktia Teorema Hukum Lemah Bilaga Besar 75 Dega demikia Perhatika bahwa ϕ S (t) = e itµ = ϕ S (t) = exp [ i t 2 ]. cos 2 ( t 2 + si2 ( t 2 )) = 1 = 1. Karea ϕ S (t) = 1 megakibatka E[e its ] = 1, sehigga its = 0 atau S = 0. Hal ii berarti bahwa P (S = 0) = 1, hal ii meujukka bahwa S 0 i probability. Berdasarka Defiisi 2.2 maka S 0 i probability adalah bila Karea S = S 1 2, maka lim P ([S 0] < ε) = 1. lim P ([S ] < ε) = 1. Hal ii berarti S 0 i probability. 4. Kesimpula Hukum Lemah Bilaga Besar meggambarka stabilitas dari peubah-peubah acak dalam jumlah besar. Secara matematis, Hukum Lemah Bilaga Besar dapat diyataka bahwa jika {X } merupaka barisa peubah acak yag terdistribusi secara bebas da idetik dega mea µ da varia yag terbatas, da jika dega S = Σ i=1 X, maka S µ i probability. Hukum ii telah dibuktika dalam beberapa referesi dega cara megaalisis perilaku peubah acak S da hubugaya dega µ. Selai dega cara tersebut telah diterapka pola pembuktiaya dega megguaka fugsi karakteristik. Fugsi karakteristik adalah salah satu jeis trasformasi yag serig diguaka pada teori peluag da statistik. 5. Ucapa Terima Kasih Peulis meyadari sepeuhya bahwa dalam peyusua paper ii tidak terlepas dari dukuga, doroga, kerjasama maupu bimbiga dari berbagai pihak. Oleh karea itu, peulis megucapka terima kasih yag sebesar-besarya kepada bapak Dodi Deviato, ibu Hazmira Yozza, bapak Narwe, ibu Lyra Yuliati da bapak Yudi Adriasdi yag telah bersedia membaca, meelaah, da meguji askah makalah ii. Daftar Pustaka [1] Casella, G. da R. L. Berger. 1990. Statistical Iferece. Ed. Ke-1 Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, Califoria. [2] Chug, K.L. 2001. A Course I Probability Theory. Third Editio. Academy Press, Sa Diego. [3] Spiegel, M.R. 1964. Peubah Kompleks. Polytechic Istitute Resselaer.