Efek Faktor Bentuk Elektromagnetik Neutrino Pada Interaksi Neutrino Dengan Materi Mampat

Transkripsi

1 Efek Faktor Bentuk Elektromagnetik Neutrino Pada Interaksi Neutrino Dengan Materi Mampat Diajukan Untuk Melengkapi Tugas-tugas dan Syarat-syarat Memperoleh Ijazah Magister Fisika Caroline Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 004

2 Lembar Persetujuan Judul Tesis : Efek Faktor Bentuk Elektromagnetik Neutrino Pada Interaksi Neutrino Dengan Materi Mampat Nama : Caroline NPM : Tesis ini telah diperiksa dan disetujui Depok, 11 Mei 004 Mengesahkan Pembimbing I Pembimbing II Dr. Anto Sulaksono Dr. Terry Mart Penguji I Penguji II Penguji III Dr. L.T. Handoko Dr. Rachmat W. Adi Dr. M. Hikam Ketua Program Studi Fisika Pasca Sarjana FMIPA Universitas Indonesia Dr. Dedi Suyanto NIP:

3 Kata Pengantar Bismillahirrohmanirrohiim Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberi pertolongan, pengetahuan dan kekuatan kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tugas akhir berjudul Efek Faktor Bentuk Elektromagnetik Neutrino Pada Interaksi Neutrino dengan Materi Mampat ini. Tidak lupa ucapan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada: 1. Dr Anto Sulaksono sebagai pembimbing I yang telah dengan sabar membimbing penulis dalam menyusun tesis ini. Dr Terry Mart sebagai pembimbing II yang telah membekali penulis dengan pengetahuan dasar yang diperlukan dalam penyusunan tesis. Juga kepada para dosen penguji yang telah mengevaluasi karya ini.. Bapak Prof. Yohanes Surya dari Yayasan Tim Olimpiade Fisika Indonesia yang telah memberi dukungan material dan motivasi kepada penulis untuk melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi. 3. Kedua orang tua, M. Said Hendrik Kalempouw dan Yusni, kakak dan adikadik (Yuke, Harry, Andre, Jimi, Gunther), serta suami tercinta, Fred R Williams yang selalu ada dan memberi dorongan semangat dan doa untuk kesuksesan penulis. 4. Rekan seperjuangan, Parada TP Hutauruk, serta rekan-rekan di laboratorium Fisika Teori UI Depok (Julio, Freddy, Nita, Novirwan, Nowo, Ardi, dll) yang Te-O-Pe Be-Ge-Te atas segala pertolongan dan bantuannya. Jakarta, Mei 004 Penulis iii

4 Abstrak Telah dilakukan perhitungan tampang lintang differensial hamburan quasielastik neutrino dengan medium mampat. Diperoleh kesimpulan bahwa tampang lintang differensialnya baik dari kontribusi interaksi lemah, elektromagnetik, dan interferensi sangat sensitif terhadap perubahan momentum transfer q 1, energi neutrino E ν dan momentum Fermi elektron k F. Tampang lintang differensial sensitif terhadap perubahan momen magnetik neutrino µ ν tapi tidak terhadap perubahan jari-jari muatan R. Efek elektromagnetik menjadi lebih signifikan untuk q 1, E ν dan µ ν kecil dan untuk k F besar (medium semakin mampat). Kata kunci : tampang lintang differensial, faktor bentuk viii+55 hlm. : lamp. Daftar Acuan : 3 ( ) Abstract The differential cross section of quasi-elastic scattering of neutrino with dense matter has been calculated. It can be concluded that the differential cross section of weak interaction, electromagnetic and interference are sensitive to the momentum transfer q 1, neutrino energy E ν adn electron Fermi momentum k f. The differential cross section are sensitive to neutrino magnetic moment µ ν but not sensitive to charge radius R. The electromagnetic effect is significant for low q 1, E ν dan µ ν and for large k F (high density). iv

5 Daftar Isi Kata Pengantar Abstrak Daftar Isi Daftar Gambar iii iv v viii 1 Pendahuluan 1 Interaksi Neutrino Dengan Gas Elektron Termampatkan 3.1 Hamburan Neutrino Dengan Elektron di Vakum Hamburan Neutrino Dengan Elektron di Medium Termampatkan Polarisasi Vektor, Vektor-Aksial dan Aksial Kontraksi ν ΠIm µν Hasil dan Pembahasan Pengaruh Efek Elektromagnetik Untuk Jangkauan Energi Tertentu Perbandingan Antara Tampang Lintang Total Untuk Berbagai Variasi µ ν dan R Dengan Tampang Lintang Interaksi Lemah Perbandingan Antara Tampang Lintang Total dan Tampang Lintang Interaksi Lemah Untuk Berbagai Variasi k F Kesimpulan 4 v

6 Lampiran 5 A Pembuktian F µν (p, p + q) = F µν (p, p q) 5 B Penentuan Bentuk Umum Π Im µν 7 C Perhitungan F V µν, F V A µν, dan F A µν 3 C.1 Bagian Vektor C. Bagian Vektor-Aksial C.3 Bagian Aksial D Penentuan Polarisasi Vektor Longitudinal dan Transversal 34 D.1 Polarisasi Longitudinal D. Polarisasi Transversal E Penentuan Polarisasi Vektor-Aksial 37 F Penentuan Polarisasi Aksial 38 G Perhitungan Tensor Neutrino Interaksi Lemah, Elektromagnetik dan Interferensi 40 G.1 Interaksi Lemah G. Interaksi Elektromagnetik G.3 Interferensi H Perhitungan Kontraksi Bagian Vektor, Vektor-Aksial dan Aksial 4 H.1 Bagian Vektor H. Bagian Vektor-Aksial H.3 Bagian Aksial I Perhitungan Kontraksi Interaksi Lemah 44 I.1 Bagian Vektor I. Bagian Vektor-Aksial I.3 Bagian Aksial I.4 Total Kontraksi Interaksi Lemah vi

7 J Perhitungan Kontraksi Interaksi Elektromagnetik 48 K Penghitungan Kontraksi Interferensi 51 K.1 Bagian Vektor K. Bagian Vektor-Aksial K.3 Total Kontraksi Interferensi Daftar Acuan 54 vii

8 Daftar Gambar 3.1 Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi dan lemah (q 1 = 5 MeV, E ν = 10 MeV) Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi dan lemah (q 1 = 0 MeV, E ν = 40 MeV) Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi dan lemah (q 1 = 100 MeV, E ν = 00 MeV) Perbandingan tampang lintang total untuk variasi µ ν dengan tampang lintang interaksi lemah (q 1 = 5 MeV, E ν = 10 MeV, k F = 100 MeV) Perbandingan tampang lintang total untuk variasi R dengan tampang lintang interaksi lemah (q 1 = 5 MeV, E ν = 10 MeV, k F = 100 MeV) Perbandingan tampang lintang interaksi lemah untuk berbagai variasi k F (q 1 = 5 MeV, E ν = 10 MeV) Perbandingan tampang lintang total untuk berbagai variasi k F (q 1 = 5 MeV, E ν = 10 MeV) viii

9 Bab 1 Pendahuluan Eksistensi neutrino dihipotesakan pertama kali oleh Wolfgang Pauli pada tahun Hingga saat ini, neutrino merupakan salah satu partikel dasar di alam semesta yang paling banyak menimbulkan perdebatan di kalangan fisikawan. Neutrino bersama elektron (e), muon (µ), dan tau (τ) disebut lepton. Lepton bersama enam jenis partikel quark adalah pembentuk dasar semua benda di alam semesta. Neutrino pertama kali dideteksi secara eksperimental pada tahun 1956 dalam bentuk anti-partikel dan kemudian diketahui ada tiga rasa (flavor) neutrino, yakni neutrino elektron (ν e ), neutrino muon (ν µ ), neutrino tau (ν τ )1]. Saat ini diketahui bahwa neutrino muncul pertama kali sekitar 15 milyar tahun yang lalu, segera setelah kelahiran alam semesta. Sejak saat itu, alam semesta terus mengembang, mendingin dan neutrino telah mengembara ke mana-mana. Secara teoritis, neutrino sekarang banyak terdapat pada radiasi latar belakang kosmis1]. Jadi usaha untuk menyingkap misteri tentang sifat-sifat neutrino penting untuk lebih mengenal perilaku alam semesta. Dalam bidang astrofisika, interaksi neutrino dengan materi termampatkan (dense matter) berperan cukup penting misalnya pada teori pembentukan supernova dan bintang neutron muda yang mendingin, 3, 4]. Karena penampang lintang hamburan neutrino-elektron sangat kecil, maka di medium neutrino-neutrino tersebut dapat lewat dengan mudah. Ini menyebabkan tetap terjadinya kejutankejutan dalam pembentukan supernova, 5, 6]. Hamburan neutrino dengan nukleon juga penting dalam bidang astrofisika. Tetapi di laboratorium, elektron jelas merupakan partikel target yang paling ba- 1

10 nyak digunakan, 8, 18, 6] karena hamburan neutrino-elektron adalah salah satu dari sedikit kasus yang interaksinya telah diketahui dari model standar dengan meyakinkan dan perhitungan hamburannya tidak melibatkan banyak paramater bebas]. Model sederhana yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan efek banyak benda adalah gas elektron dan jika kerapatannya tinggi disebut gas elektron termampatkan. Karena bintang neutron atau supernova merupakan materi termampatkan, maka studi mengenai interaksi neutrino dengan gas elektron termampatkan menjadi relevan. Sejauh ini studi mengenai interaksi neutrino dengan materi termampatkan hanya terfokus pada reaksi arus netral],7]-11]. Akan tetapi beberapa fenomena seperti masalah neutrino matahari, neutrino atmosfer dan berbagai argumentasi astrofisika dan kosmologi menghendaki penjelasan dengan mengasumsikan neutrino mempunyai sifat di luar model standar seperti neutrino mempunyai massa dan momen magnetik13]-15],5],8]-3]. Hasil-hasil eksperimen memberikan batas bawah momen magnetik neutrino µ ν < 1, µ β 1]-14]. Di samping itu, ada indikasi neutrino mempunyai jari-jari muatan rata-rata kuadrat sebesar R = 10 3 cm 14, 15, 18]. Fakta-fakta tersebut menunjukkan relevansi pengkajian efek elektromagnetik pada interaksi neutrino dengan medium mampat. Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut. Bab kedua memaparkan dasar teori hamburan neutrino dengan elektron baik di vakum maupun di medium mampat. Bab ketiga, berisi tentang analisa hasil yang diperoleh dari perhitungan. Bab keempat memuat kesimpulan.

11 Bab Interaksi Neutrino Dengan Gas Elektron Termampatkan Interaksi antara dua partikel dapat dipelajari melalui proses hamburan. Informasi tentang interaksi tersebut dapat dilihat pada matriks transisi hamburan, M. M merupakan probabilitas untuk mendapatkan suatu keadaan akhir tertentu setelah berlalunya proses interaksi. Probabilitas interaksi ini berbanding lurus dengan tampang lintang. Tampang lintang merupakan besaran yang dapat langsung diukur secara eksperimen. Model standar minimal yang digunakan untuk menjelaskan tingkah laku neutrino adalah model standar elektro-lemah. Dari model ini diketahui bahwa untuk interaksi ν e dengan gas elektron terjadi melalui arus netral dan arus bermuatan. Sedangkan interaksi neutrino flavor lain, ν µ dan ν τ hanya melalui arus netral. Karena pada model standar neutrino tidak bermassa, hanya neutrino jenis left handed yang diijinkan berinteraksi dengan elektron (gas elektron)19]. Menurut model standar, neutrino tidak memiliki sifat elektromagnetik pada pendekatan orde rendah. Sifat elektromagnetik neutrino muncul melalui koreksi radiasi yang memberikan besaran-besaran elektromagnetik yang merupakan fungsi massa neutrino. Jika besaran-besaran ini dibandingkan dengan beberapa prediksi dari astrofisika, kosmologi dan model matahari tampak terlalu kecil1]. Oleh karena itu pendekatan paling sederhana adalah dengan menambahkan suku-suku elektromagnetik pada formulasi hamburan neutrino-elektron secara fenomenologis1, 14, 18, 7]. Berikut ini akan dilakukan perhitungan tampang lintang differensial interaksi 3

12 neutrino dengan elektron termampatkan dengan memperhitungkan faktor bentuk elektromagnetik dari neutrino..1 Hamburan Neutrino Dengan Elektron di Vakum Dalam model standar, untuk momentum transfer yang jauh lebih kecil dari massa W, kontribusi arus netral Z 0 dan arus bermuatan W ± pada matriks transisi M untuk ν e left handed dapat ditulis sebagai berikut18, 6] M W = G F U(k )γ µ (1 + γ 5 )U(k)]U(p )J µ U(p)], (.1) U(k) dan U(p) masing-masing adalah spinor neutrino dan elektron dengan arus J µ = γ µ (C V + C A γ 5 ). G F adalah konstanta kopling interaksi lemah. C V dan C A adalah konstanta kopling vektor dan aksial yang bergantung pada sudut Weinberg, θ W (sin θ W 0, 3), diberikan oleh, 11] C V C A = ±1/ (tanda + untuk ν e, tanda - untuk ν µ atau ν τ ). = sin θ W ± 1/ dan Untuk menghitung tampang lintang hamburan neutrino dengan distribusi muatan, kita harus menentukan distribusi sudut dari neutrino yang terhambur dan membandingkannya dengan tampang lintang neutrino dengan partikel titik yang sudah diketahui. Dengan demikian, tampang lintang hamburan partikel dengan distribusi muatan dapat ditulis dalam bentuk19] ( ) dσ dσ = F(q), (.) dω dω point dimana F(q) adalah faktor bentuk yang menggambarkan struktur internal dari materi (dalam hal ini adalah neutrino) dan q adalah momentum transfer antara partikel datang dan target. Sifat elektromagnetik dari neutrino Dirac dapat dideskripsikan dalam bentuk empat faktor bentuk. Matrik elemen untuk arus elektromagnetik antara neutrino untuk keadaan awal U(k) dan akhir U(k )18] ν D j (p j) J EM µ ν D i (p i) = eu(k )Γ D µ (q )U(k), (.3) 4

13 dimana Γ D µ (q ) = f 1ν (q )γ α i f ν (q )σ αβ q β m ( e + g 1ν (q ) g αβ qα q β ) γ q β γ 5 i g ν (q )σ αβ q β γ 5. (.4) m e Di sini f 1ν, g 1ν, f ν, g ν masing-masing adalah faktor bentuk Dirac, anapol, magnetik, dan listrik dari neutrino, dan q = k k. yakni Faktor bentuk f 1ν dan g 1ν berhubungan dengan distribusi muatan neutrino ρ V (r) = d 3 q (π) 3q V (q )e iq r. (.5) Secara intuitif, distribusi muatan ini dapat digambarkan sebagai muatan positif yang dikelilingi oleh awan negatif dan membentuk quasi partikel4]. Dalam batasan statis, faktor bentuk Dirac f 1ν dan anapol g 1ν berhubungan dengan jari-jari muatan vektor and axial vektor R V dan R A melalui18] f 1ν (q ) = 1 6 a q and g 1ν (q ) = 1 6 b q, (.6) dimana a dan b masing-masing adalah fungsi dari R. Untuk q 0, f ν dan g ν mendefinisikan momen magnetik neutrino µ ν = f ν (0)µ β dan dan momen dipol listrik µ e = g ν (0)µ β (suku ini melanggar simetri muatan dan paritas atau CP violation), dengan µ β = e/m e adalah magneton Bohr4, 18]. Selanjutnya persamaan (.4) dapat ditulis dalam bentuk18] Γ D µ (q ) = f mν γ µ + g 1ν γ µ γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P µ m e, (.7) dimana f mν = f 1ν + (m ν /m e )f ν dan P µ = k µ + k µ = k µ q µ. Sehingga matrik elemen untuk interaksi elektromagnetik menjadi M EM = 4πα q U(p )γ µ U(p)] { U(k ) f mν γ µ + g 1ν γ µ γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P µ ] } U(k). (.8) m e 5

14 Matrik transisi total interaksi neutrino dengan elektron adalah M TOTAL = M W + M EM = G F U(p )γ µ (C V + C A γ 5 )U(p)]U(k )γ µ (1 + γ 5 )U(k)] + 4πα q U(p )γ µ U(p)] { U(k ) f mν γ µ + g 1ν γ µ γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P µ ] } U(k). (.9) m e Probabilitas interaksi M TOTAL = M W + M EM + M WM EM + M EMM W. (.10) Suku pertama adalah kontribusi dari interaksi lemah, yaitu M W = ( GF ) L e µν Lµν(W) ν. (.11) Suku kedua merupakan kontribusi dari interaksi elektromagnet, ( ) 4πα M EM = L e q µν Lµν(EM) ν. (.1) Suku ketiga dan empat berasal dari kontribusi interferensi, dengan L e µν dan ν M W M EM + M EM M W = 8G Fπα q Le µν Lµν(INT) ν, (.13) adalah tensor neutrino dan elektron. Seperti telah disebutkan sebelumnya, tampang lintang berbanding lurus dengan probabilitas interaksi atau dapat ditulis dσ M. (.14) Substitusi persamaan (.11), (.1), dan (.13) pada persamaan (.14) menghasilkan dσ M = ( GF ) L e µν Lµν ν (W) + ( 4πα q ) L e µν Lµν ν (EM) + 8G Fπα q Le µν ν (INT). (.15) Tensor neutrino dan elektron pada persamaan (.11), (.1), dan (.13) juga dapat ditulis dalam bentuk Trace sebagai berikut. 6

15 Untuk interaksi lemah, L e µν (W) = CV Tr(p/ + m e )γ µ + (p/ + m e )γ ν ] + C V C A Tr(p/ + m e )γ µ + (p/ + m e )γ ν γ 5 ] + CA Tr(p/ + m e )γ µ γ 5 + (p/ + m e )γ ν γ 5 ]. (.16) ν (W) = Tr(k/ + m ν )γ µ (1 + γ 5 )(k/ + m ν )γ ν (1 + γ 5 )]. (.17) Untuk interaksi elektromagnetik, L e µν (EM) = Tr(p/ + m e )γ µ + (p/ + m e )γ ν ], (.18) ν (EM) { = Tr (k/ + m ν ) f mν γ µ + g 1ν γ µ γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P µ ] m e (k/ + m ν ) f mν γ ν + g 1ν γ ν γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P ν ] }. (.19) m e Untuk interferensi, L e µν (INT) = C V Tr(p/ + m e )γ µ + (p/ + m e )γ ν ] + C A Tr(p/ + m e )γ µ γ 5 + (p/ + m e )γ ν ], (.0) ν (INT) = Tr { (k/ + m ν )γ µ (1 + γ 5 )(k/ + m ν ) f mν γ ν + g 1ν γ ν γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P ν m e ] }. (.1) Sehingga secara kompak persamaan tensor elektron dan neutrino dapat ditulis sebagai L e µν = Tr(p/ + m e )Jµ(p/ e + m e )Jν] e dan L ν µν = Tr(k/ + m ν )J ν µ (k/ + m ν )Jν ν ]. Dimana verteks elektron Jµ e adalah, untuk interaksi lemah : Jµ e = γ µ (C V + C A γ 5 ), untuk interaksi elektromagnetik : Jµ e = γ µ, untuk suku interferensi : Jµ e = γ µ (C V + C A γ 5 ) dan Jν e = γ ν. 7

16 Sedangkan verteks neutrino J µ ν adalah, untuk interaksi lemah : J µ ν = γ µ (1 + γ 5 ), untuk interaksi elektromagnetik : J ν µ = f mν γ µ + g 1ν γ µ γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P µ m e, untuk suku interferensi : J ν µ = γ µ (1 + γ 5 ) dan J ν ν = f mν γ ν + g 1ν γ ν γ 5 (f ν + ig ν γ 5 ) P ν m e.. Hamburan Neutrino Dengan Elektron di Medium Termampatkan Efek korelasi dari gas elektron ada pada tensor polarisasi Π µν, sehingga perbedaan hamburan neutrino-elektron di vakum dengan di materi mampat adalah3] L e µν ΠIm µν. Dengan demikian, tampang lintang differensial per volume untuk hamburan neutrino dengan energi mula-mula E ν dan energi akhir E ν memenuhi persamaan8] 1 V d 3 σ d Ω de ν = 1 E ) ν GF ( 16π ν E ν ΠIm(W) + 8G ] Fπα q Lµν ν ΠIm(INT) µν Tensor polarisasi dapat ditulis sebagai] Dimana J e µ dan Je ν Π µν (q) = i target yang bentuk eksplisitnya adalah dengan µν + ( 4πα q ) ν ΠIm(EM) µν. (.) d 4 p ] (π) 4Tr G(p)JµG(p e + q)jν e. (.3) adalah verteks elektron dan G(p) adalah propagator partikel G(p) = g D (p)(p/ + m e ) + g F (p)(p/ + m e ), (.4) g D (p)(p/ + m e ) = iπ E p δ(p 0 E p )θ(k F p )(p/ + m e ), (.5) merupakan propagator yang bergantung pada kerapatan, yang mengakomodasi efek korelasi gas elektron0], dan g F (p)(p/ + m e ) = 1 p m e + iɛ(p/ + m e) (.6) 8

17 yang merupakan propagator fermion standar0]. Substitusi persamaan (.4) pada persamaan (.3) menyebabkan Π µν dapat ditulis dalam dua bagian sebagai berikut, Π 1 π d 4 p P µν = iπ ] δ(p (π) 4 E p (p + q) m 0 + q 0 E p+q ) e E p+q δ(p 0 E p )θ(k F p )F µν (p, p + q) + (q q), (.7) Π µν = iπ d 4 p δ(p (π) 4 0 E p )θ(k F p )δ(p 0 + q 0 E p+q ) E p E p+q θ(k F p + q )F µν (p, p + q) + (q q), (.8) dengan F µν (p, p ± q) = Tr(p/ + m e )J e µ(p/ ± q/ + m e )J e ν]. Persamaan (.7) dapat diuraikan menjadi Π 1 µν = π d 4 p P δ(p (π) 4 E p (p + q) m 0 E p )θ(k F p ) e F µν (p, p + q) + (q q) iπ d 4 p δ(p (π) 4 0 E p )θ(k F p )δ(p 0 + q 0 E p+q ) E p E p+q F µν (p, p + q) + (q q). (.9) Dengan demikian bagian imajiner dari Π µν menjadi Π Im µν = iπ d 4 p δ(p (π) 4 0 E p )θ(k F p )δ(p 0 + q 0 E p+q ) E p E p+q θ(k F p + q ) 1]F µν (p, p + q) + (q q). (.30) Dari prinsip konservasi arus q µ F µν = 0 dapat dibuktikan bahwa F µν (p, p + q) = F µν (p, p q) (pembuktian lebih lengkapnya dapat dilihat pada lampiran A), sehingga bentuk umum dari Π Im µν adalah Π Im µν = iπ d 4 p δ(p (π) 4 0 E p )θ(k F p ) E p E p+q δ(p 0 + q 0 E p+q )θ( p + q k F )F µν (p, p + q). (.31) Perhitungan lengkap hingga ke persamaan (.31) dapat dilihat pada lampiran B. 9

18 Dari verteks J e µ dan J e ν di atas dan juga persamaan (.16), (.18), (.0), dapat diketahui bahwa F µν (p, p+q) untuk interaksi lemah merupakan penjumlahan dari bagian vektor Fµν V V A, bagian vektor-aksial Fµν, dan bagian aksial Fµν A. Bentuk lengkapnya adalah sebagai berikut, F µν (p, p + q) (W) = C V F V µν (p, p + q) + C V C A F V A µν (p, p + q) + CA F µν A (p, p + q), (.3) dimana F V µν (p, p + q) = Tr(p/ + m e)γ µ (p/ + q/ + m e )γ ν ], (.33) F V A µν (p, p + q) = Tr 1 (p/ + m e)γ µ γ 5 (p/ + q/ + m e )γ ν ] + Tr 1 (p/ + m e)γ µ (p/ + q/ + m e )γ ν γ 5 ], (.34) F A µν(p, p + q) = Tr(p/ + m e )γ µ γ 5 (p/ + q/ + m e )γ ν γ 5 ]. (.35) Sedangkan untuk interaksi elektromagnetik, F µν (p, p + q) hanya terdiri dari F V µν, yaitu F µν (p, p + q) (EM) = F V µν (p, p + q)(em) = Tr(p/ + m e )γ µ (p/ + q/ + m e )γ ν ]. (.36) Untuk interferensi, F µν (p, p + q) terdiri dari bagian vektor dan bagian vektoraksial, yaitu F µν (p, p + q) (INT) = C V F V µν (p, p + q) + C A F V A µν (p, p + q). (.37) Penyelesaian Trace dari persamaan (.33), (.34), (.35), memberikan F V µν(p, p + q) = 4(p µ p ν + p µ q ν + p ν q µ p qg µν ), (.38) F V A µν (p, p + q) = 4iɛ µναβ p α q β, (.39) F A µν(p, p + q) = 4(p µ p ν + p µ q ν + p ν q µ p qg µν m eg µν ). (.40) Perhitungan lebih lengkap dari Trace di atas dapat dilihat pada lampiran C. 10

19 ..1 Polarisasi Vektor, Vektor-Aksial dan Aksial Jika persamaan (.3), (.36), dan (.37) disubstitusi ke persamaan (.31) maka akan tampak bahwa untuk masing-masing interaksi, polarisasinya adalah sebagai berikut, untuk interaksi lemah : Π Im(W) µν = CV ΠImV µν + C V C A Π Im(V A) µν + C A ΠImA µν, untuk interaksi elektromagnetik : Π Im(EM) µν = Π ImV µν, untuk suku interferensi : Π Im(INT) µν = C V Π ImV µν + C A Π Im(V A) µν. Langkah berikutnya adalah menghitung polarisasi secara eksplisit untuk bagian vektor, vektor-aksial dan aksial. Untuk memudahkan perhitungan tanpa mengurangi keumuman, dipilih kerangka sebagai berikut, q (q 0, q 1, q, q 3 ) (q 0, q, 0, 0) dan p (p 0, p 1, p, p 3 ) (E, p x, p y, p z ) dengan p x = p cosθ, p y = p sinθ cosϕ, p z = p sinθ sin ϕ19]. Maka dari persamaan (.38) akan memberikan F00 V F11 V F V F10 V = 4(p 0 p 0 + p 0 q 0 + p 0 q 0 p qg 00 ) = 4(E + Eq 0 + p q cosθ), = 4( p cos θ + Eq 0 + p q cosθ), = F33 V = 4( p sin θ cos ϕ + Eq 0 + p q cosθ), = F01 V = 4( p cosθ + E q + p q 0 cosθ). Sedangkan F0 V = F 03 V = F 1 V = F 13 V = F 0 V = F 1 V = F 3 V = F 30 V = F 31 V = F 3 V = 0. (.41) Dengan demikian, polarisasi vektor dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut, Π ImV µν = Π 00 Π Π 10 Π Π Π 33.(.4) Polarisasi vektor terdiri dari dua komponen yang tidak bergantungan, yaitu polarisasi arah longitudinal dan transversal0] dimana secara umum berlaku 11

20 q µ Π µν = 0. Konsekuensinya polarisasi longitudinal dapat ditulis sebagai Π L = q µ q Π 00 = q µ π q 3 dan polarisasi transversal dapat ditulis sebagai 1 4 (E F E ) + q 0 (E F E ) + 1 ] 3 (E3 F E 3 ), (.43) Π T = Π = Π ( 33 1 = m e 4π q + q µ 4 q + q µ ] + q µ 3 q (E3 F E 3 ) ) (E F E ) + q 0q µ q (E F E ). (.44) Perhitungan lebih lengkap dari Π L dan Π T dapat dilihat pada lampiran D. Setelah diketahui polarisasi longitudinal dan transversal dari bagian vektor, selanjutnya akan dihitung bagian vektor-aksial. Dengan cara yang serupa, dari persamaan (.39) dapat diperoleh F V A µν (p, p + q) = 4iɛ 1µ0ν (E q q 0 p cosθ). (.45) Dari substitusi persamaan (.45) ke persamaan (.31) akan memberikan dengan Π Im(V A) µν = iɛ αµ0ν q α Π V A (.46) Π V A = iq µ 8π q 3(E F E ) + q 0 (E F E )]. (.47) Perhitungan lebih detil dari Π V A dapat dilihat pada lampiran E. Langkah berikutnya adalah menghitung polarisasi aksial. Caranya serupa dengan sebelumnya, yaitu dengan menuliskan persamaan (.40) sebagai berikut, F A µν(p, p + q) = F V µν(p, p + q) + g µν F A dengan F A = 8m e. (.48) Jika persamaan (.48) disubstitusi ke persamaan (.31), maka akan diperoleh hubungan Π ImA µν (q) = Π ImV µν (q) + g µν Π A dengan Π A = i π q m e(e F E ). (.49) 1

21 Dengan demikian polarisasi aksial juga dapat ditulis dalam bentuk polarisasi longitudinal dan transversal, Π ImA L Π ImA T (q) = ΠImV L (q) = Π ImV T (q) + g µνπ A = Π ImV L (q) + Π A, (.50) (q) + g µν Π A = Π ImV T (q) Π A. (.51) Sekali lagi perhitungan lebih detilnya diberikan di lampiran F... Kontraksi ν ΠIm µν Setelah seluruh polarisasi bagian vektor, vektor-aksial dan aksial diketahui selanjutnya akan dihitung kontraksi ν Π Im µν dengan terlebih dulu menyelesaikan Trace tensor neutrino pada persamaan (.17), (.19), (.1) untuk masing-masing interaksi yaitu, untuk interaksi lemah ν (W) = 8k µ k ν (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k q) iɛ αµβν k α k β ], (.5) untuk interaksi elektromagnetik ν (EM) = 4(f mν + g 1ν )kµ k ν (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν k q] 8if mν g 1ν ɛ αµβν k α k β f ν + gν (k q)4k µ k ν (k µ q ν + q µ k ν ) + q µ q ν ], (.53) m e untuk interferensi ν (INT) = 4(f mν + g 1ν ) k µ k ν (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k q) iɛ αµβν k α k β ]. (.54) dengan k adalah vektor empat momentum dari neutrino awal dan q adalah vektor empat dari momentum transfer, penurunan lengkap perhitungan Trace di atas diberikan pada lampiran G. Selanjutnya dihitung kontraksi ν Π Im µν untuk bagian vektor, vektor-aksial dan aksial, yang hasilnya adalah untuk bagian vektor ν Π ImV µν = q µ q L00 Π L + L T Π T dengan L T = L + L 33, (.55) 13

22 untuk bagian vektor-aksial untuk bagian aksial ν ΠIm(V A) µν = 8q µ E q 0]Π V A, (.56) ν ΠImA µν = ν ΠImV µν + 8qµ Π A. (.57) Dimana perhitungan lengkap untuk sampai ke persamaan (.55), (.56), (.57) ada pada lampiran H. Akhirnya total kontraksi diperoleh dengan menjumlahkan kontribusi dari masingmasing interaksi. Sebelumnya akan ditampilkan bentuk kompak dari masingmasing kontribusi, yaitu (a) Kontraksi ν ΠIm µν Interaksi Lemah Dengan menggunakan tensor neutrino untuk interaksi lemah persamaan (.5)] dan karena polarisasi untuk interaksi lemah dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan dari bagian vektor, vektor-aksial dan aksial, maka total kontraksi ν ΠIm µν dari interaksi lemah adalah ν Π Im(W) µν = C V ν Π ImV µν + C V C A ν Π Im(V A) µν + C A ν Π ImA µν. (.58) Kemudian dengan menggunakan persamaan (.55), (.56), (.57) bentuk di atas dapat ditulis sebagai dengan ν Π Im(W) µν = 8q µ(a W R 1 + R + B W R 3 ), (.59) R W1 = (C V + C A)(Π L + Π T ), R W = C V Π T + C A(Π T Π A ), R W3 = C V C A Π V A, A W = E(E q 0) + 1 q µ q, B W = E q 0. 14

23 Lampiran I memuat penurunan lengkapnya. (b) Kontraksi ν ΠIm µν Interaksi Elektromagnetik Telah diketahui bahwa kontraksi untuk interaksi elektromagnetik hanya terdiri dari bagian vektor. Dengan menggunakan persamaan tensor neutrino persamaan (.53)] dan polarisasi elektronnya untuk bagian vektor persamaan (.55)], maka akan diperoleh total kontraksi ν ΠIm µν elektromagnetik, yaitu dengan ν ΠIm(EM) µν = A EM R 1 B EM R, (.60) R EM1 = Π L + Π T, R EM = Π T, A EM = A W (bqµ a) + 1 ] bq µ qµ, ( ) 1 B EM = bq µ + a qµ, a = 4(f mν + g 1ν), b = f ν + gν. m e Penurunan lengkap ada pada lampiran J. (c) Kontraksi ν ΠIm µν Interferensi Selanjutnya dengan menggunakan tensor neutrino untuk interferensi persamaan (.54)] dan berdasarkan polarisasi elektronnya dapat diperoleh total kontraksi, sebagai ν Π Im(INT) µν = C V ν Π ImV µν + C A ν Π Im(V A) µν. (.61) Dengan menggunakan persamaan (.55) dan persamaan (.56) kontraksi ν ΠIm µν interferensi dapat ditulis sebagai ν ΠIm(INT) µν = 4q µã(a INTR 1 + R + B INT R 3 ), (.6) 15

24 dengan R INT1 = C V (Π L + Π T ), R INT = C V Π T, R INT3 = C A Π V A, A INT = A W = E(E q 0) + 1 q µ q, B INT = B W = E q 0, ã = f mν + g 1ν. Penurunan lengkap dapat dilihat pada lampiran K. 16

25 Bab 3 Hasil dan Pembahasan Dengan diketahui kontraksi Π Im µν dari interaksi lemah, interaksi elektromagnetik dan interferensi maka dapat diperoleh total tampang lintang differensial per volume untuk hamburan quasi-elastik neutrino-elektron dengan gas elektron termampatkan, yaitu 1 V d 3 σ d Ω de ν = 1 E ν 16π E ν ( GF ) ν ΠIm(W) µν + ( 4πα q ) ν ΠIm(EM) µν + 8G ] Fπα q Lµν ν ΠIm(INT) µν. (3.1) Parameter yang digunakan adalah sebagai berikut: Konstanta kopling interaksi lemah, G F = 1, (MeV). Konstanta kopling vektor neutrino-elektron, C V = 0, 946. Konstanta kopling aksial untuk neutrino-elektron, C A = 0, 5. Konstanta struktur halus α = e /4π 1/137. Berikut ini diperlihatkan hasil perhitungan tampang lintang differensial neutrino sebagai fungsi dari energi transfer q 0 dalam orde 10 9 (MeV-cm) Pengaruh Efek Elektromagnetik Untuk Jangkauan Energi Tertentu Pada Gambar 3.1, 3., dan 3.3 diperlihatkan perbandingan tampang lintang untuk interaksi lemah, elektromagnetik, interferensi dan total dengan variasi mo- 17

26 7 Total Weak EM Int 6 5 d 3 σ/vd ΩdE ν (10-9 /MeV-cm) q 0 (MeV) Gambar 3.1: Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi dan lemah (q 1 = 5 MeV, E ν = 10 MeV) 100 Total Weak EM Int 500 Total Weak EM Int d 3 σ/vd ΩdE ν (10-9 /MeV-cm) d 3 σ/vd ΩdE ν (10-9 /MeV-cm) q 0 (MeV) q 0 (MeV) Gambar 3.: Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi dan lemah (q 1 = 0 MeV, E ν = 40 MeV) Gambar 3.3: Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi dan lemah (q 1 = 100 MeV, E ν = 00 MeV) 18

27 mentum transfer q 1 = 5, 0, 00 MeV dan energi neutrino E ν = 10, 40, 00 MeV. Tampang lintang total merupakan penjumlahan kontribusi interaksi lemah, elektromagnetik dan interferensi. Di sini digunakan konstanta momen magnetik neutrino-elektron µ ν = dalam satuan magneton Bohr, µ β = e/m e. Angka ini dipilih karena konsisten dengan eksperimen1]-14]. Sedangkan besar jari-jari muatan R = 10 3 cm dipilih karena berdasarkan ekstraksi hasil eksperimen Homestake dan Kamiokande prediksinya dalam jangkauan tersebut14, 15, 18], jika dikonversi ke dalam satuan MeV 1 dimana 1 cm = 5, MeV 1, maka diperoleh R MeV 1. Dari ketiga gambar tersebut tampak bahwa tampang lintang sangat sensitif terhadap perubahan q 1 dan E ν. Tabel berikut ini memuat nilai tampang lintang maksimum untuk tiap nilai q 1 dan E ν yang dipilih. q 1 E ν 1 V d 3 σ 10 9 (MeV-cm) 1 ] d Ω de ν (MeV) (MeV) Int. Lemah Int. EM Interferensi Total ,4 0,11 0,73 6, ,40 0,19 11,63 101, ,68,08 49,66 641,31 Pada Gambar 3.1 dengan q 1 = 5 MeV dan E ν = 10 MeV, tampak bahwa kontribusi efek elektromagnetik cukup signifikan. Sedangkan pada Gambar 3. dengan q 1 = 0 MeV dan E ν = 40 MeV, kontribusi efek elektromagnetik tidak begitu dominan. Pada Gambar 3.3 dimana q 1 = 100 MeV dan E ν = 00 MeV kontribusi interaksi elektromagnetik sangat kecil dibandingkan interaksi lemah. Dapat disimpulkan bahwa interaksi elektromagnetik penting diperhitungkan untuk q 1 dan E ν rendah. 3. Perbandingan Antara Tampang Lintang Total Untuk Berbagai Variasi µ ν dan R Dengan Tampang Lintang Interaksi Lemah Pada Gambar 3.4 dan 3.5 diperlihatkan hasil perhitungan tampang lintang total untuk variasi nilai momen magnetik neutrino µ ν dan jari-jari muatan, R. 19