KONTROL OPTIMAL UNTUK DISTRIBUSI TEMPERATUR DENGAN PENDEKATAN BEDA HINGGA Nama Mahasiswa : Asri Budi Hastuti NRP : 1205 100 006 Dosen Pembimbing : Drs. Kamiran, M.Si. Abstrak Kontrol optimal temperatur fluida suatu kontainer sangat diperlukan untuk menjaga kondisi benda yang tersimpan didalamnya. Permasalahan kontrol muncul untuk mengendalikan perubahan temperatur pada dinding-dinding kontainer. Hal ini disebabkan pada bagian ini terjadi reaksi antara partikel yang bergerak pada bagian padat dinding tersebut akibat pengaruh dari luar partikel yang bergerak pada bagian dalam kontainer (fluida). Oleh karena itu, penelitian ini bertujuan untuk mengontrol temperatur pada dinding-dinding kontainer sedemikian hingga temperatur pada bagian tersebut sesuai kondisi temperatur yang diharapkan. Untuk menyelesaikan permasalahan kontrol diatas maka kontainer digambarkan dalam domain dimensi dua mempunyai model matematika berupa persamaan differensial parsial. Analisis terhadap fungsional biaya dilakukan untuk memberikan spesifikasi dari sistem. Dari analisis fungsional ini muncul masalah kontrol optimal konstrain berupa persamaan differensial parsial. Oleh karena itu bentuk konstrain ini akan diubah menjadi persamaan linier menggunakan pendekatan beda hingga. Melalui pendekatan beda hingga, masalah kontrol optimal menjadi masalah kontrol optimal diskrit konstrain linier. Selanjutnya, masalah kontrol optimal ini diselesaikan menggunakan metode pengali Lagrange. Kata kunci : Optimal control, Beda hingga, pengali Lagrange 1. Pendahuluan Kontrol temperatur didalam suatu kontainer sangat diperlukan untuk menjaga kondisi benda yang ada didalamnya. Salah satu contohnya, sebuah lemari pendingin yang digunakan untuk menyimpan bahan makanan. Kondisi yang diharapkan adalah pada saat derajat temperatur mencapai puncak, bahan makanan tersebut tidak rusak, tidak berkurang kandungan nutrisinya tidak kehilangan rasa serta kualitasnya. Permasalahan kontrol muncul untuk mengendalikan perubahan temperatur pada dinding-dinding kontainer. Hal ini disebabkan pada bagian ini terjadi reaksi antara partikel yang bergerak pada bagian padat dinding tersebut akibat pengaruh dari luar partikel yang bergerak pada bagian dalam kontainer (fluida). Oleh karena itu, penelitian ini bertujuan untuk mengontrol temperatur pada dinding-dinding kontainer sedemikian hingga temperatur pada bagian tersebut sesuai kondisi temperatur yang diharapkan. Permasalahan yang muncul selanjutnya adalah bagaimana meminimalkan selisih temperatur yang sebenarnya temperatur yang diharapkan. Selisih ini adalah kesalahan pada sistem yang dikaji. Sehingga masalah kontrol optimal pada penelitian ini adalah mendapatkan kontrol yang dapat meminimalkan kesalahan tersebut. Pendekatan elemen hingga digunakan untuk mengubah konstrain masalah kontrol optimal yang berbentuk persamaan differensial parsial menjadi bentuk persamaan matrik. Setelah diperoleh persamaan matrik ini maka masalah kontrol optimal bisa diselesaikan metode pengali Lagrange. 2. Kontrol Optimal Pekerjaan utama dari kontrol optimal adalah menentukan sinyal kontrol yang menyebabkan proses (plant) memenuhi beberapa konstrain mengoptimalkan (maksimum atau minimum) indeks performansi yang dipilih. Perumusan masalah kontrol optimal memerlukan: 1. Deskripsi matematika (model) Bentuk fisik plant digambarkan dalam bentuk sistem persamaan differensial linier atau sistem persamaan differensial taklinier. Sebagai contoh, diberikan suatu plant Fungsi merupakan fungsi linier atau fungsi taklinier, variabel x disebut variabel state (keadaan) u adalah variabel kontrol. 2. Spesifikasi Indeks Performansi Dalam masalah optimal kontrol, pemilihan indeks performansi didasarkan pada indeks yang memberikan spesifikasi pada sistem (plant). Selanjutnya, indeks performansi ini dinamakan fungsional biaya. 3. Konstrain (batasan) Variabel kontrol variabel keadaan bisa tidak diberi batasan (unconstrained) bisa diberikan batasan (constrained)
berdasarkan pada kondisi fisik dari sistem. Contoh masalah constrained, diberikan kontrol state sedemikian hingga + menunjukkan nilai maksimum minimum yang harus dicapai. Selanjutnya, masalah kontrol optimal konstrain bisa dinyatakan merupakan batas aliran keluar. Kontroller (pengontrol) diletakkan sepanjang sumber energi (pemanas atau pendingin) bisa diletakkan di bagian padat atau bagian fluida. Gambar domain tersebut diberikan berikut ini: Domain merupakan cost function. Domain 3. Penyelesaian Masalah Kontrol Optimal 3.1. Permasalahan Kontrol Pada umumnya, sistem kontrol temperatur menggunakan sistem loop tutup balikan. Kontrol sistem tersebut digambarkan pada block diagram berikut ini. Input + Sumber energi Actuator Pengukuran Gambar 1. Kontrol sistem balikan Proses Pada Gambar 1, yang menjadi input adalah temperatur yang diinginkan. Salah satu contoh yang menggambarkan permasalahan kontrol temperatur fluida ini adalah temperatur didalam lemari pendingin. Lemari pendingin mempunyai pengatur temperatur (temperatur yang diinginkan). Segkan thermostat (actuator) digunakan untuk mengukur temperatur yang sebenarnya mesin kompressor sebagai sumber energi. Segkan lemari pendingin disini adalah sebagai environment (lingkungan). Selanjutnya, untuk menyelesaikan permasalahan kontrol ini, bentuk fisik kontainer akan digambarkan domain dua dimensi. 3.2. Domain Permasalahan Secara matematika, bentuk fisik dari kontainer digambarkan dalam domain dua dimensi. Domain tersebut ditentukan sebagai berikut (Shenoy dkk, 1996): domain R 2 terdiri dari subdomain padat subdomain fluida yang dipisahkan oleh interface Γ w yaitu lapisan batas antara bagian padat bagian fluida domain. Sehingga bisa ditulis Domain padat dibatasi oleh, segkan domain fluida dibatasi oleh merupakan batas aliran masuk Gambar 2. Domain Pada Gambar 2, dinding-dinding kontainer tersebut adalah batas Γ w. Sehingga, tujuan dari penelitian ini adalah mengontrol temperatur sepanjang Γ w sedemikian hingga temperatur pada batas tersebut sesuai kondisi temperatur yang diharapkan. Perubahan panas atau energi yang terjadi pada domain digambarkan dalam model matematika. Akan tetapi pada penelitian ini proses pemodelan diabaikan. Model matematika yang digunakan untuk menggambarkan domain ini, menggunakan model yang sudah diperoleh sebelumnya. Model matematika yang dimaksud adalah Persamaan Navier-Stokes. Agar permasalahan pada Tugas Akhir ini memenuhi persamaan Navier-Stokes, aliran fluida dalam domain diberikan asumsiasumsi berikut ini: 1. Aliran fluida stationer (tidak bergerak) 2. Incompressible (takmampumampat), 3. Aliran stedi, artinya kondisi di titik manapun, aliran fluida tidak berubah terhadap waktu. 4. Aliran konveksi. Variabel variabel yang terkait permasalahan kontrol pada penelitian ini adalah kecepatan u, tekanan p, temperatur T, kontrol g. Aliran fluida pada memenuhi persamaan Navier-Stokes berikut ini: di, (1) Konstrain incompressible di, (2) syarat batas pada, (3) pada, (4) pada, (5) Perubahan energi yang terjadi pada domain dinyatakan persamaan panas pada domain padat persamaan energi
untuk aliran fluida. Persamaan tersebut diberikan berikut ini. di, (6) di, (7) syarat batas pada, (8) pada, (9) Q 1 Q 2 diasumsikan diketahui. Segkan konstanta k 1 k 2 bergantung pada koefisien konduktivitas termal, kerapatan, panas jenis pada saat volume konstan µ merupakan koefisien viskositas dari fluida. 3.3. Analisis Fungsional Biaya Salah satu alasan dasar menggunakan kontrol balikan adalah memperbaiki kesalahan (error) pada sistem. Kesalahan pada sistem ini merupakan hal yang penting dalam pengukuran performansi dari sistem. Oleh karena itu, indeks yang dititikberatkan pada penelitian ini adalah error pada sistem. Pada penelitian ini, error tersebut adalah selisih antara temperatur yang diperoleh dari proses temperatur yang diharapkan atau dinyatakan : Kesalahan sistem : Temperatur yang diperoleh dari model (proses) : Temperatur yang diharapkan. Selain pada error sistem, pengukuran juga dilakukan untuk variabel kontrol pada. Variabel kontrol disini berupa temperatur sepanjang pada. Oleh karena itu, kontrol perubahan kontrol terhadap posisi dibatasi (diatur) agar temperatur yang diperoleh dari proses sedekat mungkin temperatur yang diharapkan artinya errornya sekecil mungkin. Pengaturan kontrol ini disertai parameter regulasi. Parameter ini diberikan agar sistem tetap berada pada penyimpangan yang masih bisa diterima dari kondisi yang diharapkan karena gangguan pada kontrol tidak bisa diprediksikan. Jadi, indeks performansi pada penelitian ini adalah (10) Selanjutnya, indeks performansi ini disebut sebagai fungsional biaya. Dari analisis fungsional biaya ini, masalah kontrol optimal pada penelitian ini adalah (P1) Pada penelitian ini, masalah kontrol optimal (P1) ini diasumsikan saja. Masalah kontrol optimal pada penelitian ini diasumsikan well posed. 3.4. Pendekatan Beda Hingga Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal konstrain berupa persamaan differensial parsial adalah malalui pendekatan beda hingga. Dengan metode beda hingga, plant yang berbentuk persamaan differensial parsial akan diubah menjadi bentuk diskrit. 3.4.1. Diskritisasi Domain Pada penelitian ini, domain dibagi menjadi beberapa elemen yang sama (seragam). Diskritisasi domain tersebut diberikan pada Gambar 2. Gambar 3 l xj : lebar dari tiap elemen l yj : tinggi dari tiap elemen N e : banyaknya elemen N n : banyaknya global node N g : banyaknya node pada batas N s : banyaknya node pada subdomain n x : banyaknya grid pada koordinat x n y : banyaknya grid pada koordinat y Jika domain didiskritisasi menjadi n x n y maka N e = nxn y. Melalui pendekatan beda hingga ini, variabel kontrol g yang terletak sepanjang menjadi diskrit yaitu node-node yang terletak sepanjang bisa dinyatakan dalam bentuk vektor t menunjukkan transpose dari vektor. Selain itu temperatur pada domain
menjadi temperatur pada setiap nodenya yang diberikan oleh vektor. adalah temperatur pada node i. 3.4.2. Formulasi Beda Hingga Persamaan Pengendali Tujuan dari formulasi beda hingga pada persamaan pengendali ini adalah untuk mendapatkan matrik global. Pada tiap subdomain berlaku persamaan pengendali yang berbeda sehingga pengerjaan formulasi beda hingga diberikan secara terpisah terlebih dahulu. 3.4.2.1. Formulasi Padat Beda Hingga Dari persamaan (6) digunakan metode Beda Hingga Maju diperoleh 2 1 x Q l ti 1, j 4ti, j + ti+ 1, j + ti, j 1 + ti, j+ 1 = k1 Selanjutnya karena temperatur T pada tiap node diberikan 2 Q1l r = x, sehingga diperoleh matriks k1 P θ = r (11) 3.4.2.2. Formulasi Fluida Beda Hingga Dari persamaan (7) digunakan metode Beda Hingga Maju diperoleh Matrik Q dibentuk menggunakan aturan yang sama pada matrik P. Jadi, melalui pendekatan beda hingga, persamaan energi menjadi persamaan linier yang berbentuk Q θ = s (12) Matrik P Q matrik hanya berlaku untuk masing-masing subdomain padat subdomain fluida. Pada bagian interface ada keterhubungan antar elemen-elemen pada. Sehingga, penyusunan matrik global analog penyusunan matrik untuk dua elemen sebelumnya. Secara umum, jika domain dibagi menjadi maka. Matrik global dikerjakan program Matlab. Namun, untuk memudahkan notasi dari matrik global, misalkan persamaan matrik global yang diperoleh adalah : Matrik global : Vektor bobot global. 3.4.3. Diskritisasi Cost Function Untuk diskritisasi fungsi obyektif J, diperkenalkan himpunan dari elemen E w yaitu elemen yang berada pada interface himpunan elemen-elemen E c yang berada pada batas kontrol. Dengan menggunakan koordinat lokal dari temperatur struktur dari grid elemen hingga, diskritisasi fungsional biaya diberikan oleh (14) Dalam (14), ξ 0 menotasikan koordinat lokal untuk elemen ke-i saat, dimana merepresentasikan koordinat-x di menotasikan koordinat lokal untuk elemen ke-i saat, adalah koordinat y pada interface. Segkan, merepresentasikan distribusi temperatur yang diharapkan, T d (.), pada interface untuk elemen ke-i. Karena pada permasalahan ini diselesaikan pada koordinat local, maka batas integral untuk tiap elemen menjadi 0 untuk node yang pertama 1 untuk node yang kedua. Tujuan penelitian ini adalah mengontrol temperatur pada batas. Sehingga, temperatur pada batas diketahui melakukan interpolasi node-node sepanjang. Untuk masing-masing elemen, interpolasi dua node tersebut adalah (15) : Temperatur elemen pada node 1 : Temperatur elemen pada node 2 : Koordinat- node 1 : Koordinat- node 2 Selanjutnya, mensubstitusikan Persamaan (15) ke suku pertama dari fungsional biaya untuk menyelesaikan integral tersebut maka akan didapatkan (13)
(16) Persamaan (16) merupakan penyelesaian untuk suku pertama dari fungsional biaya (14). Selanjutnya, cara yang sama untuk sebarang elemen di E c. Pang suku kedua ketiga dari Persamaan (14). Karena sepanjang diberikan atau, adalah node sepanjang maka nilai bisa diperoleh melakukan interpolasi dua titik yang terletak sepanjang. Sesuai syarat batas Dirichlet (10),. Seperti pada, interpolasi dua node tersebut adalah (17) : Kontrol pada node 1 : Kontrol pada node 2 : Koordinat node 1 : Koordinat node 2. Dengan mensubstitusikan Persamaan (17) ke suku kedua ketiga Persamaan (14) maka akan diperoleh. Jadi, pendekatan beda hingga, masalah kontrol optimal (P1) yang mempunyai konstrain berbentuk persamaan differensial parsial menjadi masalah kontrol optimal diskrit konstrainnya merupakan persamaan linier. Maka masalah kontrol optimal diskrit ini dapat diselesaikan metode pengali Lagrange. Dengan menggunakan metode pengali Lagrange, dari (P1) dibentuk fungsi Lagrangian yaitu. (19) Kondisi ekstrim dari Persamaan (18) adalah. (20a). (20b). (20c) Variabel pada Persamaan (20a) merupakan yang ada sepanjang batas yaitu Sehingga fungsional biaya yang digunakan adalah fungsional biaya (16). Differensiasi pada Persamaan (20a) merupakan turunan terhadap elemenelemen dari. Karena maka. Akibatnya, dari syarat batas Dirichlet diperoleh. Sehingga differensiasi dilakukan untuk komponen dari. Turunan fungsi Lagrange terhadap pada Persamaan (20a) adalah (18). 3.5. Masalah Kontrol Optimal Diskrit Melalui pendekatan beda hingga, diskritisasi dilakukan pada temperatur, persamaan pengendali juga diskritisasi terhadap cost function. Oleh karena itu, muncul masalah kontrol optimal diskrit yang bersesuaian (P1) yang diberikan berikut ini. (P1) (21a) Selanjutnya untuk Persamaan (21b), karena kontrol hanya berhubungan node yang ada pada batas kontrol maka selain node tersebut akan diabaikan. Node tersebut adalah.
Cost function yang digunakan adalah cost function (18). Differensiasi pada Persamaan (20b) merupakan turunan terhadap komponenkomponen dari. Karena maka. Sehingga differensiasi dilakukan untuk komponen dari. Jadi, differensiasi terhadap kontrol yang bersesuaian node yang ada sepanjang batas kecuali kontrol pada node atau turunan fungsi Lagrangian terhadap pada Persamaan (20b) adalah (21b) Segkan untuk (20c), turunan terhadap merupakan konstrain (DP1) sendiri yaitu. (21c) Dari Persamaan (21c) ini, akan lebih mudah untuk memperoleh nilai yaitu menggunakan. (22) Dengan mensubstitusikan Persamaan (22) ke Persamaan (21a) untuk, maka akan diperoleh bentuk persamaan, (23),, Dengan menyelesaikan Persamaan (23), akan didapat nilai dari. Namun, matrik koefisien pada Persamaan (23) mempunyai ukuran sehingga tidak mempunyai invers. Penyelesaian ini dicari menggunakan bantuan Matlab. Selanjutnya, selesaian dari Persamaan (23) disubstitusikan ke Persamaan (21b) untuk sehingga diperoleh kontrol yang optimal. Dapat dilihat dari Persamaan (21b), bentuk kontrol optimal bergantung pada besarnya parameter regulasi. Sehingga analisis beda hingga ini, tidak bisa ditentukan besarnya yang menyebabkan kontrol menjadi optimal. Jadi, untuk mengetahui kontrol optimal dari masalah kontrol optimal pada penelitian akan dikerjakan mengimplementasikan permasalahan ini dalam program Matlab. 3.6 Hasil Simulasi Untuk mengetahui pengaruh dari nilai parameter banyaknya diskritisasi, maka permasalahan kontrol optimal diselesaikan menggunakan Matlab terlebih dahulu. Berikut diberikan satu contoh kasus dua nilai parameter regulasi yang berbeda banyaknya diskritisasi yang berbeda. Contoh kasus yang diambil pada bagian ini adalah ΔT = 6 pada Ω 1 (24) 2 ΔT + ( u. ) T = 0 pada Ω 2 (25) syarat batas T = g pada Γ c (26) T = 0 pada Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 Γo n (27) Segkan kecepatan u pada Persamaan (25) merupakan penyelesaian dari persamaan Navier-Stokes yaitu v Δu + ( u. ) u + p = 0 pada Ω 2 (28) konstrain incompressible : u = 0 pada Ω 2 (29) syarat batas
u = h pada Γ c (30) u = 0 pada Γ w Γ 4 (31) u = 0 pada Γ o (32) n Jika diberikan h = ( 2y 2 + 1.5y,0) pada Γ c u=(u 1,u 2 ) maka syarat batas (29) penyelesaian dari u adalah u = ( 2y 2 + 1.5y,0). Segkan temperatur yang diharapkan adalah 1.2. Berikut ini diberikan beberapa pemgambilan nilai parameter regulasi banyaknya diskritisasi. Gambar 5. Bentuk kontrol optimal 1. =0.01 Jika domain permasalahan didiskritisasi menjadi, maka distribusi temperatur diberikan oleh Gambar 4. Gambar 4 Distribusi Temperatur Dari Gambar 4. ini, kontrol sepanjang temperatur sepanjang interface bisa dinyatakan dalam grafik dua dimensi. Untuk grafik temperatur interface, sumbu x menyatakan posisi dari setiap node pada interface. Begitu pula grafik kontrol, sumbu y menyatakan posisi dari setiap node kontrol. Gambar 6. Temperatur pada interface Dari Gambar 6. dapat dilihat bahwa temperatur sepanjang interface sudah mendekati temperatur yang diinginkan. Sebagai perbandingan maka nilai parameter regulasi yang sama, domain didiskritisasi menjadi. Berikut ini adalah distribusi temperatur sepanjang interface. Gambar 7. Temperatur pada interface
Dari Gambar 7. dapat dilihat perbedaan antara domain diskritisasi domain diskritisasi. Dengan diskritisasi, temperatur sepanjang interface juga mendekati temperatur yang diharapkan. 2. = 0.00001 Selanjutnya, diambil parameter regulasi yang lebih kecil dari =0.01 untuk mengetahui pengaruh terhadap perubahan temperatur sepanjang interface. Sama halnya sebelumnya, domain didiskritisasi menjadi. Grafik kontrol perubahan temperatur pada interface diberikan berikut ini Gambar 9. Temperatur sepanjang interface den gan Selanjutnya jika domain didiskritisasi menjadi maka bentuk kontrol temperatur sepanjang interface diberikan pada Gambar berikut. Gambar 4.8. Kontrol pada Berbeda =0.01, besarnya kontrol parameter =0.00001 naik secara signifikan, meskipun begitu besarnya kontrol ini tidak mengubah perubahan temperatur sepanjang interface yang diberikan pada Gambar berikut ini. Akan tetapi besarnya kontrol akan mempengaruhi total fungsional biaya. Semakin besar kontrol, maka semakin besar pula total fungsional biaya. Gambar 10. Kontrol pada Dari diskritisasi ini juga terlihat bahwa besarnya kontrol mengalami kenaikan yang cukup signifikan. Meskipun begitu, temperatur sepanjang interface mempunyai distribusi temperatur yang sama = 0.01. Distribusi temperatur tersebut diberikan pada Gambar berikut.
Gambar 11. Distribusi temperatur pada Jadi, dari hasil simulasi diatas, dapat diketahui bahwa besarnya parameter regulasi berpengaruh pada besarnya kontrol tetapi tidak berpengaruh pada distribusi temperatur sepanjang interface. Akibatnya, akan mempengaruhi total fungsional biaya. Segkan banyaknya diskritisasi lebih berpengaruh pada distribusi temperatur sepanjang interface. 4. KESIMPULAN Berdasarkan uraian dari bab terdahulu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Dengan metode beda hingga, kontrol optimal untuk masalah temperatur fluida didalam suatu kontainer diberikan oleh persamaan berikut kontrol diletakkan sepanjang sumbu, diketahui. 2. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa perubahan parameter regulasi δ sangat mempengaruhi besarnya kontrol sehingga mempengaruhi total dari cost function segkan banyaknya diskritisasi pada domain tidak banyak mempengaruhi total cost function. 5.DAFTAR PUSTAKA 1. Coddington, E.A Levinson, N., 1980, Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill Inc, New York. 2. Desieni, S.N, 2002, Optimal Control Systems, CRC Presses LCC, USA 3. Dorf, R.C, (1989,) Modern Control System, Addison Wesley Publishing Company, Inc,California 4. Naidu,D.S, (2003),Optimal Control Systems,CRC Press, Florida 5. Pinch, E. R. 1993. Optimal Control and The Calculus of Variations. Oxford University Press Inc., New York. 6. Segerlind, L. J, (1984), Applied FiniteElement Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York 7. Shenoy, A. R, Cliff, E.M, Heinkenschloss, M. 1996. Thermal Fluid-Control via Finite-Dimensional
Approximation. Journal of Thermophysics 96-1910. 8. Smith, G.D. 2005. Numerical Solution of Partial Differential Equations. Oxford: Clarendon Press.