SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nurdiity Athri (NDT)
Sistem Persm Lier (SPL) Sub Pokok Bhs Pedhulu Solusi SPL deg OBE Solusi SPL deg Ivers mtriks d Atur Crmmer SPL Homoge Beberp Apliksi Sistem Persm Lier Rgki listrik Jrig Komputer Model Ekoomi d li-li.
Pedhulu Persm lier dlh persm dim peubhy tidk memut ekspoesil, trigoometri (seperti si, cos, dll.), perkli, pembgi deg peubh li tu diriy sediri. Cotoh : Jik perush A membeli Lptop () d PC (y) mk i hrus membyr $ 5, sedgk jik membeli Lptop d PC mk i hrus membyr $. Represetsi dri mslh tersebut dlm betuk SPL + y = 5 + y =
Betuk umum sistem persm lier... b... b m m... m bm Dpt ditulis dlm betuk : m m m b b b m
Atu AX = B dim A dimk mtriks koefisie X dimk mtriks peubh B dimk mtriks kostt Cotoh : Perhtik bhw SPL + y = 5 + y = dpt ditulis dlm betuk perkli mtriks y 5
Solusi SPL Himpu bilg Rel dim jik disubstitusik pd peubh sutu SPL k memeuhi ili keber SPL tersebut. Perhtik SPL : + y = 5 + y = Mk { =, y = } merupk solusi SPL tersebut { =, y = } merupk buk solusi SPL itu Sutu SPL, terkit deg solusi, mempuyi tig kemugki : SPL mempuyi solusi tuggl SPL tidk mempuyi solusi SPL mempuyi solusi tk higg byk
Ilustrsi Solusi SPL deg gris pd krtesius y y = - y = (, ) (, ) merupk titik potog du gris tersebut Tidk d titik potog yg li seli titik tersebut Artiy, SPL mempuyi solusi tuggl. Artiy : SPL y = y = Mempuyi solusi tuggl, yitu =, y =
Perhtik SPL y = y = Jik digmbr dlm krtesius y y = y = Terliht bhw du gris tersebut dlh sejjr. Tk k perh diperoleh titik potog kedu gris itu Artiy, SPL TIDAK mempuyi solusi
Perhtik SPL y = y = Jik kedu rus pd persm kedu diklik ½, diperoleh persm yg sm deg pers. Pertm. Jik digmbr dlm krtesius y y = y = Terliht bhw du gris tersebut dlh berimpit. Titik potog kedu gris byk sekli disepjg gris tersebut. Artiy, SPL mempuyi solusi tk higg byk
Solusi Sistem Persm Lier deg OBE Tulis SPL dlm betuk mtriks yg diperbesr Lkuk OBE smpi mejdi esilo bris tereduksi Cotoh : Tetuk solusi dri SPL y = 5 + y = 5 Jwb : Mrtiks yg diperbesr dri SPL ~ 5 5 ~ 5 5 ~ 5 ~ 5
Tulis kembli mtriks yg diperbesr hsil OBE mejdi perkli mtriks y Solusi SPL tersebut dlh = d y =
Cotoh : Tetuk solusi (jik d) dri SPL berikut :. + c = b = b + c = 7 b. + c = b = + b = c. + c = b = + b =
. Terliht bhw solusi SPL dlh =, b =, d c = 7
b. 5 Jik dikemblik kedlm betuk perkli mtriks diperoleh : b 5 c Ii memberik + c = d b + c = 5. Deg memilih c = t, dim t dlh prmeter. Mk solusi SPL tersebut dlh : b t 5 c, dim t dlh prmeter Jdi, SPL tersebut memiliki solusi byk.
c. 5 Terliht bhw d bris ol pd mtriks koefisie tetpi mtriks kostt pd bris ke- sm deg (tk ol) b 5 c Dri bris ke- diperoleh hubug bhw. +.b =. Tk d ili d b yg memeuhi kesm ii. Jdi, SPL tersebut tidk memiliki solusi.
ELIMINASI GAUSS JORDAN ~ ~... b A Crilh solusi SPL berikut : Solusi : Mtriks bris eselo tereduksi Kolom, tidk memiliki utm X = s, = t
t s t s t s t s t s Mk, solusiy dlh ELIMINASI GAUSS JORDAN
LATIHAN Crilh solusi SPL berikut : 5 5. z y. b. 5 8 c b c b c b c. d y z w y z w y z w w
Cotoh : Dikethui SPL : + y z = y + 5z = + y + ( ) z = + Tetuk sehigg SPL :. Mempuyi solusi tuggl b. Tidk mempuyi solusi c. Solusi yg tidk terhigg
Jwb: Mtriks diperbesr dri SPL dlh. Agr SPL mempuyi solusi tuggl: 6 sehigg ~ - 5 - - 7 7 - -6 7 - ~
b. Perhtik bris ketig + y + ( 6) z = SPL tidk mempuyi solusi st 6 = d Sehigg = d. Jdi, =. c. SPL mempuyi solusi tk higg byk 6 = d = Jdi, = 7 - -6
Solusi SPL deg Mtriks Ivers Atu AX = B Klik setip rus di ts deg A A A X = A B diperoleh : X = A B Igt bhw sutu mtriks A mempuyi ivers jik d hy jik Det (A). b b b
Cotoh : Tetuk solusi dri SPL berikut : + c = b = b + c = 7 Jwb : Perhtik bhw Jdi A mempuyi Ivers A A - - - - -
sehigg X = A B berbetuk : Jdi, Solusi SPL tersebut dlh c b 7 - - - - - c b
Solusi SPL deg tur Crmer Mislk SPL ditulis dlm betuk AX = B, yitu : Jik determi A, mk solusi dpt ditetuk stu perstu (peubh ke-i, i ) Lgkh-lgkh tur crmer dlh : Hitug determi A Tetuk A i mtriks A dim kolom ke-i digti oleh B. Cotoh : b b b b b b A
Hitug A i Solusi SPL utuk peubh i dlh Cotoh : Tetuk solusi b dri SPL berikut : + c = b = b + c = 7 Jwb : Perhtik bhw A - i det( Ai ) det( A)
Mk det ( A ) det ( A ) b - 7 - - (-) 7 7 ( -- ) (-) (- ) ( 7 - ) - (-) 7 Jdi, Solusi peubh b yg memeuhi SPL dlh b =
Tetuk solusi SPL utuk peubh? det det A A - - - - - 7 ( - - ) ( - - (-7) ) - 5 7 Solusi peubh c?
SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN m m m Sebuh SPL diktk homoge jik seluruh kostt dlh ol. Betuk umum :......... m m m Notsi : SPL homoge dlh SPL yg kosiste sellu mempuyi solusi. A
SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN Jik solusi SPL dlh tuggl, yitu =, =,, = solusi trivil Jik d solusi li seli solusi ol solusi o-trivil (bisy ditulis dlm betuk prmeter ~ solusi tk higg byk) Terdpt du kemugki solusi dri SPL Homoge : SPL hy memiliki solusi trivil. SPL memiliki solusi tk higg byk seli solusi ol (solusi o-trivil).
s t s t s t Solusiy dlh Solusi tk higg byk / solusi otrivil SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN Cotoh : Crilh solusi dri SPL homoge berikut: Mtriks yg diperbesr Bris eselo tereduksi
Cotoh : Dikethui SPL. Tetuk b gr SPL memiliki solusi tk higg byk b. Tulisk solusi SPL tersebut - - - z y b b b
Jwb : Solusi sutu SPL homoge dlh tk tuggl jik det(a) =. b b b b b b ( b) (( b)( b)) = ( b) (b b + ) = ( b) (b b) = b = tu b = Solusi SPL tk higg byk st b = tu b =
St b = z y Deg OBE mk ~ q q p z y q p - Mislk p,q dlh prmeter Riil, mk
St b = Deg OBE mk Mislk q dlh prmeter Riil, mk z y ~ ~ ~ ~ q q q z y
. Tetuk solusi SPL berikut :. 8b b. p q r s 6b 9 p q s b p q s. Tetuk solusi SPL homoge berikut :. A b. B c. p + q r s = p q + r s = p + q r + s = p s = Eercise d. p 5qr7t pq7rs7t rs7t pq8rs8t
. Dikethui SPL AX = B Tetuk solusi SPL di ts deg megguk : Opersi Bris Elemeter (OBE ) Ivers mtrik Atur Crmer. Dikethui Crilh mtriks yg memeuhi., - A X d B 5 X X X
5. Dikethui SPL Homoge Tetuk ili k sehigg SPL puy solusi tuggl 6. Dikethui Tetuk vektor tk ol sehigg r q k p k r q r q p 5 B y u u u B 6