HANDS-OUT METODE NUMERIK

HANDS-OUT METODE NUMERIK Ole : Drs Her Sutro, M T Dew Rcmt, SS, MS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 8

Pertemu ke : Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Pedulu Agk Be, Pemult, d Glt URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pedulu Metode umerk merupk tekk-tekk yg dguk utuk merumusk msl-msl mtemtk gr dpt dselesk deg opers-opers rtmtk tug s tm, kurg, kl, d g Ad eerp ls megp mempeljr metode umerk, ytu: Metode umerk merupk lt utuk memeck msl mtemtk yg sgt dl Byk permsl tekk yg mustl dpt dselesk secr ltk, kre kt serg ddpk pd sstem-sstem persm yg esr, tdk ler d ckup yg kompleks, dpt dselesk deg metode umerk Progrm pket umerk, msly MATLAB, MAPLE, d segy yg dguk utuk meyelesk msl mtemtk deg metode umerk dut ole org yg mempuy dsr-dsr teor metode umerk Byk msl mtemtk yg tdk dpt dselesk deg memk progrm pket tu tdk terckup dlm progrm pket Ole kre tu kt perlu eljr metode umerk utuk dpt memut progrm pket sotwre utuk msl sedr 4 Metode umerk merupk sutu sr yg ese utuk mempeljr peggu komputer Beljr pemrogrm secr eekt dl meuls progrm komputer Metode umerk megdug g yg drcg utuk dterpk pd komputer, msly memut lgortm 5 Metode umerk merupk sutu sr utuk le memm mtemtk Kre ugs metode umerk dl meyederk mtemtk yg le tgg deg opers-opers tug dsr

Tp-tp dlm meyelesk msl mtemtk secr umerk deg memk lt tu komputer secr umum dl: Pemodel Peml metode lgortm umerk Pemrogrm kodg 4 Dokumets Pesr sl Agk Be, Pemult, d Glt Agk e sgct gure sutu lg c dl serg gk yg derk ole c, kecul utuk ol-ol d kr gk tk ol pertm yg y ertdk utuk mecocokk poss ttk kom desml Keyk komputer dgtl mempuy du cr utuk meytk lg, ytu: Sstem ttk kmg lotg pot Blg ttk kmg dtuls seg = m p deg : m = mts rl; = ss sstem lg yg dpk, 8,, 6, d segy; d p = pgkt erup lg ult tk egt Coto :,68 dlm sstem ttk kmg deg ss Sstem ttk tetp ed-pot Sutu lg dytk deg sejuml tetp poss desml d ujug k, tetp sstem lg ttk tetp tdk prkts dlm pekerj lm kre keterts retgy, coto : 6,58 Solus yg dperole secr umerk merupk l mpr dr solus eksky I errt terdpt glt error pd solus mpr terseut Glt umerk dl esr yg merupk sels tr l mpr deg l eksk Huug drumusk mejd : E = - tu = + E

dm E dl glt solut glt mutlk, l eksk, d mpr Glt mutlk dpt ddesk seg l E = - Glt relt dytk seg glt solut E e r = l eksk Ad du jes glt dlm komputs, ytu: Glt w eret error dl glt dr dt yg derk, msly kre kesl pegukur tu ketdktelt lt ukur Glt proses dl glt yg terjd kre proses komputs, glt dedk mejd du mcm,ytu: Glt pemult roud-o error Coto : = / =, d =, Glt pemulty E =, Glt pemotog tructo error Coto : Hmpr ugs s deg tu deret Tylor d sektr = dl 5 7 y = s =! 5! 7! Jk deret terseut dpotog smp suku orde =, glt 5 7 pemotogy mejd E = + 5! 7! Pertemu ke : 4

Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Pedulu Metode Grk Tuggl d Metode Grk Gd Atur Td Descrtes 4 Metode Tuls 5 Metode Tertutup Metode Bgdu d Metode Poss Plsu URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pedulu Pd g k durk eerp metode tert yg dguk utuk meetuk solus dr persm, ytu lg-lg sedemk segg Blg-lg yg memeu persm tu dseut kr persm tu ttk ol ugs terseut Ad eerp perty yg dtyk seuug deg metodemetode tert utuk meetuk kr persm Pertyperty terseut dl seg erkut : Bgm meml tek wl utuk medptk kr persm? Bgm memul proses ters dr tek wl smp medptk mpr kr? Seerp cept metode tert yg dguk utuk medptk mpr kr koverge ke kr persm? v Seerp yk us komputs dperluk dlm setp ters? v Kp kt rus megetk sklus ters? Pertm kl k ds metode tert yg dseut seg metode pegurug, dseut seg metode pegurug kre kr yg k dmpr 5

dkurug ole sutu selg yg memut kr tu selg kr Metode pegurug dseut jug metode tertutup kre sellu koverge Metode-metode yg termsuk ke dlm metode tertutup dtry dl metode gdu secto metod d metode poss plsu metode regul ls/lse posto metod Metode Grk Tuggl d Metode Grk Gd Utuk ugs-ugs yg seder dm grk ugsy dpt dgmrk deg mud, d du metode grk yg dpt dlkuk utuk medptk tek wl dr kr persm, ytu metode grk tuggl d metode grk gd Pd metode grk tuggl, tek wl dpl yg dekt deg ss dr ttk perpotog tu kr persm Coto : Tetuk loks kr d tek wl utuk kr persm ugs :,5,46,96 Peyeles : Y y = X Grk ugs,5,46, 96 Ttk potog yg pertm terletk pd selg -,- sedg ttk potog yg kedu dl, d ttk potog yg ketg terletk pd selg, ytu medekt l,8 Segg tek wl utuk kr persm 6

dpt dpl eerp ttk yg cukup dekt deg kr persm sepert : -, -, tu Metode grk gd dguk utuk persm ugs yg pejr ugs dpt ddekomposs mejd pegurg du u ugs ytu Tek wl dpl cukup dekt deg ss ttk perpotog kedu ugs ytu d Atur Td Descrtes Utuk meetuk loks kr polom ytu kr dr persm erkut : p pertk ur erkut Mslk u dl yky pergt td koese erlku : dr polom p d p dl yky kr rl post, mk p u u - p =,, 4, Sedgk utuk meetuk komposs kr rl egt, mslk v dl yky pergt td koese yky kr rl egt, mk erlku : g v v g =,, 4, Peetu ts selg kr dtetuk ole tur erkut : k r mks k Segg selg kr yg dcr dl [-r,r] dr polom p d g dl 7

4 Metode Tuls Mslk pjg selg tuls :, m d m dl ttk-ttk ujug selg dm l-l ugs dtulsk, d dl lg ult terdekt utuk - m /, mk prosedur utuk memut tuls l-l dl seg erkut : Msuk :,,, utuk setp =,,, Kelur : utuk setp =,,, Lgk : Utuk =,,, lkuk : tug cetk, 5 Metode Bgdu Metode gdu memul sklus ters deg meml du tek wl msl d yg cukup dekt deg kr, deg l d l erlw td Kemud selg, dg du d ttk tegy dmk, segg / Jk, mk tek wl tdk cocok Sedgk jk mk tukr deg, jk tdk tukr deg Kemud jk dr du ters yg erurut glt relty kurg dr tu sm deg glt yg dtetpk errt sud dperole mpr kry 6 Metode Poss Plsu Metode poss plsu dut utuk memperk metode gdu ytu utuk mempercept kekoverge metode gdu Prosedur metode poss plsu mul deg meml du tek wl ytu d dm l ugsy 8

pd kedu tek wl ered td, seljuty pertk gmr erkut y Gmr Metode Poss Plsu Huugk kedu ttk ytu, d, deg grs lurus, d tetuk ttk perpotog grs deg sumu X Seut ss ttk perpotog deg Tge merupk kemrg grs yg meguugk, d, segg : Jk d erlw td mk gtk deg, selky gtk deg Kemud gmrk seu grs lurus yg meguugk ttk, deg, utuk meetuk ttk perpotog yg ru Lju kekoverge metode k le cept ddgk deg metode gdu 9

Pertemu ke : Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Metode-metode Teruk : Metode Newto Rpso Metode Sect Metode Iters Ttk Tetp URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Metode-metode yg termsuk ke dlm metode teruk dtry dl metode Newto-Rpso, metode sect, d metode ters ttk tetp Dseut metode teuk kre kry tdk sellu koverge Metode Newto Rpso Prosedur metode Newto-Rpso metode N-R mul dr serg ttk yg cukup dekt deg kr Pertm tetuk kemrg dr ugs pd, mk Llu tetuk deg rumus Utuk setp ters ke tug : Hetk ters l du mpr kr yg erurut cukup dekt Ddgk deg kedu metode seelumy ytu metode gdu d metode poss plsu teryt metode N-R le cept koverge Metode Sect Dlm setp ters utuk metode N-R dlkuk pegtug turu pertm ugs tu Pd eerp ksus peryt utuk pjg d memutuk us komputs yg cukup lm utuk megtugy Metode sect megmpr turu pertm ugs tu deg :

dm d dl du mpr kr utuk ters ke- d ters ke-- Nl mpr kr pd ters ke-+ dperole dr du l mpr kr seelumy ytu d yg dterpk pd persm terseut : deg dl ss ttk perpotog grs lurus yg meguugk du ttk ytu, deg, Metode Iters Ttk Tetp Persm secr ljr dpt dtrsorms ke etuk g Segg prosedur ters yg erpd deg etuk terseut dl g Coto : Tetuk kr persm erkut : 8 Fugs terseut dpt dtuls : g = 4 Segg g 4 Persm d ts jug dpt dtuls seg : = g 8 g 8 d g 8 Seljuty tersk 4 u ugs d 4 cek kekovergey Kekoverge metode ergtug pd keyt w d sektr kr, kurv g kurg curmy drpd grs lurus y = tu kods g merupk syrt cukup utuk kekoverge

Pertemu ke : 4 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Pedulu Bed Hgg Iterpols Ler 4 Iterpols Kudrt URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 4 Pedulu Pr l lmu lm serg ekerj deg sejuml dt dskrt dlm etuk tel Dt tel terseut mugk dperole dr sl pegmt d lpg, sl pegukur d lortorum, d l-l Tel terseut erup kumpul sutu peu es yg dskrt msly,,, yg mempuy uug deg sutu kumpul l-l ugs g, g, g,, g Nl,,, dseut rgume dr ugs Mslk derk sutu tel l-l umers dr sutu ugs pd rgumet tu ttk - ttk yg erjrk sm:, = +, = +, = +,, deg > tetp Sert,,,,,, j j dl l-l dr j msg-msg utuk,,,,, 4 Bed Hgg 4 Bed - ed Mju Forwrd Derece Nots yg dpk dlm ed-ed mju dl seg erkut: ; d seterusy, dseut ed-ed mju pertm Secr umum dtuls: m m m Deg cr yg sm dpt dotsk ed-ed mju ketg, keempt, d seterusy Betuk umumy: + m = m+ - m utuk =,,,

Tel erkut meujukk ed-ed mju dr semu tgkt yg dpt detuk X 4 4 4 Bed - ed Mudur Bckwrd Derece Betuk umum ed-ed mudur dl seg erkut: + m = m - m- utuk =,,, Tel erkut meujukk ed-ed mudur dr semu tgkt yg dpt detuk: 4 X 4 4 Bed - ed Pust Betuk umum ed-ed pust dl seg erkut: m m m-

Tel Bed-Bed Pust F 4 X / / / 4 / / / 4 Iterpols Ler Betuk terpols yg plg seder dl meguugk du ttk dt deg grs lurus, lt gmr erkut y = C P E D = B A r Kre segtg DEC segu deg segtg ABC, mk erlku: p = Akty : P = + r 4

44 Iterpols Kudrt Mslk tersed tg ttk dt,,,, d,, terpols dpt dlksk deg polom orde kedu polom kudrt Betuk secr ks yg cocok utuk mksud dl: p = + + Atu deg r p = + r + r r 5

Pertemu ke : 5 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Iterpols Bed-Mju d Bed-Mudur Newto Polom Iterpols Bed Terg Newto Polom Iterpols Lgrge URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 5 Iterpols Bed-Mju d Bed-Mudur Newto Polom terpols derjt derk dlm rumus terpols edmju Newto : deg = + r, r = r s P = s s r r = + r +! + + r r r -!, r Sutu rumus yg serup deg rumus td tetp meltk ed- mudur dl rumus terpols ed-mudur Newto : P = + r + + r r r! r r +! deg = + r, r = /, r 6

5 Polom Iterpols Bed Terg Newto Seelum smp kepd ormul terpolsy, ddesk terle dulu ed-ed terg, yg secr tert dytk ole uug: [, ] = - [,, ] = [, Tel Bed-Bed Terg ] - [, ] k k [ k, k+ ] [,, ] [,,, ] [, ] [, ] [, ] [,, ] [,, ] [,,, ] Formul Iterpols Ordo dl P = + - [, ] Formul Iterpols Ordo dl P = + - [, ] + - - [,, ] Secr umum smp deg ordo k dperole rumus seg erkut: = P = + - [, ] + - - [,, ] + + - - - - [,,, ] Formul terpols ed terg Newto terseut d ts dpt dtuls seg erkut: 7

8 = + ],, [ j - j - 5 Polom Iterpols Lgrge Polom terpols Lgrge dpt dturuk lgsug dr polom terpols Newto Utuk meuruk etuk Lgrge, ed-ed terg drumusk ulg seg erkut : [, ] = Dr terkr dsusttusk segg dperole rumus terpols Lgrge ordo : P = = j - j j j Rumus terpols Lgrge ordo dl : P = j - j j j Secr umum smp deg ordo, dperole ormul terpols Lgrge seg erkut : P = j L j - j j

Pertemu ke : 6 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Pedulu Sstem Persm Ler Segtg Ats Sstem Persm Ler Segtg Bw URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 6 Pedulu Pertkl sstem persm ler tdk omoge dlm peu,,, erkut + + + l = + + + = + + + = Sstem persm ler terseut dpt dtuls seg perkl mtrks erkut : tu dsmolk seg persm mtrks AX = B deg: A = j dl mtrks dr koese yg mempuy rs d j kolom; X = dl mtrks dr peu yg tk dketu; d B = dl mtrks dr lg tetpy Mtrks legkp dr persm mtrks AX = B terseut l: [A,B] = 9

6 Sstem Persm Ler Segtg Ats Sstem persm ler yg mempuy mtrks koese erup mtrks segtg ts, dseut sstem persm ler segtg ts Sstem persm ler sepert tu dpt dtulsk dlm etuk: -,- Deg sums eleme-eleme dgol tk ol, kk utuk k =,,,, mk terdpt sutu solus tuggl dr sstem persm ler d ts Kods kk sgt petg kre persm terseut meltk pemg ole kk Jk persyrt tdk terpeu mk solusy tdk d tu terdpt tkgg yky solus Peyeles sstem persm ler segtg ts mud dcr deg memperguk susttus mudur ckwrd susttuto Persm yg terkr y meltk, d l yg pertm dcr segg dperole: c Setel d, dpk utuk mecr - pd persm seelumy seg c, erkut: - =, Sekrg d - dpk utuk mecr - seg erkut: c,, - =, Proses dterusk utuk mecr l peu yg ly Lgk umum dr proses terseut dl:, c c c c k = ck kj j jk kk utuk k = -, -,,

6 Sstem Persm Ler Segtg Bw Sstem persm ler yg mempuy mtrks koese erup mtrks segtg w dseut sstem persm ler segtg w Sstem persm ler sepert tu dpt dtulsk dlm etuk: c Peyeles sstem persm ler dcr deg susttus mju Persm pertm y meltk, d l yg pertm dcr ru kemud Proses dterusk segg dr persm terkr dperole l Lgk umum dr proses terseut l: c c k = ck k k kk Utuk setp k =,,,

Pertemu ke : 7 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Metode Elms Guss d Pvotg Metode Dekomposs/Fktorss Segtg Metode Iters Jco d Iters Guss-Sedel URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7 Metode Elms Guss d Pvotg Pd g dkemgk cr yg ese utuk meyelesk sstem persm ler AX = C deg persm d peu Ity dl memgu sutu sstem persm segtg ts UX = Y yg setr kemud solus X dselesk memk metode susttus mudur Sstem AX = C deg mtrks legkp [ A, C ] dpt dselesk deg melkuk opers-opers rs elemeter OBE Deg OBE tul dslk sstem yg setr yg eretuk sstem persm ler segtg ts Betuk terkr dselesk deg susttus mudur ckwrd susttuto Proses l yg dseut elms Guss Pd elms Guss, lg kk pd poss k,k yg dpk utuk megelms k dlm rsrs k+, k+,, dmk eleme tumpu pvot ke-k, d k dseut rs tumpu Pd su erkut k ds tg mcm metode Elms Guss 7 Metode Elms Guss N Metode erkut dseut metode elms Guss kre metode tdk megdr kemugk pemg ole ol Elms Guss termsuk tug lgsug segg glty tdk dpt dtur permt glt sult ddr Sel tu jug, eleme tumpu yg ol sult ddr Utuk tul dperk deg strteg pvotg, ytu : jk kk =, perlu mecr rs r, deg rk d r > k, kemud mempertukrk rs k deg rs r segg dperole eleme tumpu tk ol

7 Metode Elms Guss Pvotg Prsl Pvotg prsl dsrk utuk memerks esry semu eleme d kolom k yg terletk pd tu d w dgol, d meloksk rs r yg mempuy eleme deg l mutlk teresr, yk: rk mks kk,,,, k,k,k k d kemud meukrk rs r d rs k jk r > k Deg dmly eleme deg l mutlk teresr seg eleme tumpu, k megslk permt glt yg kecl 7 Elms Guss Pvotg Prsl Terskl Lgk-lgk yg dperluk utuk meyelesk sstem persm ler deg elms Guss pvotg prsl terskl l: Tetuk ukur msg-msg rs mtrks koese, ytu: mksmum d = j j Tetuk eleme tumpuy, ytu: j = mksmum j - j j d 7 Metode Dekomposs/Fktorss Segtg Sutu mtrks A tksgulr dpt dktork mejd slkl sutu mtrks segtg w L d mtrks segtg ts U Metode dkel deg m metode dekomposs LU tu metode ktorss segtg 7 Pemktor Doolttle, mesyrtk eleme dgol L semuy d eleme dgol U tkol Mslk utuk mtrks A dpt dtuls seg l l l u u u u u u

7 Pemktor Crout, mesyrtk eleme dgol L tkol d semu eleme dgol U erl Mslk utuk mtrks A dpt dtuls seg l u u l l u l l l Utuk meyusu lgortm pemktor Doolttle dguk uug erkut l l l u u u u u u u lu lu l l u u u u l u l u l u u l u u u 7 Metode Iters Jco d Guss-Sedel Sstem Persm Ler AX = C dpt dselesk deg metode ters Jco d metode ters Guss-Sedel segg koverge, pl mtrks koese A memeu syrt cukup ytu dom secr dgol: j j, j, utuk setp =,,,, Pdg Sstem Persm Ler erkut : + + + = + + + = + + + = deg mtrks koesey dom secr dgol Mslk derk l wl,,,, persm ters Jco dl seg erkut Pd ters : 4

5, Kemud ljutk deg ters kedu d ketg Secr umum proses tert ke k+ dl : k k k k k k k k k, k k k Jd etuk umum proses tert Jco dl ; t k d utuk j j k j j k m,,,,,, Kekoverge metode ters Jco gk lmt Kekoverge dpt dpercept l setp rg yg ru dslk seger dpk pd persm erkuty utuk meetuk rg + yg ly Tekk l yg dpk pd metode ters Guss-Sedel Secr umum proses tert Guss-Sedel dl j k j j j k j j k utuk setp =,,, d k =,,, mt mksmum ters

Pertemu ke : 8 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : UTS Mter pertemu smp deg 7 Pertemu ke : 9 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Pegmpr Fugs deg Metode Kudrt Terkecl Regres Ler d Polom URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 9 Pegmpr Fugs deg Metode Kudrt Terkecl Mslk,,, dl l-l dr seu peu es X d y, y,, y dl l-l dr peu tk es terkt Y yg ersesu deg X Mslk pul yˆ ˆ dl l mpr tu tksr utuk seu ugs Glt tr ŷ l-l mpr utuk ugs deg y l-l seery yg dtulsk dl d y yˆ Fugs dpl deg sutu cr gr Y d,,, d d kecl d y d ŷ d d 4 Gmr pecocok kurv Ak dpeljr pd pertemu keseml, msl mecocokk seu ugs ˆ pd l-l yg dtulsk deg memmumk X 6

juml kudrt smpg Metode dseut pecocokk kudrt terkecl tu lest squres t 9 Regres Ler Derk dt seg erkut : Plot dt terseut : 4 5 6 7 8 9,5,8,4,,5,9 4,4 4,8 5, y 4,8 5,7 7, 8,,9,4,,6 5, Sctterplot o y vs 5 5 y 75 5 4 5 Dlt dr ttk-ttk dt yg dplot pd tel d ts, jk ertm esr mk y ertm esr Ole kre dt yg dplot megumpul d sektr seu grs lurus segg dpt dktk w seu grs lurus meggmrk stus yg cukup msuk kl Segg dpt dytk yˆ seg persm yg meggmrk seu grs lurus Seljuty dmmumk S juml kudrt glt yg derk ole : M S = M y ˆ = M y y 7

S dl ugs dr du peu yg tdk dketu ytu d Mk utuk memmumk S dml turu prsl dr S terdp d kemud smk deg ol Mk : S y * S Segg persm * mejd : Persm ** mejd : y y y ** Deg pegtur keml kedu persm terseut dperole persm smult ler utuk d erkut yg dseut persm orml : Peyelesy dl : y y y y y y Koese-koese dr grs regres ler metode kudrt terkecl pd kedu persm terseut dseut koese regres 9 Regres Polom Mslk psg koordt, y yg derk k dmpr ole seu ugs kudrt yg dytk ole : yˆ 8

9 Segg juml kudrt glt derk ole : ˆ y y y S Turuk S terdp,, d smk msg-msg turu terdp koese-koese deg ol, mk k dperole : y y y 4

Pertemu ke : Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Pegmpr Fugs deg Metode Kudrt Terkecl Fugs Ekspoesl, Hperol, Trgoometr, d Geometr URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pecocok Fugs Ekspoesl d Fugs Trgoometr Pertk eerp tpe dr dstrus ttk-ttk perco yg dtujukk pd gmr erkut : meyerup seu kurv ekspoesl yg meuru, sedg gmr meyerup seu kurv sus d gmr c meyerup seu kurv geometr Y X Y X Y c X

Pecocok Seu Kurv Ekspoesl Mslk ˆ dl kurv yg k dcocokk Trsorms y e yg dguk dl zˆ log yˆ Guk trsorms pd persm seelumy segg dperole : zˆ log yˆ log e log Mslk log d Akty : zˆ Persm terseut merupk persm ler d dpt megguk persm orml utuk regres ler segg dperole : z z Dr d dperole l d : e d Pecocok Seu Kurv Hperol Asumsk persm pd ksus dl yˆ Jk dtuls zˆ mk dperole zˆ yg merupk persm ler yˆ Pecocok Seu Fugs Trgoometr Asumsk persm kurv : ˆ A s y Persm mempuy tg prmeter yg tdk dketu ytu A, d Dk megsumsk w dketu Perlus persm terseut segg dperole yˆ A s cos cos s Acos s As cos = s cos Mmumk juml kudrt glt erkut : S y s cos

Smk deg ol turu prsl dr S terdp d gr dperole s s cos y s s cos cos y cos Selesk du persm ler smult utuk d d ts gr dperole A d t 4 Kurv Geometr Mslk kurv yg dcocokk dytk ole persm : yˆ c Asumsk prmeter d tdk dketu sedgk c dketu segg y ˆ c Aml logrtm pd kedu rus persm terseut segg dperole : zˆ log zˆ t deg log, d t log Akty : yˆ c log log log log log logyˆ c log log log log logyˆ c

Pertemu ke : Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Pegmpr Fugs deg Deret Tylor Pegmpr Fugs deg Deret Ceysev URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Pegmpr Fugs deg Deret Tylor Teorem : Jk sutu ugs mempuy turu smp turu ke dlm selg [, ] mk ugs terseut dpt dytk d sektr pd selg [, ] seg :! '''! + + s!! Pd persm d ts d dl turu pertm d kedu dr yg devlus pd Suku s! dseut suku ss deg s dl lg yg terletk tr d Suku ss memerk glt pemotog jk y u suku pertm pd deret Tylor yg dguk utuk meytk ugs Glt pemotogy dl : s Glt pemotog = tu! T M E! ; dm M = m s utuk pd selg [, ]

Deret Ceysev Polom Ceysev yg ddesk ole T = Cos dm = Cos Mk T = Cos rc cos Polom-polom terseut dl : T = Cos = T = Cos = T = Cos = Cos - S = - = Sel pemetuk suku-suku megguk rels trgoometr sepert d ts, dpt detuk rels yg medesk T + dlm T d T - T + = Cos + = Cos Cos - S S T - = Cos - = Cos Cos + S S Deg memk du persm d ts dperole : T + + T - = Cos Cos = T Mk T + = T - T - Segg dperole : T = 4 T 4 = 8 4 8 + T 5 = 6 5 + 5 Fugs e - dytk dlm polom Ceysev seg erkut : e - =,6666 T,8 T +,7495 T,447 T +,5474 T 4,54 T 5 Jk peryt utuk T, T, T, T, T 4, d T 5 dgtk ke dlm persm terseut dperole : e - =,45, +,49999 -,66488 +,4794 4,8687 5 4

Pertemu ke : Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Itegrl Numerk Atur Trpesum, Atur Komposs Trpesum URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Atur Trpesum Megevlus sutu tegrl tertetu I = d utuk serg ugs yg kotu pd selg [,], deg metode ltk sy sult k d yg tk dpt devlus Megts persol d persol tegrs yg le umum yg y mempuy eerp l dr deg rgume =, =,,,, dutuk eerp pedekt Ply dl mecr seu ugs, msly g yg sesu utuk megts kedu persol ytu merupk pedekt dr yg mud utuk dtegrlk secr ltk Derk du u ttk dt, d, Kre mellu du u ttk, d,, mk dpk terpols erorde stu P Y = = Itegrl deg Atur Trpesum, = - Meurut terpols ed terg Newto orde stu : P = + [, ] - Deg memk P terseut dperole : d P d [, ] [ ]d 5

6 d o o o o Dpt dtujukk w etuk terkr sm deg o tu Jd tur trpesum dl d deg = - Atur Komposs Trpesum Selg [,] dg mejd selg g deg ler selg : = Berdsrk tur trpesum dperole d d d d Jd, d

Pertemu ke : Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Itegrl Numerk Atur Smpso, Atur Komposs Smpso, d Kudrtur Guss-Legedre URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Atur Smpso Atur Smpso mrp deg tur trpesum ytu keduy memg der yg k dtegrlk dlm tervl g yg kecl d kemud mejumlk semu tegrl dr der yg dts ole sumu yg kecl terseut Hy dlm tur Smpso pedekt ugs dperole dr terpols poloml derjt du prol yg mellu tg ordt dr du selg yg erdmpg Jd tur Smpso k tept utuk ugs derjt du tu le kecl Pertk gmr erkut Y Y y = O O = c=+/ = = X = X Atur Smpso / Deg poloml Lgrge yg mellu ttk-ttk,, c,c, d, dperole: c c P c c c c c 7

8 Susttusk ke dlm d I k dperole d c c c c I - - c c - - - c - Jk sumu y dtrslsk segg ermpt deg ttk, mk dpt dtujukk : o d c o o o o o o I 4 c Jd, 4 I o Atur Komposs Smpso Selg [,] dprts mejd M+ ttk deg M gep, deg ler selg gy = M o = 4 M- M- M = Berdsrk tur Smpso dperole M d d d d I 4 4 4 4 4 4 M M 4 4 4 4 M M I

Kudrtur Guss - Legedre Kt g megtug lus der d w kurv Y = pd ytu I d deg tur trpesum glt Y Y = - X I d deg = -- = Persm I + - dpt dtuls seg I W + W deg = -, =, W = W = = = Deg cr koese tk tetu, d duj deg mooml,,, d, kre I d eksk utuk empt ugs terseut, dperole: I d W W Jd I d Persm dmk metode Guss-Legedre ttk Deg metode, megtug tegrl dlm selg [-, ] cukup y deg megevlus ugs d = / d d = - Metode Guss-Legedre ttk dpt dtuls seg I d W W W 9

Prmeter,,, W,W, d W dpt dcr deg ugs =, =, =, =, = 4, d = 5, kre kudrtur Guss erl eksk utuk ugs-ugs terseut Deg cr yg sm sepert utuk metode Guss-Legedre ttk k dperole : 5 8 5 I d 9 5 9 9 5 Atur Guss-Legedre umum -ttk eksk utuk polom erderjt kurg dr tu sm deg - Peuru metode Guss-Legedre -ttk d -ttk dpt djdk pol utuk megslk metode Guss-Legedre -ttk d W W W Tel Nl-l w, d glt pemotog utuk Kudrtur Guss-Legedre 6 ttk N Boot W Ass Glt pemotog,,,55555556,88888889,55555556 4,4785485,65455,65455,4785485 5,69689,4786867,56888889,4786867,69689 6,7449,67657,46799,46799,67657,7449 -,57757,57757 -,77459667,77459667 -,866 -,9984,9984,866 -,967985 -,58469,58469,967985 -,94695 -,6699 -,8699,8699,6699,94695 4 c 6 c 8 c c c 4

Utuk megtug tegrs selg [,] ke dlm [-,] peu ke dlm peu z c deresl d ke dlm dz Dr trsorms z = p+q tu z = = z I d rus dlkuk trsorms: segg d = dz k dperole : Susttusk d d ke I d, mk k dperole I d z dz 4

Pertemu ke : 4 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Solus Persm Deresl Bs Metode Euler URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 4 Solus Persm Deresl Bs Betuk ku PDB orde stu deg l wl dtuls seg y' = y deg l wl y = y PDB orde stu yg tdk megkut etuk ku terseut rus dtuls ulg mejd etuk persm sepert d ts, gr dpt dselesk secr umerk Peyeles PDB secr umerk errt megtug l ugs d r+ = r + deg dl ukur lgk setp ters Pd metode ltk, l wl erugs utuk memperole solus yg uk, sedgk pd metode umerk l wl erugs utuk memul ters 4 Metode Euler Derk PDB orde stu, y' = dy/d =,y d y = y Mslk y r = y r dl mpr l y d r yg dtug deg metode Euler Dlm l r = + r, deg r =,,, Metod Euler dturuk deg megurk y r+ d sektr r ke dlm deret Tylor : y r+ = y r + r r! y' r + r r! y" r + Du suku pertm persm terseut dl y r+ y r + r, y r ; r =,,,, 4

meytk persm metode Euler tu metode Euler-Cucy Metode Euler dseut jug metode orde-pertm Metode Euler memerk mpr solus yg uruk, segg dlm msl prktek metode kurg dsuk, mu metode memtu utuk memm ggs dsr metode peyeles PDB deg orde yg le tgg 4

Pertemu ke : 5 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : Solus PDB deg Metode Heu URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 5 Metode Heu Metode Euler mempuy ketelt yg red kre glty esr sedg deg Buruky glt dpt dkurg deg megguk metode Heu, yg merupk perk metode Euler moded Euler s metod Pd metode Heu, solus dr metode Euler djdk seg solus perkr wl predctor Metode Heu dl seg erkut : y r+ = y r + [r,y r + r+, y r+ ] yg merupk metode Heu, tu metode Euler-Cucy yg dperk Metode Heu dpt dterpk utuk mecr solus PDB erkut : dy/d = + y ; y = Htug y deg metode Heu = Pertemu ke : 6 Peyusu : Dew Rcmt d Her Sutro Mter : UAS Mter pertemu 9 smp deg 5 44

Dtr Pustk : Atkso, K 985 Elemetry Numercl Alyss New York : Jo Wley & Sos Cpr, S & Cle 99 Numercl Metods or Egeers wt Persol Computer Applctos McGrw-Hll Book Compy Cote, S & Boor 99 Elemetry Numercl Alyss, A Algortmc Approc rd Edto McGrw-Hlls Ic Epperso, J Itroducto to Numercl Metods d Alyss New York Jo Wley & Sos Mtews, J 99 Numercl Metods or Mtemtcs, Scece d Egeerg d Edto Lodo : Pretce-Hll It Mur, R 997 Metode Numerk utuk Tekk Iormtk Isttut Tekolog Bdug Nkmur S 99 Appled Numercl Metods wt Sotwre Lodo: Pretce-Hll It Rjrm, V 98 Computer Oreted Numercl Metods New Del : Pretce-Hll o Id Rlsto, A 965 A Frst Course Numercl Alyss McGrw-Hll Susl, Nyom 994 Dsr-dsr Metode Numerk Jkrt : DIKTI Wlpole, R & Myers 986 Ilmu Pelug d Sttstk utuk Isyur d Ilmuw Bdug : Peert ITB 45