Modul Sifat dan Operasi Gaya Ir.Yoke Lestyowati, MT Konten E-Learning IDB 7in1 Terintegrasi PDITT 2015
BAB I SIFAT DAN OPEASI GAYA 1.1. Capaian Pembelajaran 1.1.1. Umum 1. Mampu menggunakan teori gaya dengan bertanggungjawab sesuai dengan etika social, professional dan keilmuan 2. Mampu mengaplikasikan dan memanfaatkan teori gaya pada analisa struktur rangkan 3. Mampu memahami konsep gaya dan mengembangkannya 1.1.2. Khusus 1. Mampu menggunakan prinsip prinsip operasi gaya dalam perhitungan 2. Mampu memahami dan menggunakan hasil perhitungan gaya 1.2. Diskripsi Singkat Gaya tidak dapat dirasakan ataupun dilihat tetapi gaya sangat berpengaruh terhadap suatu massa. Khususnya pengaruh pada sebuah bangunan dapat menimbulkan suatu pergerakan ataupun pergeseran yang dapat menyebabkan massa tersebut hancur. Dalam matematika gaya diidealisasikan sebagai suatu garis yang mempunyai besaran dan arah yang disebut vektor. Besaran gaya dinyatakan dalam satuan massa atau berat sedangkan dalam lukisannya dinyatakan dengan bantuan skala panjang 1.3. Sifat-Sifat Gaya Sifat-sifat gaya yang sangat diperlukan dalam analisa statika adalah : Gaya menyebabkan suatu benda atau massa bergerak atau diam. P P Gb. 1.1. Benda yang bergerak karena gaya P Gaya mempunyai besaran, arah dan titik tangkap atau titik bekerjanya gaya.
Besaran 4 satuan gaya P Titik tangkap O Gb. 1.2. Titik Tangkap (O), besaran dan arah gaya P Gaya mempunyai garis kerja gaya dengan panjang tak terhingga. Gaya P P Titik tangkap Gb. 1.3. Garis Kerja gaya P yang panjangnya tak terhingga Titik tangkap gaya dapat dipindahkan sepanjang garis kerja gaya, dengan syarat mempunyai arah dan besaran yang sama dengan gaya asalnya. Gaya P Titik tangkap setelah berpindah ke B Titik tangkap awal A Gb.1.4. Gaya P dengan titik tangkap awal A berpindah menjadi titik tangkap B
Gaya mempunyai sifat menarik (+) jika menyebabkan penampang menjadi lebih panjang dan sifat menekan (-) jika menyebabkan penampang memendek. Gaya P tarik (+) Gaya P tekan (-) Gb. 1.5. Gaya Tarik (+) dan Tekan (-) Gaya yang bekerja dengan mempunyai jarak tegak lurus terhadap garis kerja gaya terhadap suatu titik, dapat menyebabkan perputaran (momen) dititik tersebut yang disebut momen, dengan sifat tarik (+) jika searah jarum jam atau menyebabkan tarikan di serat bawah dengan sifat tekan (-) jika berlawanan jarum jam atau menyebabkan tekanan di serat bawah. titik tangkap gaya P lengan momen (e) gaya P titik pusat momen A garis kerja gaya P momen akibat gaya P terhadap A = M A = P.e Gb.1.6. Gaya yang menimbulkan momen (+) dan momen (-)
1.4. Operasi Gaya Gaya secara matematika dapat dijumlahkan maupun diuraikan baik secara grafis maupun analitis. Prinsip-prinsip operasi gaya dapat diuraikan secara garis besar sebagai berikut: 1.4.1. Operasi Penjumlahan Gaya (esultan Gaya ) Secara Grafis Operasi penjumlahan secara grafis dapat dilakukan dengan bantuan bangun jajaran genjang (pararellogram) yang mempunyai dua buah sisi yang sejajar dan sama panjang. Untuk dapat melukiskan gaya yang mempunyai besaran dan arah diperlukan skala gaya dan skala panjang. Skala gaya adalah merupakan idealisasi besar gaya, dan skala panjang merupakan idealisasi dimensi atau ukuran sedemikian hingga menghasilkan suatu model seperti yang sebenarnya. Jika diketahui dua buah gaya P 1 = 100 kg dan P 2 = 300 kg maka untuk dapat melukiskan gaya-gaya P 1 dan P 2 serta jumlah resultan () dari kedua gaya tersebut adalah sebagai berikut: 1. Tentukan skala gaya, 1 : 100 (satu centimeter mewakili 100 kg). 2. Lukis gaya P 1 dan P 2 dalam skala yang sudah ditentukan. 3. Perpanjang garis kerja P 1 dan P 2 sedemikian hingga berpotongan di suatu titik Q. 4. Pindahkan titik tangkap P 1 dan P 2 ke titik potong Q sesuai dengan garis kerjanya masing-masing. 5. Lukis garis sejajar garis kerja P 1 melalui ujung gaya P 2 dan garis sejajar P 2 melalui ujung gaya P 1 sedemikian hingga berpotongan di titik T. 6. Hubungkan titik potong titik tangkap gaya P 1 dan P 2 (Q) dengan titik tangkap garis yang sejajar (T) yang merupakan arah kerja dan besaran (dalam skala) garis kerja resultan P 1 dan P 2. 7. Ukur dengan mistar panjang garis resultan dan kalikan dengan skala gaya, akan didapat besaran resultan atau jumlah P 1 dan P 2 sebenarnya (dalam satuan massa). P1 Titik potong Q Gb.1.7. Proses perpanjangan garis kerja dan penentuan titik potong
P1 Titik potong Q =P 1 +P 2 Titik potong T Gb. 1.8. Proses perpindahan titik tangkap dan penentuan resultan Jika diketahui tiga buah gaya atau lebih, maka untuk melukiskan gaya-gaya tersebut serta jumlah () dari ketiga gaya tersebut adalah seperti melukis dua buah gaya, yang selanjutnya resultan dua buah gaya pertama dijumlahkan dengan gaya selanjutnya, sehingga didapat resultan tiga buah gaya dan seterusnya seperti yang dijelaskan dalam gambar 1.9. 1. Tentukan skala gaya. 2. Lukis gaya P 1 dan P 2 dalam skala yang sudah ditentukan. 3. Perpanjang garis kerja P 1 dan P 2 sedemikian hingga berpotongan di suatu titik Q. 4. Pindahkan titik tangkap P 1 dan P 2 ke titik potong Q sesuai dengan garis kerjanya masing-masing. 5. Lukis garis sejajar garis kerja P 1 melalui ujung gaya P 2 dan garis sejajar P 2 melalui ujung gaya P 1 sedemikian hingga berpotongan di titik T. 6. Hubungkan titik potong titik tangkap gaya P 1 dan P 2 (Q) dengan titik tangkap garis yang sejajar (T) yang merupakan arah kerja dan besaran (dalam skala) garis kerja resultan P 1 dan P 2 ( 1 ). 7. Lukis garis sejajar garis kerja 1 melalui ujung gaya P 3 dan garis sejajar P 3 melalui ujung gaya 1 sedemikian hingga berpotongan di titik X. 8. Hubungkan titik potong titik tangkap gaya 1 dan P 3 (Z) dengan titik tangkap garis yang sejajar (X) yang merupakan arah kerja dan besaran (dalam skala) garis kerja resultan 1 dan P 3 ( 2 ). 9. Dan selanjutnya dilakukan proses yang sama antara 2 dan P 3 demikian seterusnya.
II I IV P1 II P1 IV Q Z I P4 P3 P3 T 1 =P 1 +P 2 III 2 = 1 +P 3 X III Gb.1.9. Lukisan penjumlahan 3 buah gaya atau lebih Dari uraian di atas dapat dilihat bahwa untuk mencari atau membuat lukisan resultan lebih dari dua buah gaya sangat banyak dan ruwet. Kondisi ini dapat disederhanakan jika kita lihat kronologis mendapatkan lukisan garis kerja resultan. Gambar 1.8 melukiskan garis kerja resultan yang merupakan penjumlahan dari P 1 dan P 2 yang didapat dengan melukiskan garis sejajar gaya-gaya yang akan dijumlahkan. Jika diamati ternyata garis kerja resultan merupakan garis penutup yang menghubungkan titik tangkap gaya P 1 dan ujung gaya P 2. Sedangkan pada gambar 1.9. juga menghubungkan titik tangkap gaya pertama dan ujung gaya terakhir. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa membuat lukisan resultan gaya dapat disederhanakan sebagai berikut : Dengan melukiskan gaya-gaya yang akan dijumlahkan secara menerus dengan menghubungkan ujung gaya pertama dengan titik tangkap gaya selanjutnya, demikian seterusnya hingga semua gaya-gaya yang akan dijumlahkan. esultan gaya-gaya tersebut akan didapatkan dengan menghubungkan titik tangkap gaya pertama (awal) dengan ujung gaya terakhir. Titik tangkap gaya resultan berimpit dengan titik tangkap gaya pertama sedangkan ujung gaya resultan berimpit dengan ujung gaya terakhir.
Lukisan ini disebut lukisan segi banyak gaya terbuka (Gambar 1.10) P1 P1 alternatif 1 P3 P3 P4 P4 P1 P3 P3 alternatif 2 alternatif 3 P1 P4 P4 Gb.1.10. Lukisan resultan dalam beberapa alternatif Alternatif membuat lukisan resultan di atas menggambarkan bahwa urutan gaya yang dilukis bebas tidak ada ketentuan khusus selain disesuaikan dengan tempat atau lebar kertas yang digunakan untuk melukis. Jika gaya-gaya yang akan dijumlahkan atau dicari resultannya secara grafis satu sama lain sejajar maka metode yang digunakan adalah metode lukisan kutub yang menggunakan prinsip penguraian vektor dan prinsip penjumlahan di atas. (Gb. 1.11) 1. Tentukan skala gaya. 2. Tentukan skala jarak. 3. Lukis model dan kedudukan gaya. 4. Perpanjang garis kerja model gaya-gaya tersebut. 5. Lukis susunan segi banyak gaya terbuka. 6. Lukis resultan gaya ().
7. Tentukan titik sembarang sebagai titik pusat penguraian, disebut titik kutub O. 8. Hubungkan titik tangkap dan ujung semua gaya ke titik O dan didapat garisgaris penguraian gaya yang disebut jari-jari kutub dan beri notasi atau angka. 9. Pindahkan jari-jari kutub tiap-tiap gaya ke garis-garis kerja gaya tersebut. 10. Tentukan perpotongan jari-jari kutub resultan yang telah dipindahkan ke garis kerja gaya. 11. Pindahkan garis kerja resultan pada lukisan segi banyak gaya sedemikian rupa melalui perpotongan jari-jari kutubnya. Akan didapat letak, arah dan besaran garis kerja resultan gaya-gaya yang sejajar dengan cara lukisan kutub (grafis). Dibawah ini diketahui sebuah kasus dengan 4 gaya terpusat arah ke bawah dengan jarak dan besar gaya seperti yang tergambar di gb1.11 4 M 6 M 3 M P 2 = 200 Kg P 3 = 200 Kg P 4 = 300 Kg P 1 = 400 Kg Proses kegiatan 1-4 Proses kegiatan 1-6 1 P 1 1 5 2 3 P 2 2 3 4 4 5 P 3 Lokasi garis kerja resultan Proses kegiatan 7-11 P 4 = P 1 +P 2 +P 3 +P 4
1.4.2. Operasi Penjumlahan Gaya (esultan Gaya ) Secara Analitis Penjumlahan gaya dapat dilakukan secara analitis dengan bantuan sumbu saling tegak lurus XOY sebagai acuan penjumlahan gaya arah vertikal dan arah horizontal. Untuk menghitung penjumlahan gaya (resultan) yang mempunyai sudut dapat dilakukan dengan rumus Phitagoras yaitu = X 2 + Y 2 Penempatan sumbu XOY dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : (Gambar 1.12) a. Sumbu XOY diletakkan pada perpotongan garis kerja gaya yang akan dijumlahkan. b. Sumbu XOY ditempat di titik sembarang sekitar lokasi susunan gaya yang akan dijumlahkan. Y P 1Y P 1 Y P 1Y P 1 P 1X X P 1X X titik potong O P 2X P 2X P 2Y P 2 P 2Y P 2 Gb 1.12. Proses penjumlahan Gaya-gaya yang membentuk sudut diuraikan dan diseragamkan sesuai dengan sumbu acuan yaitu XOY yang hanya mengenal gaya-gaya vertikal dan gaya-gaya horisontal. Untuk itu semua gaya yang akan dijumlahkan harus mempunyai bentuk vertikal dan horisontal sedangkan gaya yang tidak sesuai bentuknya, harus disesuaikan/disederhanakan menjadi gaya vertikal dan gaya horisontal. Gaya-gaya arah horisontal dijumlahkan menjadi resultan gaya horizontal ( H ) dan gaya-gaya arah vertikal menjadi resultan gaya vertikal ( V ). H = P 1X + P 2X +... P nx dan V = P 1Y + P 2Y +... P ny maka = ( H 2 + V 2 )
: Arah resultan dapat diketahui dengan menghitung sudut resultan, dengan cara Y+ P P 1 1Y P 1Y P 3 P 1X P 3Y P 3Y P 3X Y P 3X O X a X+ P 1X P 2X a arctg Y X P 2Y P 2Y P 2X X X1 X3 X2 Gb.1.13. Analisa arah gaya resultan X4 P3 P1 P4 garis acuan Perkiraan letak resultan Gb. 1.14. Analisa resultan gaya Besar, arah dan letak resultan gaya sejajar dapat juga dihitung secara analitis dengan bantuan perbandingan jarak dan besar gaya (analisa momen) sebagai berikut: Hitung besar resultan gaya dengan cara penjumlahan aljabar () = P 1 + P 2 + P 3 + P 4 Tentukan letak garis acuan sebagai standard perhitungan jarak semua gaya (P dan ) terhadap garis acuan tersebut. Hitung jarak setiap gaya terhadap garis acuan (X 1, X 2, X 3, X 4 ). Analisa perbandingan gaya terhadap jarak, yaitu antara resultan terhadap jarak ke garis acuan dan gaya-gaya terhadap jarak ke garis acuannya (M)
Momen akibat gaya P 1 s/d P 4 adalah P 1 X 1 + P 2 X 2 +P 3 X 3 + P 4 X 4 Momen akibat gaya adalah : X Hitung jarak resultan terhadap garis acuan Jika jarak X 1 sampai dengan X 4 diketahui, P 1 s/d P 4 juga diketahui, maka dapat dihitung dan X juga terhitung dari persamaan momen akibat P dengan momen akibat, yaitu : P 1 X 1 + P 2 X 2 +P 3 X 3 + P 4 X 4 = X Σ P n.x n = X X = Σ P n.x n / Maka dapat diketahui besaran, letak dan arah dari resultan gaya-gaya tersebut. 1.4.3. Operasi Penguraian Sebuah Gaya (esultan Gaya ) Secara Analitis Penguraian sebuah gaya yang membentuk sudut menjadi dua buah gaya dengan cara analitis dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip-prinsip matematika trigonometri yaitu sinus, cosinus dan tangen dimana pengertian sebuah gaya dapat diartikan gabungan beberapa gaya atau resultan. (Gambar 1.15) Penguraian sebuah gaya vertikal menjadi dua buah gaya sejajar yang sudah tertentu garis kerjanya, dapat dihitung dengan bantuan perbandingan jarak yaitu dengan prinsip momen. (Gambar 1.16) P sin a P a P cos a Gb. 1.15. Penguraian gaya bersudut menjadi dua buah gaya
X = P 1 X 1 + P 2 X 2 X1 X X2 = P 1 + P 2 Jika X dan diketahui, diketahui, dengan persamaan di atas dapat dihitung besar P 1 dan P 2 garis kerja P1 garis kerja Gb. 1.16. Penguraian gaya menjadi dua buah gaya sejajar 1.4.4. Operasi Penguraian Sebuah Gaya (esultan Gaya ) Secara Grafis Penguraian gaya secara grafis banyak menggunakan prinsip-prinsip penjumlahan gaya secara grafis, tetapi prosesnya terbalik. Agar lebih mudah mengingat maka dianjurkan memahami prinsip penjumlahan gaya setiap akan melakukan penguraian gaya secara grafis. Penguraian sebuah gaya menjadi dua buah gaya mempunyai prinsip dasar yang harus dipenuhi antara lain : Menggunakan skala panjang dan skala gaya. Garis kerja gaya yang akan diuraikan dengan garis kerja gaya hasil penguraian selalu berpotongan di satu titik. Garis kerja gaya hasil penguraian harus tertentu. Segi banyak gaya yang diuraikan dan hasil penguraian merupakan lukisan tertutup untuk kesetimbangan dan terbuka untuk resultan. garis kerja P 1 Besaran P 1 garis kerja P 2 Besaran P 2 Dengan bantuan prinsip jajaran genjang maka garis kerja P 1 dipindahkan melalui titik tangkap gaya dan garis kerja P 2 dipindahkan melalui ujung gaya dan sebaliknya. Perpotongan garis kerja P 1 dan garis kerja P 2 akan menjadi batas besaran P 1 dan P 2
P 1 P 2 Perhatikan arah gaya penguraian, yaitu : 1. Gaya hasil penguraian (P 2 ), yang garis kerjanya melalui ujung gaya yang diuraikan (), arahnya saling bertemu. 2. Gaya hasil penguraian (P 1 ) yang garis kerjanya melalui titik tangkap gaya yang diuraikan () arahnya mengejar. Gb. 1.17. Penguraian sebuah gaya menjadi dua buah gaya P 1 dan P 2 Garis kerja P 1 Garis kerja P 1 Q Garis kerja P 2 Garis kerja 1 Z Garis kerja P 2 Garis kerja P 3 Garis kerja P 3 Sebuah gaya atau hasil penjumlahan beberapa gaya menjadi akan diuraikan menjadi 3 buah gaya yang garis kerjanya tertentu yaitu P 1, P 2 dan P 3. Seperti uraian di atas prinsip jajaran genjang akan digunakan untuk menguraikannya. Karena hanya dapat menguraikan menjadi 2 gaya saja, maka tiga gaya P 1, P 2 dan P 3 akan disederhanakan menjadi 2 buah gaya, yaitu 1 sebagai hasil penjumlahan 2 buah gaya dengan sisa gaya P Untuk menjadi dua buah gaya 1 dan P maka harus dipilh dua buah gaya yang akan digabungkan (misalkan P 1 dengan P 2 ) yaitu 1 = P 1 +P 2 maka sisanya P 3 Lukis perpotongan garis kerja dengan P3 (Z) Lukis perpotongan garis kerja gaya yang dijumlahkan menjadi 1 (Q) Hubungkan titik Z dan Q sebagai garis kerja 1 yang memenuhi persyaratan penjumlahan gaya yaitu antara gaya yang akan diuraikan () dan gaya hasil penguraian ( 1 dan P 3 ) atau sebaliknya. P 2 1 P 1 Proses penguraian menjadi 1 dan P 3 : Pindahkan dan lukis gaya yang akan diuraikan () dengan skala gaya. Pindahkan dan lukis garis kerja 1 melalui titik tangkap gaya (awal) dan P 3 melalui ujung gaya (terakhir). P 3 Hasil 2 proses tersebut adalah besaran dan arah 1 dan P 3. Sedangkan P 1 dan P 2 akan didapat dari penguraian 1 sebagai berikut : Pindahkan dan lukis garis kerja P 1 melalui titik tangkap gaya 1 dan P 2 melalui ujung gaya 1 Besaran dan arah P 1 dan P 2 dapat diketahui Gb. 1.18. Penguraian sebuah gaya menjadi tiga buah gaya P 1, P 2 dan P 3
Garis kerja P 1 Garis kerja P 2 Garis kerja Sebuah gaya atau hasil penjumlahan beberapa gaya menjadi akan diuraikan menjadi 2 buah gaya, yang garis kerjanya tertentu yaitu P 1 dan P 2 dan sejajar dengan garis kerja. Proses membuat lukisan kutub akan digunakan untuk menguraikannya tetapi dimulai secara terbalik yaitu membuat/menentukan dan melukis jari-jari kutub terlebih dahulu secara sembarang baru kemudian menentukan titik kutub secara tertentu tergantung daripada jari-jari kutub yang telah diasumsikan. Z 1 Q 2 3 Tentukan tiga titik sembarang masing-masing di garis kerja P 1, P 2 dan. Hubungkan ketiga titik tersebut (ZQ) sedemikian membentuk bangun segitiga. Garis terbentuk tersebut adalah jari-jari kutub. Jari-jari kutub 1 dan 2 merupakan penguraian garis kerja P 1 dan jari-jari kutub 2 dan 3 merupakan penguraian garis kerja P 2, sedangkan garis kerja terurai menjadi jari-jari kutub 1 dan 3 Gb. 1.19. Penguraian sebuah gaya menjadi dua buah gaya P 1 dan P 2 yang sejajar 1.3.5. Latihan Soal a) Diketahui : P 1 = 100 kg ; arah vertikal ke bawah, berjarak 4 m dengan P 2 P 2 = 400 kg ; arah membentuk sudut 45 o berjarak 2 m terhadap P 3 P 3 = 500 kg ; arah vertikal ke bawah berjarak 6 m dari P 1 Ditanya : Hitung dan lukis resultan dari gaya-gaya tersebut di atas. Tentukan letak garis kerja resultan secara grafis dan analitis. (waktu 30 menit) b) Lukis hasil penguraian gaya dibawah ini menjadi gaya P 1, P 2 dan P 3 Garis kerja P 3 Gb. 1.20. Penguraian 1 gaya menjadi 3 gaya = 1000 kg Garis kerja P 2 Garis kerja P 1 (waktu 30 menit)
c) Hitung resultan gaya di bawah ini dengan cara grafis dan analitis serta bandingkan. Gb. 1.21 Penjumlahan 5 gaya menjadi 1 gaya 2000 kg 135 o 30 o 30 o 1000 kg 500 kg 1500 kg (waktu 30 menit) ANGKUMAN 1. Gaya adalah dilukiskan sebagai suatu garis yang mempunyai titik tangkap, besaran dan arah 2. Gaya mempunyai garis kerja dengan panjang tak terhingga dan arah yang sama dengan gaya itu sendiri 3. Gaya dapat dipindahkan sepanjang garis kerjanya dengan syarat mempunyai besaran dan arah yang sesuai dengan gaya aslinya 4. Operasi gaya dapat dilakukan baik secara analitis dengan bantuan sumbu XOY yang saling tegak lurus dan secara grafis dengan bantuan bangun jajaran genjang