P. JWIJDENES PL A NI MET RI / ' U N T U K K U R S U S BI DAN BII ILMU PASTI. 'D IS A D U R D a r i v l a k k e m e e t k u n d e V O O R VOORTGEZETTE STUDIE O LEH Prof. Dr. L. KUIPERS D A N WIRASTO N O O R D HOF F K O L F F N. V. D J A K A R T A 1 9 5 9
P. WIJDENES P LAN I M E T RI UNTUK KURSUS BI DAN B II ILM U PASTI. DISADUR DARI VLAKKE MEETKUNDE VOOR VOORTGEZETTE STUDIE OLEH Prof. Dr. L. K U I P E R S DAN W I R A S T O Cl- 6 0 0 1 / r 4 TJETAKAN KE - 3 ''N O O R D H O F F - K O L F F N: Vi '-D J A K A R T A 1959
PE N D A H U LU A N. Untuk mendidik tjalon guru ilmu pasti di Sekolah Menengah, hingga kini pada um um nja dipergunakan buku2 : P. Molenbroek, Leerboek der Vlakke Meetkunde dan P. Wijdenes, Vlakke Meetkunde voor Voortgezette Studie. Buku karangan P. Molenbroek itu pada a^asnja diuntukkan bagi mereka jang hendak menempuh udjian akte M.O. K I. dinegeri Belanda. Karena itu maka isinja sangat mendalam. Untuk mereka jang hendak menempuh udjian L.O. wiskunde, buku karangan P. Wijdenes itu sudah lebih daripada m entjukupi. Oleh karena rentjana peladjaran Kursus B I ilmu pasti lebih mendekati rentjana untuk L.O. wiskunde, maka buku P. Wijdenes itulah jang kami pilih untuk disadur dan diterdjemahkan kepada bahasa Indonesia. Dengan menerbitkan saduran ini sudah kami langkahkanlah djedjak jang pertama kearah melengkapi kursus BI ilmu pasti dengan buku2 peladjaran dalam bahasa Indonesia. Sementara ini buku Aldjabar Rendah, jakni saduran P. Wijdenes : Lagere Algebra I dan II jang kami gabungkan dan sederhanakan sesuai dengan rentjana BI, telah dimulai pentjetakannja. Kemudian dari pada itu buku2 jang lain, berturut-turut akan menjusul. Pengarang. T JE T A K A N K E 2 Pada tjctakan ke-2 ini kiranja sudah sepatutnjalah kami mengutjapkan terima kasih banjak2 kepada Tuan Salijo dari seksi anggaran di Kementerian P.P. dan K. jang telah inenundjukkan kami akan kesalahan2 jang terdapat pada tjetakan pertama, dan kepada Broeder Goswin, Pemimpin Kursus B.I. Bernardus di Solo, jang sudi memperbaiki kesalahan2 tersebut dan kesalahan2 lain lagi. Dengan demikian maka besarlah harapan, bahwa tjetakan ke-2 ini djauh lebih memuaskan lagi. Meskipun begitu tiap2 tegur sapa para pemakai jang dapat memperbaiki m utu b u k u jn i, akan kami perhatikan sungguh-sungguh. Djakarta, 1959. Penerbit.
TANDA DAN NOTASI. J_ berarti : tcgaklurus pada. // : sedjadjar dengan. : sudut. A : segitiga. co ; sebangun. ^ : sama dan sebangun atau kongruen. A B melambangkan sebuah garislurus. A B melambangkan sebuah seginentgaris. A B melambangkan pandjang sebuah seginentgaris A B. [A B melambangkan sebuah garissetengah jang berpangkal pada A. A B melambangkan sebuah segmentgaris jang berarah. (A B P) melambangkan perbandingan - bagi P A : P B. (A, B; C, D) melambangkan perbandingan - rangkap (A B C) : (A B D); djadi C A C B D A D B T(A, B; C, D) melambangkan perbandingan-rangkap sinar-empat T (A, B, C, D). n(p, C) melambangkan kuasa P terhadap lingkaran C. A B D JA D JU N A N I a A alpha a V N nu n 0 B béta b Ç H xi X Y r gamma g 0 0 omikron 0 S A delta d 71 n Pi P E epsilon e Q p rho r Z zêta z CT of c s sigma s 'n H éta e T T tau & of 0 thêta th U Y upsilon u 1 / I iota i 9 O phi ph X K kappa k X X chi ch X A lam bda l T psi ps M- M m u m co a oméga 00
A X IO M A 2 DAN D A L IL 2 Ax. I. Melalui dua titik dapat dibuat tepat s a tu 1) garis. l a. Djika dua sudut sama, tentu sudut-bersisian mereka djuga sama. l b. D jika a > p, tentu sudut jang bersisian dengan a lebih ketjil dari sudut jang bersisian dengan p. 2. Semua sudut siku-siku sama besarnja. 3. Dua sudut jang bertolak belakang sama besarnja. 4. Melalui suatu titik T pada garis g dapat dibuat tepat satu garis tegaklurus pada g. Ax. II. Melalui sebuah titik T diluar garis g dapat dibuat tepat satu garis h II g. u 5. D jika g I/ k dan h // k, tentu g // h. 6. D jika sebuah garis memotong salah satu dari dua ea onrr cohioh tar fp n fn i s nrr I oim 4-^---X 6 d *IS jang sedjadjar, tentu jang lain terpotong djuga olehnja Ax. III. Pada suatu perpindahan, sebuah titik mendjad'i sebuah t v u lagi, sebuah garis mendjadi sebuah garis lagi, dst. Ax. IV. g dan gg ( = tergeser) tentu sedjadjar atau berim pit. berlawanan arahnja, tentu kedua sudut tadi hprrfin l ) tetap satu berarti tidak kurang dan tidak j, * >» i sedikit dan paling banjak satu. lebih dari satu, atau,, paling
13. Sudutluar suatu segitiga sama dengan djumlah kedua sudut dalam jang tidak bersisian. 14. D jum lah ketiga sudut suatu segitiga saina dengan 180. 15. D jika dalam A ABC terdapat b c, maka p - y. 16. D jika dalam A A BC terdapat p = y, maka b == c. 17. Djika a av p = plf dan y = y1( maka A ABC ^ A Aj B, Cj. 18. D jika a = olt p = pj dan a = alt maka A ABC ^ A Aj Bt Ci. 19. D jika a alt b = bt dan y = yp maka A ABC ^ A A, Bj C,. 20. D jika a av b bx dan c cl, maka A ABC ^ A Aj Bj Cj. 21. D jika tentang dua segitiga ABC dan Aj BjCj diketahui : a av b bxdan a = alf tentu terdapat salah satu dari kedua kemungkinan dibawah i n i : 1. kedua segitiga sama dan sebangun, sehingga p = p, 2. kedua segitiga tidak sama dan sebangun ; p + pt = 180 ; djadi salah satu lantjip dan jang lain tum pul. 22. D jika dua sisi sebuah segitiga tidak sama pandjangnja, maka sudut didepan sisi jang besar djuga lebih besar daripada sudut didepan sisi jang ketjil. 23. Djika dua sudut sebuah segitiga tidak sama besarnja, maka sisi didepan sudut jang besar djuga lebih besar daripada sisi didepan sudut jang ketjil. 24. Djum lah dua sisi sebuah segitiga lebih besar daripada sisi jang ketiga ; selisih dua sisi lebih ketjil daripada sisi jc i u g Ketiga. 25. Djum lah dua sisi sebuah segitiga Jcb'h besar dari djumlah kedua segmentgaris, jang menghubungka..- c^harang titik dalam segitiga itu dengan kedua udjung sisi jang ketiga. 26. Djika dua sisi.sebuah segitiga sama dengan dua sisi sebuah segitiga jang lain, tetapi sudutapitnja dalam segitiga jang pertama lebih besar dari sudutapit dalam segitiga jang kedua, tentu sisi jang ketiga dalam segitiga jang pertama djuga lebih besar daripada sisi jang ketiga dalam segitiga jang kedua. 27. Djika dua sisi sebuah segitiga sama dengan dua sisi sebuah segitiga jang lain, tetapi sisi ketiga dalam segitiga jang pertama lebih besar dari sisi ketiga dalam segitiga jang kedua, tentu sudut didepan sisi ketiga dalam segitiga 7
jang pertama lebih besar dari sudut didepan sisi ketiga dalam segitiga jang- kedua. 28a. Garis berat zc dari titiksudut C sudut siku-siku suatu segitiga siku-siku, sama dengan setengah sisi-miring c. b. D jika dalam sebuah segitiga, garisberat dari sebuah titiksudut sama dengan setengah sisi dihadapannja, maka sudut segitiga jang terletak pada titiksudut tadi siku-siku. 29a. Djika sebuah segitiga siku-siku mempunjai sudut sebesar 30, tentu sisi-siku jang berhadapan dengan sudut itu sama dengan setengah sisi miring, b. Djika pada sebuah segitiga siku-siku salah satu sisi-siku sama dengan setengah sisi miring, tentu sudut didepan sisi-siku ini 30 besarnja. 30. Dalam segitiga samakaki berimpitlah garisbagi, garisberat beserta garistinggi dari puntjak dan sumbu alas 31. Djika dari titiksudut A sesuatu segitiga dibuat garis-garis rfa (garisbagi), za (garisberat) dan /a (garistinggi), dan dita diantara garis-garis itu berimpit, tentu b = c. 32. Djika P titik sebarang, dan A dan B dua titik pada suatu garis g, sedangkan PA > PB, tentu djuga projeksi PA pada g lebih besar dari projeksi. PB pada g. 33a. Tiap-tiap titik pada sumbu seginentgaris AB te rlp t^ sama djauh dari A dan dari B. b. Tiap-tiap titik jang terletak sama djauh dari dua titik A dan B, terletak pada sumbu AB. 34. Sumbu-sumbu ketiga sisi a ABC melalui satu titik 35. Ketiga garistinggi setiap segitiga melalui satu titik 36a. D jik a g dan *«<»* 's jang p 0;ons. t, n o t a «'ten,.. s P '!tfk P ^ a «?rl!baei suatu sudut antara»dana terletak sama djauh dari g dan h. b. Setiap titik ja n g terletak sama djauh dari dua garis. dan h jang potong mem otong, tentu terletak padf garisbag" salah satu sudut antara g dan h ^ n s n a g i 3?. Ketiga garisbagi-dalam pada setiap segitiga m elalui satu i m gum bagi-rnm, sudut jang ketiga Dua me/aiui satu titik. j b & 38. Djumlah sudut-sudut sebuah segiempat sama dengan,360. 39a. Dalam setiap djadjarangendjang setiap dua sudut jang berhadapan sama besarnja. 40a. Dalam setiap djadjarangendjang setiap dua sisi jang berhadapan sama besarnja.
41a. Dalam setiap djadjarangendjang kedua diagonalnja saling membagi dua sama. 42a. Setiap djadjarangendjang berpusat. 39b, 40b, 41 b dan 42b adalah berturut-turut kebalikan dari dalil-dalil 39g, 40a, 41 a dan 42a. 43. Djika dua sisi jang berhadapan sama besarnja dan sedjadjar, maka 'segiempat itu adalah djadjaran gendjang. 44. Segmentgaris jang menghubungkan titikpertengahan dua sisi sebuah segitiga, tentu sedjadjar dengan sisi jang ketiga dan sama dengan setengah sisi jang ketiga. 45. a. Dalam sebuah belaliketupat kedua diagonal tegaklurus sesamanja dan membagi dua sama sudut-sudut belahketupat itu. b. D jika dalam sebuah djadjaran gendjang kedua diagonal tegaklurus sesamanja atau salah satu diagonal membagi dua sama salah satu sudut, ientu djadjaran gendjang tadi adalah sebuah belaliketupat. 46. a. Dalam setiap persegipandjang kedua diagonalnja sama pandjangnja. b. Kebalikan dalil 46a. 47. a. Dalam setiap trapesium samakaki sudut-sudut jang terletak pada udjung setiap sisi sedjadjar, sama, b. Trapesium jang sudutalasnja sama, tentu samakaki. 48. a. Trapesium samakaki m em punjai sumbu symmetrie. b. D jika salah satu bimedian sebuah segiempat mendjadi sumbu symmetrie, tentu segiempat itu adalah sebuah trapesium samakaki. 49. a. Dalam trapesium samakaki kedua diagonal sama pandjangnja. b. Kebalikan dalil 49a. 50. Dari satu titiksudut sebuah segi-/z dapat dibuat n 3 diagonal, dari semua titiksudut \n(n 3) diagonal. 51. a. Diagonal2 jang dibuat dari suatu titiksudut sebuah segi-/?, membentuk n 2 buah segitiga. Djum lah semua sudut sebuah segi-zz sama dengan (n 2) x 180. b. Djum lah semua sudutluar setiap segi-«sama dengan 360. 52. Pada sebuah segi-/2 setiap sisi lebih ketjil dari djumlah semua sisi Iainnja. 53. Dua segibanjak sama dan sebangun, djika mereka dapat disusun dari segitiga-segitiga, jang sepasang-sepasang 9
sama dan sebangun, dan tersusun dengan tjara jang sama. 54. D jika n 1 sisi beserta sudut-sudut antara mereka, atau n 2 sisi jang berturut-turut beserta semua sudut pada sebuah segi-n sama dengan unsur-unsur jang bersesuaian pada segi-n jang lain tentu kedua segi-n itu sama dan sebangun. 55. Lingkaran jang sama tentu djuga sama dan sebangun. Busur-busur jang sama dan terletak pada satu lingkaran atau pada lingkaran-lingkaran jang sama, tentu sama dan sebangun, dan talibusur-talibusur mereka sama pan- djangnja. 56. Garis pemuat apothema sebuah talibusur membagi dua sama talibusur itu dan djuga kedua busurnja. 57. a. D jik a djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis lebih besar dari djari-djari garis itu, tentu lingkaran dan garis tadi tidak bersekutu setitikpun. b. D jika djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis sama dengan djari-djari lingkaran itu, tentu lingkaran dan garis tadi bersekutu tepat satu titik. c. D jika djarak dari pusat sebuah lingkaran kesuatu garis lebih ketjil daripada djari-djari lingkaran tadi, tentu lingkaran dan garis tadi bersekutu dua titik. 58. a. Garissinggung pada sebuah lingkaran tentu tegaklurus pada djari-djari titiksinggungnja. b. Garis jang melalui sebuah titik pada suatu lin gkaran dan tegaklurus pada djari-djari ketitik itu, tentu menjinggung lingkaran tadi pada titik tadi. 59. Garissinggung dititik A pada suatu lingkaran, ialah letaklim it suatu garispotong jang berputar pada A, djika titik-potong jang kedua bergerak mendekati A. 60. Djarak terketjil dari sebuah titik T jang terletak sedjauh d dari pusat lingkaran (P,r) kelingkaran itu ialah d - r [ djarak terbesar ialah d + r. A da satu titik pada lingkaran itu ja n g d ja ra k n ja ke T paling ketjil, ada djuga satu titik ja n g d ja ra k n ja p aling besar ; ada tepat dua titik pada lingkaran itu jang mem- punjai djarak sebarang (djarak ini harus terletak antara djarak jang -terketjil dan jang terbesar). 61. a. D jika djarak antara pusat dua lingkaran lebih besar dari djumlah kedua djari-djari, tentu lingkaran jang satu terletak seluruhnja diluar lingkaran jan g lain.
b. Djika djarak antara pusat dua lingkaran sama dengan djumlah kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran bersekutu satu titik dan selain dari itu, lingkaran jang satu terletak seluruhnja diluar lingkaran jang lain. c. Djika djarak antara pusat dua lingkaran lebih ketjil dari djumlah kedua djari-djari, tetapi lebih besar dari selisih kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran itu bersekutu dua titik. d. Kalau djarak antara pusat dua lingkaran jang tidak sama, sama dengan selisih kedua djari-djari, tentu kedua lingkaran itu bersekutu satu titik dan selain dari itu lingkaran jang besar terletak seluruhnja diluar lingkaran jang ketjil, dan lingkaran jang ketjil terletak seluruhnja didalam lingkaran jang besar. e. Djika djarak antara pusat dua lingkaran lebih ketjil daripada selisih kedua djari-djari, tentu lingkaran jang besar terletak seluruhnja diluar lingkaran jang ketjil dan lingkaran jang ketjil terletak seluruhnja didalam lingkaran jang besar. 62. Sentral dua lingkaran jang potong-memotong tentu mendjadi sumbu talibusur persekutuan. 63. a. D jika dua lingkaran hanja bersekutu satu titik A sadja, (singgung-menjinggung di A), tentu sentral mereka melalui titik ini ; di A mereka mempunjai garissinggung persekutuan jang tegaklurus pada sentral. b. D jika sentral dua lingkaran melalui sebuah titik persekutuan, tentu kedua lingkaran-singgung itu menjing- gung dititik ini. c. D jika dua lingkaran bersekutu satu titik dan garissinggung dititik itu, tentu kedua lingkaran tadi singgung-menjinggung dititik itu. 64. Melalui sebuah titik diluar sebuah lingkaran dapat dibuat dua garissinggung pada lingkaran itu. Titik tadi terletak sama djauh dari kedua titiksinggung. Garis jang menghubungkan titik tadi dengan pusat lingkaran tadi, membagi dua sama sudut antara kedua garissinggung. 65. a. Dalam segiempat talibusur setiap pasang sudut jang berhadapan berdjumlah 180. b. D jika dalam sebuah segiempat dua sudut jang berhadapan berdjumlah 180, tentu segiempat itu sebuah segiempat talibusur. 11
66. a. Setiap segiempat garissinggung adàlah convex; djum lah kedua pasang sisi jang berhadapan adalah sama, b. D jika pada sebuah segiempat jang convex djumlah kedua pasang sisi jang berhadapan sama, tentu dalam segiempat itu dapat dibuat sebuah lingkaran. 67. Sudut antara dua lingkaran jang potong memotong atau singgung menjinggung tentu sama dengan sudut antara kedua djari-djari jang bertemu pada suatu titikpotong atau pada titiksinggung.
B A B I. Lukisan. 1. Melukis ialah membuat atau menjelesaikan suatu gambar, jang harus memenuhi sjarat-sjarat, jang diterangkan dengan pengertianpengertian ilmu ukur. Biasanja lukisan hanja boleh dikerdjakan dengan menggunakan mistar, segitiga-gambar dan djangka ; alat-alat lain tidak diperkenankan. Djika suatu gambar, karena sulitnja, tidak dapat dengan langsung dilukis dari apa jang telah diketahui, maka terlebih dulu diselidiki sifat-sifatnja jang memungkinkan lukisan itu. Penjelidikan ini disebut analysa atau persiapan. Untuk keperluan ini dibuat gambar-sementara (jang tidak perlu tepat sama dengan gambar jang dim aksud); dalam gambar-sementara ini bagian-bagian jang diketahui diberi tanda, untuk mempermudah mentjarinja sifat-sifat jang berguna. Sesudah sifat-sifat ini terdapat, maka dikatakan djalannja untuk menjusun gambar jang ditanjakan dari hal-hal jang telah diketahui ; kemudian harus dibuktikan, bahwa gambar jang terdapat memenuhi segala sjarat jang telah ditetapkan. Achirnja perlu diselidiki, apakah hal-hal jang diketahui masih harus memenuhi beberapa sjarat, supaja lukisan itu 'mungkin dilakukan. Perlu diselidiki djuga, berapa banjaknja gambar jang d a p a f dilukis. Dalam penjelidikan terachir ini harus dipandang segala kemungkinan mengenai hal-hal jang diketahui. Djadi lukisan lengkap terdiri dari empat bagian jang selandjutnja disebut persiapan, lukisan, bukti dan diskussi (pembitjaraan). Dalam pembitjaraan biasanja telah dianggap tjukup, djika disebutkan banjaknja gambar jang didapat pada umumnja, ja ni djika antara hal-hal jang diketahui tidak terdapat hubungan-hubungan jang mempengaruhi banjaknja gambar jang dapat dilukis. Ada beberapa lukisan jang sangat mudah, sehingga tidak perlulah membuat lukisan lengkap jang terdiri dari keempat bagian, seperti jang telah diuraikan diatas. Misalnja lukisan-lukisan jang tersebut dibawah i n i ; lukisan-lukisan hanja kita sebut sadja : I. Melukis sebuah segitiga, jang ketiga sisinja diketahui. II. Melukis sebuah sudut, jang sama dengan suatu sudut «, dan jang salah satu kakinja telah diketahui. III. Melukis sebuah segitiga, djika diketahui : dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi itu. 13
IV. Melukis sebuah garis h, jang harus sedjadjar dengan sebuah garis g dan melalui sebuah titik T diluar garis g. V. Membelah (membagi dua sama) tegaklurus sebuah segmentgaris. V I. Melukis sebuah lingkaran melalui tiga titik jang diketahui. V II. Membuat garis tegaklurus pada garis g, melalui titik T pada g. V III. Membuat garis tegaklurus pada garis g.melalui titik T diluar g; IX. Membagi dua sama sebuah sudut. X. Membuat kedua garissinggung pada lingkaran (P, r) dari sebuah titik T diluar lingkaran tadi. X I. X II. Membuat garissinggung2 persekutuan pada dua lingkaran. Membuat lingkaran jang menjinggung tiga garis jang diketahui. 2. Salah satu tjara, jang banjak dipakai untuk menemukan suatu lukisan, ialah menggunakan gambar pertolongan. Ditjari terlebih dulu satu atau beberapa bagian dari bangun jang harus dilukis, jang karena mudah dapat dilukis begitu sadja. Dari bangun pertolongan ini, maka bangun jang harus dilukis dapat disusun. Umumnja diperlukan satu atau beberapa garis pertolongan kesukarannja ialah mengetahui garispertolongan jang m ana akan m em beri hasil. Kerap kali dipergunakan pergeseran sedjadjar, sehingga segmentgaris-segmentgaris atau sudut-sudut jang diketahui terkumpul kedalam satu segitiga atau segiempat. Suatu tjontoh ; Gb. 1: Garis2 pertolongan pada B Untuk melukis sebuah trapezium (lihatlah gambar 1) kerap kali penje- lesaian diketemukan dengan menggeser salah satu sisitegak atau salah satu diagonal (lihatlah C E # D A dan DF#CA). Djika dari trapezium tsb. diketahui kedua sisi-sedjadjar dan kedua diagonalnja, m aka dapat sebuah trapesium. dilukis A BDF, dst. D jika jang diketahui itu keempat, sisinja, maka dari A BCE ketiga sisinja terdapat Tjara ini djuga seringkali dapat dipergunakan untuk menjusun sebuah segiempat biasa. Djika, untuk melukis segiempat ABCD (lihatlah gb. 2) antara lain diketahui AB, DC' beserta sudut antara mereka, maka dibuat D E # A B, sehingga A C DE dapat dilukis. Djika diketahui kedua diagonal beserta sudut antara mereka, maka ditarik CF # B D (lihatlah gb. 3). dan a BCD dapat dilukis. A Gb. 2: Garis* pertolongan pada sebuah segi-empat. 14
Boleh djuga kita menggeser seluruh A BCD (lihatlah gb. 4 ; D H #.CA # BG), sehingga terdjadi A G A H ; djadjarangendjang B D H G dapat dilukis. F c B Gb. 3: Garis2 pertolongan pada segiempat. Gb. 4: Garis2 pertolongan pada segiempat. Kadang-kadang berguna djuga djadjarangendjang jang bertitiksudutkan titikpertengahan keempat sisi, atau titik pertengahan 'dua sisi jang berhadapan dan kedua diagonal. Kadang-kadang penjelesaian tertjapai dengan melipat suatu titik atau suatu bangun sepandjang suatu garis. Suatu tjara jang sangat penting, ja ni dengan menggunakan tempat kedudukan, akan dibitjarakan dalam bab kedua. 3. Sebagai tjontoh kita berikan penjelesaian lengkap dari beberapa soal lukisan. T JON TOH 1. Melukis sebuah segitiga djika diketahui alasnja, sudut puntjaknja dan djumlah kedua sisitegak. D Gb. 5: Persiapan. Gb. 6: Pelaksanaan. 15
P ersiapan (lihatlah gb. 5). Dari A ABC diketahui : Alas AB c, y dan a + b. 'U n tu k mewudjudkan djumlah ini sebagai satu segmentgaris, m aka AC diperpandjang dengan CD = a ; karena CD = CB, m aka /_ D = y (dalil 15 dan dalil 13). Sekarang dari A ABD telah diketahui : A B, AD dan /_ D, sehingga A ABD tsb. dapat dilukis menurut lukisan III,. sehabis itu dapat dilukis _ Bx = D, sehingga terdapatlah BC. L ukisan (lihatlah gb. 6). Gambarlah AD = a + b, dan lukislah pada D sudut sebesar y ; buatlah lingkaran (A, AB); dengan demikian terdapatlah titik B pada DF. Lukislah pada B sudut DBC = /_ D (atau buatlah sumbu BD) ; A ABC ialah segitiga jang harus dilukis. B uk ti. A ABC memuat ketiga hal jang diketahui ; sebab AB telah dilingkarkan, Bx = /_ D = sehingga dalam A ABCy = 2 D = sudut jang diketahui. Seterusnja A DBC m enurut dalil 16 atau 33 ad a lah samakaki ; karena itu AC -f CB = AC + CD = AD == djum lah jang diketahui. P e m b iija ra a n : D jika dibuat AF J_ BD, maka terdapat kemungkinan-kemungkinan sbb : 1) c < AF, ta terdapat segitiga sebuahpun ; 2) c AF, terdapat satu segitiga. 3) A F < c < AD, dua segitiga ; 4) c = AD = b + a, ta' sebuahpun. Sekarang masih akan diselidiki, apakah kedua segitiga jang terdapat pada kem ungkinan 3) tadi sama dan sebangun atau tidak. Untuk keperluan ini dalam gb. 7 telah terlukis kedua penjelesaian, ja ni A ABC dan Gb. 7: Kedua segitiga adalah kongruen. Z\ A B'C'. Kedua segitiga ini, menurut lukisan m em punjai sama alasnja (AB = AB ') dan sudutpuntjaknja! Z. A B 'B = L d j adi A B 'C ' = B2 /_ B / Bs D = a. Djadi A ABC ^ a B'AC' (perhatian: bukannja A A B 'C ') karena mereka mempunjai sama satu sisi dan dua sudut. T JO N T O H 2. Melukis sebuah budjursangkar dalam sebuah trapezium siku-siku (/_ A = 90, A B < DC) sehingga pada setiap sisi trapezium itu terletak sebuah titiksudut budjursangkar jang ditanjakan. 16
p e r s ia p a n. Seandainja X Y Z U adalah budjursangkar jang.ditanjakan, tentu X x + X 2 = 90, _ X 2 + Ux = 90 ; djadi _ X x = /_ V j. Demikian djuga Ux = /_ Zz ; begitu pula /_ X 2 /_ U2 = /_ Z, ; A A X U ^ A DUZ (dalil 17). Djika dibuat PQ melalui Y dan tegaklurus pada sisi-sisi jang sedjadjar, maka masih terdapat A P Y X dan A QZY, jang sama dan sebangun dengan kedua segitiga tersebut diatas. Maka AP =^- AD ; djadi P telah terdapat; selandjutnja djuga didapat Y dan Q, dst. L u k is a n (lihatlah gb. 9). Letakkanlah pada AB segmentgaris AP = AD, dan pada DC segmentgaris DQ = AD; tariklah PQ; PQ memotong BC di Y ; letakkanlah A X, DU dan QZ, masing-masing sama dengan P Y ; achirnja tariklah segmentgaris-segmentgaris X Y, YZ, ZU dan U X. B u k t i, (lihatlah gb. 9). Kedua segitiga siku-siku A X U dan DUZ mempunjai sama sisitegak-sisitegak mereka ; djadi mereka sama dan sebangun ; djadi X U = UZ dan Z. X 2 = /. U2. Maka : Ux + U2 = 90 sehingga _ X U Z = 90. Bukti serupa ini dapat diberikan djuga untuk ketiga titiksudut jang lain. Karena dalam segiempat X Y Z U keempat sisinja sama dan keempat sudutnja siku-siku, maka segiempat itu adalah sebuah budjursangkar. P e m b it ja r a a n : Pada kedua sisi sedjadjar dapat dipilih titik P dan titik Q, sehingga AP = DQ = AD ; djika PQ memotong sisimiring BC, m aka terdapat titik Y. Lihatlah gb. 10. c Q Gb. 10a: H al pertama. Gb. IOb: H al kedua. Gb. 10c: H al ketiga. Dalam keadaan a dan b tidak mungkin melukis budjursangkar dalam trapezium jang diketahui. Dalam keadaan c lukisan djuga tidak mung- 17 Planimetri 2.
kin, djika P Y = A X > AB ; djika P Y < AB, maka lukisan mendjadi mungkin. Diadi dapat diperoleh sebuah budjursangkar jang memenuhi sjarat, djika A B < AD < DC, lagi pula PY < AB. D jika ketiga sjarat ini dipenuhi, maka ada satu penjelesaian, oleh karena BC dan PQ hanja bersekutu satu titik sadja. T JON TOH 3. Melukis sebuah budjursangkar X Y Z U sehingga sisi-sisi X Y, Z Y, Z U dan U X berturut-turut melalui empat titik A, B, C dan D. P ersiapan. Djika kita berhasil menentukan satu titik lagi pada salah satu sisi budjursangkar jang ditanjakan, maka pekerdjaan selandjutnja m endjadi sangat mudah. D jika dibuat AC, kem udian ditarik dari D garis jang tegaklurus pada C AC, jang memotong garissisi Y Z di E, tentu DE = AC, sehingga terdapatlah titik E. Gb. 11: Persiapan. L ukisan (lihatlah gb. 12). Tariklah AC ; tariklah kemudian dari D sebuah garis tegaklurus pada AC, dan letakkanlah padanja D E = AC. Tariklah BE, dan buatlah dari A dan C garis-garis jang tegaklurus pada BE, dan memotong BE berturut-turut di Y dan Z. Achirnja tariklah melalui D sebuah garis jang se- B djadjar dengan BE, dan jang memotong garis-garis tegaklurus tsb. diatas berturutturut dititik X dan U. Maka X Y Z U adalah budjursangkar, jang memenuhi sjarat. B u k ti. Dari djalannja lukisan ternjata bahwa segiempat X Y Z U adalah sebuah persegipandjang, jang sisi-sisinja melalui keempat titik jang diketahui. Djadi hanja masih-perlu dibuktikan, bahwa dua sisi jang iwmw, Y/ltitt YZ, gama pandjangnja. Tariklah X F // D E dan YG // AC. Tentu segiempat-segiempat X F E D dan YGCA adalah djadjarangendjang, maka, oleh karena AC = DE, tentu djuga YG = X F. Djadi dari kedua segitiga siku-siku Y ZU dan X Y F sisimiringnja dan djuga sudut-sudutnja jang seletak, sama besarnja, sebab sisi-sisi jang seletak terletak tegaklurus sesamanja ; maka kedua segitiga ini sama dan sebangun. Akibatnja : X Y = YZ, dan inilah jang masih harus dibuktikan tadi. 18
P e m b it ja r a a n. Dalam meletakkan segmentgaris D E = AC, kita dapat memilih antara dua kemungkinan ; sebab dari titik D segment D E dapat diletakkan kesalah satu dari dua arah. Sesudah itu kebebasan untuk memilih sematjam itu, hingga lukisan selesai, tidak kita djumpai lagi. Djadi ada dua penjelesaian. Akan tetapi ada pula beberapa keadaan istimewa. Misalnja E mungkin berimpit dengan B. Ini terdjadi djika A C J_ BD dan AC = BD ; dalam keadaan ini terdapat penjelesaian jang ta' terbatas banjaknja. Mungkin djuga Y berimpit dengan Z, sehingga ta' terdapat budjursangkar sebuahpun ; ini terdjadi djika AC J_ BD, tetapi AC ^ BD (djuga dalam keadaan diatas djika D E'diletakkan disebelah jang lain terhadap D). Djika dalam soal diatas, urutan titik-titik jang harus dilalui sisisisi budjursangkar tidak ditetapkan, maka dengan tiga djalan keempat titik tadi dapat dibagi mendjadi dua pasang, ja'ni AB dan CD ; AC dan B D ; AD dan B C ; sepasang titik akan dilalui oleh dua garissisi jang berhadapan. Tiap-tiap perpasangan menghasilkan dua penjelesaian djadi (pada um um nja) terdapat enam penjelesaian. Penjelesaian-penjelesaian ini terdapat s b b.: Buatlah garis melalui C tegaklurus pada AB, dan letakkanlah A B pada garis itu disebelah-menjebelah C. Buatlah garis melalui B tegaklurus pada AC, dan letakkanlah AC pada garis itu disebelah-menjebelah B. 19
Buatlah garis melalui B tegaklurus pada AD dan letakkanlah AD pada garis itu disebelah-menjebelah. B. Dalam gb. 13 terlukislah ke-enam buah budjursangkar jang memenuhi sjarat. 4. Bab ini kita achiri dengan beberapa tindjauan umum. Pertamatam a kita selidiki lebih landjut, apakah sifat-sifat dari hal-hal jang diketahui (ketentuan). Ketentuan-ketentuan ini dapat dibagi mendjadi dua m atjam, ja ni : 1. Ketentuan jang mengenai bentuk dan besarnja suatu bangun ; artinja djika suatu bangun G memenuhi ketentuan-ketentuan itu, maka tiap-tiap bangun lainnja jang sama-dan-sebangun dengan G, memenuhi djuga ketentuan-ketentuan tadi.. M isalnja: besarnja segmentgaris-segmentgaris atau sudut-sudut jang terdapat dalam bangun jang harus dilukis; perbandingan antara besarnja dua segmentgaris atau dua sudut ; ketentuan, bahwa tiga titik harus terletak pada satu garis atau pada satu lingkaran; atau, bahwa. tiga garis harus melalui satu titik; bahwa dua garis harus sedjadjarbahwa suatu segmentgaris harus lebih besar dari sebuah segmentgaris jang lain, dst. 2. Ketentuan, jang djuga mengenai letaknja bangun jang harus dilukis A rtinja, djika suatu bangun G memenuhinja, maka dengan m em indah G tadi dapat diperoleh bangun jang lain, jang tidak lagi memenuhinja. Misalnja : suatu titik dari bangun jang akan dilukis harus terletak pada suatu garis #t,au padfi Slliltll lillgkaran ; suatu garis 8t3U SllSiU litlgkcirtltl pada bangun jang akan dilukis harus melalui sebuah titik ; salah satu titik-sudut suatu segitiga jang harus dilukis diketahui letaknja, dst. Maksudnja perkataan : dari suatu bangun diketahui sebuah segmentgaris atau sebuah sudut, ialah, bahwa besarnja segmentgaris atau sudut itu diketahui. Djika suatu segmentgaris atau suatu sudut jang sudah tergambar pada suatu tempat, harus mendjadi sebagian dari bangun jang harus dilukis, maka dikatakan, bahwa segmentgaris atau sudut tadi telah diketahui besar dan letaknja. Ketentuan jang pertama termasuk matjam 1, jang kedua termasuk m atjam 2. Sekarang kita bitjarakan banjaknja ketentuan, jang menetapkan sebuah bangun ; artinja : jang membatasi banjaknja bangun jang memenuhi hingga suatu djumlah jang terbatas, misalnja satu, dua, empat dsb. Djika ketentuan-ketentuannja hanja memungkinkan satu bangun sadja, m aka dikatakan bahwa ketentuan-ketentuan tadi menetapkan 20
bangun tadi dengan setundjuk. Djika ketentuan-ketentuannja sedemikian sehingga, djika suatu bangun G memenuhi, diuga tiap-tiap bangun jang sama-dan-sebangun dengan G memenuhi (djadi hanja mengenai bentuk dan besarnja sadja), maka semua bangun jang sama-dan-sebangun dianggap hanja merupakan satu penjelesaian sadja. Kalau terdapat satu atau beberapa ketentuan jang mengenai letaknja bangun jang harus dilukis, maka bangun-bangun jang berlainan tetapi sama-dan-sebangun, djika memenuhi ketentuan-ketentuan harus dianggap penjelesaian-penjelesaian jang berlainan pula. Misalnja : djika harus dilukis sebuah segitiga, jang sisi-sisinja a, b dan c bertutut-turut sama dengan tiga segmentgaris p, q dan r, jang memenuhi p + q > r, P + f > q dan q + r > p, maka segitiga itu telah tertentu oleh keten- tuan-ketentuan itu. Tetapi djika ketentuan-ketentuan tadi ditambah dengan ketentuan, bahwa titiksudut A harus terletak pada suatu garis, maka terdapat penjelesaian jang tidak terbatas banjaknja : sebab segitiga-segitiga jang berlainan tetapi sama-dan-sebangun jang memenuhi, tidak lagi dianggap hanja merupakan satu penjelesaian sadja. Djadi meskipun banjaknja ketentuan telah ditambah dengan satu, tetapi bangun jang harus dilukis 'malahan tidak lagi tertentu. Sebabnja ialah : mengingat m atjam nja ketentuan-ketentuan pada lukisan jang semula (jang belum ditambah ketentuannja), maka pada lukisan jang semula hanja besar dan bentuknja segitiga sadjalah kita pandang; sebaliknja ketentuan jang kita tam bahkan tadi mengenai Ietaknja segitiga, tetapi tidak tjukup. untuk m enentukan letak segitiga itu. Telah diketahui bahwa sebuah segitiga dapat dilukis dari ketentuan-ketentuan sbb. : tiga sisi ; dua sisi beserta sudut-apit mereka ; dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi itu ; satu sisi, satu sudut pada sisi itu dan sudut didepan sisi itu. D jika lukisan itu mungkin dilakukan, tentu terdapat satu bangun ; ketjuali pada lukisan jang k e tig a: disini terdapat satu atau dua penjelesaian. Kum pulan tiga unsur, jang tidak kita sebutkan diatas, ialah hanja ketiga sudut. D jika ketiga sudut diketahui, maka lukisan hanja dapat dilakukan djika djumlah ketiga sudut itu sama dengan 180 ; tetapi dalam keadaan ini penjelesaian tidak terbatas banjaknja. Djika suatu lukisan hanja m ungkin dilakukan, djika antara ketentuan-ketentuannja terdapat suatu hubungan kesamaan (disini a + 3 + y = 180 ), m aka ketentuan-ketentuan tadi disebut berhubungan (ketentuan jang berhubungan), djika mereka memenuhi hubungan tadi ; mereka disebut bertentangan (ketentuan-ketentuan jang bertentangan) djika tidak memenuhi hubungan itu. Djadi pada ketentuan jang bertentangan tidak terdapat bangun sebuahpun, jang memenuhi sjarat. 21
D jika, untuk m em ungkinkan lukisan, ketentuan-ketentuannja harus memenuhi satu atau beberapa hubungan ketidak-samaan (misalnja a + b > c, a + c > b, b c > a untuk segitiga dengan sisi a, b dan c), m aka ketentuan-ketentuan tadi tidak disebut berhubungan djika hubungan ketidaksamaan tadi d ip e nu h i; tetapi mereka disebut bertentangan djika hubungan ketidaksamaan itu tidak dipenuhi. Ketentuan-ketentuan jang tidak berhubungan dan tidak bertentangan, disebut tidak berhubungan". Jang diuraikan diatas tentang melukis sebuah segitiga dari beberapa unsurnja, sekarang boleh dikatakan sbb.: sebuah segitiga tertentukan (dapat ditetapkan) bentuk dan besarnja oleh tiga unsurnja jang tidak berhubungan. Menentukan unsur-unsur jang menetapkan suatu bangun, dapat diganti dengan menuliskan sebuah bilangan, jang menjebutkan besatnja unsur itu dengan suatu satuan (misalnja «.m, deradjat). D jika pada lukisan sebuah segitiga dari dua sisi dan sudut didepan salah satu sisi itu, ditetapkan pula djenisnja (tumpul atau lantjip) sudut didepan sisi jang lain, maka penetapan djenis ini sama sadja artinja dengan suatu hubungan ketidaksamaan, jang mengakibatkan berkurangnja penjelesaian dari dua mendjadi satu ; djadi segitiga jang tadinja sudah tertentu, kem udian mendjadi tertentu dengan setundjuk. Djadi suatu hubungan ketidaksamaan ternjata tidak mempengaruhi tertentu atau tidaknja suatu segitiga, artinja: karena suatu hubungan ketidaksamaan, banjaknja penjelesaian tidak dapat berubah dari tidak terbatas mendjadi terbatas, atau sebaliknja. Djika suatu hubungan kesamaan dilepaskan dan diganti dengan hubungan ketidaksamaan, tentu penjelesaian mendjadi ta' terbatas banjaknja. Djika sebuah segitiga harus dilukis dari ketentuan-ketentuan ian» bukan unsur, maka berhubung dengan jang telah diuraikan di^tas* dengan mudah timbullah persangkaan, bahwa pada iimumnja diperlukan tiga buah ketentuan jang tidak berhubungan, untuk menetapkan bentuk dan besarnja sebuah segitiga. Jang dihitung disini, hanja ketentuan-ketentuan jang dapat diwudjudkan dengan hubungan kesamaan ; jang sesuai dengan hubungan ketidaksamaan tidak turut dihitung. D jika suatu ketentuan dapat diw udjudkan dengan dua hubungan kesamaan (m isalnja ketentuan, bahwa suatu segitiga harus samasisi), maka ketentuan ini disebut ketentuan rangkap dua, dan dianggap dua ketentuan tunggal. Dem ikian djuga ketentuan jang rangkap tiga dianggap tiga ketentuan tunggal. Uraian mengenai banjaknja ketentuan jang menetapkan sebuah segitiga ini, djanganlah hendaknja dipandang sebagai suatu dalil dengan arti jang tepat, jang dapat dibuktikan dengan saksama. Lebih baik uraian itu dipandang sebagai suatu petundjuk jang berguna djika kita harus melukis sebuah segitiga. Sebelum lukisan dim ulai, m aka dengan 22
petundjuk ini, kami dapat mengetahui untuk sementara, apakah djumlahnja ketentuan-ketentuan tidak terlalu banjak ; apakah (djika lukisan mungkin dilakukan) djum lahnja penjelesaian tidak mendjadi ta' terbatas banjaknja. Mudah dapat dimengerti, bahwa sebuah segi-n dapat dilukis dari (n 1 ) sisi dan ke-(/z 2 ) sudut jang diapit oleh sisi-sisi itu ; djuga dari (n 1 ) sudut dan (n 2) sisi jang berturut-turut; djadi pada kedua lukisan masing-masing diperlukan (2n 3) unsur. Ini adalah alasan untuk menjatakan, bahwa untuk menetapkan bentuk dan besarnja sebuah segi-n, urnumnja diperlukan (2n 3) ketentuan jang tidak berhubungan. Ini djuga dapat didjelaskan dengan djalan membuat semua diagonal dari salah satu titik-sudut sebuah segi-n, sehingga terdjadi (n 2) segitiga. Segitiga jang pertama dapat ditetapkan bentuk dan besarnja oleh tiga ketentuan. Karena itu salah satu sisi dari segitiga jang kedua dapat diketahui, sehingga masih diperlukan dua ketentuan lagi untuk menetapkan bentuk dan besarnja segitiga jang kedua ini. Diuga semua segitiga jang lain, masing-masing memerlukan dua ketentuan, djadi banjaknja ketentuan jang diperlukan adalah 3 -j- (n 3) x 2 2n 3. Untuk menetapkan bentuk, besar dan letaknja sebuah segitiga, misalnja dapat dipakai ketentuan-ketentuan s b b.: tiga ketentuan untuk menetapkan bentuk dan besarnja ; selandjutnja letaknja titiksudut A (ini berarti dua ketentuan, misalnja djarak berarah dari dua garis jang diketahui ke A ; bandingkanlah dengan sumbu-x dan sumbu-y pada salib sumbu s ku-siku ; dan garis jang harus memuat titiksudut B, (satu ketentuan, ja'n i djarak dari B kegaris itu harus,0). Untuk menetapkan bentuk, besar dan letaknja sebuah segitiga diperlukan enam buah ketentuan jang tidak berhubungan. Tjontoh jang mudah ialah : ketiga titik-sudutnja diketahui, djadi ditentukan djarak berarah dari (misalnja sumbu x dan sumbu y) ketitiksudut-titiksudut ini. Djelas pula, bahwa sebuah segi n dapat ditetapkan bentuk, besar dan letaknja oleh 2n ketentuan jang tidak berhubungan, misalnja djarak berarah dari dua garis jang potong memotong kesemua titiksudutnja. Ternjata, bahwa um um nja diperlukan tiga ketentuan jang tidak berhubungan, untuk menetapkan letaknja sebuah bangun, jang besar dan bentuknja sudah ditetapkan dengan ketentuan-ketentuan jang tjukup banjaknja. Achirnja kita kemukakan hubungan jang terdapat antara jang telah diuraikan diatas dengan teori tentang bangun-bangun jang sama dan-sebangun. Karena sebuah segi-n dapat ditetapkan bentuk dan besarnja dengan (2n 3) ketentuan, dan sesudah ditam bah dengan beberapa hubungan ketidaksamaan mendjadi tertentu dengan setundjuk, maka dua segi-n jang mempunjai sama ke-(2 rc 3) ketentuan dan semua hubungan ketidaksamaan, tentu sama dan sebangun. 23
D jika sebaliknja dua bangun sama-dan-sebangun, kalau beberapa sudut dan segmentgaris dalam bangun jang satu sama dengan segmentgaris dan sudut dalam bangun jang lain, maka mungkin ini menim bulkan soal lukisan, ja'ni melukis bangun dari sudut-sudut dan segmentgarissegmentgaris tadi. 5. SOAL-SOAL. Soal jang harus dibuat dengan pembitjaraan jang lengkap, diberi tanda ( 1 ) dibelakangnja. 1. Lukislah sebuah segitiga samasisi, jang diketahui kelilingnja. 2. Lukislah segitiga samakaki, djika diketahui : a ' sebuah sudutalas dan garisbagi sudutalas itu. b. sudutpuntjaknja dan djum lah alas dan sebuah kaki c. garistinggi dari puntjak dan garisberat dari titiksudut jang lain 3. Lukislah sebuah segitiga siku-siku ABC (y = 90 ), djika diketahui a. garistinggi dan garisberat dari C ; b. sisimiring dan djum lah kedua sisisiku. c. garisberat dari B dan dari C. 4. Lukislah sebuah segitiga ABC, djika diketahui ; a. sisi a, sisi b dan garisberat mc. b. sisi a, garisberat mb dan garisberat mc. c. ketiga garisberat. ( 1 ). 5. Lukislah A ABC, djika d ik e tah u i: a. a, garistinggi ta dan garistinggi te ; ( 1 ); b. a, garisbagi da dan garistinggi ta ; c. a, garisbagi db dan garistinggi tb. 6. Lukislah A ABC, djika diketahui r a. a, p dan b + c b. a, y dan b c (b > c) c. a, a dan b c (b > c) 7. Lukislah A ABC dengan ketentuan-ketentuan s b b.: a. a, p dan a + b ; b. a, p dan b c (b > c); c. a, p dan a + b + c. 24
8. Lukislah sebuah persegipandjang, djika diketahui : a. sebuah diagonal dan kelilingnja; b. selisih antara sebuah diagonal dan sebuah sisi, dan sudut lantjip antara kedua diagonal. 9. Lukislah sebuah belahketupat, djika d ik e tah u i: a. sebuah sudutlantjip dan djumlah kedua diagonal ; b. diagonal jang terpandjang dan djarak antara dua sisi jang sedjadjar. 10. Lukislah sebuah djadjarangendjang, djika diketahui : o. sisi-sisinja dan djarak antara dua sisi jang sedjadjar: b. sebuah sisi, sudutlantjip antara kedua diagonal dan selisih antara kedua diagonal. 1 1. Lukislah sebuah trapezium, djika diketahui: a. keempat sisi ( 1 ) ; b. kedua sisi jang sedjadjar dan kedua sudut pada salah satu sisi itu ; c. sebuah sudut sebuah diagonal selisih antara kedua sisi sedjadjar dan djum lah kedua sisi jang lain. 1 2. Lukislah sebuah trapezium samakaki, djika d ik e tah u i: a. alas kaki dan tingginja ; b. sebuah kaki, sebuah diagonal dan djumlah kedua sisi jang sedjadjar. 13. Lukislah sebuah garis, sehingga dua lingkaran jang diketahui, C t dan C2, memotong dari garis itu talibusur-talibusur jang pandjang- nja k-l dan k2. 14. Lukislah segitiga siku-siku, djika diketahui: djari-djari lingkaran- dalam nja dan garistinggi pada sisimiring ( 1 ). 15,. Diketahui dua garis sedjadjar g dan h, dan sebuah titik T jang tidak terletak antara g dan h. Lukislah sebuah garis melalui T, jang momotong g di G dan h di H, sehingga : a. G H sama dengan segmentgaris a ; b. TG + TH sama dengan segmentgaris b. D jika T terletak antara g dan h, tariklah GTH, sehingga : c. TG TH sama dengan segmentgaris c. 25
16. Lukislah dalam A ABC sebuah segmentgaris D E // A B (D pada AC, E pada BC), sehingga a. D E = AD + BE b. D E = AD BE (a < b) 17. Sebuah lingkaran C, sebuah garis g dan sebuah segmentgaris AB diketahui besar dan letaknja. Tetapkanlah pada C sebuah titik P dan pada g sebuah titik Q, sehingga PQ # AB. 18. Lukislah segiempat ABCD, djika dik e ta h u i: a. keempat sisinja dan sudut antara dua sisi jang berhadapan ; b. AB, AD, CD, /_ B dan C ; c. dua sisi jang berhadapan dan tiga s u d u t; d. dua sisi jang berhadapan, kedua diagonal dan salah satu sudut antara kedua diagonal. 19. Dalam segiempat ABCD, M adalah titikpertengahan AB dan N titikpertengahan CD. Lukislah segiempat ini, djika diketahui MN dan selandjutnja djuga : a. keempat sisi ; b. AB, AD, BC dan /_ A ; c. AB, BC, CD dan sudutlantjip antara D A dan BC. 20. Diketahui sebuah garis g dan dua titik A dan B. Tetapkanlah pada garis g sebuah titik T, sehingga: a. TA dan TB" membuat sudut jang sama dengan garis g. b. TA* + TB mendjadi sependek-pendeknja. c. TA TB mendjadi sepandjang-pandjangnia. 21. Didalam sebuah sudut lantjip (g,h) terdapat sebuah titik A. Tjarilah pada g sebuah titik G dan pada h sebuah titik H, sehingga keliling A A G H mendjadi seketjil-ketjilnja. 22. Diketahui titik A dan titik B, jang terletak disatu pihak terhadap garis g. Dari A dan B dibuat garis-garis jang tegaklurus pada g dan memotong g, berturut-turut di A ' dan B'. Pilihlah pada segmentgaris A' B' sebuah titik T, sehingga /_ ATA' 2 / BTB'. 23. Diketahui dua lingkaran C1 dan C2 jang terletak disebelah menjebelah sebuah garis g. Pilihlah titik P pada Cx dan titik Q pada C2, sehingga g mendjadi sumbu segmentgaris PQ. 26
24. Lukislah segiempat ABCD, djika keempat sisinja diketahui, sedangkan diagonal AC membagi dua sama sudut A. 25. a. Diketahui dua lingkaran C, dan C2, jang potong m em otong; salah satu titikpotong mereka disebut S ; a ialah sebuah segmentgaris.lukislah talibusurrangkap pada kedua lingkaran itu, jang melalui S dan pandjangnja sama dengan a. b. Lukislah talibusurrangkap jang paling pandjang melalui S. c. Lukis djuga talibusurrangkap melalui S, jang terbagi dua sama oleh S. 26. Dari suatu segitiga siku-siku ABC (/_ C = 90 ) diketahui garisberat /na dan garisberat tnb. Lukislah segitiga itu dan selidikilah, sjarat-sjarat mana harus dipenuhi supaja lukisan itu mungkiri dikerdjakan. 27. Selidikilah tertentu atau tidaknja A ABC oleh ketentuan-ketentuan sbb. ; 1). a, b, dan ta ; 2). c, p dan /a ; 3). besar dan letaknja c ; besarnja b dan ta. 28. a. Lukislah A segitiga A ^ A ^ djika letaknja titikpertengahan. Mt, M 2 dan M3 ketiga sisinja diketahui. b. Lukislah sebuah segilima A ^ A z A ^ A ^, djika letaknja titik pertengahan M M,, M3, M4 dan M5 kelima sisinja diketahui. c. D apatkah sebuah segiempat dilukis, djika letak titikpertengahan keempat sisinja diketahui? d. Lukislah sebuah segiempat, djika titikpertengahan tiga sisi dan titikpotong kedua diagonal diketahui letaknja. e. Lukislah sebuah segiempat, djika diketahui letaknja titikpertengahan tiga sisi dan pandjangnja dua sisi jang berdekatan. /. Lukislah sebuah segiempat, djika diketahui letaknja titikpertengahan tiga sisi dan pandjangnja dua sisi jang berhadapan. g. Lukislah sebuah trapezium, djika diketahui titikpertengahan tiga sisi dan pandjangnja salah satu sisi. 27
B A B II. 6. TEMPAT KEDUDUKAN. Untuk mendjelaskan pengertian tempat kedudukan, kita mulai dengan beberapa tjontoh, jang kemudian akan kita bitjarakan sekali lagi. Melalui sebuah titik T dalam sebuah lingkaran dengan pusat P, ditarik beberapa talibusur dan kemudian ditetapkan titikpertengahan talibusur-talibusur ini. Titik-titik pertengahan ini, dan djuga titikpertengahan semua talibusur lainnja jang melalui T, merupakan sebuah lingkaran. Dikatakan sekarang, bahwa lingkaran ini adalah tempat kedudukan dari titik-titik pertengahan ta d i,'g b. 14. Gb. 14: Titik2 pertengahan Kita ambil dua garis Z dan m jang tali busur. potong memotong, dan sebuah segmentgaris a ; kemudian kita tentukan titik-titik T, jang djumlah djaraknja ke / dan ke m sama dengan a. Ternjata bahwa kumpulan semua titik jang mempunjai sifat ini, terdiri dari 4 buah segmentgaris, jang mendjadi sisi-sisi sebuah persegi pandiang, termasuk pula ke-empat titik-sudutnja ; gb. 15. Persegi pandjang ini disebut lagi tempat kedudukan titik-titik T. Sampailah kami sekarang pada pertegasan i n i : Jang dimaksud dengan tempat kedudukan ialah kumpulan semua titik, jang mempunjai sifat jang sama. Dalam tjontoh jang kesatu misalnja, tiap-tiap titik dari tempat kedudukan adalah titikpertengahan suatu talibusur jang melalui T. Dalam tjontoh jang kedua, djumlah djarak tiap-tiap titik dari tempat kedudukan ke / dan ke m sama Gb. ]5:dx+ d2= a. dengan segmentgaris a. Suatu tempat kedudukan mungkin terdiri dari satu atau beberapa tit ik ; satu atau beberapa garis atau (dan) garislengkung atau (dan) bagian-bagiannja, atau terdiri dari sebagian dari bidangdatar. Djika misalnja diketahui sebuah lingkaran (P,r ),maka tempat kedudukan titik-titik T jang memenuhi T P < r, adalah bagian dari bidangdatar jang terletak didalam lingkaran (P,r). 28
D j adi perkataan bangun dan perkataan tem pat kedudukan m enundjukkan hal jang sama, jakni : kumpulan satu atau beberapa titik. Hanja perkataan tempat kedudukan kita pakai, djika kita hendak menjatakan bahwa bangun itu dapat ditegaskan dengan suatu sifattanda, jang dapat dipergunakan untuk menetapkan, apakah sebarang titik (jang mana sadja) pada bidang adalah sebagian dari bangun itu atau tidak. Dalam tjontoh jang pertama sifattanda ini berupa lukisan jang menghasilkan salah satu titik dari bangun. Semua titik jang terdapat dengan lukisan ini, bersama-sama merupakan tempat kedudukan. Pertegasan sematjam ini menimbulkan pada pikiran kita gambaran suatu talibusur, jang berputar pada titik T jang tetap, titikpertengahan talibusur ini dikatakan membentuk (menghasilkan) atau mendjalani {melalui) bangun termaksud. Untuk mendjelaskan ini lagi te>mpat kedudukan kadang-kadang djuga disebut djalan jang dilalui oleh titikpertengahan talibusur jang berputar pada T. Sekarang kita bitjarakan pertanjaan, bangun jang manakah mendjadi tempat kedudukan, djika sebuah titik harus memenuhi suatu atau beberapa sjarat. Pertanjaan ini dalam ilmu ukur datar hanja dapat didjawab, djika sjarat-sjarat itu tidak sulit. Jang fclibitjarakan dalam ilmu ukur datar biasa, ialah hanja tempat kedudukan jang berupa titik-titik tersendiri; garis-garis lurus atau bagian-bagiannja; lingkaran ; busur lingkaran ; atau bagian bidang jang dibatasi oleh lingkaran atau bagian lingkaran. Sjarat-sjarat jang sangat sederhana, jang harus dipenuhi oleh suatu titik, seringkali telah menghasilkan tem pat kedudukan jang sangat sulit bentuknja. Pembatja hendaklah menggambar tempat kedudukan titik-titik, jang djumlah djaraknja ketitik-titik A dan B sama dengan segmentgaris a ; tempat kedudukan ini ternjata sebuah garislengkung, jang disebut ellips. Tempat kedudukan titik-titik,- jang hasilperbanjakan djaraknja ke A dan ke B sama dengan J/4 A B2, ialah lemniscat Bernoulli. Tarik djuga dua garis l dan m jang tegaklurus sesamanja ; di dalam tiap-tiap kwadrant dibuat segmentgaris-segmentgaris d, jang udjungudjungnja terletak di / dan m ; titik-kaki garis-garis jang dibuat dari titikpotong / dan m, tegaklurus pada segmentgaris-segmentgaris d merupakan sebuah roset jang berdaun empat buah. Tentu sadja sebuah tempat kedudukan harus disebutkan dengan djelas ; tidak tjukup djika m isalnja hanja dikatakan: tem pat kedudukan titikpertengahan sekumpulan talibusur sedjadjar sesuatu lingkaran adalah sebuah garistengah ; perlu djuga disebutkan arahnja garistengah itu. Begitu djuga pada tjontoh gb. 14, tidak tjukup djika hanja dikatakan bahwa tempat kedudukannja adalah sebuah lingkaran ; perlu djuga disebutkan titik- pusat beserta djari-djarinja, atau tiga titik jang dilaluinja. 29
Sekarang kita uraikan tentang apa jang harus kita buktikan, djika kita menjatakan, bahwa bangun G adalah tempat kedudukan titik-titik jang mempunjai sifattanda k. 1. S ja ra t: sifattanda k\ dari penjelesaian ternjata bahwa tiap-tiap titik T\ jang mempunjai sifattanda k, adalah sebagian dari sebuah bangun G. 2. Ambillah sebarang titik T2 pada G ; buktikanlah, bahwa T2 mempunjai sifattanda k. 3. Buktikanlah, bahwa sebuah titik T3 jang tidak niempunjai sifattanda k, tentu terletak diluar G. Ambillah sebuah titik T4 diluar G dan buktikanlah, bahwa T4 tidak mempunjai sifattanda k. Suatu tjo n to h ; lihatlah gambar 16 disini zl, z2, z3 dan z4 adalah garissisi sebuah budjursangkar dengan sisi a. Sifattanda, bahwa djumlah djarak suatu titik A kegaris-garis z sama dengan 3 a, menghasilkan : A adalah titik dari sebuah segidelapan (buktinja diserahkan kepada pem batja); segidelapan ini adalah bangun G ; lihatlah d juga titik B. Sekarang keempat pernjataan mendjadi : 1. Untuk sebuah titik sifattandanja ialah: s = 3 a ; akibatnja: titik itu terletak di G ; lihatlah A. 2. 3. 4. nja B adalah sebuah titik dari segidelapan G ; harus dibuktikan : djumlah djarak B kegaris-garis z sama dengan 3 a. Untuk C berlaku : s # 3 a ; a k ib a t: C bukan titik dari G D tidak terletak pada segidelapan ; akibat s ^ 3 a. Pernjataan-pernjataan ini tidak perlu dibuktikan keempat-empat- ; kita mulai dengan 1, lalu kami buktikan 2. Kemudian lihatlah 3, kalimat terachir; salah satu sadja b e n a r: C adalah sebuah titik dari G atau bukan titik dari G ; jang tersebut dahulu tidak mungkin ; lihat sadja 2 ; menurut 2 tentu s = 3a, dan ini bertentangan dengan kalim at pertama dari 3. 4 pun tidak kita perlukan, sebab djuga dapat dibuktikan setjara tidak langsung. Djadi untuk bukti jang diperlukan, tjukuplah kita pakai dua pernjataan sadja, misalnja : 1 dan 2 ; 1 dan 3 ; 2 dan 4 atau 3 dan 4. 30