Relasi Tolerans & Relasi Ekivalen Logika Fuzzy 1
Sifat-sifat Relasi Misalkan terdapat sebuah semesta dengan 3 elemen dinyatakan X = {1, 2, 3}, maka berikut adalah sifat-sifat relasi yang mungkin: Refleksivitas 2
Simetri Transitivitas 3
Relasi Ekivalen Tegas Relasi R merupakan relasi ekivalen jika mempunyai sifat refleksivitas, simetri, dan transitivitas. Misalkan untuk relasi matriks, maka sifat-sifat berikut akan terpenuhi. 4
Relasi Tolerans Tegas Relasi R pd semesta X dpt dipandang sbg relasi dari X ke X. Relasi tolerans (relasi proximity) R pada semesta X adalah relasi yang hanya mempunyai sifat refleksivitas dan simetri. Relasi tolerans dapat diubah menjadi relasi ekivalen dengan sebanyak (n 1)komposisi dengan dirinya sendiri. n adalah jumlah elemen dalam himpunan yang mendefinisikan relasi R yaitu himpunan X, shg 5
Example Misalkan pd sebuah sistem transportasi udara melayani 5 kota. Perusahaan ingin mempelajari lokasi potensial utk menentukan lokasi hubs dengan mempertimbangkan jarak antar kota dan peraturan takeoff-landing. X = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 } = {Jakarta, Jogja, Changi, KL, Surabaya} Misalkan kekuatan relasi dinyatakan dlm matriks berikut: 6
Tampak bahwa relasi R bersifat refleksif dan simetrik. Jika digambarkan dlm btk grafik, maka R akan mpy 5 sudut spt gambar di samping: Sifat simetri mewakili kedekatan; Jakarta Jogja dan Jogja Surabaya Relasi tdk mpy sifat transitivitas 7
Relasi R 1 dapat diubah menjadi relasi ekivalen R dengan komposisi n (dengan n 5). Misalkan utk n = 1, Relasi ekivalen Maka jika digambarkan sebagai grafik, relasi R menjadi sbb: 8
Maka terlihat bahwa relasi R mpy sifat transiivitas, yaitu bahwa dalam relasi R memuat (x 1, x 5 ) atau (x 1, x 5 ) R dan dgn dmk maka R mrpk relasi ekivalen. Relasi ekivalen mjd penting dlm klasifikasi, misalnya pd contoh ini terlihat bhw matriks R mpy kolom pertama, kedua, dan kelima yg identik (berada dlm kelas yg sama); kolom ketiga dan keempat adl unik (mewakili 2 kelas yg berbeda). Adanya 3 kelas ini dpt digunakan utk membedakan negara. 9
Relasi Ekivalen & Tolerans Fuzzy Relasi fuzzy R pd semesta tunggal X jg mrpk relasi dari X ke X. Relasi tsb disbt relasi ekivalen jk semua sifat berikut ini terpenuhi: 10
Perhatikan definisi transitivitas; makna dari definisi tsb adl bahwa utk rantai yg lbh pendek maka relasinya semakin kuat. Relasi fuzzy disebut relasi tolerans jika hanya mempunyai dua sifat saja, yaitu sifat simetri dan sifat refleksitivitas. Relasi fuzzy tolerans dapat diubah menjadi relasi fuzzy ekivalen dengan cara mengkomposisikan dengan dirinya sendiri (hingga diperoleh relasi ekivalen). 11
Example Dlm eksperimen bioteknologi, terdeteksi 5 jenis bakteri baru di dlm bahan pembuat tangki bahan bakar pesawat. Utk mencari metode dlm rangka mengatasi biokorosi akibat bakteri tsb, 5 jenis bakteri tsb hrs dikategorikan lbh dulu. Salah satu caranya adl dgn membandingkannya satu sama lain. Dlm setiap pasangan, dibuat relasi kemiripan R 1 berikut. 12
Bakteri 1 mpy kemiripan 0.8 dgn bakteri 2 Bakteri 1 mpy kemiripan 0 (tak ada relasi) dgn bakteri 3.. dst Krn relasinya berdasar kemiripan scr berpasangan, maka relasi tsb akan bersifat reflektif dan simetrik, namun tdk bersifat transitif karena 13
tetapi Supaya relasi R dpt mjd relasi ekivalen, maka akan dicoba dengan komposisi sbb: namun ternyata transitivitas jg blm ada, karena dan 14
Setelah satu atau dua kali komposisi lagi, maka: Maka terlihat bahwa: Dan telah diperoleh relasi ekivalen. 15
Relasi komposisi R1 R1 jg dpt ditampilkan dlm btk kontur 2 dimensi sbb: 16
Relasi komposisi R 1 R 1 R 1 R 1 dlm btk kontur 2 dimensi menjadi sbb: R 1 R 1 R 1 R 1 = 17
Menentukan Nilai Keanggotaan Pertanyaan: Bagaimana menentukan nilai-nilai keanggotaan dlm suatu relasi? Ada bbrp cara utk menentukan nilai keanggotaan, yaitu: 1. Hasil-kali kartesian 2. Ekspresi closed-form 3. Lookup table 4. Linguistic rules of knowledge 5. Klasifikasi 6. Metode otomatis dari data input/ouput 7. Metode kemiripan dlm manipulasi data 18
1. Hasil kali kartesian telah dibahas 2. Ekspresi closed-form Misal melalui observasi sederhana pada suatu proses fisika. Utk satu set input maka diobservasi outputnya. Jika tdk ada variasi maka dpt digunakan relasi closed-form dlm btk y = f(x). 3. Look-up Table Jika pada ekspresi closed-form ternyata ditemukan banyak variasi, maka dpt digunakan look-up table. 4. Linguistic rule of knowledge Misalnya menggunakan aturan if-then. Biasanya pengetahuan semacam ini diperoleh dari seorang ahli di bidangnya, dari polling atau dari sejenis konsensus. 5. Klasifikasi Misalnya menggunakan neural network. 6. Otomamatisasi input-output Melibatkan pembangunan fungsi keanggotaan dari prosedur yg digunakan pada input-ouput (bisa jadi mrpk proses yg rumit) 19
Metode Kemiripan 1. Metode Amplitude Cosinus Menggunakan koleksi sampel data, sejumlah n. Misalkan sampel data yg ada membtk array X dan setiap elemen x i dlm array X mrpk vektor dgn panjang m, yaitu: Matriks relasi yg terbtk berukuran mxn, serta bersifat refleksif dan simetrik (relasi tolerans) 20
Kekuatan relasi antara x i dan x j ditentukan sbb: Jika dua vektor semakin mirip maka nilainya mendekati 1, dan jika semakin tidak-mirip maka nilainya mendekati 0. 21
Example Lima wilayah di Jogja mengalami kerusakan akibat gempa 2006. Utk keperluan jaminan asuransi maka ke-5 wilayah tsb hrs diklasifikasikan menurut tingkat kerusakannya shg dengan demikian menyatakan kerusakan dlm btk relasi akan sangat membantu. Dilakukan survey kondisi bangunan pd setiap wilayah kabupaten dan dicatat dlm 3 jenis status kerusakannya yaitu tanpa kerusakan, kerusakan tingkat medium, dan kerusakan parah. Maka dlm hal ini n = 5 dan m = 3. Hasil survai dinyatakan dlm tabel berikut. 22
Wilayah Sleman G. Kidul Bantul Kodya Jogja Kulonprogo X i1 Rasio tanpa kerusakan 0.3 0.2 0.1 0.7 0.4 X i2 Rasio dengan kerusakan medium X i3 Rasio dengan kerusakan parah 0.6 0.4 0.6 0.2 0.6 0.1 0.4 0.3 0.1 0.0 Maka data tsb dpt dinyatakan dlm relasi fuzzy menggunanakan amplitude cosinus sbb: 23
Misalkan untuk i=1 dan j=2 maka: Hasil selengkapnya adl relasi fuzzy R 1 yg mrpk relasi tolerans sbb: PR : Buktikan dengan hasil perhitungan untuk semua elemen, Buktikan bahwa R 1 adl relasi tolerans 24
Komposisi dari relasi fuzzy R 1 yang diperoleh: PR :Buktikan dengan hasil perhitungan untuk semua elemen, Buktikan bahwa R 1 3 adl relasi ekivalen 2. Metode Maks Min Metode ini lbh sederhana drpd metode amplitude cosinus. Ditentukan menggunakan operasi maks dan min pd pasangan data x ij dengan formula sbb; 25
Utk data pd contoh di atas maka akan diperoleh: PR: Temukan semua nilai relasi yang lain 26