Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205
Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl [,b] yitu d M > 0 sebgi nili pembts sehingg M f (x) M untuk setip x [, b] Bil slh stu sj dri kedu syrt tersebut tidk dipenuhi mk integrl (.) diktkn tk wjr
Definisi Integrl Wjr Definisi. Integrl tk wjr (improper integrl)dlh integrl dengn stu tu kedu syrt berikut ini dijumpi, yitu: i. Intervl dri integrl dlh tidk terbts Sebgi contoh: [, + ), (, b].(, ) x 2 dx ii. Integrn mempunyi sutu ketkkontinun tk hingg di sutu titik c dlm [,b]: Sebgi contoh: lim f (x) = ± x c 0 x dx
Tipe I Dlm bidng fisik, ekonomi, probbilits dn sttistik mupun di bidng linny sering melibtkn integrl yng didefinisikn pd domin yng tk terbts. Kenytn ini melhirkn integrl tk wjr tipe I kren bts integrsiny memut tu Definisi.2 Andikn bhw sutu fungsi f kontinu pd (, ). Didefinisikn integrl tk wjr ketik limitny d b f (x)dx = f (x)dx = lim f (x)dx = c b b b lim f (x)dx + c f (x)dx (2) f (x)dx (3) f (x)dx (4)
Dimn, dlm definisi (4), integrl-integrl di rus knn d untuk sutu c. Jik integrl tk wjr d, mk integrl diktkn konvergen, tetpi jik tidk d mk diktkn divergen. Contoh. Fungsi F (x) = 2π e x2 2 disebut fungsi densits norml dn memiliki bnyk pliksi dlm bidng probbilits dn sttistik. Secr khusus F (x) = 2π e x2 2 =
Definisi.3 Mislkn sutu bilngn tertentu dn disumsikn N f (x)dx d untuk setip N. Selnjutny jik lim N f (x)dx d mk nili integrl tk wjr didefinisikn sebgi N f (x)dx := lim f (x)dx N Selnjutny, integrl tk wjr f (x)dx diktkn konvergen jik niliny berhingg. Selin dri itu diktkn divergen
Contoh 2 Hitunglh integrl tk wjr dx (5) x 2 Penyelesin: Dengn menggunkn definisi.3, kn diperoleh: dx = lim x 2 N = lim N = lim N N Jdi, integrl tk wjr ini konvergen. f (x)dx [ ] N dx x [ N ] ( ) =
Contoh 3. Hitunglh integrl tk wjr 3x (3x 2 + 2) 3 dx
Penyelesin: Selesikn dhulu integrl tk tentu 3x (3x 2 dx kemudin cri + 2) 3 limitny. Mislkn u = 3x 2 + 2 mk du = 6xdx. Jdi 3xdx = du. Subtitusikn pemisln ini ke dlm integrl, mk 2 diperoleh: 3x (3x 2 + 2) 3 dx = 2 u 3 du = 4 u 2 = /4 (3x 2 + 2) 3 Selnjutny dengn menggunkn definisi.3 didptkn 3x (3x 2 dx = lim + 2) 3 N = lim N = lim N = 0 N 3x N (3x 2 + 2) 3 dx [ ] /4 N (3x 2 + 2) 2 N [ /4 (3N 2 + 2) 2 + /4 (3( N) 2 + 2) 2 ]
Jdi, integrl tk wjr ini konvergen dn bernili nol. Khusus nili nol integrl ini didpt kenytn bhw terdpt du lusn der h yng sm tetpi stu ini di ts sumbu x dn stuny di bwh sumbu x
Contoh 4 Tentukn semu bilngn p sehingg integrl tk wjr x p dx Konvergen, dn hitunglh niliny?
Penyelesin: [ dx = lim x p N p ] N p Bil p > 0 p < mk N p untuk N. Jdi, x p dx = [0 ] = p p [ ] = p konvergen(berhingg) untuk p = 0, yitu p = integrl ini divergen. Jdi dpt disimpulkn x p dx = p, p > divergen, p Jdi untuk setip p >, integrl tk wjr dengn nili p dx konvergen x p
Khusus Jenis Pertm. Integrl Geometrik tu Eksponensil e tx dx (6) dimn t dlh sebuh konstnt, konvergen jik t > 0 dn divergen jik t 0.Perhtiknlh nlogi dengn deret geometri jik r = e tx sehingg e tx = r x 2. Integrl p jenis pertm dx (7) x p dimn p dlh sebuh konstnt dn > 0, konvergen jik p > dn divergen jik p.
Ltihn. Sebutkn dn tuliskn beberp fungsi kepdtn pelung dimn rentng vribelny menuju ketkberhinggn. Kemudin tunjukkn integrl sepnjng dominny bernili 2. Hitunglh integrl tk wjr. b. u x dx cos(x)dx
Tipe II Sutu fungsi diktkn tk terbts di c jik niliny sngt besr sekli (mendekti tu ) di sekitr c. Mislkn fungsi f didefinisikn pd domin [, b]. Beberp model fungsi tk terbts di sekitr, b dn titik c dengn < c < b ditunjukkn pd gmbr berikut
Pd gmbr sebelh kiri, fungsi f tk terbts di titik dri knn. Gmbr tengh menunjukkn fungsi f tk terbts di titik b dri kiri. Sedngkn gmbr sebelh knn menunjukkn f tk terbts di titik c dengn c b dri knn dn kiri. Bil f tk terbts pd [, b], bik di titik dri knn di titik b dri kiri tupun di titik interior [, b] mk integrl b f (x)dx merupkn integrl tk wjr, dn disebut integrl tk wjr tipe II.
Definisi.4 Bil f (x) tk terbts di dn b f (x)dx dn d untuk setip t > mk integrl tk wjr didefinisikn sebgi: b b f (x)dx := lim f (x)dx (8) t + t Bil f (x) tk terbts di b dn b t f (x)dx d untuk setip t < b mk b t f (x)dx := lim f (x)dx (9) t b
Selnjutny, bil f (x) tk terbts di c, dengn c b mk integrl dipech menjdi du yitu b f (x)dx := c b f (x)dx + f (x)dx (0) c Dn selnjutny digunkn definisi integrl tk wjr sebelumny. Contoh 5. Hitunglh nili integrl tk wjr berikut dengn menggunkn definisi.4 0 dx (x ) 2 3
Penyelesin Perhtikn fungsi f (x) = (x ) 2 3 tk terbts di x = dri kiri. Berdsrkn definisi 4 mk diperoleh: 0 (x ) 2 3 t dx = lim t 0 Contoh 6. Selesikn integrl berikut (x ) 2 3 x 2 dx [ dx = lim 3(x ) /3] t t 0 cob kit kerjkn dhulu integrl ini dengn cr bis tnp menggunkn definisi integrl tk wjr. Hsilny, x 2 dx = [ x ] = ( ( )) = 2
Integrl ini kelihtnny konvergen, tpi cr ini slh sebb integrn f (x) = tk terbts di x = 0. x 2 Penyelesin 0 x 2 dx = x 2 dx + t 0 x 2 dx = lim dx + lim t 0 x 2 t 0 + t x 2 dx [ ] t [ ] = lim + lim t 0 x t 0 + x = Ternyt integrl tk wjr ini divergen, sebb tk terdefinisi t