Eigevlue D Eigevector Dri Mtriks Poliomil Dlm Aljbr Mx-Plus A 20 1 Rt Novitsri, 2 Dir Mutir Kusumo Nugrhei 1 Progrm Studi Mtemtik, Jurus Mtemtik, Uiversits Dioegoro 2 Progrm Studi Tekik Iformtik, Jurus Mtemtik, Uiversits Dioegoro Jl. Prof. Soedhrto Temblg, Semrg ABSTRAK Pd eeliti ii, k dibhs megei eigevlue d eigevector dri oliomil dlm betuk mtriks di dlm Aljbr Mx-Plus. Teorem Perro-Frobeius diterk seerti hly d ljbr bis deg membetuk koresodesi stu-stu tr eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil deg eigevlue d eigevector dri mtriks Comio. Proses erhitug k diguk Progrm Scilb. Kt Kuci : eigevlue, eigevector, mtriks oliomil, Aljbr Mx-Plus 1. PENDAHULUAN 1.1. Ltr Belkg Dlm ljbr bis, eigevlue d eigevector memuyi er sgt etig dlm fisik d tekik, tr li dlm betuk digolissi mtriks d mucul dlm liksi umum seerti lisis stbilits, fisik rottig bodies, d osilsi dri vibrtig system d sebgiy. Berbgi eeliti terus dilkuk megei eigevlue d eigevector ii sert cr medtky dlm betuk berbgi mtriks. Slh stuy dlh mtriks oliomil yg memuyi byk liksi, ditry yitu eeliti oleh A Si (1996), Psrrkos (2004), Byers(2008) d Adhikri (2011). Seerti hly dlm Aljbr bis, eigevlue d eigevector dlm Aljbr Mx Plus jug etig dlm eyelesi sutu sistem tuu utuk meetuk kestbil sutu sistem. Eigevlue d eigevector d mtriks itervl dlm ljbr mx lus telh dibhs oleh Cechlrov (2005) sedgk eigevlue d eigevector mtriks Moge d Aljbr Mx-Plus telh dibhs oleh Gvlec (2006). Eigevlue d eigevector mtriks oliomil dlm Aljbr Mx dibhs oleh Gursoy (2011). Pd eeliti ii, k dibhs megei eigevlue d eigevector dri oliomil dlm betuk mtriks di dlm Aljbr Mx-Plus. Teorem Perro-Frobeius diterk seerti hly d ljbr bis deg membetuk koresodesi stu-stu Mklh diresetsik dlm deg tem Mtemtik d Pedidik Krkter dlm Pembeljr d tggl 3 Desember 2011 di Jurus Pedidik Mtemtik FMIPA UNY
tr eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil deg eigevlue d eigevector dri mtriks Comio. Proses erhitug k diguk Progrm Scilb. 1.2. Rumus mslh Eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus deg meerk Teorem Perro Frobeius. Sert kodisi tu syrt yg dierluk sutu mtriks oliomil memuyi eigevlue tu eigevector yg tuggl. 1.3. Tuju Tuju dri eeliti ii dlh utuk medtk eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus. Sert medtk syrt sutu mtriks oliomil dlm Aljbr mx-lus memuyi eigevlue tu eigevector yg tuggl. 1.4.Mft Adu mft dri eeliti ii dlh membh kji megei eigevlue d eigevector dri mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus. 2. ALJABAR MAX-PLUS Didefiisik ε def = d def = 0 dim R dlh himu bilg riil. Defiisi 2.1 Struktur ljbr R (Bcelli dkk., 1992) e. Himu R dlh himu R {} ε, Simbol R meytk himu R { } deg du oersi bier yitu imum yg diotsik d ejumlh yg diotsik. def Utuk seti, b R, didefiisik oersi d dlh b= (, b) d b def = + b. Himu R deg oersi d disebut Aljbr Mx-Plus d diytk deg R = (R,,, ε, e). Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 190
Sedgk oersi gkt dlm Aljbr Mx-lus utuk seti x R dlh x def, utuk semu N deg 0, d utuk = 0 = 1x 42 4x K43 4 x kli def 0 didefiisik x = e = 0. Sehigg x, utuk seti N, dlm ljbr bis dt ditulis x = 1x + 4243 x + K 4+ x = x. kli 2.1 Vektor d Mtriks dlm Aljbr Mx-Plus Himu mtriks di dlm Aljbr Mx-Plus diytk deg R m. Utuk def N deg 0, didefiisik = { 1,2, K}. Eleme dri mtriks A R m d bris ke i d kolom ke j diytk deg, utuk i d j m. Mtriks A dt ditulis deg A = M 11 21 1 12 22 M 2 K K O K 1m 2m M m. Oersi ejumlh mtriks A, B R m, diotsik deg A B, didefiisik [ A B] = b = (, b ), dim i d j m. Adu oersi erkli A R m m deg sklr α R, didefiisik oleh α A = [ α A] = α, deg i d j m. Sedgk oersi erkli mtriks A, B R m, didefiisik sebgi l j= 1 jk j l { b } A B = b = + jk, utuk i d j m. Sift erkli mtriks ii dlh tidk komuttif, yitu A B B A. x def mk = s 1 Eleme-eleme dri R R disebut vektor. Eleme ke j dri sebuh vektor R diotsik deg x j tu ditulis [ ] j x. Vektor di R deg semu elemey sm deg e disebut vektor uit d diotsik deg u, tu ditulis [ u ] j = e utuk j. Utuk sebrg α R erkli α u meghsilk sebuh vektor deg semu elemey sm deg α. 2.2 Grh Berrh dlm Aljbr Mx-Plus Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 191
Grh berrh G dlh sebuh sg (V, E) dim V dlh himu berhigg dri ode tu verteks d E dlh himu sg berurut dri ode yg disebut rc tu edge. Yg diud deg berurut bhw rc (i, j) tidk sm deg rc (j, i). Jik (i, j) E, berrti G memut rc dri i ke j sehigg disebut icomig rc j d outgoig rc i. Mislk (i, j) E teti (j, i) E berrti bhw d rc dri i ke j teti tidk d rc dri j ke i, hl ii meujukk rh dri grh sehigg disebut grh berrh tu digrh. Grh berrh disebut memuyi bobot jik seti rc (i, j) E memuyi sebuh bobot w(i, j) R. Jik sebrg mtriks A berukur dlm R dt di ubh mejdi sebuh grh yg slig berhubug, mk grh tersebut dimk Commuictio Grh dri mtriks A yg diotsik deg G(A). Himu odeode dri sebuh grh dri mtriks A diotsik deg V(A) = d sebuh sg (i, j) dlh sebuh rc dri grh jik sebuh grh dri mtriks A diotsik E (A). Utuk sebrg du ode i, j, sebuh bris rc = ((i k, j k ) E : ji ε. Himu rc-rc dri k m sehigg i = i 1, j k = i k+1 utuk k < m d j m = j disebut sebuh th dri i ke j. Pth yg terdiri dri ode i = i 1, i 2,... i m = j diktk memuyi jg m, yg diotsik Seljuty, jik i = j, mk th seerti ii disebut sebuh circuit. Defiisi 2.2 Precedece Grh (Bcelli dkk., 1992) l = m. Precedece grh dri mtriks bujur sgkr A deg elemey dlh sebuh digrh berbobot deg ode d sebuh rc (j, i) jik ε, dim bobot d rc ii dlh ili dri. Precedece grh diotsik G(A). Dri defiisi di ts, utuk sebuh rc (i, j) di G(A) memuyi bobot ji d bobot dri sebuh th di G(A) dlh jumlh dri bobot-bobot semu rc yg membgu grh tersebut. Bobot dri sebuh th diytk deg. Sehigg w Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 192
bobot rt-rt dri sebuh th dlh. Notsi ii jug berlku utuk bobot rtrt sebuh circuit tu circuit me. w l Lemm 2.3 (Heidergott dkk., 2006) Mislk A R m dlh sebrg circuit di G(A) memuyi bobot rt-rt circuit kurg tu sm deg e. Mk, mtriks A memeuhi: A + k 2 3 = A = A A A K A R k = 1 Sebuh grh disebut terhubug (coected) jik utuk semu sg ode i d j d rc yg meghubugk i d j. Grh disebut strogly coected jik utuk sebrg ode i d j d sebuh th dri i ke j. Sebuh mtriks A R m disebut irreducible jik grh G(A) dlh strogly coected. Jik sebuh mtriks tidk irreducible, mk mtriks tersebut disebut reducible. EIGENVALUE DAN EIGENVECTOR DALAM ALJABAR MAX-PLUS Defiisi 3.1. (Heidergott dkk., 2006) Mislk A R m dlh mtriks bujur sgkr. Jik λ dlh sebuh sklr d v R dlh sebuh vektor yg memut miiml stu eleme yg berhigg sehigg memeuhi A v = λ v, mk λ disebut eigevlue dri mtriks A d v dlh eigevector dri mtriks A yg bersesui deg eigevlue λ. Dri defiisi di ts, sebuh eigevlue bis berili ε. Sedgk utuk sebuh eigevector bis memuyi eleme-eleme yg iliy sm deg ε slk msih memiliki eleme yg berhigg miiml stu. Lemm 3.2 (Heidergott dkk., 2006) Mislk A R m memuyi eigevlue λ yg berhigg. mk d sebuh circuit di G(A) sehigg w λ =. l Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 193
Sebuh circuit di G(A) disebut criticl jik memuyi bobot rt-rt imum, yitu λ = w l. Criticl grh A diotsik deg G C (A) yitu grh yg terdiri dri semu ode d rc yg mejdi ggot criticl circuit di G(A). Semu ode yg mejdi ggot G C (A) disebut criticl ode. Sedgk subth dri criticl circuit disebut criticl th. Lemm 3.3 (Heidergott dkk., 2006) Mislk G(A) memut miiml stu circuit, mk sebrg circuit di G C (A) dlh criticl. Mislk eigevlue λ dlh bilg riil yg berhigg, diberik mtriks A λ deg ggoty dlh [ A ] λ. Mtriks A λ kdg-kdg megrh d λ = mtriks ormlissi. Sehigg bobot rt-rt imum di G(A λ ) dlh ol sehigg + mucul dy mtriks A. λ Lemm 3.4 (Heidergott dkk., 2006) Jik grh G(A) dri mtriks A R m memuyi iml bobot rt-rt circuit λ yg berhigg, mk sklr λ dlh sebuh eigevlue dri mtriks A d kolom * [ A ]. j λ dlh sebuh eigevector dri mtriks A yg bersesui deg λ utuk sebrg ode j di G C (A). Teorem 3.5 (Heidergott dkk., 2006) Sebrg mtriks irreducible A R m memuyi stu d hy stu eigevlue λ. Eigevlue λ ii dlh bilg riil berhigg d iliy sm deg bobot rtrt imum dri circuit d G(A) yitu: ( A) w λ =. C ( A) l Utuk erhitug eigevlue d eigevector berikuty diguk Power Algorithm oleh Subioo (2000). Progrm yg diguk dlh Scilb deg Mxlus Algebr Toolbox oleh Subioo (2007). Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 194
3. EIGENVALUE DAN EIGENVECTOR MATRIKS POLINOMIAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS Seerti dlm Aljbr bis, Mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-Plus didefiisik sebgi berikut:, dim,,, R m. Mtriks oliomil diktk sebgi mtriks oliomil deg derjt m 1. Peer teorem Perro Frobeius seerti hly d Aljbr bis, yitu eigevlue d eigevector didefiisik: (i) Eigevlue 0 diktk sebgi eigevlue mx-lus k dri mtriks oliomil yg bersesui deg eigevector mx-lus k 0 jik memeuhi ersm.. Mk, dlh sg eige mx-lus k dri mtriks oliomil. (ii) Eigevlue 0 diktk sebgi eigevlue mx-lus kiri dri mtriks oliomil yg bersesui deg eigevector mx-lus kiri 0 jik memeuhi ersm.. Mk, dlh sg eige mxlus kiri dri mtriks oliomil. Deg mtriks Comio sebgi berikut: 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Hubug tr mtriks oliomil d mtriks Comio, lebih ljut delsk dlm roosisi berikut ii. Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 195
Proosisi 4.1. Sutu mtriks oliomil yg bersesui deg mtriks Comio. Mk, dlh sg eige mx-lus k dri mtriks oliomil jik d hy jik, dlh sg eige mx-lus k dri mtriks Comio, dim: Sedgk, dlh sg eige mx-lus kiri dri mtriks oliomil jik d hy jik, dlh sg eige mx-lus kiri dri mtriks Comio, dim: irreducible. Teorem 4.2 1 1 1 1 1 1 Dibwh ii mejelsk megei eigevlue dri mtriks Comio yg Diberik sutu mtriks oliomil yg bersesui deg mtriks Comio. Agg bhw dlh irreducible. Mk dlh bobot rt-rt imum secr geometri dri mtriks Comio. Nili meruk stustuy eigevlue mx-lus dri mtriks oliomil. Dlm betuk d vektor ositif, 0 di sehigg d. Dri Teorem 4.2 di ts, didtk bhw jik mtriks Comio dri sutu mtriks oliomil teryt dlh irreducible, mk mtriks oliomil k memuyi eigevlue yg tuggl. Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 196
Sedgk Mtriks oliomil yg memuyi eigevector kiri d k yg tuggl, delsk dlm teorem sebgi berikut: Teorem 4.3 Diberik mtriks oliomil yg bersesui deg mtriks Comio. Jik otsi meytk criticl mtrix dri, mk mtriks oliomil memuyi eigevector kiri d k yg tuggl dlm betuk sklr besert kelity, jik d hy jik grf dri dlh strogly coected. Berdsrk Teorem 4.3 di ts, sutu mtriks oliomil k memuyi eigevector kiri d k yg tuggl deg syrt bhw grf yg terbetuk dri criticl mtrix Comio dlh strogly coected. Nili eigevector dri mtriks oliomil ii jug berlku utuk kelity. 4. Kesimul d Sr Adu kesimul d sr dri eeliti yg telh dilkuk dlh sebgi berikut: 4.1.Kesimul Peer Teorem Perro Frobeius d Aljbr Mx-Plus sebgim hly d Aljbr bis, didtk bhw dlm mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-Plus memuyi eigevlue k mx-lus yg bersesui deg eigevector k mx-lus. Begitu ul deg eigevlue kiri mx-lus yg bersesui deg eigevector kiri mx-lus. Mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus k memuyi eigevlue yg tuggl jik mtriks Comioy dlh irreducible. Sedgk mtriks oliomil dlm Aljbr Mx-lus k memuyi eigevector kiri d k yg tuggl sert kelity jik grf yg dibetuk dri criticl mtriks Comioy dlh strogly coected. 4.2. Sr Peeliti megei eigevlue d eigevector dlm Aljbr Mx-lus dierluk kji yg lebih ljut. Bik itu utuk mtriks oliomil itu sediri deg megguk metode yg berbed tuu dri betuk-betuk mtriks yg liy. Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 197
5. Dftr Pustk Adhikri, B., Alm, R., Kresser, D. (2011), Structured eigevlue coditio umbers d lieriztios for mtrix olyomils, Jourl of Lier Algebr d its Alictio, vol.435, hl. 2193-2221. Bccelli, F., Cohe, G., Olsder, G.J. d Qudrt, J.P. (1992), Sychroiztio d Lierity, A Algebr for Discrete Evet Systems, Joh Wiley & Sos, New York. Byers, R., Mehrm, V., Xu, H. (2008), Trimmed lieriztios for structured mtrix olyomils, Jourl of Lier Algebr d its Alictio, vol.429, hl. 2373-2400. Cechlrov, K. (2005), Eigevectors of Itervl Mtrices over Mx-Plus Algebr, Jourl of Discrete Alied Mthemtics, vol. 150, hl. 2 15. Gvlec, M., Plvk, J. (2006), Comutig eigevector of Moge mtrix i mx-lus lgebr, Jourl of Mthemtics Method Oertio Reserch, Vol. 63, hl. 543-551. Gursoy, B., Mso, O. (2011), Sectrl roerties of mtrix olyomils i the mx lgebr, Jourl of Lier Algebr d Its Alictio, vol. 435, hl 1626-1636. Heidergott, B., Olsder, G.J. d Woude, J. v der (2006), Mx Plus t Work, Modelig d Alysis of Sychroized Systems: A Course o Mx-Plus Algebr d Its Alictios, Priceto Uiversity Press, New Jersey. Psrrkos,P., Tstsomeros, M. (2004), A rimer of Perro Frobeius theory for mtrix olyomils, Jourl of Lier Algebr d its Alictio, vol.393, hl. 333-351. Si, A, Aschee, W. (1996), Orthogol Mtrix Polyomil d Alictios, Jourl of Comuttiol d Alied Mthemtics, vol.66, hl. 27-52. Subioo, Woude, J. v der (2000), Power Algorithm for (mx, +) d Birtite (mi, mx, +) Systems, Jourl of Discrete Evet Dymic Systems, vol. 10, hl. 369-389. Subioo (2007), Mx-lus Algebr Toolbox, ver. 1.0, Jurus Mtemtik Istitut Tekologi Seuluh Noember, Surby. Yogykrt, 3 Desember 2011 MA 198