Bagian 6 Terapan Integrasi

Bg 6 Terp Itegrs Dl g 6 Terp Itegrs, t epeljr g te tegrs yg telh Ad peljr dl g 5 dterp utu eech persol d setr t. Peerp te tegrs dts pd perslh eghtug lus urv, eghtug volue ed pdt, eghtug te zt cr, d eghtug erj. Pegethu pd g 6 dhrp eer sedt fors epd Ad, hw lu tet seery sgt udh dterp utu egts persol. Ilu tet td hy sets gg perhtug sj, tp dpt dgu utu eech persol yg terjd d seellg t. Kopetes yg dhrp setelh Ad eyeles g 6 Terp Itegrs dlh Ad pu:. Meghtug lus tr du urv.. Meghtug volue ed pdt deg eggu etode rs, etode cr, etode cc, d etode selut tug. 3. eghtug pjg urv seuh fugs. 4. Meghtug lus peru ed putr. 5. Meghtug te zt cr. 6. Meghtug oe ers. 6. Lus Atr Du Kurv s. y y f() y g() s. y f() y f() y g() s. y g() s. Mtet Te \Terp Itegrs 9

Perslh : Der fugs f() d g() yg otu pd tervl [, ] d f() > g() utu < <. Hl terseut errt urv y f() terlet d ts urv y g() deg ctt hw dpt slg ersetuh tetp td slg erslg tu erpotog. Mecr lus A tr edu urv, d ts y g() d d wh y f() pd grs ts d. A f ().d g().d [ f () g() ] Ruus d ts erlu j f() d g() erl postf pd [, ]. Ruus tetp erlu utu sus d g() erl egtf deg etrsls urv f() d g() sejuh sp urv g() eyetuh suu. [ f () + ] d [ g() + ] d [.d A f () g() ].d Ruus lus tr du urv : [ f () g() ] A.d Cotoh 6. Tetu lus d tr urv y d y + 6 yg dts pd tt d Peyeles: Gr terleh dulu lus dg yg dty. s. y y + 6 y s. X A [ f () g() ]d 34 3 [( + 6) ( )] d st. lus Mtet Te \Terp Itegrs 9

Cotoh 6. Tetu lus tr urv y d y + 6 pd tervl [-, 3] Peyeles: Gr terleh dulu lus yg dty. s. y y + 6 y - 3 s. A 3 [ f () g() ]d 3 5 6 [ ( + 6) ( )] d st. lus Lus tr urv v(y) d urv w(y) Berdsr pers utu eghtug lus tr du urv deg ts l, dpt dut pers utu eghtug lus tr du urv deg ts l y. s. y d w (y) c v(y) s. Der fugs w(y) d v(y) yg otu utu setp l y pd tervl [c, d] d w(y) > v(y) utu c<y<d : d [ w(y) v(y) ] A c.dy Mtet Te \Terp Itegrs 93

Cotoh 6.3 Htug lus tr urv y deg y utu derh ts [-, ] Peyeles: Gr terleh dulu lus yg dty. s. y y - s. y A w (y) v(y) ].dy [( y ) () ] dy [ 9 st.lus Lth Sol 6. Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr yg er. Selt erlth...!!! Utu setp sol d wh, htuglh lus dg yg dty.. Bdg R dts oleh urv y d grs y + 6. Bdg R d ts oleh urv y + d grs y pd [-,] 3. Bdg R dts oleh ur y d grs y -/4 pd [,4] 4. Bdg r dts oleh urv y d grs y pd [,] 5. Bdg R dts urv y, grs y - d suu Mtet Te \Terp Itegrs 94

6. Volue Bed Pdt A. Metode Irs/Pepg Dethu Tug slder dpt dut deg etrsls seuh dg lgr sepjg grs yg teg lurus deg dg terseut. J seuh slder dpt dut deg perpdh seuh dg deg lus A ellu jr sejuh h, volue slder ddefs : V A h Hl errt hw volue dlh lus pepg eltg l tgg. Volue ed pdt, td hy slder, dpt dhsl deg seuh te yg dseut slcg. Dsl hw seuh ed pdt S erd sepjg suu d dts seelh r d oleh dg teg lurus suu pd d. Kre ed sold td dsl seuh slder, pepg eltg yg teg lurus suu dpt ervrs dr tt e tt. Kt euju lus pepg eltg A pd. A s. Kt sl tervl [, ] dl su-tervl deg jr : Δ, Δ, Δ 3,, Δ Mtet Te \Terp Itegrs 95

deg tt-tt,, 3,, - tr d. D sl t g ejd dg-dg teg lurus suu utu setp tt. Potog tp dg ed pdt S dl rs sepert gr erut. S S S 3 S - s. S Δ Sel tu j t elh serg dl su-tervl e, setp pepg eltg dr rs S r-r s deg lus pepg pd d t dpt eperr rs S deg seuh ed pdt deg etel d lus pepg A( ). Jd volue V dr rs S dlh r-r volue ed s dhtug: V A( ). Δ d volue ed eseluruh dlh: V V + V + V 3 + + V V A ( ). Δ J serg t eh julh rs, deg sus hw sl edet ol, rs ejd leh ecl d leh ecl d perr t ejd leh. Jd deg t l hw perr t : Mtet Te \Terp Itegrs 96

V A( ). Δ edet volue es V d sl edet ol, tu : V l. Δ f ( ). Δ Ss pers erup defs tegrs tertetu. Sehgg ruus volue dpt dyt : d V A().d V A(y).dy c Cotoh 6.4 Htuglh volue erucut deg eggu te rs, j tgg erucut dlh h. Pepg ls erup prol deg deter d Peyeles: s. z M P (,,z) h h-z z y B s. y PC OA PD OB PM OM PM OM y h z (h z) h h h z (h z) y h h Lus Pepg setgg z y.π Mtet Te \Terp Itegrs 97

π.(h z) h Volue ed dlh: h h π. V A(z).dz (h z). dz h π h... st.volue 3 B. Metode Cr Msl fugs f() erl td egtf d otu pd tervl [, ] d sl R dlh derh yg dts oleh urv y f() deg suu, d r d d. Ket derh R dputr egellg suu edpt ed pdt yg erpepg lgr. Bl pepg eltg d tt epuy rdus f() lus pepg eltg dlh π.[f()]. s. y s. y y f() f() d s. Dr pers d wl volue ed pdt terseut dlh : V π[ f () ].d Kre pepg eltg dlh lgr tu eretu cr, pls ruus d ts d etode cr. Cotoh 6.5 Htug volue ed yg dhsl d perputr fugs y egellg suu pd tervl [, 4]. Peyeles: Utu edpt hsl yg eus, terleh dulu utlh sets gr dr ed yg dty. Mtet Te \Terp Itegrs 98

s. y y f() s. y R 4 4 s. 4 4 V π.[ f ()]. d [ ] 5 π..d. π... st. volue Alog Metode Cr Berdsr pers etode cr, t dpt eut seuh log utu volue ed pdt j putr dg yg dty dlu terhdp suu y. s. y d u(y) dy c Volue ed pdt j lus dputr terhdp suu y dlh: V d π[ u(y) ] c.dy s. C. Metode Cc Msl d dg R yg dts oleh urv y f() d y g() pd tervl [,] sepert yg dperlht dl gr d wh. s. y y f() s. y y f() Δ y g() Mtet Te \Terp Itegrs 99

Ket derh R dputr egellg suu eghsl ed pdt yg erlug tu pepg eretu cc. Pepg pd tt epuy rdus dl g() d rdus lus f(), sehgg lus pd tt dlh : A() π.[ f() ] π.[ g() ] π.[ f() g() ] Dr pers d wl volue ed pdt terseut dlh : V π. ([ f ()] [ g() ] )d. Cotoh 6.6 Htug volue ed pdt yg dhsl j derh tr fugs y ½ + d y pd tervl [, ] dputr egellg suu. Peyeles: s. y y/+ y s. V ([ 4 + ] [ ] ).d π. ( + ) π..d. π 4 69...st. volue Cotoh 6.7 Htug volue ed pdt yg dhsl j derh tr fugs y,,, d y dputr egellg suu. Peyeles: Gr terleh dulu dg R yg dsud, eud luslh ed yg dsud j dg R dputr egellg suu Volue ed 3π/5. Stu volue Mtet Te \Terp Itegrs

Alog Metode Cc Berdsr pers utu eghtug volue deg eggu etode cc, t dpt eut pers eghtug volue yg ru j dg yg dethu dputr egellg suu y. s. y s. y d d v(y) w(y) w(y) v(y) c s. c s. Volue ed yg dhsl dr perputr dg R egellg suu y dlh: V d c π. ([ w(y) ] [ v(y) ] ).dy D. Metode Selut Tug r h Seuh selut tug dlh ed pdt yg dts oleh du tug lgr d suu setry erhpt. Volue selut tug yg epuy rdus dl r d rdus lur r deg tgg h dpt dtuls : V [ lus pepg ] [ tgg ] [ π.(r ) - π.(r ) ] [ h ] π.(r + r )(r r ).h π. ½ (r + r )(r r ).h π.[ ½ (r + r ) ].h.[( r r )] Kre ½ (r + r ) dlh rdus rt-rt selut tug d (r r ) dlh tel selut tug, : r Mtet Te \Terp Itegrs

V π.[ rt-rt rdus ].[ tgg ].[ tel ] Serg t eperlht g ruus dpt dgu utu eeu volue ed putr. s. y y f() Msl R dlh dg yg dts fugs y f() d suu, d seelh r d d seelh. Msl S dlh ed pdt yg dhsl deg cr eutr dg R egellg suu y. Utu edpt volue S, sl t g tervl [, ] dl sutervl deg tel Δ, Δ, Δ 3,, Δ deg tt dl,, 3,, tr d. D t sl eggr grs vertl ellu tttt terseut yg eg R dl strp R, R, R 3,, R Msg-sg strp lu dputr egellg suu y eghsl ed pdt S, S, S 3,., S.. Msg-sg ed pdt terseut dlh stu g d ers-s eetu ed pdt S. Jd volue S dpt dhtug deg ejulh volue S, S, S 3,, S : V(S) V(S ), V(S ), V(S 3 ),, V(S ) Deg edg tpl strp R d S yg dhsl, espu S rp selut tug, tp u, secr uu dpt ejd selut tug re S epuy urv d ts. J tel jr Δ - dlh ecl, t dpt eghsl perr yg utu dg R deg sutu perseg pjg deg tel Δ d tggy dlh f( ), deg : * + Mtet Te \Terp Itegrs

dlh tt tegh tervl [ -, ] Segept d ts j dputr egellg suu y eghsl selut tug yg erup perr yg utu eghtug volue S. Selut epuy tel Δ, tgg f( ) d rdus rt-rt. Dr ruus d wl : V(S) π. X. f( ). Δ J t eg tervl [, ] dl leh y sutervl sehgg erlu su edet ol, ggp euju perr volue leh d edet volue es, ytu : V l. Δ * * π..f ( ). Δ Kre ss dlh defs tegrs tertetu, volue selut tug dlh : V π..f ().d Cotoh 6.8 Gu etode selut tug utu eghtug volue ed yg dhsl oleh perputr urv y, egellg suu y pd tervl [, 4] Peyeles: V 4 π...d 3 /.d π 4 4 5... st. volue Lth Sol 6. Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr yg er. Selt erlth...!!!. Htuglh volue ed yg dhsl dr perputr dg R egellg suu. Bdg R dts urv y 3, suu, d grs -. Htuglh volue ed yg dhsl dr perputr dg R egellg suu y. Bdg R dts oleh grs y 3, grs y, suu, d suu y. 3. Htuglh volue ed yg dhsl dr perputr dg R terhdp suu. Bdg R dts oleh urv y, grs y, d suu. 4. Htuglh volue ed yg dhsl dr perputr dg R egellg suu y. Bdg R dts oleh urv y /, grs, d grs y. Mtet Te \Terp Itegrs 3

5. Htuglh volue ed yg dhsl dr perputr dg R egellg suu. Bdg R dts oleh urv setegh lgr y 5 d grs y 3 6.3 Pjg Kurv s. y s. Perslh : Der fugs f() dlh fugs yg ulus pd tervl [, ]. Tetu pjg usur L urv y f() d ts tervl [, ]. Kt g tervl [, ] dl sutervl deg tel Δ, Δ, Δ 3,, Δ deg tt dl,, 3,, - tr d. Msl P, P, P,., P dlh tt-tt pd urv yg oordt pd suu dlh,,, 3,, d huug tr tt-tt terseut ejd grs lurus yg eetu sege. Sege-sege terseut eetu trpesu/segy yg dpt t ggp ejd urv y f(). Hl dpt degert, jd perr pjg segy edet pjg urv j t eh leh y tt yg eetu sege, sehgg segy edet ol. s. y P P P P y f() - s. Utu ejels per leh telt, t co egl sutervl, t sutervl e. Mtet Te \Terp Itegrs 4

s. y P f( ) f( - ) P - L Δy f( ) f( - ) - s. Pjg L dlh : L L ( Δ ) ( ) + Δy ( Δ ) ( f ( ) f ( ) ) Dr teore l tegh, ytu tt tr - d dlh : f ( ) f ( ) * f '( )... tu... f( ) f( - ) f ( * ).Δ Jd pjg L dpt dtuls ejd : L + * ( f '( )). Δ Hl terseut errt hw pjg trpesu/segy dlh: L Δ. + * ( f '( )) J t eh lg sutervl, sehgg erlu sl Δ edet ol, pjg segy edet pjg usur L urv y f(), d ts tervl [, ], tu deg t l pers d ts dpt dtuls : Δ * + ( f '( )) L l.. Δ Kre ss erup tegrs tertetu, pjg urv dlh: dy L. d L + + ( f '()) d.d Mtet Te \Terp Itegrs 5

Alog Pers Pjg Kurv J fugs dyt dl l y, f(y), pjg urv dhtug deg eggu pers: d dy L + ( g'(y) ). dy L +.dy d c d c J A(uu ) d B(uu ), du tt pd urv yg dyt deg pers preter f(u) d y g(u) d j syrt eotu dpeuh, pjg usur AB dyt : L AB ds u u d du dy + du.du Cotoh 6.9 Tetu pjg usur urv y (3/) dr (, ) sp (, ) Peyeles: Butlh sets gr terleh dulu, utu eudh dl eut peyeles d egert persol yg dty. s. y + (, ) + (,) s. f () 3/. / L 3 + () /.d + 9 4.d sl u + 9/4. d 4/9 du L / 4 3 / 4 u.du 3 7 3...st.pjg Mtet Te \Terp Itegrs 6

Lth Sol 6.3 Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr hpu peyeles yg er. Selt erlth...!!!. Htuglh pjg urv y dr [,] sp [,4] deg eggu pers tegrl. Bdgh jw Ad j pjg urv dhtug deg eggu teore Phytgors.. Htuglh pjg urv y 3 3/ dr sp 3 / 3. Htuglh pjg urv ( y + ) dr y sp y 3 6.4 Lus Peru Bed Putr Dl egts slh lus peru ed putr, pert t hrus edefs pegert lus peru (surfce re) terleh dulu. Seg otvs, t sl hw urv y f() teretu oleh segept d grs lurus yg erhuug deg tt pd urv yg epuy oordt d,,, 3,, -,. Msl tel yg teretu tp tervl dlh Δ, Δ, Δ 3,, Δ. J tp etel dlh ecl, peru yg ddpt deg eutr segept egellg suu eghsl perr lus yg s seg peru yg ddpt deg eutr urv y f() egellg suu. s. y y f() s. y y f() - s. Mtet Te \Terp Itegrs 7

Pdglh hw peru yg ddpt deg dg segept, dut dr g-g, d setp g dlh erucut terpcug/terpotog. Seljuty lus peru tp g dpt dhtug deg ruus: S π r r ) l ( + r r l Perr lus peru edet seery j t eh oor sutervl sehgg tely edet ol. Utu ejels de leh telt, t l cotoh tpl perr lus, t ps e. f( ) f( - ) - s. Δ Lus S utu ps e terseut dlh : S π. [ f ( ) + f ( )]. ( Δ ) + ( f ( ) f ( ) ) Dr teore l tegh, d l tr - d sehgg erlu : Mtet Te \Terp Itegrs 8

f ( ) f ( ) * f '( ).tu f ( ) f ( ) f '( ). Δ Sehgg pers S dpt dtuls ejd S π. * * [ f ( ) + f ( )]. + ( f '( )). Δ Sedg ½.[ f( - ) + f( ) ] erup l tegh tr f( - ) d f( ) tu j dsl f( ). Sehgg pers S dpt dtuls lg ejd : S π. ** * [ f ( )]. + ( f '( )). Δ Jd lus peru ed terseut dlh : S π. ** * [ f ( )]. + ( f '( )). Δ J t eh julh sutervl, sehgg su Δ edet ol, perr lus peru S edet l es, jd S l. [ ] Δ ** * π. f ( ). + ( f '( )). Δ J sus eyt, ss pers erup defs tegrs tertetu, sehgg lus peru S dlh : S π.f (). + ( f '()). d Alog lus peru ed putr: S π.g(y). + ( g'(y) ). dy J A(uu ) d B(uu ), du tt pd urv yg dyt deg pers preter f(u) d y g(u) d j syrt eotu dpeuh, lus peru yg detu oleh perputr usur AB egellg suu dyt : S π AB y.ds π u u y. d dy dy +.du du Mtet Te \Terp Itegrs 9

Cotoh 6. Htuglh lus peru yg dhsl deg eutr urv y (- ) utu retg l < </. Peyeles : f '() S / π.. +.d / π.d π.st.lus Lth Sol 6.4 Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr hpu peyeles yg er. Selt erlth...!!!. Htuglh lus peru yg dhsl, j grs y 7 dputr egellg suu pd < <. Htuglh lus peru yg dhsl, j urv y 3 dputr egellg suu y pd < y < 3. Htuglh lus peru yg dhsl, j urv y dputr egellg suu pd < < 4 4. Htuglh lus peru yg dhsl, j urv y dputr egellg suu y pd - < y < 6.5 Ger Grs Lurus V(t) S (t) ds/dt (t) V (t) d S/dt J edu pers dtegrl, dperoleh : S(t) V(t). dt V(t) (t). dt Hl terseut errt j fugs ecept prtel dethu, possy dpt dtetu. Kt dpt eetu ostt tegrs j t egethu poss prtel pd sutu st, t det. Hl terseut erlu jug utu percept. Cotoh 6. Tetu fugs poss ger prtel yg epuy ecept v(t) Cos (πt) sepjg grs lurus. Mtet Te \Terp Itegrs

Peyeles : Asus hw jr dlh 4 pd st t. S( πt) S(t) V(t).dt Cos(πt).dt + C π St S 4 d t C 4, sehgg pers S(t) ejd : S( πt) S(t) + 4 π Ger Det Peru Bu Hl dlh gejl fs, ytu oye erger pd grs vertl det peru u d hy suye dr gy grvts yg erger deg percept ost. Kostt dots huruf g, dperr 3 ft/sec tu 9,8 /det. u Kecept pd st t o dlh V Poss pd st t dlh S J erger e wh egtf, percept prtel e wh dlh : (t) -g V(t) (t).dt - g dt -g t + C Kecept st t o dlh V, V() -g.t + C.. C V() V V(t) -g.t + V S(t) V(t).dt (- g.t + V ).dt g.t + V.t + C Poss pd st t dlh S, S() -/g. + V. + C... C S S(t) -/g.t + V.t + S Cotoh 6. Btu djtuh dr etgg 4 ft. Berp l jtuh tu ecp u d erp ecept st tu? g 3 ft/sec, V, S 4 ft Peyeles : S(t) -/g.t + V.t + S.. S(t) 6t + 4 Wtu ecp u st S(t) 6t + 4.. t ± 5 det Mtet Te \Terp Itegrs

V(t) -g.t + V V(t) -6 ft/det Kre V V V 6 ft/det. Lth Sol 6.5 Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr hpu peyeles yg er. Selt erlth...!!! 6. 5 < 3 < 3 7. 7 > > 4 8. 3 > - 9. 5 < 6. + 8 + 6 > 6.6 Kerj Kerj ddefs seg ush edh sesutu sejuh jr tertetu, tu j dyt dl lt tet W F.d.l(Brtsh)...dyes (Metrc) s. Sedy t eg jr d tu tervl [,] dl sutervl, tr d terdpt y sutervl deg jr Δ, Δ, Δ 3,, Δ d tt-tt tegh,, 3,, - tr d. Al cotoh tervl yg e W W F( ). Δ * W F( ). Δ * Ss pers erup defs dr tegrs tertetu, sehgg: Mtet Te \Terp Itegrs

W F().d Pers d ts sesu deg huu Hooe, F(). Cotoh 6.3 Pegs pjg,4 dtr gy 5 ewto sehgg erth,. Tetu ostt pegs d erp gy yg dperlu utu eut pjg ejd 4,. Peyeles : F()..5... 5 F() 5,8 W 5.d 8,...joule Lth Sol 6.6 Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr hpu peyeles yg er. Selt erlth...!!!. Seuh tg erdeter ft d tgg 3 ft ds deg cr sp seteghy. Cr epuy ert 6,4 l/ft 3. erp erj yg hrus dlu utu egelur cr terseut.. Pegs yg epuy pjg 5 c elu erj seesr 45 N j dtr sp pjgy c. Tetu ostt pegs d tetu erj j dtr sepjg 3 c dr pjg seul. 3. Tg eretu slder erjr-jr 5 ft d tgg 9 ft ds deg r sp edl dupertg tg. Htug erj yg hrus dlu pop utu egelur seu r d tg. 6.7 Te Zt Cr Te zty cr yg eerj pd seuh ed tergtug pd ert jes ed, edl, d lus pepg, tu F ρ.h.a Mtet Te \Terp Itegrs 3

Dl eghtug te zt cr, prs psc erlu, ytu te zt cr pd tt A, B, C dlh s Msl peru epuy ts d. Jug sl tt d tr d deg edl h() d pepg eltg pd epuy pjg w(). w() h() Seljuty t eg tervl [,] dl sutervl deg pjg Δ, Δ, Δ 3,, Δ. Kt plh tervl e pd tt. erdsr sus yg sudh t el pjg pelt sepjg erup segept deg pjg w( ) d tel Δ. Kre segept tp sutervl, d wh d d tsy epuy edl yg ered, ruus d ts (ρ.h.a) td dpt dgu utu eghtug te pd segept. Bgpu j Δ ecl, pered edl d ts d d wh dlh ecl d t erls hw edl dlh h( ), ruus dpt dgu : F ρ.h( ).w( ). Δ * * Totl Te dlh : F F ρ.h( * ).w ( * ). Δ J t erggp hw sl Δ edet ol, F l s. Δ ρ.h( * ).w( ). Δ * Ss pers dlh defs tegrs tertetu, : F ρ.h().w().d Cotoh 6.4 Peru d dlh dg segept yg epuy tugg ft d ler ft. Tetu te totl r pd peru pd st r d peru ecp etgg puc. Gu ρ 6,4 l/ft 3. Mtet Te \Terp Itegrs 4

Peyeles : F 6,4... 64...l Lth Sol 6.7 Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr hpu peyeles yg er. Selt erlth...!!!. Htuglh te r, j plt seg ept deg pjg c d ler c dsu secr horzotl e r sp edl 5 c dr peru. (gu ρ t/ 3 ). Berdsr dt sol, htuglh te pd plt j plt dsu secr vertl. 3. Htuglh te r, j plt seg tg deg pjg ls 8 c d tgg 6 c dsu secr horzotl e r sp edl c dr peru. (gu ρ t/ 3 ) 4. Berdsr dt sol 3, htuglh te pd plt j plt dsu secr vertl. 6.8 Pust Mss Lus J dsl d du ed yg dlet pd pp erg deg jr sg-sg d d d, ods seg terjd j d hy j d. d.. d d Hsl l ss deg jr pd tt tertetu d oe ed terhdp tt terseut. Syrt gr seg pl julh oe terhdp tt terseut s deg ol. J d ts pp eseg terdpt y ss, julh oe dlh: M + + 33 +... + Yg ejd perty dlh dh let tt eseg terseut? Moe sste terhdp tt pust hrus s deg ol, jd ( ) + ( ) +... + ( ) Mtet Te \Terp Itegrs 5

tu + + + + + +......... Sehgg dperoleh oordt pust ss: M _ J ur d ts t perlus utu dstrus ss pd seuh dg, julh oe My d M terhdp sg-sg suu d suu y dlh: y M y M 3 (,y ) (,y ) ( 3,y 3 ) (,y ) Y X Koordt tt ert sste terseut dlh: y M _ y M y _ Serg t eco egpls perslh terseut pd seuh dg du des yg epuy etel yg sgt tps. Bdg terseut erup hsl dr peggr du uh urv y f() d y g(). Mtet Te \Terp Itegrs 6

Y δ yf() yg(),5[f()+g()] X Koordt tt ert d y dlh: [ f ( ) g( ) ] d [ ] _ f ( ) g ( ) _ M y [ f ( ) g( ) ] d M y [ f ( ) g( ) ] d d Cotoh 6.5 Tetu tt ert urv y s utu derh < < π Peyeles: Derh terseut setrs pd grs π/, jd tt erty π/. Tt ert y dhtug deg eggu pers d ts. Y ys,5 s π/ X π δ s.s. d _ s. d y π π s d s d π Mtet Te \Terp Itegrs 7

π π s. d s d π,5( cos ). d π s d ( π ),39 Lth Sol 6.8 Setelh Ad seles epeljr ter d ts, sty utu elth dr egerj sol-sol erut. Butlh peyeles setp sol deg sstets utu edpt jw hr yg er. Selt erlth...!!!. Tetu tt ert derh yg dts urv y d y 3.. Tetu tt ert lus yg dts urv y cos, y, d π yg terlet tr (π, ) 3. Tetu tt ert urv y 4 d udr I. Mtet Te \Terp Itegrs 8