Bab : PENDAHULUAN Sinyal, Sistem, dan Pemrosesan Sinyal Tujuan Belajar Peserta mengetahui definisi, representasi matematis, dan pengertian dasar tentang sinyal, sistem, dan pemrosesan sinyal Sinyal adalah besaran fisis yang berubah menurut waktu, ruang, atau variabel-variabel bebas lainnya. Contoh sinyal: sinyal ucapan, ECG, dan EEG. Secara matematis, sinyal adalah fungsi dari satu atau lebih variabel independen. Proses ini dilakukan melalui pemodelan sinyal. Contoh fungsi matematis dari sinyal adalah: s s ( t) 5t = s ( x, y) = 3x + xy + 0y s N N ( t) = A ( t) s ( t) i ( t) = A ( t) sin[ π F ( t) t + θ ( t) ] i= i i i i i Sinyal Besaran Fisis Pemodelan Sinyal Fungsi Matematis Gambar. Melalui pemodelan sinyal, besaran fisis dapat direpresentasikan menjadi fungsi matematis. I-
Elemen-Elemen Dasar Sistem DSP Tujuan Belajar Peserta memahami elemen-elemen dasar sistem DSP, termasuk A/D dan D/A, berserta untung-ruginya apabila dibandiungkan dengan sistem analog. Sistem didefinisikan sebagai pemroses sinyal. Sistem biasanya dilukiskan sebagai sebuah kotak yang memiliki dua panah merepresentasikan sinyal. Panah masuk adalah sinyal masukan yang akan diproses, sedangkan panah keluar merepresentasikan sinyal hasil pemrosesan.. Sistem Analog vs Sistem Digital Analog Signal ASP Analog Signal Gambar. Pemrosesan sinyal analog secara analog. Sinyal Analog ADC DSP DAC Sinyal Analog Sinyal Digital Sinyal Digital Gambar 3. Pemrosesan sinyal secara digital dapat dilakukan terhadap sinyal analog maupun sinyal digital. Blok ADC mengubah sinyal analog menjadi digital, sedangkan blok DAC mengubah sinyal digital menjadi sinyal analog. Keuntungan pemrosesan secara digital: Programmable Lebih murah karena VLSI Kontrol akurasi yang lebih baik Praktis karena adanya VLSI I-
3 Klasifikasi Sinyal Tujuan Belajar 3 Peserta dapat mengklasifikasikan berbagai sinyal (real vs. kompleks, multichannel vs. single channel, multidimensional vs. single dimensional, waktu kontinu vs. waktu diskrit, nilai kontinu vs. nilai diskrit, sinyal digital vs. analog, deterministik vs. random) dan sumbersumbernya. 3. Sinyal Nyata vs Kompleks Sinyal nyata (real) adalah sinyal yang bernilai bilangan nyata. Sinyal kompleks adalah sinyal yang bernilai bilangan kompleks. Perhatikan dua sinyal berikut ini: S j3πt ( t) = Asin 3πt vs S ( t) = Ae = Acos3πt + jsin 3πt Maka S ( t) adalah sinyal nyata, sedangkan ( t) S adalah sinyal kompleks. 3. Multi channel vs Single channel Sinyal multikanal (multichannel) adalah sinyal yang terdiri dari kumpulan beberapa sinyal independen (komposit). Sinyal satu kanal (single channel) adalah sinyal tunggal. Perhatikan dua sinyal berikut ini: ( t) = { s ( t), s ( t) s ( t) } vs ( t) s ( t) S, 3 Maka S ( t) adalah sinyal multikanal, sedangkan ( t) S = S adalah sinyal satu kanal. Contoh sinyal multikanal adalah sinyal video berwarna (kanal-kanal merah, hijau, dan biru), serta sinyal musik stereo (kanal-kanal kiri dan kanan). Contoh sinyal satu kanal adalah sinyal radio medium wave (MW) pada radio biasa. 3.3 Multi Dimensional vs Single Dimensional Sinyal multidimensi (multi dimensional) adalah sinyal dengan lebih dari satu variabel independen. Sinyal satu dimensi (single dimensional) adalah sinyal dengan variable independen tunggal. Perhatikan dua sinyal berikut ini: f ( x, y) vs s ( t) Sinyal f ( x, y) adalah sinyal multidimensi karena memiliki variable independen x dan y. Sinyal s ( t) adalah sinyal dimensi satu karena variable independennya hanya t. 3.4 Continuous Time vs Discrete Time Sinyal waktu kontinu (continous time) adalah sinyal dengan variable independen bernilai nyata (real). Sinyal waktu diskrit (discrete time) adalah sinyal dengan variable independen bernilai integer. Perhatikan dua sinyal berikut ini: x 0.8 n, ( ) = t t e, < t < vs ( ) x n = 0, n 0 otherwise I-3
Sinyal x(t) adalah sinyal waktu kontinu karena t adalah bilangan nyata. Sinyal x(n) adalah sinyal waktu diskrit karena n adalah bilangan integer. Ada dua cara memperoleh sinyal waktu diskrit: Sampling dari sinyal waktu kontinu Mencacah (counting) 3.5 Continuous Valued vs Discrete Valued Sinyal nilai kontinu (continuous valued) adalah sinyal yang besarnya (atau variabel dependennya) merupakan bilangan nyata. Sinyal nilai diskrit (discrete valued) adalah sinyal yang besarnya (atau variabel dependennya) merupakan bilangan diskrit (artinya bilangan yang memiliki indeks). Continuous Valued Kuantisasi Discrete valued Gambar 4. Melalui kuantisasi, sinyal bernilai kontinu dapat diubah menjadi sinyal bernilai diskrit. Sinyal digital adalah sinyal yang sekaligus discrete time dan discrete valued, sedangkan Sinyal analog adalah sinyal yang sekaligus continuous time dan continuous valued. 3.6 Sinyal Deterministik vs Sinyal Random Sinyal deterministik adalah sinyal dimana besaran nya diketahui dengan pasti apabila diketahui variable independen nya (misalnya besarnya di masa lalu, saat ini, dan masa datang diketahui dengan pasti). Sinyal random adalah sinyal yang besarnya tidak terprediksi sebelum terjadi. Kadangkadang sinyal yang rumit menggunakan model random. 4 Konsep Frekuensi untuk Sinyal Waktu Diskrit (D-T) dan Sinyal waktu Kontinu (C-T) Tujuan Belajar 4 Peserta memahami konsep frekuensi, amplituda dan fasa pada sinyalsinyal waktu diskrit dan waktu kontinu, serta perbedaan sifat-sifatnya, terutama pada sinyal sinusoidal. 4. Sinyal C-T Sebuah sinyal analog berbentuk sinusoid I-4
x a ( t) = Acos( Ωt + θ ), < t < Dalam konteks ini, masing-masing besaran di ruas kanan dikenal sebagai: A : Amplituda Ω : Frekuensi (dalam radian per detik) θ : Phase/ fasa (dalam radian) Frekuensi Ω juga memiliki hubungan dengan frekuensi F dengan satuan Hertz (Hz) melalui Ω = πf Bila frekuensi F diketahui, maka bisa didefinisikan perioda fundamental T FP T FP = F Contoh: Gambar gelombang x a ( t) = A ( π t +θ ) cos menggunakan Matlab..5 0.5 0-0.5 - -.5-0 500 000 500 000 500 3000 3500 Gambar 5. Contoh gelombang x a ( t) = A ( π t +θ ) cos. Script Matlab untuk menghasilkan gelombang ini adalah:» t=[-pi/:0.00:pi/];» x=*cos(*pi*t);» plot(x); Sifat Frekuensi F : I-5
. Untuk F tetap x a ( t) periodik, yaitu x ( t T ) x ( t) a + = a. Perioda dari sinyal ini adalah T sedemikian sehingga untuk semua t berlaku x t + T x t ( ) ( ) a = Perioda fundamental adalah perioda yang nilainya terkecil, dan berlaku T = ktfp di mana k =,, L. Perlu diingat bahwa T FP itu unik, sedangkan T tidak.. Sinyal dengan F berbeda adalah berbeda 3. Menaikkan F sama dengan menaikkan laju osilasi (rate of oscillation) Ketiga sifat ini juga berlaku bagi frekuensi pada sinyal complex exponential j Ω t+θ x t = Ae, karena identitas Euler: a ( ) ( ) dan sebaliknya x ( t) = Acos a ± θ e j = ± a ( θ ) ( θ ) cos j sin A A j( Ω t+ θ ) j( Ω t+ θ ) ( Ωt + θ ) = e + e Sifat frekuensi dan fasa dapat dilukiskan dalam bentuk fasor, seperti yang terlihat pada bidang kompleks beirkut ini. Im Ω A/ A/ Ωt + θ Ωt + θ Re Ω Gambar 6. Representasi fasor dari sinyal sinusoid. Semakin tinggi frekuensi, semakin besar sudut. 4. Sinyal D-T Sinusoidal Sebuah sinyal sinusoidal waktu diskrit berbentuk ( n) = Acos( ω n + θ ) < n < x ; I-6
dimana n adalah indeks sample. Untuk sinyal seperti ini, parameter di ruas kanan dikenal dengan nama A : Amplitudo ω : Frekuensi θ : Phasa Sebagaimana pada kasus C-T, frekuensi ω (dalam satuan radian per indeks sample) memiliki hubungan dengan frekuensi f melalui ω = πf. Contoh: Gambar gelombang dari sinyal x( n) = Acos( π fn +θ ) adalah sebagai berikut.5 0.5 0-0.5 - -.5-0 0 0 30 40 50 60 70 Gambar 7. Gelombang dari sinyal x( n) = A ( π fn +θ ) cos. Script Matlab untuk menggambarkan gelombang ini adalah:» t=[-pi/:0.05:pi/];» x=*cos(*pi*t);» stem(x); Berlainan dengan sifat frekuensi F pada kasus C-T, sifat frekuensi f adalah. Sinyal hanya periodik bila f rasional. Sinyal periodik dengan periode N apabila berlaku untuk semua n bahwa x ( n + N ) = x( n). Perioda fundamental N F adalah N yang terkecil. Contoh : Agar periodik, maka I-7
( πf ( N + n) + θ ) = cos( πfn + θ ) = cos( πfn + θ πk) cos + k πfn = kπ f = f harus rasional N Pada kasus C-T, perubahan kecil pada frekuensi F mengakibatkan perubahan kecil pada periode T. Hal ini tidak terjadi pada kasus D-T karena perubahan kecil pada f mengakibatkan perubahan besar pada N. Contoh: f = 3/60 N = 60 sedangkan f = 30/60 N =. Sinyal dengan frekuensi berbeda sejauh kπ (dengan k integer) adalah identik. Jadi berbeda dengan kasus C-T, pada kasus D-T ini, sinyal dengan frekuensi unik tidak selalu berarti sinyalnya unik. Contoh: cos [( ω 0 + π ) n + θ ] = cos( ω0n + θ ) karena cos (πk + θ) = cos θ. Jadi bila x ( n) = A ( ω kn +θ ) ω = ω + k 0 kπ, maka ( n) x ( n) = x ( n) = x ( n)... ( n) 3 = sama lain. k cos, k = 0,, dimana x k tidak bisa dibedakan satu sama lain, artinya x k disebut indistinguishable identical atau alias satu Jadi sinyal dengan frekuensi berbeda akan berbeda bila frekuensinya dibatas pada daerah π < ω < π atau < f <. Di luar itu, terjadi aliasing. 3. Frekuensi tertinggi yang bisa dicapai adalah pada ω = ±π, f = ±/. Jadi daerah fundamental (fundamental range) didefinisikan sebagai daerah frekeusn sepanjang π yang mengandung frekuensi 0, misalnya 0 ω π atau -π ω < π. 5 Konsep Harmonically-Related Complex Exponentials Tujuan Belajar 5 Peserta memahami konsep harmonically related complex exponentials untuk kasus waktu diskrit dan waktu kontinu, serta definisi dari frekuensi fundamental. 5. Continuous-Time Exponentials Perhatikan sekumpulan sinyal ini: sk jkω ( t) = e ot j πkf t = e o ; k = 0,,, L Sinyal ini memiliki keistimewaan, yaitu satu sama lain memiliki hubungan secara harmonik. Sinyal s ( t), s ( t), s 3 ( t), dst, memang memiliki beragam periode T, namun ada sebuah periode T p = yang ternyata dimiliki oleh setiap sinyal tersebut. Periode F 0 I-8
ini disebut perioda fundamental dari kumpulan sinyal ini, dan F0 disebut frekuensi fundamental dari kumpulan sinyal ini. Salah satu sifat istimewanya adalah semua sinyal di dunia yang memiliki periode Tp dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari sinyal-sinyal s k ( t) ini, menurut x a ( t) = c s ( t) k k k= 5. Discrete-Time Exponentials Hal yang sama berlaku juga di domain waktu diskrit. Di sini, sinyal yang terhubung secara harmonis adalah sk yang memiliki frekuensi fundamental jπkn / N ( n) e jπkf n ( n) = e o f o = dengan periode N. Sinyal N sk = ini dapat digunakan untuk menghasilkan sinyal periodik dengan periode N menurut kombinasi linier: x N k k = 0 ( n) = c s ( n) k Contoh : Diketahui x( n) π = sin n + θ, dimana θ = πq/n, dan q, N integer N a). Cari sinyal yang terhubung secara harmonis dengan fasa sama b). Cari sinyal sama frekuensi, beda fasa Jawab: πnk a). x k ( n) = sin + θ, maka f k = k / N. x k ( n) dapat diekspresikan sebagai N π ( ) ( kn) x k n = sin + θ = x( kn). Jadi x k ( 0) = x( 0), x k ( ) = x( k), x k ( ) = x( k), dan N seterusnya. Kita dapat membangkitkan sinyal yang terhubung secara dengan frekuensi f k = k / N, k = 0,, L, N b). Phase θ dikontrol dengan f k ( n) dengan mengambil nilai pertama dari deret pada lokasi θn q =, di mana q adalah integer. π I-9
6 Konversi Analog to Digital dan Digital to Analog Tujuan Belajar 6 Peserta mengerti proses mengubah sinyal analog menjadi sinyal waktu diskrit dan digital, melalui pencuplik, kuantisasi, dan pengkodean. Sinyal analog bisa diubah menjadi sinyal digital dengan analog-to-digital converter (ADC). Sebaliknya sinyal digital bisa diubah menjadi sinyal analog dengan digital-toanalog comverter (DAC). Dengan adanya kemampuan ini, maka pemroses digital bisa digunakan untuk memproses sinyal analog, karena sinyal analog diubah dahulu menjadi sinyal digital. 6. ADC Sinyal Analog ADC Sinyal Digital Gambar 8. Konversi sinyal analog menjadi sinyal digital. Sinyal Digital DAC Sinyal Analog Gambar 9. Konversi sinyal digital menjadi sinyal analog. Proses ADC terdiri dari tiga tahap. Pertama sinyal analog x a ( t) dilalukan pada sebuah pencuplik (sampler). Hasilnya adalah sinyal waktu diskrit x ( n). Sinyal waktu diskrit ini kemudian dikuantisasi untuk menghasilkan sinyal bernilai digital x q ( n). Sinyal ini kadangkala perlu dikode agar sesuai dengan aplikasi tertentu, menghasilkan sinyal digital yang diinginkan. x a ( t) ( ) ( ) x n x q n Sampler Quantizer Coder Sinyal Analog Discrete-time signal Quantized signal (D-V) Sinyal Digital Gambar 0. Proses konversi sinyal analog menjadi sinyal digital. 6. Proses sampling C-T menjadi D-T Tujuan Belajar 7 I-0
Peserta dapat menghitung sinyal waktu diskrit yang dihasilkan dari proses sampling sinyal waktu kontinue. Untuk kasus sinyal sinusoidal yang diketahui frekuensinya, peserta dapat menghitung frekuensi sinyal diskrit yang dihasilkan pada sampling rate tertentu, dan sebaliknya. Proses yang terjadi dalam blok sampler secara matematis adalah: ( n) = xa ( nt ) = xa ( t) t nt x = (t) x a Sampler t=nt x ( n ) = x t a ( ) t= nt Gambar. Pensampling. Sebagai contoh, sinyal analog digambarkan pada bagian kiri dari gambar berikut. Ketika disampling, sinyal yang dihasilkan digambar di sebelah kanan. 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8-0 000 000 3000 4000 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8-0 0 0 30 40 Gambar. Gelombang di sebelah kanan adalah hasil sampling dari gelombang di sebelah kiri. Script Matlab :» t=[-pi/:0.0:pi/];» t=[-pi/:0.08:pi/];» x=cos(*pi*t);» x=cos(*pi*t);» subplot(,,),plot(x)» subplot(,,),stem(x) Contoh : Samplinglah sinyal x a ( t) = Acos ( π Ft +θ ) menjadi sinyal ( n) frekuensi F s, kemudian carilah hubungan antara frekuensi dari sinyal ( t) frekuensi dari sinyal x ( n). x dengan sampling x a dengan I-
Jawab: x πfn t = nt + F s ( n) = x ( t) = Acos ( πfnt + θ ) = Acos + θ = Acos( πfn θ ) a F ω = πf = π = Ω = ΩT Fs Fs yang dihasilkan memiliki frekuensi yang proporsional terhadap Jadi sinyal x( n) frekuensi dari sinyal x a ( t). Namun kita perlu ingat bahwa meskipun < F < dan < Ω <, akan tetapi ada keterbatasan ½ < f < ½ dan π < ω < π. Oleh sebab itu agar rumus ω = ΩT di atas bisa berlaku maka harus berlaku pembatasan: Fs F F s F = =, sehingga F max = s T T Atau dengan cara yang sama, π π = πfs Ω πfs =, sehingga Ω max = πfs T T Tabel. Diagram konversi yang menghubungkan antara sinyal waktu kontinu dengan sinyal waktu diskrit hasil sampling. f = F F s CT Ω = πf rad/sec, Hz ω = ΩT, f = F Fs DT ω = πf rad/sample, cycle/sample 6.3 Aliasing < Ω < Ω = ω, F = T f. Fs Fs < F < F π T Tujuan Belajar 8 Ω Peserta memahami konsep aliasing, dan tahu cara menghindarinya. Peserta dapat menghitung sinyal diskrit hasil sampling sinyal analog pada kasus terjadi aliasing. π T Fs Contoh 3: I-
Misalkan x( t) = cos π 0t dan x( t) cos π 50t menjadi x ( n) dan x ( n) dengan F = 40 Jawab: F s = 40 Hz T = /40, maka dan x x s =. Samplinglah kedua sinyal ini Hz, dan bandingkan hasilnya. 0 40 ( n) = x( t) = = cosπ 0nT = cos π n = cos n t nt ( n) x ( t) = cosπ n = cos( π ) n = cos π n = cos n = t= nt 50 40 Perhatikan bahwa ternyata x ( n) = ( n) 0 + 40 x! Dapat disimpulkan untuk F s = 40 Hz, sinyal F = 50 Hz adalah alias dari F = 0 Hz. Demikian juga F k = 0 + F s k 6.4 Generalisasi Aliasing Secara umum, sampling dari ( t) = A ( π F t +θ ) x a cos 0 pada frekuensi sampling F s F menghasilkan x( n) = Acos ( π f0n +θ ), dimana f 0 0 = F. Bila Fs F < F s o <, hasil s sampling terhadap frekuensi ini adalah one-to-one mapping antara frekuensi F 0 dengan f 0. Bila tidak, misalnya xa ( t) = Acos ( π Fk t +θ ), ternyata F k = F 0 + kfs, k = ±, ±,L, yakni F k adalah sama (alias) dengan F0 sehingga terjadi aliasing. π F s F s π ω π 0 40 F π Gambar 3. Hubungan antara frekuensi waktu kontinu dengan frekuensi waktu diskrit dari sinyal yang terhubung oleh proses sampling. I-3
Gambar 4. Contoh sinyal sinusoidal. Contoh 4: Diketahui sinyal analog ( t) 3cos00πt x a =. a). Cari frekuensi sampling minimum untuk menghindari aliasing! Jawab: ( t) = cos00π t = 3cos( πft + θ ) x a 3 θ = 0; F = 50 Hz b). Jika F s = 00 Hz, berapa x(n)? Jawab: c). Jika F s = 75 Hz, berapa x(n)? Jawab: x x F s min = F= 00 Hz ( n) x ( t) = 3cos00 3cos n = a t= nt πn 75 π = 00 4π 3 ( n) = x ( t) = = 3 cos00 = 3cos n ω = π a t nt Namun diinginkan frekuensi berada pada daerah fundamental π ω < π, maka 4 6 digunakan ω = ω π = π π = π. Mengingat cos ( ω ) = cos( ω ), maka 3 3 3 diperoleh x( n) = 3cos πn. 3 d). Cari frekuensi F, 0 < F < F s /, dari sebuah sinusoid yang bila disample akan menghasilkan x(n) yang sama! Jawab : π 4 3 I-4
Untuk F s = 75 Hz, F = f F s = 75f. Untuk x( n) f = 3 = 3cos πn pada soal c) di atas, diperoleh 3. Maka F yang dicari adalah F = 75f =5 Hz. Contoh sinyal yang memiliki frekuensi ini adalah y a ( t) = 3cos 50πt. Untuk sinyal ini F = 5 Hz adalah alias dari F = 50Hz pada F s = 75 Hz (artinya di domain digital kedua sinyal identik). 6.5 Teorema Sampling, Nyquist Rate, Nyquist Criteria, dan Interpolasi Ideal Tujuan Belajar 9 Peserta mengerti teorema sampling Nyquist, Nyquist rate, Nyquist criteria. Misalnya diketahui sinyal analog x ( t) = A cos( π F t + θ ) a N i= superposisi (penjumlahan) dari sinyal si ( t) = cos ( π Fi t + θi ) frekuensi, karena setiap ( t) tertinggi dari ( t) kriteria Nyquist, yaitu rate. 6.6 Rekonstruksi Ideal i i i. Sinyal ini adalah, yang disebut komponen s i memiliki frekuensi distink sebesar F i. Berarti frekuensi Fmax = max F i, dan frekuensi sampling harus memenuhi F s > Fmax. Angka F max ini didefinisikan sebagai Nyquist x a adalah ( ) Tujuan Belajar 0 Peserta dapat merekonstruksi sinyal analog dari sinyal digital melalui rekonstruksi ideal (fungsi sinc). Memperoleh (n) x dari x a ( t) cukup mudah, yaitu melalui x ( n) x a ( t) t= NT bagaimana memperoleh (rekonstruksi) ( t) =. Tetapi x a dari x (n)? Teorema sampling mengatakan proses ini hanya bisa berhasil bila kriteria Nyquist dipenuhi pada saat memperoleh x (n). Cara rekonstruksi adalah dengan menggunakan fungsi interpolasi ( t) g. Misalnya sin πbt F max = B. Maka, g(t) =, yang juga dikenal sebagai fungsi sinc. Proses πbt interpolasi dilakukan melalui: x a ( t) = x g t = x( n) g( t nt ) n= n a Fs n Fs n= I-5
0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 Gambar 5. Fungsi sinc sebagai penginterpolasi. Contoh 5: Diketahui sinyal analog ( t) 3cos 50πt + 0sin 300πt cos00πt rate nya? Jawab: Perhatikan: x a x a (t) = 3 cos 50πt + 0 sin 300πt - cos 00πt F = 5 F = 50 F = 50 =. Berapa Nyquist Jadi sinyal ini memiliki tiga frekuensi, yaitu F = 5 Hz, F = 50 Hz, dan F 3= 50 Hz. Jadi Nyquist rate = F max = 50Hz = 300 Hz. Contoh 6: Diketahui sinyal analog x a (t) = 3 cos 000πt + 5 sin 6000πt + 0 cos 000πt a). Hitung Nyquist Rate b). Bila F s = 5000 Hz, cari x(n) c). Cari y a (t) yang dihasilkan oleh interpolasi ideal Jawab: I-6
a). Bila kita definisikan x ( t) = cos 000πt, x ( t) 5sin 6000πt x3 ( t) = 0 cos000πt, maka x a ( t) x ( t) + x ( t) + x 3 ( t) frekuensi: F = 000 Hz, F = 3000 Hz, dan F 3= 6000 Hz Jadi Nyquist ratenya adalah F N = 6000 = khz =, dan =, dan sinyal ini memiliki tiga b). Bila F s = 5000 Hz, maka kita mencari x(n) dengan mencari x (n) + x (n) + x 3 (n) yang masing-masing frekuensi f, f, dan f 3 berada pada daerah fundamental. x (n) = 3 cos (000/5000) πn = 3 cos π(/5)n, dengan f = /5 dan ½ < f < ½. x (n) = 5 sin (6000/5000) πn = 5 sin π(3/5)n. Di sini ada masalah karena f = 3/5 sehingga tidak ada di daerah fundamental. Maka kita menggunakan alternatifnya, yaitu f = f = /5. Jadi x (n) = 5 sin π( /5)n = 5 sin π(/5)n. x 3 (n) = 0 cos (000/5000)πn = 0 cos π(6/5)n. Di sini juga ada masalah karena f 3 = 6/5 sehingga berada di luar daerah fundamental. Maka kita menggunakan alternatifnya f 3 = 6/5 = /5, yang kebetulan sama dengan f. Jadi x 3 (n) = 0 cos π(/5)n. Dengan demikian x(n) = x (n) + x (n) + x 3 (n) = 3 cos π(/5)n - 5 sin π(/5)n. Perlu diperhatikan bahwa sinyal ini sekarang hanya mempunyai dua frekuensi, yaitu f = /5 dan f = /5. c). Karena kita menggunakan interpolasi ideal, maka kedua frekuensi f = /5 dan f = /5 akan menghasilkan dua frekuensi analog, masing-masing F = /5 F s = khz dan F = /5 F s = khz. Interpolasi ideal tidak mengubah amplituda. Oleh sebab itu, kita peroleh hasil rekonstruksi sebagai: y a (t) = 3 cos 000πt 5 sin 4000πt Kesimpulan kita bahwa sinyal hasil rekonstruksi berbeda dengan sinyal aslinya akibat pelanggaran kriteria Nyquist pada saat memperoleh sinyal x 3 (n). 6.7 Proses Kuantisasi Tujuan Belajar Peserta mengerti proses kuantisasi dan dapat menghitung error kuantisasi. Peserta mengetahui definisi kuantisasi level, dynamic range, dan resolusi, serta hubungan hal-hal tersebut dengan error kuantisasi. Proses kuantisasi mengubah sinyal continuous valued x(n) menjadi sinyal discrete valued x q ( n), yang digunakan untuk merepresentasikan x(n). Salah satu proses kuantisasi yang sering digunakan berbentuk ( n) Q[ x( n) ] x q =. Kuantisasi ini menghasilkan kesalahan (error) kuantisasi sebesar eq ( n) = xq ( n) x( n). Besar kesalahan ini diilustrasikan pada Gambar berikut. Misalnya sinyal analog x a ( t) ternyata memiliki nilai antara 0. x a ( t) 0. 4. Sinyal ini disampling pada sebuah frekuensi sampling tertentu menghasilkan x ( n). Pada titik-titik sampling, nilai x ( n) I-7
x a. Namun ketika dikuantisasi, maka hasilnya x q ( n) memiliki x a pada titik sampling) sebesar e q ( n). Hal ini disebabkan oleh adanya pembatasan nilai yang bisa dimiliki oleh x q ( n). Dalam contoh persis sama dengan ( t) perbedaan dengan x ( n) (dan ( t) ini, x q ( n) hanya diberi kesempatan untuk mempunyai satu dari L buah nilai dari daftar yang terbatas {0.0, 0., 0., dst}. Nilai-nilai sebanyak L itu disebut sebagai level kuantisasi. Step kuantisasi ( ) adalah selisih antara satu level dengan level terdekat berikutnya, yang dalam contoh ini sebesar 0.. Range Kuantisasi Step Kuantisasi 0.4 0.3 0. 0. 0.0 x q (n) 3 4 5 6 7 8 x(n) x a (t) n Gambar 6. Proses kuantisasi. = step kuantisasi (atau resolusi). Ada dua cara untuk menentukan besarnya nilai untuk sebuah sampel: trunkasi atau pembulatan (rounding). Seperti yang diperlihatkan pada Tabel, pada cara trunkasi, n x n adalah level terbesar yang nilai x q ( ) yang dipilih untuk merepresentasikan ( ) bernilai x( n). Pada cara pembulatan, nilai ( n) menghasilkan e q ( n) terkecil. x q yang terpilih adalah level yang Tabel. Nilai-nilai yang terjadi dalam proses kuantisasi pada contoh di atas. n x ( n) Cara trunkasi n n Cara pembulatan n e q n x q ( ) e q ( ) x q ( ) ( ) 0 0.40 0.40 0.00 0.40 0.00 0.34 0.30 0.04 0.30 0.04 0.30 0.30 0.00 0.30 0.00 3 0.6 0.0 0.06 0.30 0.04 4 0. 0.0 0.0 0.0 0.0 5 0.9 0.0 0.09 0.0 0.0 6 0.8 0.0 0.08 0.0 0.0 7 0.5 0.0 0.05 0.0 0.05 8 0.4 0.0 0.04 0.0 0.04 Rata-rata 0.04 0.04 Cara trunkasi sebenarnya lebih sederhana, namun bisa berakibat kesalahan yang lebih besar, yaitu ( n) < e q. Untuk cara rounding, kita peroleh pembatasan kesalahan (error I-8
bound) yang lebih baik, yakni ( n) e q. Pada contoh ini, cara tunkasi menghasilkan e q ( n) rata-rata 0.04, sedangkan cara pembulatan menghasilkan ( n) Tujuan Belajar e q rata-rata 0.04. Peserta mengetahui cara menghitung jumlah bit minimal agar error kuantisasi dapat dibatasi pada level tertentu. Mengapa kita ingin melakukan kuantisasi padahal hal ini mengakibatkan kesalahan kuantisasi? Tidak lain karena kita ingin menghemat penggunaan jumlah bit untuk merepresentasikan sampel-sample sinyal. Apabila kita menyediakan b buah bit untuk b kebutuhan setiap sampel, maka tersedia L = x q n. kemungkinan level untuk ( ) Apabila step kuantisasi adalah, maka kuantisasi ini memiliki daerah (range) kuantisasi sebesar ( b ). (Pengurangan oleh angka satu disebabkan oleh kenyataan bahwa step kuantisasi yang pertama membutuhkan dua level, sedangkan step berikutnya cukup dengan satu level). Daerah nilai yang dicakup kuantisasi ini harus cukup lebar untuk bisa mencakup rentang dinamis (dynamic range) dari sinyal, yang didefinisikan sebagai (max x(n) min x(n)). Dalam contoh di atas bisa dilihat max x(n) = 4.0 sedangkan min x(n) = 0.4, sehingga rentang dinamisnya adalah 3.86. Beberapa sifat dari kuantisasi adalah: Apabila step kuantisasi ini membesar, maka jumlah level kuantisasi yang dibutuhkan untuk mencakup rentang dinamis sinyal menjadi berkurang, sehingga jumlah bit yang diperlukan dapat dihemat. Tapi akibatnya e q ( n) rata-rata membesar. Sebaliknya, apabila step kuantisasi mengecil, maka e q ( n) rata-rata membaik (mengecil). Namun akibatnya jumlah jumlah level kuantisasi yang dibutuhkan untuk mencakup rentang dinamis sinyal menjadi membesar, sehingga jumlah bit yang diperlukan menjadi boros. Dalam praktek seringkali lebih penting untuk memperkecil kesalahan relatif daripada kesalahan absolut. Untuk itu, dikenal besaran energi dari sinyal maupun kesalahan, yang didefinisikan masing-masing sebagai Misalnya sinyal ( n) kesalahan e Ex = n x ( n) dan E e ( n ) e = n x yang memiliki enersi E x = 0 dikuantisasi dengan enersi x n yang memiliki enersi E x = x n mengalami E = 0.. Sementara itu sinyal ( ) E = 0.. Sekilas sinyal ( ) dikuantisasi dengan enersi kesalahan e kerugian lebih besar daripada ( n) q x akibat E e > E e. Namun dalam situasi praktis I-9
impak negatif yang dialami x ( n) sebenarnya lebih besar daripada yang dialami ( n) karena E e adalah 0% dari E x, sedangkan E e hanyalah % dari E x. x, Oleh sebab itu, besaran yang sering dipakai untuk melihat kualitas kuantisasi adalah adalah signal-to-noise ratio (SNR), yang didefinisikan (dalam db) sebagai SNR = 0 log Jelaslah bahwa kita perlu mencari jumlah bit b yang optimal, artinya jumlah bit terkecil yang bisa mencapai SNR yang dinginkan. Untuk jumlah bit yang tetap, SNR yang terbaik akan diperoleh apabila rentang kuantisasi secara efektif mencakup rentang dinamis. Untuk sinyal yang nilainya terdistribusi secara uniform, ini berarti rentang kuantisasi sama dengan rentang dinamis. Contoh 7: π x n = 6.35cos n 0 diperlukan apabila Sinyal ( ) Jawab: a) = 0. b) = 0.0 Ex Ee hendak dikuantisasi. Berapa banyak bit per sampel yang Rentang dinamis dari sinyal ini adalah 6.35 ( 6.35) =.7. Asumsi jumlah level adalah L. a) L =.7 / 0. = 7. L = 8 = b, maka b = 7. b) L =.7 / 0.0 = 635. L = 636 = b, maka b = 0 (bilangan integer). Contoh 8: Sebuah sinyal seismik memiliki rentang dinamis volt dan disampel dengan sebuah ADC 8 bit yang memiliki F s = 0 Hz. Jawab: a) Tentukan bit rate dan resolusi? b) Frekuensi maksimum yang bisa direpresentasikan pada sinyal digitalnya. a) Satu sampel menggunakan 8 bit. Ada 0 sampel tiap detik. Maka bit rate = 60 bit per detik. Jumlah level L = 56. Jadi resolusi = / (56 ) = 0.0039 volt. b) Kriteria Nyquist adalah 0 Hz. Jadi batas atas frekuensi yang bisa direpresentasikan adalah 0 Hz (eksklusif). 7 Catatan Penutup Pada bab ini, kita sudah melihat secara singkat sistem pemrosesan sinyal digital. Bab ini telah menjelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi, konsep frekuensi, konsep sinyal terhubung secara harmonis, dan perubahan antara domain analog dan domain I-0
digital, terutama melalui penjelasan tentang sampling dan ADC. Bagian DAC tidak dijelaskan secara lengkap dan baru akan di bahas di bagian akhir dari diktat ini. Bab berikutnya akan berisi teori pemrosesan sinyal. Teori akan dikembangkan pada x(n) bukan x q (n) karena tools matematika yang tersedia lebih lengkap dan untuk menghindari penjelasan yang rumit. I-