Bab Vektor Bagian A 1. Sebuah benda dipindahkan 12 kaki ke barat dan 5 kaki ke utara. Berapa besar dan arah resultan perpindahan? Perhatikan gambar berikut: 5 kaki ke utara perpindahan θ 5 kaki ke barat Dari gambar didapatkan bahwa besar perpindahan = tan θ = 5/12 θ = 22,62 diukur dari barat ke utara 12 + 5 = 13kaki. 2. tentukan resultan empat perpindahan berikut: 9 m ke timur, 13 m ke utara, 2 m ke barat, dan 11 mke selatan. Perhatikan gambar berikut: 2m ke barat 11m ke selatan 13m ke utara perpindahan 7m 9m ke timur 2m Dari gambar kita peroleh resultan perpindahan = 7 + 2 = 53 m 3. tentukan besar dan arah resultan 3 perpindahan 5 mil ke barat, 3 mil keutara, dan 1 mil kearah barat laut.
Perhatikan gambar! 1 mil ke barat laut 3 mil ke utara 5 mil ke barat Kita gunakan koordinat Cartesian: Untuk 5 mil ke barat: r 1 = 5 i Untuk 3 mil ke utara: r 2 = 3 j Untuk 1 mil ke barat laut: r 3 = -5 2 i + 5 2 j R = r 1 + r 2 + r 3 R = (5-5 2 ) i + (3 + 5 2 ) j R = (5 5 2) + (3+ 5 2) = 1,281 mil (3 + 5 2) tanθ = (5 5 2) θ = 11,62 dari barat ke utara 4. sebuah pesawat terbang 2 mil dalam arah membentuk sudut 25 diukur dari selatan ke barat. Tentukan komponen peprindahan pesawat dalam arah selatan dan arah barat. Perhatikan gambar berikut ini:
barat 25 selatan Komponen ke barat = 2 sin 25 = 84,52 mil Komponen ke selatan = 2 cos 25 = 181,26 mil 5. carilah komponen horizontal dan vertical sebuah vektorang panjangna 4 N dan membentuk sudut 25 dengan aah horizontal. Perhatikan gambar dibawah ini: 25 4 N Komponen horizontal = 4 N cos 25 = 36,25 N Komponen vertikal = 4 N sin 25 = 16,9 N 6. sebuah mobil bergerak 3 km ke timur, kemudian 12 km keselatan dan selanjutna 14 km ke barat dengan waktu total 4 menit. Tentukan jarak ang ditempuh, perpindahan,laju rata-rata dan kecepatan rata rata mobil tersebut. Perhatikan gambar berikut ini: 16 km 3 km pepindahan 12 km 12 km 14 km 4 menit = 2/3 jam Perpindahanna adalah: 16 + 12 = 2 km Jarak ang di tempuh: 3 + 12 + 14 = 56 km
Kelajuan rata-rata: jarak/waktu = 56 = 84 km/jam 23 Kecepatan rata-rata: perpindahan/waktu = 2 = 3 km/jam 23 7. seorang anak berjalan 25 m ke barat selama 35 menit, 1 m ke selatan selama 1 menit, kemudian 5 m ke timur selama 5 menit. Tentukan jarak tempuh anak tersebut, perpindahan, laju rata-rata, dan kecepatan rata-ratana. Perhatikan gambar berikut ini: 25m 1m perpindahan 5m 2m Jarak total = 25 + 1 + 5 = 4 m Perpindahan = 1 + 2 = 2236 m Waktu total = 5 menit = 3 s Kelajuan rata-rata = jarak total/waktu = 4/3 = 1,34 m/s Kecepatan rata-rata = perpindahan/waktu = 2236/3 =,745 m/s 8. tiga orang pemain bola melakukakn tackling bola secara bersamaan dengan gaa masing masing 1 N ke utara, 12 N membentuk sudut 2 diukur dari timur keutara, dan 8 N membentuk sudut 35 diukur dari utara ke barat. Tentukan resultn ketiga gaa tersebut. F 3 = 8 N 35 F 1 = 1N F 2 = 12 N 2
F 1 = 1 N j F 2 = (12 cos 2 ) N i + (12 sin 2 ) N j F 2 = 112,76 N i + 41,4 N j F 3 = -(8 cos 35 ) N i + (8 sin 35 ) N j F 3 = -65,53 N i + 186,92 N j R = F 1 + F 2 + F 3 R = 47,23 i + 186,92 j R = 47, 23 + 186,92 = 192,79 N 9. tentukan resultan dari gaa berikut: 5 N dengan membentuk sudut 3 terhadap sumbu +X, gaa 8 N dengan membentuk sudut 135 terhadap sumbu +X, dan 3 N dengan membentuk sudut 24 terhadap sumbu +X. jawab: F 1 = (5 cos 3 ) N i + (5 sin 3 ) N j = 25 3 N i + 25 N j F 2 = (8 sin 135 ) N i + (8 sin 135 ) N j = 4 2 N i + 4 2 N j F 3 = (3 cos 24 ) N i + (3 sin 24 ) N j = -15 N i - 15 3N j R = F 1 + F 2 + F 3 R = 84,87 N i + 55,58 N j R = 84,87 + 55,58 =11,45 N 1. dua helikopter lepas landas (take off) dari tempat pendaratan ang sama. Salah satu helicopter berada pada posisi 1 km dengan sudut 45 diukur dari barat ke selatan, sedangkan helikopte kedua berada pada posisi 6 km dengan membentuk sudut 45 diukur dari timur keselatan. Tentukan perpindahan helikopter kedua relatif tehadap helikopter pertama. U B 45 45 Perpindahan relatif S T Vector perpindahan relatif = {6 cos45 - (-1 cos 45 )} i + {6 sin 45 1 sin 45 }j
= 11,3 i - 2,83 j Perpindahan relatif = 11,3 + 2,83 = 11,6 km 11. sebuah motor Boat ang memiliki laju 9 mil/jam menebrangi sungai ang mmiliki kecepatan arus 2 mil/jam. Arah mana ang harus diambil oleh motor boat agar lintasanna tegak lurus terhadap sungai? Dalam kondisi gerak tersebut, berapakah laju motor boat diukur dari daratan? v at v pa v pt Laju arus terhadap tanah, v at = 2 mil/jam Laju perahu terhadap arus, v pa = 9 mil/jam vat sinα = = 2 v 9 pa α = 12,84 Perahu harus diarahkan dalam arah 12,84 + 9 = 12,84 v = v + v pt pa at = 9 2 = 8, 77mil/jam 12. seorang pilot mengarahkan pesawatna keselatan dengan laju 27 km/jam relatif terhadap udara. Setelah satu jam, pilot mendapatkan bahwa pesawat telah berada di atas bandara dengan posisi 24 km kearah selatan dan 7 km kearah timur, relatif terhadap posisi satu jam sebelumna. Tentukan: (a). kecepatan angin; (b). arah ang harus dipilih agar pesawat tepat begerak kea rah selatan.
Perhatikan gambar dibawah ini v pa v pt v a Jarak tempuh = 24 + 7 = 25 km Kelajuan pesawat terhadap angin, v pa = 27 km/jam Kelajuan pesawat terhadap tanah v pt = 25 km/1 jam = 25 m/jam Kelajuan angin, v a =? soal salah v = v v = a pt pa 25 27 hasil imajiner, sepertina data pada 13. arus sungai mengalir kearah selatan dengan laju 1 mil/jam. Seorang laki-laki mengauh sampan ke arah barat dengan laju 3 mil/jam relative terhadap air. Tentukan laju sampan relative terhadap tanah. v a v pa v pt v = v + v pt a pa = 1 + 3 = 1mil/jam 14. sebuah bola dilemparkan dari sebuah mobil ang sedang bergerak dengan kelajuan 14 m/s relatif terhadap mobil dalam arah tegak lurus terhadap arah gerak mobil. Jika laju mobil 2 m/s berapakah kecepatan bola terhadap tanah?
Bola akan mempunai komponen kecepatan pada arah vertical dan horizontal: v bt = 14 + 2 = 24,41 m/s 15. sebuah pesawat dengan laju terhadap udara 15 mil/jam bermaksud bergera ke timur. Angin memiliki kelajuan 4 mil/jam dengan membentuk sudut 3 diukr dari arah timur ke utara. Dalam arah mana peawat harus diarahkan agar gerakanna tepat kearah timur? Berapa laju pesawat erhadap tanah? Soal dapat dilukiskan dengan gambar seperti dibawah ini: v a 3 θ v pa v pt timur v a = laju angin v pt = laju pesawat terhadap tanah v pa = laju pesawat terhadap angina agar pesawat bergerak ke timur, komponen kecepatan v a dan v pa pada harus saling menghilangkan, maka: v a sin 3 = v pa sin θ 1 va 1 4 sinθ = = =,13 2 vpa 2 15 θ = 7,67 v = v + v + 2v v cos(3 + θ ) pt a pa a pa ( ) 4 15 (2 4 15)cos 37,67 = + + = 183,3mil/jam
16. sebuah helikopter memiliki kecepatan terhadap udara 4 knot dengan membentuk sudut 35 diukur dari barat ke utara. Kecepatan angina adalah 2 knot ke arah timur. Tentukan kecepatan helikopter terhadap tanah. v hu v ht v u v hu = kecepatan helikopter terhadap udara v ht = kecepatan helikopter terhadap tanah v u = kecepatan udara sudut antara vector v hu dan v u = θ = 18 35 =145 v = v + v + 2v v cos145 ht hu u hu u = + + ( ) 4 2 (2 4 2) cos 145 = 26,25knot 17. sebuah pesawat memiliki kecepatan 5 knot terhadap udara dengan arah membentuk sudut 2 diukur dar timur keselatan. Jika udara memiliki kecepatan 8 knot dengan arah membentuk sudut 6 diukur dari timur keutara, berapakah kecepatan pesawat terhadap tanah? 35 v u 8 v pt v pu Sudut apit antara vector v u dan vector v pu adalah 2 + 6 = 8
v = v + v + 2v v cos8 pt u pu u pu = + + ( ) 8 5 (2 8 5) cos 8 = 519,89 knot 18. sebuah kapal bergerak kearah timur dengan laju 3 km/jam relative terhadap tanah. Anngin bertiup dari arah utara ke selatan dengan laju 1 km/jam. Berapakah kecepatan asap ang keluar dari cerobong kapal relative terhadap kapal. U B T V uap S v uap v a v a = kecepatan angina v uap = kecepatan uap v uap = kecepatan uap bila tidak ada angin v = v + v, uap uap a = 3 + 1 = 31, 63 km/jam 19. sebuah kapal bergerak kearah timur dengan laju 25 km/jam. Saat itu angin bertiup dengan laju 1 km/jam dengan arah membentuk sudut 45 diukur dari selatan ke barat. Berdasarkan pengamatan dikapal, kea rah manakah uap ang dihasilkan akan bergerak? Berapa laju uap tersebut terhadap kapal?
v u v u v angin Sudut antara vector v u dan vector v angin adalah 45 v u = kecepatan uap v u = kecepatan uap bila tidak ada angina, vu = vu + va + vuva cos 45 = + + 25 1 5 1 cos 45 = 32,84 km/jam 2. seorang pilot mencoba mempertahankan arah pesawat ke sebuah bandara di sebelah barat. Laju pesawat terhadap udara 6 mil/jam. Jika angin bertiup dengan kecepatan 1 mil/jam dengan arah membentuk sudut 4 diukur dari selatan ke barat, kemanakah moncong pesawat harus diarahkan? Berapa laju pesawat relatif terhadap tanah? Perhatikan gambar berikut: U B T V pu θ V pt 5 S V pt θ 5 V pu Vangin V angin Dengan V pt = kecepatan pesawat terhadap tanah, V pu = kecepatan pesawat terhadap udara
Gunakan aturan sinus: vpu vangin = sin 5 sinθ 6 1 = sin 5 sinθ θ = 7,33 Moncong pesawat harus diarahkan sebesar 7,33 diukur dari barat ke utara Laju pesawat relative erhadap tanah, v pt adalah: v = v + v + 2v v cos(5 +θ ) v pt pu angin pu angin pt = + + 6 1 2 6 1 cos (57,33) v = 659,375 km/jam pt Bagian B 1. besaran-besaran beikut merupakan besaran scalar, kecuali.. a. kelajuan b. jarak c. energi d. gaa e. volum jawab: jawabana adalah gaa. Gaa merupakan besaran ang memiliki arah. Oleh karena itu gaa merupakan besaran vector jawaban: A 2. dua buah vektor masing-masing besarna 6 satuan dan 8 satuan. Sudut antara kedua vektor tersebut 9. Resultan vektor adalah.. a. 1 satuan b. 14 satuan c. 16 satuan d. 2 satuan e. 24 satuan R = + + 6 8 2(6 8) cos 9
R = 1 satuan Jawaban: A 3. vector A besarna 6 satuan dan vector B besarna 5 satuan. Bila sudut ang dibentuk oleh vektor A dan vektor B adalah 6, maka selisih antara kedua vektor adalah. a. 45 satuan b. 41 satuan c. 3 satuan d. 21 satuan e. 11 satuan R= A + B 2ABcosθ R = + 6 5 2(6 5)cos6 R = 31 satuan Catatan: Jawaban tidak ada didalam pilihan 4. besar vektor A = 3 satuan dan besar vektor B = 4 satuan. Bila vektor satuan (A+B) = 5 satuan, maka sudut antara vektor A dan B adalah a. 3 b. 45 c. 6 d. 73 e. 9 ( A+ B ) = + + 2 cos A B AB θ 5= 3 + 4 + 2(3 4)cosθ θ = 9 Jawaban: E 5. kelompok vektor satuan dibawah ini semuana memiliki sudut apit 9 kecuali.. a. 3, 4, dan 5 b. 6, 8, dan 1 c. 4, 5, dan 8
d. 9, 12, dan 15 e. 12, 16, dan 2 Kita dapat menggunakan persamaan berikut untuk menguji kelompok vector manakah ang memiliki sudut apit 9 : R A B Uji semua nilai ang diberikan, dan kita dapatkan ang tidak memiliki sudut apit 9 adalah opsi (c) akni, 4, 5, dan 8 Jawaban: C = + dikarenakan cos 9 = 6. dua buah vektor masing-masing 1 satuan kekanan dan 5 satuan kekiri bekerja pada sebuah benda. Supaa benda itu tidak bergerak, maka diperlukan vector.. a. 1 satuan ke kanan b. 15 satuan ke kiri c. 5 satuan ke kanan d. 5 satuan ke kiri e. Nol Jika tidak ada gaatambahan, maka benda akan bergerak kearah kanan oleh karena gaa sebesar 5 satuan (hasil selisih dari dua vector gaa ang bekerja pada benda). Oleh karena itu, agar benda tidak bergerak, dibutuhkan gaa sebesar 5 satuan kearah kiri. Jawaban: D 7. perhatikan gambar dibawah ini. Besar komponen dalam arah sumbu X dan sumbu Y adalah... 4 satuan 6 satuan 45 3 a. F = ( 3 3 ) dan F = ( 3+ ) b. F = ( 3 3 ) dan F = ( 3 2+ ) c. F = ( 3 3+ ) dan F = ( 3+ )
d. F = ( 3 3+ ) dan F = ( 3 2+ ) e. F = ( 3 3 ) dan F = ( 3 3+ ) Komponen gaa pada sumbu antara lain adalah: F 1 = 4 cos 45 = F 2 = 6 cos 3 = 3 3 Komponen gaa pada sumbu adalah: F 1 = 4 sin 45 = F 2 = 6 sin 3 = 3 Komponen pada sumbu mempunai arah ang berlawanan Sedangkan komponen pada sumbu akan saling menjumlahkan (karenan mempunai arah ang sama), maka F = ( 3 3 ) dan F = ( 3+ ) Jawaban: A 8. besar vector A adalah 2 satuan dan membentuk sudut 45 terhadap sumbu X positif. Besar komponen vector tersebut dalam sumbu X dan sumbu Y adalah a. A = 2 satuan, b. A = 2 2 satuan, c. A = 1 satuan, d. A = 1 2 satuan, e. A = 1 3 satuan, A = 2 satuan A = 2 2 satuan A = 1 satuan A = 2 cos 45 = 1 2 satuan A = 2 sin 45 = 1 2 satuan Jawaban: D A = 1 2 satuan A = 1 2 satuan 9. perhatikan gambar dibawah ini. Resultan dari ketiga vektor tesebut adalah
3 N 1 N 3 N 6 3 a. 1 N b. 2 N c. 3 N d. 4 N e. 7 N F 1 = 3 N -15 3 i +15 j F 2 = 1 N 1 j F 3 = 3 N 15 3 i +15 j R = F 1 + F 2 + F 3 = 4 N j R = 4 N Jawaban : D 1. resultan dari tiga vektor dibawah ini adalah 1 satuan 3 5 satuan 6 5 satuan a. 3, satuan b. 5, satuan c. 5 5 satuan d. 1 satuan e. 1 3
Perhatikan gambar berikut: F2 = 1 satuan 3 F3 = 5 satuan 6 F1 = 5 satuan F 1 = 5 cos 6 i 5 sin 6 j = 2,5 i - 2,5 F 2 = 1 sin 3 i +1 cos 3 j = 5 i +5 F 3 = -5i R = F 1 + F 2 + F 3 = 2,5 i +2,5 3 j 2 R = 2,5 ( 2,5 3) 2 Jawaban: B + = 5 satuan 3 j 3 j 11. dua buah vector aitu F 1 dan F 2, membentuk sudut 15 satu sama lain. Resultan dari kedua vector tersebut membentuk sudut 6 terhadap vector F 2. bila besar F 2 = 8 satuan, maka besar vector F 1 adalah.. a. 1 satuan b. 6 satuan c. 4 6 satuan d. satuan e. 6 satuan
F 1 45 6 R R 6 F 2 45 F 1 F 2 Gunakan aturan sinus: F1 F2 = sin 6 sin 45 1 3 F 2 1 = 8 1 2 2 3 = 8 2 6 = 8 4 Jawaban: C = 4 6 satuan 12. perhatikan gambar vektor disamping ini. Resultan dari dua vektor tersebut adalah.. 8 B 6 A 3 a. 3 satuan b. 6 satuan c. 8 satuan d. 1 satuan
e. 11 satuan A = 3 i B = 3 i +8 j R = A + B = 6 i +8 j R = Jawaban: D 6 + 8 =1 satuan 13. sebuah benda berada diatas lantai ang licin. Benda terseut ditarik oleh seuah gaa sebesar 2 N ang membentuk sudut 6 terhadap permukaan lantai. Bila massa benda diabaikan, maka besar gaa ang harus diberikan agar benda tidak terangkat adalah.. a. 2 3 N b. 2 2 N c. 2 N d. 1 3 N e. 1 2 N F = 2 N sin 6 = 1 3 N Gaa ang diberikan harus sama dengan 1 3 N Jawaban: D 14. tiga buah vector A, B, dan C bekerja pada sebuah benda tak bermassa (lihat gambar). Besar vector resulta R dalamarah sumbu X dan sumbu Y adalah.. C = 5 A =1 15 3 6 B = 5 satuan
a. R = 5 3 satuan, R = 5 2 satuan b. R = satuan, R = 5 satuan c. R = 5 3 satuan, R = -5 2 satuan d. R = 5 satuan, R = 1 satuan e. R = -5 3 satuan, R = 15 satuan A = 1 cos 3 i + 1 sin 3 j = 5 3 i + 5 j B = -5 sin 6 i -5cos 6 j = -2,5 3 i 2,5 j C = 5 cos 15 i + 5 sin 15 j = -2,5 3 i + 2,5 j R = A + B + C = 5 j R = satuan R = 5 satuan Jawaban: B 15. tedapat vektor A, B, dan C. besar vektor A = 6 satuan dan besar vektor C = 5 satuan. Bila A + B = 2C dan sudut ang dibentuk antara vektor A dan B adalah 9, maka besar vektor B adalah.. a. 4 satuan b. 6 satuan c. 8 satuan d. 1 satuan e. 25 satuan A + B = 2C A 2 + B 2 = 4C 2 karena sudut antara A dan B adalah 9 36 + B 2 = 4 25 B = 8 satuan Jawaban : C 16. tedapat vector A, B, dan C. besar vector B = 1 N dan besar vector C = 2 N. bila A + B = C dan sudut antara vector A dan C adalah 3, maka besar antara vector B dan C adalah..
A C B 3 θ a. 3 b. 45 c. 9 d. 6 e. 12 Ganbar diatas dapat diganbar ulang menjadi seperti dibawah ini: C 3 A 15 -θ θ B Gunakan aturan cosinus: C B = sin (15 θ ) sin 3 C sin (15 θ ) = sin 3 B 2 1 = = 1 1 2 15 θ = 9 θ = 6 Jawaban: D
17. sebuah benda ditarik ke kanan dengan gaa 3 N dan membentuk sudut 37 terhadap permukaan lantai. Besra dan arah vector ang harus diberikan agar benda tidak berherak adalah. a. 24 N ke kanan b. 24 N kek kiri c. 18 N ke kanan d. 18 N kek kiri e. 18 N keatas Gaa horizontal ang bekerja = 3 N cos 37 = 24 N ke kanan Maka gaa ang harus diberikan agar benda tidak bergerak adalah 24 N ke arah kiri Jawaban: B 18. spmb 22 ditentukan dua buah vector ang sama besar, aitu F. bila perbandingan antara jumalah dan selisih antara kedua vector sama dengan 3, maka sudut ang dibentuk oleh kedua vector itu adalah.. a. 3 b. 37 c. 45 d. 6 e. 12 Jawaban: D 2F + 2F cos 2F 2F cos θ = θ 1+ cosθ = 3(1 cos θ) = 3 3cosθ 4cosθ = 2 1 cosθ = 2 θ = 6 3 19. umptn 2 kompas ang ada pada sebuah pesawat terbang menunujukan kea rah utara. Pesawat itu bergerak dengan kecepatan 24 km/jam. Bila ada angina ang bertiup dengan kecepatan 1 km/jam dari barat ke timur, maka laju pesawat relative terhadap bumi adalah a. 16 m/s b. 16. cm/jam
c. 34 km/jam d. 26 km/jam e. 14 km/jam v pu v pt v u v pu = kecepatan pesawat terhadap udara v pt = kecepatan pesawat terhadap tanah v u = kecepatan udara v = v + v pt pu u = 24 + 1 = 26 km/jam Jawaban: D 2. sebuah perahu meneberangi sungai selebar 18 m dan kecepatan arusna 4 m/s. perahudiarahkan menilang tegak lurus terhadap sungai dengan keepatan 3m/s. setelah tiba diseberang sungai, perahu tela menempuh jarak sejauh.. a. 18 m b. 24 m c. 3 m d. 32 m e. 36 m v pa v pt v a
v pa = kecepatan perahu terhadap arus v pt = kecepatan perahu terhadap tanah v a = kecepatan arus v = v + v pt a pa = 4 + 3 = 5m/s lebar sungai vpa = jarak tempuh vpt 5 jarak tempuh = 18 = 3 m 3 Jawaban: C