INTEGRAL Instruktur : Ferry Whyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
. Integrl tk tentu b. Integrl tertentu
Contoh : Tentukn turunn berikut ini. y b. y. y d. y
y y d. - y y. y y b. y y. Jwb:
F() F () ---------- C --- Diferensil Integrl 5
Kesimpuln / Konklusi: Integrltk tentudlh Prosesmenrifungsisemul F(X) turunnnyf'() dikethui Rumusny: jik f()d F(X) C 6
. F() FungsiIntegrlUmum (bersift)f'() f(). f() FungsiIntegrn. ConstntPengintegrln 7
8 f() F'() n F(). f() F'() C F(). f() F'() F(). Contoh - ontoh n n C
9 C 5....-.. C ) 5.......-..(............ d.......... d.......... d...... d. C... 5 d. 5 5 5-6 0 C C C
0 C 5 - C ) ( 5-5 - d. d. d d. C 5 5 d. 5 5 5-6 0 C C C
dn F() F'() jik F(), Tentukn 5 6 F() 6 6 0 () 6 F() 6 F() d F() Jwb: 6 6 6 5
log ln,dengn ln d 6. -,dengn n n d 5. -,dengn n n d. d. dlh onstnt f()d, f()d. d. e n n n n
Tentukn Integrl- integrl ). b). ). d). 5 d d d d tk tentuberikut ini :
5 d 5 ). 5 - ) ( - - - d d b). - -
5 7 7 7 d d ). 7 7
d). d - d - 6
. f() g() d f()d g()d. f() g() d f()d - g()d. f()d f()d 7
Tentukn Integrltk tentuberikut ini. ( ) d. ( 6-5 ) d. 5 d 8
9 C d d d ) (.
0 C 6 7 6-7 d d d - d ) - (. 6 7 6 7 5 6 5 6
. 5 d 5 d 5( ) 5
Tentukn Integrldibwh ini :. ( ) d. (p p ) dp. ( 5) d. 5 7 d
. ( ) d d d - d
. (p p ) dp p dp p dp p p 5 5
. ( 5) d ( 0 5)d d 0 d 5d 5 5 5
. 5 7 d (7) 5 d 7 5 5 7 6 6 5 5 6 5 6 6 5
. 5 7 d. ( ) d.. ( t ) t d t dt 7
8 5 7 7 8 d d d ). ( d. 6 7 7 5 7 5 7 8 7 8 5 7 5 5 7 7
. ( ) d ( ) d 9
. ( ) d ( 6 8) d 6 8 0
t t (t )(t ). dt dt t (t ) (t ) dt t t
log ln,dengn ln d 6. -,dengn n n d 5. - dengn n, n d. d. dlh onstnt f()d, f()d. d. e n n n n
Tentukn Integrltk tentuberikut ini :. ( ) d. ( ) d ( ). d
5 7 5 7 ) d ( )d ( )d (. 5 7 5 5 5
5 5 5 d ) ( d ) ( d ) (. 5
6 d ) ( d ) ( d ) ( d ) (. 6 6 6
6 7 5 7 5 7
.. Tentukn F(), jik F'() dn F() d y Diberikn y f()dn. Bil 0, y 0 d dn, dn y rilh hubungn ntr dn y 5 8
9 6 F() 6 6 0 () 6 F() 6 F() d F() 6 6 6 5
0 - y Jdi - 0.. dn y 0 0 0 0 0 0 dn y y d ) ( d d dy y d d d y d d dy d y d
Sebuh kurv mellui singgung kurvitu kurv tersebut dy d titik (0,)dn grdien gris, rilh persmn
dy d y dy d d y d y,kurv mellui (0,) 0 Jdi persmn kurvdlh y
Sebuh prtikel muli bergerk dri kedn dim (keeptnwl 0) pd sepnjngsumbu dengn Tentukn formuluntuk titik fungsipereptn(t) t fungsiposisi 0 dn bergerk (t)!
d dt v(t) Untuk v(0) 0 d v(t) (t) v(t)dt 6t dt t dt Untuk (0) 0, diperoleh nili yitu 0 (t) t dengn v(0) 6.0.0 (t)dt 0, diperoleh nili t dt 0 v(t) Jdi formul fungsiposisi (t) t 0 0 6t 0 6t, yitu :
No. 5 6 F() Sin Cos Tn Cot Se Cose F () Cos -Sin Se -Cose Tn se -Cot ose 5
. os d sin. sin d - os. se d tn. ose d - ot 5. tn.se d se 6. ot.ose d - ose 6
No 5 6 F() Sin(+b) Cos(+b) tn(+b) Cot(+b) Se(+b) Cose(+b) F () os(+b) -sin(+b) se (+b) -ose (+b) tn(+b).se(+b) -ot(+b).ose(+b) 7
8 b) ose( b) d b).ose( ot( 6. b) se( b) d b).se( tn( 5. b) ot( b) d ( ose. b) tn( b) d ( se. b) os( - b) d sin(. b) sin( b) d os(.
.... Sin α Cos β Cos α Sinβ Cos α Cos β Sin α Sin β - Sin α β Sin α β Sin α β Sin α β Sin α β Cosα β Cosα β Cosα β 9
Tentukn integrl- integrl. (tn )d tk tentuberikut :. (sin - os ) d. (tn se ) d. 5. (sin os) d sin d 6. os d 50
. (tn ) ddiubhmenjdi (tn ) d (se )d se d d tn 5
. (sin - os ) d diubh menjdi (-sin) d d - sin d - (- os) 5 os
. (tn se ) d disederhnkn menjdi: (se tn.se ) d se d tn se - tn.se d - d 5
. (sin os )d diubhke rumussudutrngkp (sin os )d (sin 8) d sin 8d (- os 8) 8 - os8 6 5
5. sin d diubh menjdi (- os) d ( os)d d - osd - ( sin) 55 - sin
56 sin 6 sin 6) 6 ( (os 6)d d 6)d os ( menjdi diubh d os 6.
57 Simbol b f()d disebut Integrltentu fungsif(), dri smpi b.. Fungsif()disebut integrn. dn b msing - msing disebut bts bwh dn bts ts dri integrsi( Pengintegr Jdi jik f() kontinu pd intervl ln). b dn F() dlh sutu nti turunn dri f() mk integrl tentu ditentukn oleh :
b f()d b F() F(b)- F() RUMUS DASAR INTEGRALTENTU 58
59.... 5. 6. b b b b f()d f()d f()d f()d Bil 0 - f() g() F(u) b f()d f()d, dengn dlh konstnt rel f()d u b f()d b b f()d, mk b g()d f()d, untuk d F(u) du f(u) b
Hitunglh nili setip integrl tentu dibwh ini. b. d. ( ) d d. - 0 - ( (6 )d - ) d 60
. b. d ( ) d - 8 () () -() () - -5 9 6
6-0 0-8 ) ( () )d (.
d. 0 - (6 (0) (0) (0) -(-) ( ) ( ) 0 - - - ) d 0 6
Hitunglh. Cos d b. 6 0 Sin d
. Cos d sin sin π -sin π 0 - - 65
b. 0 Sin d - Cos π 0 Cos π -- Cos 0 0 66
Tentukn nili p yng memenuhisetip persmn berikut ini : p. d 0 p b. ( 6) d 6 67
68 p p p 0 p d d. p 0 p 0 p 0
b. 69 p p 8-6 p 8p. 8. p (p p ( p p 8p 8p p 6)(p 6) d 6 56 6) 6 ( ) 0 0 6 0 6
. f() g() d f()d g()d. f() g() d f()d - g()d. f()d f()d 70
7 log ln, dengn ln d 6. -,dengn n n d 5. - dengn n, n d. d. dlh onstnt f()d, f()d. d. e n n n n
No. 5 6 F() Sin Cos Tn Cot Se Cose F () Cos -Sin Se -Cose Tn se -Cot ose 7
. os d sin. sin d - os. se d tn. ose d - ot 5. tn.se d se 6. ot.ose d - ose 7
No 5 6 F() Sin(+b) Cos(+b) tn(+b) Cot(+b) Se(+b) Cose(+b) F () os(+b) -sin(+b) se (+b) -ose (+b) tn(+b).se(+b) -ot(+b).ose(+b) 7
75 b) ose( b) d b).ose( ot( 6. b) se( b) d b).se( tn( 5. b) ot( b) d ( ose. b) tn( b) d ( se. b) os( - b) d sin(. b) sin( b) d os(.
.... Sin α Cos β Cos α Sinβ Cos α Cos β Sin α Sin β - Sin α β Sin α β Sin α β Sin α β Sin α β Cosα β Cos α β Cos α β 76
. b. Integrltk tentu Integrltertentu. Integrl Prsil 77
Contoh substitusi A. - ontoh sol Aljbr bentuk Integrl dn Trigonomet Contoh bentuk solsubstitusialjbr. t (t 5) d ri dengn. ( 9) d. d 78
B. Contoh bentuk solsubstitusitrigonometri. Sin ( ) d. Cos 0 Sin d. Cos -Sin d 79
80 du 9u d menjdi ) ( 5) 9( Mk ) d ( du d du 5 u Mislkn Jwb: d ) ( 5) 9( Crilh : 8 8 8
9u 9 u 9 9 ( 5 ) 9 8
Selesiknlh Jwb: ( ) 7 d Mislkn u du d d du 8 ( ) 7 d Menjdi u 7. du
u 7 du.( ).u 8 8 u 8 6 ( ) 8 6 8
Tentuknlh : 7 d 8
Mislkn : mk u 85 7 d 7 u u du d d du u. du..du du
u..u ( 7) 7 86 9
87 d (-5) Crilh )du 5u (u 6 du. 5).u (u d 5) ( du d du d mk 5) (u -5 u Mislkn Jwb:
u 5 5 u 80 6 (-5) 5 5 ( 5) 80 6 88
89 Jwb: Mislkn u mk du u du. Crilh : d tu d. u u du du d
Crilh : Jwb: Mislkn mk. du sin θ. sin θ u u 8 ( - Cos θ) 90 (- Cos θ) 8 (- Cos θ) u du dθ dθ u - Cos θ sin θ du sin θ sin θ dθ sin θ dθ u du
Hitunglh : Jwb: ( -5) d Mislkn u Bil u -5, mk du.-5 d dn d du Bil u.-5 - ( -5) d - u du 9 u -
6 u ( ) 6 80 (8) 5 9 6 6
9 9 9 8. 9 ) ( ) (. ) d( ) ( ) ( d Jwb: ) ( d Hitunglh : - - - -
Sin n.cos m d Sin Cos 9
Sinus dn Cosinus Pngkt genp seperti Sin,Sin,Sin 6, Cos, Cos, Cos 6 dn seterusnydirubh menjdi 95.. Sin Cos ( Cos ) dn ( Cos )
Sinus dn Cosinus Pngkt gnjil seperti Sin,Sin 5,Sin, Cos, Cos dn seterusnydirubh menjdi 7 5, Cos 7. Sin Sin.Sin ( Cos )Sin. Cos Cos.Cos ( Sin ).Cos 96
Tentuknlh : Sin Cos d Sin Sin Cos (Cos d.cos) d Sin ( Sin )Cos d (Sin Sin ) Cos d Sin Cos d - Sin Cos d Sin d(sin )- Sin d(sin )d 97 Sin - 5 Sin 5
Selesiknlh : Sin 5 d Sin 5.Sin d (- Cos 5).Sin 5 d Sin 5 d - Cos 5.Sin5 d - 5 Cos 5 5 Cos 5 98
99 d Cos Tentuknlh : Cos)}d Cos {( Cos)}d ( Cos {( )d Cos Cos ( d Cos) ( d ) (Cos d Cos
00 Sin Sin 8 Cos d() 8. Cos d() d 8 d Cos Cos d d Cos)d Cos (
0
Tentuknlh :. tn.se d. ot.ose d. tn d. ot d 5. 0 ose d
INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI... - u u du u du du r sin u r tn - r os u u,dengn,dengn,dengn 0 dn - 0 u 0 dn - u 0
Fungsi Integrl Dengn > 0 Substitusi Trigonometri u sin θ u u u tn θ u u seθ 0
05 r tn d 9 d d 9 d. 7 r os - d 9- b. r sin d 6-. : Integrltk tentuberikut ini Tentukn
Hitunglh Integrlberikut ini : d ; substitusikn u mk, sin θ dn du u d mk u osθ dθ d sin sin osθ dθ θ sin osθ dθ θ ( sin θ θ) 06
osθ dθ sin θ.osθ ose θ dθ dθ sin θ - otθ sinθ sin θ - - ot θ - 07
Digunkn untuk Mengintegr lkn hsil kli du fungsi Penurunn Rumus Dsr d(uv) u dv d(uv) u dv vdu ( Kedu vdu IntegrlPrsil rus diintegrlkn) uv u dv vdu u dv uv - v du 08
Hitunglh IntegrlPrsilberikut ini.. sin d sin d. - d. ln d 09
. sin d Selesikn dengn rtbulsi sbb: Turunkn X 0 Integrlkn Sin d -Cos - Sin + - Jdi Sin d - os sin 0
. sin d Turunkn X 0 Integrlkn Sin d -Cos - Sin Cos + - + Jdi sin d os sin os
Dengn Cr Tbulsi. - d Turunkn Integrlkn - d. ( ) 0.. ( ) 6 5 + - - d 6 () 60 ( )
. ln d Mislkn u dv ln d ln d du v d d ln. d ln d ln
TERIMA KASIH