BILANGAN RAINBOW CONNECTION DARI HASIL OPERASI PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN KARTESIUS DUA GRAF

BILANGAN RAINBOW CONNECTION DARI HASIL OPERASI PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN KARTESIUS DUA GRAF Fuad Adi Saputra Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: tee_fu@yahoo.com ABSTRAK Graf dengan pewarnaan sisi disebut pelangi sisi terhubung, jika setiap titik pada graf dihubungkan oleh lintasan yang memiliki sisi-sisi dengan warna yang berbeda. Rainbow connection pada graf yang terhubung, disimbolkan oleh yaitu bilangan terkecil dari warna yang dibutuhkan untuk membuat graf menjadi pelangi sisi terhubung. Sedangkan graf dengan pewarnaan titik adalah pelangi titik terhubung, jika setiap titik pada graf dihubungkan oleh lintasan yang memiliki titik-titik interior dengan warna yang berbeda. Rainbow ertex-connection pada graf yang terhubung disimbolkan oleh yaitu bilangan terkecil dari warna yang dibutuhkan untuk membuat graf menjadi pelangi titik terhubung. Penelitian ini menganalisis besarnya bilangan dan dari graf hasil penjumlahan dan perkalian kartesius dua sebarang graf. Penjumlahan dua graf dan yang dinotasikan mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi. Bilangan rainbow connection dari graf adalah: ), dan adalah graf komplit, dan 2) 2, atau adalah bukan graf komplit sedangkan bilangan rainbow ertex-connection dari graf adalah: 0, dan adalah graf komplit, atau adalah bukan graf komplit Graf hasil kali kartesius adalah graf yang dinotasikan dan mempunyai titik, dan dua titik, dan, dari graf terhubung langsung jika dan hanya jika dan atau dan. Bilangan rainbow connection dari graf adalah: sedangkan bilangan rainbow ertexconnection dari graf adalah: Kata kunci: Graf Penjumlahan, Graf Perkalian Kartesius, Rainbow Connection, Rainbow Vertex-Connection ABSTRACT An edge-colored graph is rainbow edge-connected if any two ertices are connected by a path whose edges hae distinct colors. The rainbow connection of a connected graph, denoted by, is the smallest number of colors that are needed in order to make rainbow edge-connected. A ertexcolored graph is rainbow ertex-connected if any two ertices are connected by a path whose internal ertices hae distinct colors. The rainbow ertex-connection of a connected graph, denoted by, is the smallest number of colors that are needed in order to make rainbow ertex-connected. This research was analysis about number of and from the join and cartesian product of two graphs. The join has and. The number of rainbow connection from graph is: ), and are complete graph, and 2) 2, or are non-complete graph and then the number of rainbow ertexconnection from graph is: 0, and are complete graph, or non complete graph The cartesian product has, and two ertices, and, of adjecent if only if either and or and. The number of rainbow connection from graph is: and then the number of rainbow ertex-connection from graph is: Keywords: Cartesian Product, Join Graph, Rainbow Connection, Rainbow Vertex-Connection

Fuad Adi Saputra PENDAHULUAN Matematika merupakan raja dan pelayan bagi disiplin ilmu lain atau pun dalam lini kehidupan. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang penting dan banyak manfaatnya karena teori-teorinya dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. (Purwanto, 998:). Graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V yang disebut sebagai sisi. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G) (Chartrand dan Lesniak, 986: 4). Pewarnaan pada graf adalah pemetaan warna-warna ke titik atau sisi dari sedemikian hingga titik atau sisi yang terhubung langsung mempunyai warna-warna yang berbeda. Dalam teori graf konsep pewarnaan terus mengalami perkembangan, salah satunya adalah tentang rainbow connection. Rainbow connection dibagi menjadi 2 jenis, yang pertama adalah pelangi sisi terhubung (rainbow edge-connected) yang didefinisikan sebagai pewarnaan sisi pada graf jika setiap titik pada graf dihubungkan oleh lintasan yang memiliki sisi-sisi dengan warna yang berbeda, sedangkan yang kedua adalah pelangi titik terhubung (rainbow ertexconnected) yang didefinisikan sebagai pewarnaan titik pada graf jika setiap titik pada graf dihubungkan oleh lintasan memiliki titik-titik interior dengan warna yang berbeda. Bilangan rainbow connection pada graf terhubung disimbolkan oleh yaitu bilangan warna terkecil pada sisi yang dibutuhkan untuk membuat menjadi pelangi sisi yang terhubung. Bilangan rainbow ertex-connection pada graf terhubung disimbolkan oleh yaitu bilangan warna terkecil pada titik yang dibutuhkan untuk membuat menjadi pelangi titik terhubung (Krieleich dan Yuster, 200:) Jurnal yang ditulis oleh Michael Krieleich dan Raphael Yuster (200) menjelaskan mengenai bilangan rainbow connection yang dibangun oleh derajat terkecil dari suatu graf umum. Mereka mengembangkan dari kajian yang ditulis oleh Y. Caro, A. Le, Y. Roditty, Z. Tuza, dan R. Yuster (2008) dalam jurnalnya yang berjudul On Rainbow Connection. Dalam jurnal On Rainbow Connection hasil dari bilangan rainbow connection dan masih dibatasi oleh suatu ariabel yang belum jelas, misalkan て /, dimana adalah ariabel. Kemudian oleh Krieleich dan Yuster dikembangkan lagi dan berhasil menentukan nilai ariabelnya menjadi 20/ sehingga batas nilai menjadi lebih jelas. Selain itu juga dijelaskan bahwa bilangan Penelitian yang dilakukan oleh Krieleich dan Yuster menggunakan objek graf yang umum. Sedangkan untuk graf dari hasil operasi belum diteliti, khususnya pada operasi penjumlahan dan perkalian kartesius, sehingga perlu dilakukan penelitian lagi untuk objek graf tersebut. KAJIAN TEORI. Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik, dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V yang disebut sebagai sisi. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). 2. Adjacent dan Incident Sisi e = (u, ) dikatakan menghubungkan titik u dan. Jika e = (u, ) adalah sisi di graf G, maka u dan disebut terhubung langsung (adjacent), u dan e serta dan e disebut terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya, sisi e = (u,) akan ditulis e = u. Derajat titik di graf G, ditulis deg G (), adalah banyaknya sisi di G yang terkait langsung dengan (Chartrand dan Lesniak, 986:4). Contoh: e 2 e 2 e Gambar 2. Graf G e 4 4 Gambar. Contoh adjacent dan incident Dari Gambar titik 4 dan sisi e 2, e dan e 4 adalah terkait langsung. Sedangkan titik dan 4 adalah terhubung langsung tetapi dan 2 tidak.. Graf Terhubung Suatu jalan (walk) u- pada graf G adalah barisan berhingga (tak kosong) W : u = u 0, e, u, e 2,..., u n-, e n, u n = yang berselang seling antara titik dan sisi, yang dimulai dari titik u dan diakhiri dengan titik, dengan = u u untuk i =, 2,.. ei i., n adalah sisi di G. u 0 disebut titik awal, u n disebut titik akhir, u, u 2,..., u n- disebut titik internal, dan n menyatakan panjang dari W (Chartrand dan Lesniak, 986:26). Jalan u- yang semua sisinya berbeda disebut trail u-. Jalan u- yang semua sisi dan titiknya berbeda disebut lintasan (path) u-. P : u i 26 Volume 2 No. Noember 202

Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian Kartesius Dua Graf = u 0, e, u, e 2,..., u n-, e n, u n =, u 0 disebut titik awal, u n disebut titik akhir. Sedangkan u, u 2,..., u n- disebut titik internal, dan n menyatakan panjang dari P. Dengan demikian, semua lintasan adalah trail. Graf lintasan dengan titik dinotasikan dengan (Chartrand dan Lesniak, 986:26). Contoh: G: Gambar 2. Graph Terhubung Dari graf di atas, e, 2, e 5, 5, e 6, 4, e 4, 2, e 2, adalah trail, sedangkan, e, 2, e 5, 5, e 6, 4 adalah lintasan. Misalkan u dan titik berbeda pada graf G. Maka titik u dan dapat dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan u di G. Sedangkan suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan di G terhubung (Chartrand dan Lesniak, 986:28). Misalkan u dan titik berbeda pada graf G, maka jarak antara dua titik di adalah panjang lintasan terpendek antara kedua titik tersebut yang dinotasikan dengan,. Sedangkan eksentrisitas titik adalah max, :. Radius dari adalah min : dan diameter dari adalah max : (Chartrand dan Lesniak, 986:29). 4. Operasi pada Graf Penjumlahan dua graf dan yang dinotasikan mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi (Chartrand dan Lesniak, 986: ). Perhatikan contoh di bawah ini. G : u G 2: G: u u 4 e 6 e 4 e 2 e 2 Gambar. Penjumlahan Graf Hasil kali kartesius adalah graf yang dinotasikan dan mempunyai titik, dan dua titik, dan, dari graf terhubung langsung jika dan hanya jika dan atau dan (Chartrand dan Lesniak, 986: ). e 5 5 u e Perhatikan contoh berikut, G : G 2: G x G 2: u u Gambar 4. Graf Hasil Kali Kartesius 5. Jenis Graf a. Graf komplit (Complete Graph) adalah graf dengan setiap pasang titik yang berbeda dihubungkan langsung oleh satu sisi. Graf komplit dengan titik dinyatakan dengan K n (Purwanto, 998:2). b. Graf bipartisi komplit (complete bipartite graph) adalah graf bipartisi dengan himpunan partisi X dan Y sehingga masing-masing titik di X dihubungkan dengan masing-masing titik di Y oleh tepat satu sisi. Jika X = m dan Y = n, maka graf bipartisi tersebut dinyatakan dengan K m,n. (Purwanto, 998:22). c. Graf sikel C n adalah graf terhubung n titik yang setiap titiknya berderajat 2. Misal graf sikel C n mempunyai himpunan titik V(C n) =,,..., }, maka graf tersebut { 2 n (u 2, ) (u, ) (u 2, ) (u, ) mempunyai himpunan sisi E(C n) =, e,..., e } dimana e untuk { e 2 n i = i i+ (u, 2) (u 2, 2) setiap i=,2,,n. d. Graf roda adalah graf yang dibentuk dari operasi penjumlahan antara graf sikel ( ) dan graf komplit dengan satu titik (. Graf roda dinotasikan dengan dan (Harary, 969:46) e. Graf kipas dibentuk dari penjumlahan graf komplit ( dan graf lintasan ( yaitu. Dengan demikian graf kipas mempunyai ( titik dan (2 ) sisi ( Gallian, 2007: 6) f. Graf Kipas Ganda dibentuk dari penjumlahan antara gabungan dua graf komplit ( dan graf lintasan ( yaitu 2. Dengan demikian graf kipas mempunyai ( 2 titik dan ( ) sisi. g. Graf tangga yang dinotasikan sebagai adalah suatu graf yang dibentuk dari operasi hasil kali kartesius antara graf lintasan dengan dua titik dan graf lintasan dengan n titik yaitu (Galian, 2007:2) 6. Pewarnaan Graf Pewarnaan titik dari graf G adalah suatu proses pemberian warna pada titik-titik suatu graf sehingga tidak ada dua titik yang terhubung langsung pada graf tersebut berwarna sama. Graf Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-082 27

Fuad Adi Saputra G berwarna n jika terdapat pewarnaan dari G yang menggunakan n warna (Chartrand dan Lesniak, 986:27). Suatu pewarnaan sisi-k untuk graf G adalah suatu penggunaan k warna untuk mewarnai semua sisi di G sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan diberi warna yang berbeda. Jika G mempunyai pewarnaan sisi-n, maka dikatakan sisi-sisi di G diwarnai dengan n warna. Indeks kromatik G dinotasikan dengan χ '( G) adalah bilangan n terkecil sehingga sisi di G dapat diwarna dengan n warna (Purwanto, 998:80). 7. Rainbow Connection Pewarnaan sisi pada graf disebut pelangi sisi terhubung (rainbow edge-connected) jika setiap titik pada graf dihubungkan oleh lintasan yang memiliki sisi-sisi dengan warna yang berbeda. Rainbow connection pada graf yang terhubung (connected graph) disimbolkan oleh yaitu bilangan terkecil dari warna yang dibutuhkan untuk membuat graf G menjadi pelangi sisi terhubung (rainbow edge-connected) ( Krieleich dan Yuster, 200:). Lintasan pelangi (rainbow path) adalah lintasan antara dua titik sehingga tidak ada dua sisi pada lintasan tersebut yang memiliki warna yang sama. Jika lintasan pelangi tersebut ada di setiap antara dua titik maka pewarnaan tersebut dinamakan pewarnaan pelangi (rainbow colouring). Sedangkan bilangan minimum pada warna yang diinginkan dinamakan bilangan pelangi yang terhubung (rainbow connection number rc(g)). ( L. Sunil Chandran,20:). Pewarnaan titik pada graf adalah Pelangi titik terhubung (rainbow ertex-connected) jika setiap titik pada graf dihubungkan oleh lintasan memiliki titik-titik interior dengan warna yang berbeda. Rainbow ertex-connection pada graf yang terhubung (connected graph) disimbolkan oleh yaitu bilangan terkecil dari warna yang dibutuhkan untuk membuat graf G menjadi pelangi titik terhubung (rainbow ertexconnected) ( Krieleich dan Yuster, 200: 2). Misalkan graf memiliki titik, maka. Kemudian jika graf sikel dengan maka. Sedangkan jika dihubungkan dengan, maka dan ( Krieleich dan Yuster, 200:-2). 2 4 Gambar 5 merupakan contoh dari graf pelangi sisi terhubung dan pelangi titik terhubung dengan 5 warna sisi dan warna titik. Pada gambar di atas mempunyai bilangan 5 dan. PEMBAHASAN Dalam pembahasan ini, sebelum mengkaji inti permasalahan yaitu mengkaji bilangan rainbow connection dan bilangan rainbow ertex-connection pada graf hasil operasi penjumlahan dan perkalian kartesius dua graf dengan menggunakan sebarang graf, maka akan dibahas terlebih dahulu dan dari jenis graf yang dihasilkan oleh operasi penjumlahan dan perkalian kartesius.. Bilangan Rainbow Connection pada Jenis Graf Hasil Penjumlahan Pada graf khusus hasil penjumlahan akan diberikan 5 contoh graf yaitu graf komplit, graf bipartisi komplit, graf roda, graf kipas, dan graf Kipas Ganda. a. Graf Komplit Tabel. Pola Bilangan dan No Jenis Graf. 0 0 2. 0. 0 4. 0 5. 0 6. 0. 0 Dari pola yang ditunjukan oleh bilangan rainbow connection dan bilangan rainbow ertexconnection di atas dapat diperoleh teorema sebagai berikut: Teorema Pada graf komplit banyak titik 2, bilangan rainbow connection, dan bilangan rainbow ertex-connection 0. b. Graf Bipartisi Komplit Secara umum graf, dapat dibentuk menjadi pelangi sisi terhubung hanya dengan menggunakan 4 warna. Hal ini dapat dijelaskan dengan model lintasan antara 2 titik sebagai berikut: 2 2 5 5 5 4 2 dan 4 2 Gambar 5. Graf Pelangi Sisi Terhubung dan Pelangi Titik Terhubung 2 Gambar 6. Model Lintasan Graf Bipartisi, 28 Volume 2 No. Noember 202

Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian Kartesius Dua Graf Teorema 2 Graf bipartisi komplit, dengan dan,, maka bilangan rainbow connection pada graf, adalah:, jika 2, jika 2,, jika 2 4, jika lainnya bilangan rainbow ertex-connection pada graf, adalah:, Bukti: Graf bipartisi komplit, terdiri dari 2 partisi, yaitu dan, dengan dan.misalkan,,2,..., dan,,2,,. Maka setiap dua titik dan setiap dua titik tidak terhubung langsung, akan tetapi setiap titik dengan akan dihubungkan dengan satu sisi. Terdapat 4 kasus, yaitu: (i) jika, maka,. Andaikan,, maka ada dua sisi di, yang berwarna sama. Misal, dan, dengan. Akibatnya lintasan bukan lintasan pelangi karena hanya ada warna. Jadi, bukan pelangi sisi yang terhubung, jadi,. Karena pewarnaan sisi dengan warna menghasilkan, graf pelangi sisi, maka,. Disimpulkan,. (ii), 2 jika 2. Akan dibuktikan jika 2, maka, 2, deg dan deg Jika, 2 maka setiap dua titik, maksimal ada lintasan dengan 2 warna sisi yang berbeda. Untuk itu jika setiap lintasan dan setiap lintasan terbentuk lintasan pelangi maka susunan warna yang dikenakan pada sisi yang terkait langsung pada berbeda dengan, begitu juga pada berbeda dengan. Selanjutnya karena deg deg, maka jika setiap susunan warna yang dikenakan pada sisi yang terkait langsung dengan berbeda, maka susunan warna yang dikenakan pada sisi yang terkait langsung dengan setiap juga berbeda. Sehingga cukup dianalisis susunan warna pada sisi yang terkait langsung dengan titik,,2,,. Diketahui, 2 dan deg, jadi dari 2 warna tersebut akan disusun ke- tempat dengan perulangan, sehingga diperoleh banyaknya susunan 2 2 2 2 2.Kemudian susunan tersebut diberikan pada setiap titik dan dengan. Jika banyaknya susunan sebanyak 2 lebih banyak dari banyaknya titik yang sebanyak, maka setiap mempunyai susunan warna sisi yang terkait langsung berbeda dengan. Sehingga lintasan akan membentuk lintasan pelangi. Jadi terbukti jika 2 maka, 2. (iii) Jika, jika 2 Akan dibuktikan jika 2 maka, dan jika maka,. Ambil, 2, jika 2 maka akan dibuktikan ada dua titik yang semua lintasannya mempunyai warna sisi yang sama. Banyak susunan warna 2, artinya,,., susunan warna sisi yang terkait langsung berbeda. Karena 2 maka ada titik yang mempunyai susunan warna yang sama dengan, dengan 2 dan 2.Misalkan ada fungsi :,,2, maka,,, sehingga lintasan tidak membentuk lintasan pelangi, karena semua lintasannya pasti mempunyai warna sisi yang sama. Sehingga terbukti jika 2 maka,. Sekarang, dan deg, jadi dari warna tersebut akan disusun ke- tempat dengan perulangan, sehingga diperoleh banyaknya susunan. Kemudian susunan tersebut diberikan pada setiap titik dan dengan. Jika banyaknya susunan sebanyak lebih banyak dari banyaknya titik yang sebanyak, maka setiap mempunyai susunan warna sisi yang terkait langsung berbeda dengan. Sehingga lintasan akan membentuk lintasan pelangi. Jadi terbukti jika maka,. (i), 4, jika lainnya Jika sudah tidak memenuhi semua ketentuan di atas, untuk membentuk graf, menjadi pelangi sisi terhubung, maka graf, dapat diwarnai minimal mengunakan 4 warna. Misalkan ada fungsi pewarnaan sisi :,,2,,4 maka:,,,,,,,, Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-082 29

Fuad Adi Saputra, 2,,,, 4,,, dengan pewarnaan di atas maka setiap dua titik pada graf, terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda, sehingga graf, akan membentuk graf pelangi sisi terhubung, jadi dengan demikian terbukti, 4. (), Akan dibuktikan, dan,. Diketahui, 2, sehingga, 2. Untuk membuktikan,, maka akan dibuktikan bahwa dengan warna titik, dapat membentuk pelangi titik yang terhubung, artinya setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Ambil,,misalkan ada fungsi pewarnaan :, maka:, dan, sehingga setiap lintasan akan melewati titik interior dimana, sedangkan setiap lintasan akan melewati titik interior dimana, dengan demikian setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Jadi terbukti,. Karena, dan,, maka,. c. Graf Roda Secara umum graf dapat dibentuk menjadi graf pewarnaan sisi yang terhubung, dengan warna sisi minimal, dan juga graf dapat dibentuk menjadi graf pewarnaan titik yang terhubung, dengan warna titik minimal, yang ditampilkan dalam model pewarnaan berikut: : 2 2 2 2 4 Gambar 7. Graf roda 5 Teorema Graf adalah graf roda dengan, maka bilangan rainbow connection pada graf adalah:, jika 2, jika 4 6, jika 7 bilangan rainbow ertex-connection pada graf adalah:, jika 4 Bukti: Graf roda dengan adalah graf yang terbentuk dari operasi penjumlahan antara graf sikel ( ) dan graf komplit dengan satu titik (. Misalkan,,2,,, maka,dan, serta untuk semua terhubung langsung dengan. (i) Jika, akan dibuktikan adalah graf. Untuk semua,, terhubung langsung dengan,sehingga diperoleh deg deg deg deg. Karena graf dengan 4 titik beraturan maka adalah graf komplit, jadi terbukti dengan maka. (ii) Jika 4 6 maka 2 Akan dibuktikan 2 dan 2 Graf dengan 4 6 bukan merupakan graf komplit, karena deg sedangkan jumlah titiknya 5 7, sehingga 2. Kemudian untuk membuktikan 2 maka akan dibuktikan bahwa dengan 2 warna dapat membentuk menjadi pelangi sisi yang terhubung, sehingga setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda. Fungsi pewarnaan sisi :,2 yang didefinisikan oleh, jika ganjil,, 2 jika genap,, jika ganjil,, 2 jika genap. Setiap lintasan atau hanya terdapat satu warna sisi. Kemudian lintasan, jika genap dan dan ganjil pasti berbentuk lintasan pelangi 2 warna. Sedangkan untuk lintasan dengan dan sama-sama genap atau dan samasama ganjil. Jika 2 maka membentuk lintasan pelangi yang sisi-sinya.tetapi jika lintasan, dengan 4 2 maka 4, karena 6 diperoleh 4 6 2.Untuk, dengan lintasan, maka dapat dibentuk lintasan pelangi melewati titik, sedangkan untuk 2 dengan lintasan, maka dapat dibentuk lintasan pelangi melewati titik, terbukti setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda, sehingga diperoleh 2. Jadi terbukti untuk 4 6 maka 2. 0 Volume 2 No. Noember 202

Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian Kartesius Dua Graf (iii) Jika 7 maka Akan dibuktikan dan. Dibuktikan maka akan dibuktikan bahwa dengan warna dapat membentuk menjadi pelangi sisi yang terhubung, sehingga setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda. Jika fungsi pewarnaan sisi :,2, yang didefinisikan oleh, jika ganjil,, 2 jika genap, dan, maka akan membentuk pelangi sisi terhubung, sehingga. Selanjutnya dibuktikan, dari hasil di atas didapat bukan graf komplit sehingga 2. Ambil 2 Misalkan fungsi pewarnaan sisi :,2 didefinisikan,,maka, 2 dan, 2,karena tidak mungkin menggunakan lintasan sisi yang panjangnya. Kemudian jika, dengan ganjil,, 2 dengan genap, maka, membentuk lintasan pelangi, karena panjang lintasan dengan sisi sama dengan 2 dan warnanya berbeda. Tetapi jika,,lintasan warnanya akan sama dan kalau lintasannya menggunakan sisi juga tidak mungkin karena panjangnya, jadi haruslah, 2. Selanjutnya, harus sama dengan, karena, 2, akan tetapi pewarnaan demikian akan membuat antara titik dan semua lintasannya akan mempunyai warna yang sama, sehingga haruslah,, hal tersebut berlaku jika 7 karena lintasan minimal mempunyai panjang, sehingga. Karena dan maka terbukti, dengan 7. (i) Jjika 4 maka Akan dibuktikan dan. Diketahui 2, sehingga 2. Untuk membuktikan, maka akan dibuktikan bahwa dengan warna titik, dapat membentuk pelangi titik yang terhubung, artinya setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Ambil, misalkan ada fungsi pewarnaan :, maka:, sehingga setiap lintasan akan melewati titik interior dimana, sedangkan setiap lintasan tidak ada titik interior karena terhubung langsung, dengan demikian setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Jadi terbukti. Karena dan, maka. d. Graf Kipas Secara umum graf dapat dibentuk menjadi graf pewarnaan sisi yang terhubung, dengan warna sisi minimal, dan juga graf dapat dibentuk menjadi graf pewarnaan titik yang terhubung, dengan warna titik minimal, yang ditampilkan dalam model pewarnaan berikut: 2 4 : 2 2 2 Gambar 8. Graf Kipas Teorema 4 Graf kipas dengan, maka bilangan rainbow connection pada graf adalah:, 2 2, 6, 7 bilangan rainbow ertex-connection pada graf adalah:, 2 Bukti: Graf kipas dibentuk dari penjumlahan graf komplit ( dan graf lintasan ( yaitu. Dengan demikian graf kipas mempunyai ( titik dan (2 ) sisi. Misalkan,,2,,, dan, serta untuk semua terhubung langsung dengan. (i) Jika 2, akan dibuktikan adalah graf. Untuk semua, terhubung langsung dengan,sehingga diperoleh deg deg deg 2. Karena graf dengan titik beraturan2 maka adalah graf komplit, jadi terbukti dengan 2 maka. (ii) Jika 6 maka 2 Akan dibuktikan 2 dan 2. Graf dengan 4 6 bukan merupakan graf komplit, karena deg sedangkan jumlah titiknya 4 7, sehingga 2. Kemudian untuk membuktikan 2 maka akan dibuktikan bahwa dengan 2 warna dapat membentuk menjadi pelangi sisi yang terhubung, sehingga setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda. Fungsi Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-082

Fuad Adi Saputra pewarnaan sisi :,2 yang didefinisikan oleh, jika,, 2 jika,, jika ganjil,, 2 jika genap. Setiap lintasan atau hanya terdapat satu warna sisi. Kemudian lintasan, dengan dan pasti berbentuk lintasan pelangi 2 warna. Sedangkan untuk lintasan dengan dan sama-sama atau dengan dan sama-sama. Lintasan terpanjang adalah dengan, karena 6 maka lintasan terpanjangnya dan maka membentuk lintasan pelangi 2 warna yang sisi-sinya anggota, sehingga terbukti setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda, sehingga diperoleh 2. Jadi terbukti untuk 6 maka 2. (iii) Jika 7 maka Akan dibuktikan dan. Dibuktikan maka akan dibuktikan bahwa dengan warna dapat membentuk menjadi pelangi sisi yang terhubung, sehingga setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda. Jika fungsi pewarnaan sisi :,2, yang didefinisikan oleh, jika ganjil,, 2 jika genap, dan, maka akan membentuk pelangi sisi terhubung, sehingga. Selanjutnya dibuktikan, dari hasil di atas didapat bukan graf komplit sehingga 2.Ambil 2 Misalkan fungsi pewarnaan sisi :,2 didefinisikan,, maka, 2,dengan karena tidak mungkin menggunakan lintasan sisi yang panjangnya. Sedangkan jika, dengan ganjil,, 2 dengan genap, maka,, membentuk lintasan pelangi, karena panjang lintasan dengan sisi sama dengan 2 dan warnanya berbeda. Pewarnaan demikian akan membuat antara titik dengan dan dengan semua lintasannya akan mempunyai warna yang sama, karena,, 2 dan lintasan dengan sisi dengan 7 panjangnya lebih dari sama dengan, maka terbukti. Karena dan maka terbukti, dengan 7. (i) Jika 2 maka Akan dibuktikan dan. Diketahui 2, sehingga 2. Untuk membuktikan, maka akan dibuktikan bahwa dengan warna titik, dapat membentuk pelangi titik yang terhubung, artinya setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Ambil,misalkan ada fungsi pewarnaan : maka:, sehingga setiap lintasan akan melewati titik interior dimana, sedangkan setiap lintasan tidak ada titik interior karena terhubung langsung, dengan demikian setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Jadi terbukti. Karena dan, maka. e. Graf Kipas Ganda Secara umum graf dapat dibentuk menjadi graf pewarnaan sisi yang terhubung, dengan warna sisi minimal, dan juga graf dapat dibentuk menjadi graf pewarnaan titik yang terhubung, dengan warna titik minimal, yang ditampilkan dalam model pewarnaan berikut: : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 7 8 9 0 2 2 2 2 2 2 2 Gambar 9. Graf Kipas Ganda Teorema 5 Graf kipas ganda dengan jumlah titik 2, maka bilangan rainbow connection pada graf adalah: 2, 2, bilangan rainbow ertex-connection pada graf adalah: Bukti: Graf kipas ganda dibentuk dari penjumlahan antara gabungan dua graf komplit (2 dan graf lintasan ( yaitu 2. Dengan demikian graf kipas mempunyai ( 2 titik dan ( ) sisi. 2 Volume 2 No. Noember 202

Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian Kartesius Dua Graf (i) 2 jika 2 2. Akan dibuktikan 2, dan 2. Diketahui 2,karena maka diperoleh 2. Misalkan dengan 2 2,,2,, dan 2 dengan,2, terdapat fungsi pewarnaan sisi :,2 yang didefinisikan oleh, jika,, 2 jika 2,, jika ganjil,, 2 jika genap, serta, jika dan, kemudian, 2 jika dan, maka akan membentuk graf menjadi graf pelangi sisi yang terhubung dimana setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna sisi yang berbeda. Hal ini membuktikan bahwa 2, jadi diperoleh dengan 2 2 maka 2. (ii) jika. Akan dibuktikan, dan. Pertama dibuktikan, ambil 2, maka dibuktikan dengan menggunakan 2 warna sisi akan ada 2 titik yang semua lintasannya memiliki warna yang sama. Misalkan dengan,,2,, dan 2 dengan,2, terdapat fungsi pewarnaan sisi :,2, akan dibentuk setiap dua titik dihubungkan oleh lintasan pelangi. Misalkan lintasan,karena, jika ganjil,, 2 jika genap, maka. Jika, agar lintasan terbentuk lintasan pelangi maka 〳, 2. Kemudian lintasan, 2, maka haruslah,,, 2,kemudian untuk lintasan, karena,, 2 dan panjang lintasan dengan sisi sama dengan pasti lintasan tersebut memiliki warna yang sama, sehingga, dan, 2. Selanjutnya lintasan 4, 5, 6 maka haruslah 4, 5, 6, 2. Pewarnaan demikian akan membuat lintasan 6 memiliki warna sisi yang sama, sehingga dengan 2 warna sisi saja maksimal cukup untuk titik sampai 5. Begitu juga untuk sampai 5. Sehingga dengan 2 warna sisi berlaku untuk 2 titik, sedangkan untuk tidak bisa membuat menjadi graf pelangi sisi yang terhubung. Jadi terbukti. Selanjutnya jika fungsi pewarnaan sisi :,2, yang didefinisikan oleh, jika ganjil,, 2 jika genap,, 2 dan, maka akan membentuk pelangi sisi terhubung, sehingga.terbukti dengan maka. (iii) Jika 2 maka Akan dibuktikan dan. Diketahui 2, sehingga 2. Untuk membuktikan, maka akan dibuktikan bahwa dengan warna titik, dapat membentuk pelangi titik yang terhubung, artinya setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Ambil, misalkan ada fungsi pewarnaan : maka:, sehingga setiap lintasan akan melewati titik interior dimana, untuk lintasan jika, maka akan melewati titik interior dimana, sedangkan setiap lintasan dan tidak ada titik interior karena terhubung langsung, dengan demikian setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Jadi terbukti.karena dan, maka. 2. Bilangan Rainbow Connection pada Jenis Graf Hasil Perkalian Kartesius Pada graf khusus hasil perkalian kartesius akan ditampilkan contoh graf yaitu graf tangga. Graf tangga dibentuk dari perkalian kartesius graf lintasan dengan 2 titik ( ) dengan graf lintasan dengan n titik (. Tabel 2. Pola bilangan dan No Jenis Graf. 2 2. 2. 4 4. 5 4 5. 6 5. Teorema 6 Pada graf tangga dengan banyak titik 2,bilangan rainbow connection,dan Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-082

Fuad Adi Saputra bilangan rainbow ertex-connection. Bukti: Graf tangga yang dinotasikan sebagai adalah suatu graf yang dibentuk dari operasi hasil kali kartesius antara graf lintasan dengan dua titik dan graf lintasan dengan n titik yaitu, dengan,,2,, dan,,2. (i) Akan dibuktikan, dan. Diketahui graf tangga memiliki panjang diameter. Karena dan, maka terbukti dan. (ii) Akan dibuktikan, dan. Misalkan graf dibagi 2 himpunan titik dan. Di mana, dan,, terdapat fungsi pewarnaan sisi :,2,,, maka:,,,, dengan,2,,,,,,,,,, dengan,2,,. Pewarnaan sisi demikian akan membuat graf menjadi pelangi sisi yang terhubung, sehingga. Selanjutnya misal fungsi pewarnaan titik :,2,,, maka:,, dengan,2,,,,, dengan,2,,,,, Pewarnaan titik demikian akan membuat graf menjadi pelangi titik yang terhubung, sehingga. Dari (i) dan (ii) terbukti dan.. Bilangan Rainbow Connection pada Sebarang Graf Pada pembahasan ini, telah didapat model atau teorema dari bilangan rainbow connection dan bilangan rainbow ertexconnection pada jenis graf dari hasil penjumlahan dan perkalian kartesius dua graf. Dengan berpikir induktif, maka dari pola-pola tersebut dapat disimpulkan dan pada sebarang graf. Graf disini merupakan sebarang graf berhingga dan jika dioperasikan akan menghasilkan graf yang terhubung. Kemudian dengan berpikir deduktif maka pola-pola bilangan rainbow connection dan bilangan rainbow ertex-connection pada sebarang graf tersebut dapat dibuktikan kebenarannya. a. Bilangan Rainbow Connection pada Graf Hasil Penjumlahan Untuk menentukan bilangan rainbow connection pada graf hasil penjumlahan dengan obyek sebarang graf yaitu dengan cara menganalisis bilangan rainbow connection dari jenis graf hasil penjumlahan dua graf yang telah ditampilkan di atas. Terdapat 5 contoh graf, yaitu graf komplit, graf bipartisi komplit, graf roda, graf kipas, dan graf kipas ganda. Dari kelima graf tersebut dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah graf hasil dari penjumlahan dua graf komplit, sedangkan yang kedua adalah graf hasil dari penjumlahan dua bukan graf komplit. Untuk bagian pertama yaitu graf hasil dari penjumlahan dua graf komplit dicontohkan oleh graf komplit, sedangkan bagian kedua yaitu graf hasil dari penjumlahan dua bukan graf komplit dicontohkan oleh graf bipartisi komplit,, graf roda, graf kipas dan graf kipas ganda. Graf komplit bilangan, sedangkan 0. Pada graf bipartisi, komplit bilangan, 2 dan,. Untuk graf roda bilangan 2 dan bilangan. Graf kipas bilangan 2 dan. Sedangkan pada graf kipas ganda bilangan 2 dan. Melihat hasil di atas diperoleh suatu teorema bilangan rainbow connection dan bilangan rainbow ertex-connection pada graf hasil dari penjumlahan dua sebarang graf sebagai berikut: Teorema 7 Misalkan graf adalah graf hasil penjumlahan sebarang graf dan sebarang graf, maka bilangan rainbow connection dari graf adalah:, dan adalah graf komplit 2, atau adalah bukan graf komplit sedangkan bilangan rainbow ertex-connection dari graf adalah: 0, dan adalah graf komplit, atau adalah bukan graf komplit Bukti: Penjumlahan dua graf dan yang dinotasikan mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi. [] Jika dan adalah graf komplit. Misalkan dan maka banyak titik dari graf adalah. Anggap dan, sebelum dioperasikan deg, sedangkan deg. Kemudian dioperasikan penjumlahan antara dan, diperoleh 4 Volume 2 No. Noember 202

Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian Kartesius Dua Graf setiap titik pada graf terhubung langsung dengan setiap titik pada,. Sehingga derajat setiap titik bertambah sebanyak menjadi deg dan derajat setiap titik bertambah sebanyak menjadi deg. Artinya setiap titik, beraturan- sehingga graf adalah graf. Terbukti bahwa graf dari penjumlahan dua graf komplit mempunyai bilangan rainbow connection dan bilangan rainbow ertex-connection berturut-turut sebesar dan 0. [2] Jika atau adalah graf bukan komplit dan. Misalkan,, dengan,,2,,, serta,, dengan,,2,, maka,,,. Akan dibuktikan 2, ada kemungkinan: ) graf komplit dan bukan graf komplit. Jika graf komplit maka. bukan graf komplit maka 0. Misalkan lintasan adalah lintasan dengan panjang kurang dari sama dengan. Karena terhubung langsung dengan dan juga terhubung langsung dengan. Maka lintasan dapat dibuat melewati, sehingga panjang lintasannya menjadi 2. Dengan demikian 2. 2) bukan graf komplit dan graf komplit. Jika graf komplit maka. bukan graf komplit maka 0. Misalkan lintasan adalah lintasan dengan panjang kurang dari sama dengan. Karena terhubung langsung dengan dan juga terhubung langsung dengan. Maka lintasan dapat dibuat melewati, sehingga panjang lintasannya menjadi 2. Dengan demikian 2. ) bukan graf komplit dan bukan graf komplit. bukan graf komplit maka 0. Misalkan lintasan adalah lintasan dengan panjang kurang dari sama dengan. Karena terhubung langsung dengan dan juga terhubung langsung dengan. Maka lintasan dapat dibuat melewati, sehingga panjang lintasannya menjadi 2. bukan graf komplit maka 0. Misalkan lintasan adalah lintasan dengan panjang kurang dari sama dengan. Karena terhubung langsung dengan dan juga terhubung langsung dengan. Maka lintasan dapat dibuat melewati, sehingga panjang lintasannya menjadi 2. Dengan demikian 2. Dari kasus di atas disimpulkan jika kemudian atau adalah bukan graf komplit maka 2. Karena maka terbukti 2. Selanjutnya dibuktikan. Akan dibuktikan dan. Diketahui 2, sehingga 2. Untuk membuktikan, maka akan dibuktikan bahwa dengan warna titik, dapat membentuk pelangi titik yang terhubung, artinya setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Ambil, misalkan ada fungsi pewarnaan : maka:, sehingga setiap lintasan akan melewati titik interior dimana, untuk lintasan jika, maka akan melewati titik interior dimana, sedangkan setiap lintasan tidak ada titik interior karena terhubung langsung, dengan demikian setiap dua titik terdapat lintasan dengan warna titik interior yang berbeda. Jadi terbukti. Karena dan, maka. b. Bilangan Rainbow Connection pada Graf Hasil Perkalian Kartesius Untuk menentukan bilangan rainbow connection graf hasil perkalian kartesius dengan sebarang graf yaitu dengan cara menganalisis bilangan rainbow connection dari graf khusus hasil perkalian kartesius dua graf yang dengan contoh graf tangga. Dari hasil pembahasan mengenai bilangan rainbow connection dan bilangan rainbow ertex-connection pada graf tangga, diperoleh bilangan dan bilangan. Kedua pola tersebut dipengaruhi oleh bilangan dan dari graf sebelum dioperasikan oleh perkalian kartesius, yaitu dengan. Untuk, didapat dari penjumlahan antara pada dengan pada yang masing besarnya dan, dimana penjumlahan kedua akan menghasilkan. Sedangkan untuk, didapat dari penjumlahan antara pada dengan pada yang masing besarnya 0 dan 2 yang kemudian dijumlah lagi dengan, sehingga akan dihasilkan 0 2. Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-082 5

Fuad Adi Saputra Dengan menggunakan contoh sebarang graf lainnya, misalkan graf sikel dikalikan kartesius dengan graf bipartisi,. Graf 4 =2 = X X Graf,2 =2 = Graf 4 x,2 =2+2=4 =++= Gambar 0. Perkalian Kartesius antara Graf dengan Graf, Dari hasil di atas diperoleh bahwa pada graf, adalah 4, yang didapat dari penjumlahan pada graf yang bernilai 2 dengan pada graf, yang juga bernilai 2. Sedangkan pada graf, adalah, yang didapat dari penjumlahan pada graf yang bernilai dengan pada graf, yang juga bernilai dan ditambah dengan. Hasil ini bukanlah suatu kebetulan yang muncul dari contoh-contoh yang telah ditampilkan. Akan tetapi ini adalah suatu pola yang terdapat pada setiap graf dari hasil perkalian kartesius dua graf. Setiap sebarang graf jika dikalikan dengan sebarang graf, maka hasilnya akan isomorfik dengan graf yang titik-titiknya adalah graf. Begitu juga sebaliknya hasilnya akan isomorfik dengan graf yang titik-titiknya adalah graf. Dari contoh di atas, misalnya graf adalah graf sikel akan dikalikan kartesius dengan yaitu graf bipartisi,. Maka menghasilkan graf dengan graf bipartisi, akan menggantikan titik-titik pada graf sikel. Graf 2 Graf 2 Graf 2 Graf 2 Gambar. Graf, Dengan memperhatikan hasil-hasil di atas diperoleh sebagai berikut: Teorema 8 Graf adalah graf hasil perkalian kartesius sebarang graf terhubung dan sebarang graf terhubung. Bilangan rainbow connection dari graf adalah: sedangkan bilangan rainbow ertex-connection dari graf adalah: Bukti: Graf graf hasil kali kartesius adalah graf yang dinotasikan dan mempunyai titik, dan dua titik, dan, dari graf terhubung langsung jika dan hanya jika dan atau dan. i Akan dibuktikan jika maka dan Diketahui jika maka,karena maka. Selanjutnya misalkan, artinya dengan bilangan warna sisi minimum sebanyak akan membuat graf menjadi graf pelangi sisi yang terhubung, dan, artinya dengan bilangan warna sisi minimum sebanyak akan membuat graf menjadi graf pelangi sisi yang terhubung. Kemudian,, dengan,,2,,,serta,, dengan,,2,, maka,,,. Jika lintasan membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi maka, dan jika て membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi maka. Akan dibuktikan lintasan,, membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi. Ada 4 kemungkinan, yaitu: ) Lintasan,, dengan. Himpunan dari titik-titik,,, dengan akan membentuk graf yang isomorfik dengan graf. Dua titik tersebut bisa terhubung langsung dan juga bisa tidak terhubung langsung akan tetapi keduanya pasti dihubungkan oleh lintasan. Karena setiap membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi di mana. Maka Lintasan,, juga akan membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi di mana. 2) Lintasan,, dengan dan Himpunan dari titik-titik,,, dengan dan akan membentuk 6 Volume 2 No. Noember 202

Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian Kartesius Dua Graf graf yang isomorfik dengan graf. Dua titik tersebut bisa terhubung langsung dan juga bisa tidak terhubung langsung akan tetapi keduanya pasti dihubungkan oleh lintasan. Karena setiap membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi di mana. Maka Lintasan,, juga akan membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi di mana. ) Lintasan,, dengan dan Jika terdapat dua titik, dan, dengan dan, maka kedua titik tersebut sama, sehingga panjang lintasan sama dengan 0. 4) Lintasan,, dengan dan Jika terdapat dua titik, dan, dengan dan, maka kedua titik tersebut tidak mungkin terhubung langsung. Sehingga kemungkinan lintasan dengan panjang sisi terbesar adalah antara kedua titik ini. Lintasan antara kedua titik, dan, akan membentuk lintasan,,,, sehingga terdapat dua langkah. Pertama lintasan,,, lintasan ini akan membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi di mana. Kemudian ditambah dengan lintasan,,, yang membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi di mana. Sehingga Lintasan,, akan membentuk lintasan pelangi dengan warna sisi di mana dan. Jadi terbukti. (ii) Akan dibuktikan jika maka dan Diketahui jika maka, karena maka. Selanjutnya dan, ini berakibat dan. Karena maka sehingga diperoleh:. Jadi terbukti, jika. maka :. PENUTUP Berdasarkan hasil pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :. Penjumlahan dua graf dan yang dinotasikan, diperoleh bilangan rainbow connection dari graf adalah:, dan graf komplit 2, atau bukan graf komplit sedangkan bilangan rainbow ertexconnection dari graf adalah: 0, dan graf komplit, atau bukan graf komplit 2. Graf graf hasil kali kartesius adalah graf yang dinotasikan, diperoleh bilangan rainbow connection dari graf adalah: sedangkan bilangan rainbow ertexconnection dari graf adalah: DAFTAR PUSTAKA [] Abdullah bin Muhammad. 2005. Tafsir Ibnu Katsir Jilid 8. Bogor: Pustaka Imam As-Syafi i [2] Abdussakir. 2007. Ketika Kiai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang Press [] Al-Hifnawi, M. I. 2009. Tafsir Al-Qurthubi. Jakarta: Pustaka Azam. [4] Al-Maraghi, A. M. 989. Tafsir Al-Maraghi. Semarang: CV. Toha Putra. [5] Al-Qarni, A. 2008. Tafsir Muyassar, jilid. Jakarta: Qitshi Press. [6] Alisah, E & Dharmawan, E. P. Filsafat Dunia Matematika. Jakarta: Prestasi Pustaka Publisher. [7] Bondy, J. A & Murty, U.S.R. 976. Graph Theory With Applications. London: MacMillan Press [8] Chandran, L. Sunil. Rainbow Coloring of Graph. (Online: www.tcs.tifr.res.in/.../ nitk.../combinatore.pdf diakses pada tanggal april 202) [9] Chartrand, G. & Lesniak, L. 986. Graphs and Digraphs Second Edition. California: a Diision of Wadsworth, Inc. [0] Harary, F. 969. Graph Theory. Amerika: Addison-Wesley Publishing Company, inc. Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-082 7

Fuad Adi Saputra [] J. A. Gallian. 2007. A dynamic Surey of Graph Labeling. Electronic journal combinatorics. Dynamic Surey D#56 [2] Krieleich, M. & Yuster, R. 200. The Rainbow connection of a graph is (at most) reciprocal to its minimum degree, School of Mathematics, Tel Ai Uniersity. [] Purwanto. 998. Matematika Diskrit. Malang: IKIP Malang. [4] Quthb, S. 2004. Tafsir Fi Zhilalil Qur an. Jakarta: Gema Insani [5] Y. Caro, A. Le, Y. Roditty, Z. Tuza, and R. Yuster, On rainbow connection, Electronic Journal of Combinatorics 5 (2008), #R57 8 Volume 2 No. Noember 202