Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : 3 SKS Torsi Pertemuan - 7
TIU : Mahasiswa dapat menghitung besar tegangan dan regangan yang terjadi pada suatu penampang TIK : Mahasiswa dapat menghitung tegangan geser pada penampang akibat momen torsi
Sub Pokok Bahasan : Elastis Linier Torsi Tak Seragam Tabung Berdinding Tipis
Torsi mengandung arti puntir yang terjadi pada batang lurus apabila batang tersebut dibebani momen (atau torsi) yang cenderung menghasilkan rotasi terhadap sumbu longitudinal batang
Suatu batang prismatis berpenampang lingkaran mengalami torsi murni Penampang batang tidak berubah bentuk pada saat berotasi terhadap sumbu longitudinal Akibat torsi T, ujung kanan batang akan berotasi dengan sudut kecil f, yang disebut sudut puntir Garis pq akan menjadi pq, dimana q adalah posisi titik q setelah penampang ujung berotasi sebesar f
Tinjau elemen kecil abcd dari suatu batang dengan beban torsi Elemen memiliki sisi ab dan cd yang semula sejajar sumbu longitudinal Akibat torsi, penampang kanan berotasi terhadap penampang kiri dengan sudut puntir kecil df Titik b dan c masing-masing bergerak ke b dan c. Panjang sisi elemen yang sekarang ab c d tidak berubah, namun sudut bad menjadi berkurang sebesar bb' maks ab
Regangan geser maks dinyatakan dalam radian Karena bb dapat dinyatakan dalam rdf, serta ab = dx, maka persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk : rdf maks dx Besaran df/dx adalah besarnya perubahan sudut puntir f terhadap jarak x yang diukur di sepanjang sumbu batang, dapat disebutkan pula sebagai sudut puntir per panjang satuan atau laju puntiran, q df q dx maks rdf dx rq
Pada umumnya, f dan q bervariasi terhadap x di sepanjang sumbu batang Pada kasus torsi murni, laju puntiran konstan dan sama dengan sudut puntir total f dibagi panjang batang L, sehingga q = fl rf maks rq L Pada sisi dalam penampang, regangan geser dapat dihitung dengan persamaan df q maks dx r
Dari hukum Hooke untuk geser G G adalah Modulus Geser dan adalah regangan geser yang dinyatakan dalam radian Dengan mengingat persamaan untuk maks, maka dapat dituliskan maks Grq Gq r maks maks adalah tegangan geser di permukaan luar batang (jari-jari r), adalah tegangan geser di titik interior (jari-jari ) dan q adalah laju puntiran
Selanjutnya akan ditentukan hubungan antara tegangan geser dan torsi Resultan dari tegangan geser yang bekerja pada suatu penampang secara kontinu, akan membentuk momen yang sama dengan momen torsi T
Untuk menentukan resultan ini, tinjau elemen luas da yang terletak pada jarak radial dari sumbu batang Gaya geser yang bekerja pada elemen sama dengan da Momen dari gaya ini terhadap sumbu batang sama dengan da Dari persamaan untuk sebelumnya, maka diperoleh : maks dm da da r Momen resultan T adalah integral dari persamaan tersebut : T dm r maks da r maks I p
Sehingga nilai tegangan geser maksimum yang timbul akibat torsi T adalah : maks T r I Sehingga persamaan untuk maks dapat dituliskan menjadi : maks 16T d Tegangan geser pada jarak dari pusat batang adalah : r maks 3 p T I p I p adalah momen inersia polar untuk lingkaran I p r d 3 maks = tegangan geser maksimum (MPa) T = momen torsi yang bekerja (N mm) d = diameter penampang lingkaran (mm)
Dari persamaan sebelumnya terdapat hubungan maks = Grq Sehingga dapat diturunkan rumus untuk laju puntiran q : T q G I p Nilai G I p disebut dengan kekakuan torsional (Torsional Rigidity) Untuk torsi murni, sudut puntir total (f) sama dengan laju puntiran dikalikan panjang batang (artinya f = ql), sehingga : f T G L I p
Tegangan geser pada batang lingkaran solid akibat momen torsi akan mencapai maksimum di tepi luar penampang dan berharga nol di pusat Dengan demikian sebagian besar bahan pada batang solid mengalami tegangan yang jauh lebih kecil daripada maks ( maks terjadi pada permukaan terluar batang) Oleh karena hal tersebut maka dalam mendisain penampang yang memikul beban momen torsi, akan lebih efisien apabila digunakan batang lingkaran berlubang I p I p r d 3 r 1 d 1
Untuk penampang berupa lingkaran berlubang, rumusan untuk inersia polar dapat dinyatakan dalam ketebalan dinding penampang, t 3 3 d t I p r t Dalam mendisain tabung lingkaran untuk menyalurkan momen torsi, tebal t harus cukup besar untuk mencegah terjadinya tekuk pada dinding tabung Sebagai contoh, harga maksimum rasio jari-jari terhadap tebal dapat ditetapkan misal (r /t) maks = 10 0.
Contoh 1 Sebuah batang baja pejal dengan penampang lingkaran berdiameter d = 0 mm, panjang L = 1, m, dan Modulus Elastisitas Geser, G = 80 GPa. Batang ini mengalami torsi T yang bekerja di ujung-ujungnya. a. Jika T = 30 N m, hitung maks yang timbul b. Jika ijin adalah 0 Mpa dan f ijin adalah,5 o, berapa torsi ijin maksimum Jawab : 3 16T 16 30 10 a. maks = 7,07 MPa 3 3 d 0 3 3 d ijin 0 0 b. ijin 0MPa T 1 = 50.00 Nmm 16 16 3 o G I f 80 10 51.00,5 o p ijin f,5 180 ijin T = 66.006 N L 100 d 0 I p 51.00mm 3 3
Contoh Sebuah batang baja akan dibuat entah dengan penampang lingkaran solid atau lingkaran berlubang. Batang ini harus menyalurkan momen torsi sebesar 100 N m tanpa melebihi tegangan geser ijin sebesar 0 MPa dan laju puntir ijin 0,75 o /m. Jika G baja = 78 GPa, tentukan : a. Diameter d o untuk batang pejal b. Diameter luar d untuk batang berlubang, jika ditentukan t = 1/10 dari diameter luar
Jawab : a. Batang solid : 3 16T 16(1.00) 6 ijin 0MPa do 15,8 10 do 53, 5mm (0MPa) ijin o 3T 3(1.00) 6 f ijin 0,75 /m do 11,97 10 do 58, 8mm Gq 78 ( /180)(0,75) ijin Jadi digunakan d o = 58,8 mm 60 mm b. Diameter dalam, d 1 = d t = d (0,1d ) = 0,8d T r T( d / ) ijin 0MPa d = 63,7 mm I 0,05796d p I p d 3 T T o q 0,75 / ijin m d GI G(0,05796d ) 180 = 67,1 mm p Jadi digunakan d = 67,1 mm 70 mm, dan d 1 = 0,8d = 56 mm. d1 0, 05796 d
Torsi Tak Seragam Pada kasus torsi murni, beban momen torsi yang konstan bekerja pada suatu batang yang prismatis Pada beberapa kasus beban momen torsi yang berbeda-beda dapat terjadi di sepanjang batang, terkadang pula batang bukan merupakan batang yang prismatis. Kasus demikian dinamakan sebagai torsi tak seragam (non uniform torsion) Ada 3 macam kasus yang dapat terjadi : a. Batang yang mengandung segmen-segmen prismatis dengan torsi konstan di tiap segmen b. Batang dengan penampang yang berubah secara kontinu dan mengalami torsi konstan c. Batang dengan penampang yang bervariasi secara kontinu dan mengalami torsi yang bervariasi secara kontinu pula
Torsi Tak Seragam (kasus 1) Untuk keperluan analisis, maka dapat dibuat diagram badan bebas di tiap segmen, kemudian ditentukan besarnya torsi internal yang bekerja Torsi internal bertanda positif jika vektornya berarah meninggalkan potongan dan negatif jika vektornya berarah menuju potongan!! T CD = T 1 T + T 3 T BC = T 1 T T AB = T 1 f n i1 f i n i1 Ti G i L I i pi
Torsi Tak Seragam (kasus ) Untuk momen torsi yang konstan, maka tegangan geser maksimum akan selalu terjadi di penampang yang mempunyai diameter terkecil Sudut puntir, dicari dengan meninjau elemen yang panjangnya dx pada jarak x dari salah satu ujung batang. Sudut rotasi diferensial df untuk elemen ini adalah : df Sudut puntir total adalah : f L 0 df L 0 T dx G I p x T dx G I p x
Torsi Tak Seragam (kasus 3) Sudut puntir untuk batang dapat dianalisis seperti halnya kasus, perbedaannya adalah bahwa torsi dan momen inersia polar juga bervariasi sepanjang sumbu Sehingga persamaan untuk sudut puntir menjadi : f L 0 df L 0 T G xdx I x p Integral ini dapat dihitung secara analitis untuk beberapa kasus, namun biasanya harus dihitung secara numerik
Contoh 3 Sebuah batang baja solid ABCDE memiliki diameter d = 30 mm berputar dengan bebas di ujung A dan E. Batang ini digerakkan dengan gigi di C, yang menerapkan torsi T = 50 Nm. Gigi di B dan D digerakkan oleh batang tersebut dan mempunyai torsi penahan T 1 = 75 Nm dan T 3 = 175 Nm yang bekerja berlawanan dengan T. Segmen BC dan CD masing-masing mempunyai panjang L 1 = 500 mm dan L = 00 mm. Nilai G = 80 GPa. Tentukan tegangan geser maksimum di tiap bagian batang dan sudut puntir antara gigi B dan D!
Jawab : T CD = T T 1 = 50 75 = 175 Nm T BC = T 1 = 75 Nm BC CD 16 d T BC 3 16 d T CD 3 16 75 3 (30) = 51,9 MPa 16 175 = 33,0 MPa 3 (30) (30) I d p = 79.50 mm 3 3 f BC 500 (80) 79.50 TBC L1 75 GI p TCDL GI 175500 79.50 = -0,016 rad f CD = 0,0110 rad p (80) Soal 3.1 3.13 f BD = f BC + f CD = - 0,0106 rad = - 0,61 o
Tabung Berdinding Tipis Penampang tabung berdinding tipis diberi beban momen torsi T Tegangan geser yang timbul dihitung dengan menggunakan persamaan : T ta m = tegangan geser (MPa) T = momen torsi yang bekerja (N mm) t = tebal penampang batang (mm) A m = luas yang dibatasi garis median T/A m = f, disebut dengan aliran geser (shear flow)
Tabung Berdinding Tipis Penampang tabung berdinding tipis diberi beban momen torsi T Tegangan geser dan sudut puntir yang timbul dihitung dengan persamaan : T ta m f TL GJ ta J L m m = tegangan geser (MPa) T = momen torsi yang bekerja (N mm) t = tebal penampang batang (mm) A m = luas yang dibatasi garis median T/A m = f, disebut dengan aliran geser (shear flow) L = panjang batang (mm) J = konstanta torsi (mm )
Tabung Berdinding Tipis J T r r t 3 t vert horz T t bh 1 T t bh J b bt 1 h t1t ht
Contoh Sebuah tabung lingkaran berlubang yang mempunyai diameter dalam 50 mm dan tebal dinding 5 mm, memikul momen torsi sebesar T = 135 kn m. Tentukan tegangan geser maksimum di tabung dengan menggunakan : a.teori pendekatan tabung berdinding tipis b.teori torsi eksak Jawab : a. 6 T 13510 ta m 5 15 1,5 = 5,8 MPa 5 mm 50 mm b. T r I p 6 13510 (300/ ) 9,1 MPa 300 50 3 Soal 3.1 3.18