Pengaruh Waktu Tunda pada Model Pertumbuhan Logistik Agus Suryanto dan Isnani Darti Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Brawijaya suryanto@ub.ac.id www.asuryanto.lecture.ub.ac.id Prodi Pendidikan Matematika Prodi Matematika UNIROW TUBAN, 24 Mei 2014
Definisi Populasi Organisme Populasi Komunitas Ekosistem Dinamika/Pertumbuhan populasi Model Matematika
Populasi berubah setiap waktu Prediksi jumlah individu dalam populasi penting dalam berbagai bidang Model matematika pertumbuhan populasi Model pertumbuhan logistik Pengaruh waktu tunda?
Pemodelan dengan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Persamaan Matematika yang digunakan untuk mempelajari fenomena yang bergantung waktu Persamaan diferensial dari suatu fungsi = persamaan yang memuat fungsi dan turunannya Turunan adalah fungsi yang merepresentasikan perubahan variabel bebas akibat perubahan variabel tak bebas. (Sering diidentifikasikan sebagai slope/gradien.)
Model Pertumbuhan Populasi Satu Spesies Model populasi satu spesies relevan pada skala laboratorium, tetapi dapat menjelaskan efek-efek yang berpengaruh pada dinamika populasi Basic Equation: Rate of change of a population = Births + Death s Immigration Emigration dn(t)/dt = births deaths + migration where N(t) = population of species at time t
Pertumbuhan Eksponensial Malthus (1798) Model paling sederhana: tidak ada migrasi, kelahiran dan kematian proporsional dengan N dn dt = ( b d )N ( b d ) t 0 = N( t) = N e ; N0 b, d konstanta positif N( 0 ) b > d: populasi tumbuh secara eksponensial b = d: population konstan b < d: populasi berkurang secara konstan, 0
Pertumbuhan Eksponensial: Realistis?
Model Pertumbuhan Logistik Verhulst (1838) Model logistik : proses self-limiting beroperasi ketika populasi terlalu besar dn N = rn 1, N dt K 0 K > r = laju kelahiran intrinsik r(1 N/K) = laju kelahiran ( 0) = N ; r, 0 K = daya dukung lingkungan (carrying capacity) Penyelesaian: N ( ) 0K N t = K N0 e Konvergen ke K ketika t rt + ( ) N0
Model Pertumbuhan Logistik Verhulst (1838) Tak stabil stabil dn dt N = rn 1 K
Pertumbuhan Eksponensial vs Logistik N(1-N/3e8) dn dt N = rn 1 K Kompetisi intra-spesies Instan realistis?
Why do some populations increase smoothly and level off and others fluctuate in numbers? overshoot BRAWIJAYA Copyright 2002 UNIVERSITY Pearson Education, Inc., publishing as Benjamin Cummings Agus Suryanto
Model Pertumbuhan Logistik dengan Persamaan Hutchinson: Titik tetap: Waktu Tunda Diskret 0 0 ( t) dn / dt = 0 N = N = ( t) = ϕ( t), t [ τ,0] ( t τ ) dn N (Murray, 2002; = rn ( t) 1, dt K Ruan, 2006) N 1 Perilaku dinamik di sekitar titik tetap Linearisasi N ( t) = N + εx( t) ; ε << 1 K Substitusi ke model, abaikan suku-suku order tinggi
Kestabilan Titik Tetap N ( t) = N + ε x( t) ; ε << 1 N 0 = 0 N 1 = K dx( t) dt = r x( t); r x( t) = x e ; x0 > rt 0 = x x(t) tumbuh secara eksponensial Tak stabil 0 (0) dx( t) = r x( t τ ); r > 0 dt Penyelesaian: Re Re x( t) = ce λt ( λ) < 0 N 1 stabil ( λ) > 0 tak stabil N 1 λ = re λτ
Kestabilan Titik Tetap x N 1 = λt λτ ( t) = ce λ = re (Pers. Karakteristik) τ = 0 λ = - r Logistik tanpa waktu tunda τ 0 λ(τ) = α(τ) + i β(τ) dengan λ(0) = α(0) = r K α(0) < 0 τ =0 α(τ 0 ) = 0 α(τ>τ0 ) =? τ =τ 0 α + r exp β r exp ( ατ ) cos( βτ ) = 0 ( ατ ) sin( βτ ) = 0. τ
α + β r r exp exp ( ατ ) cos( βτ ) = 0 ( ατ ) sin( βτ ) = 0. α(τ 0 ) = 0 jika ( β τ ) = 0, β = β ( ); cos 0 0 0 τ τ π τ j = + 2 jπ, j = 0,1, 2, K β = 2 β0 ; 0 π 2 jπ π + τ 0 = 2rr r 2 r r ( τ ) = i r j = 0 ± λ dα dτ ( τ ) τ = τ j = r 1+ r 2 2 τ 2 j > 0; j = 0,1, 2,K τ =0 α < 0 α = 0 α > 0 τ =τ 0 τ
Teorema 1 0 τ < π / 2r (1) Jika maka titik tetap N 1 = K bersifat stabil asimtotik (2) Jika τ = τ 0 = π / 2r maka titik tetap N 1 = K mengalami perubahan kestabilan, yaitu dari stabil asimtotik jika 0 τ < π / 2r, menjadi tidak stabil dan muncul solusi periodik jika Terjadi bifurkasi Hopf τ > π / 2r
Simulasi Numerik r = 0.2; K = 1 τ 0 = π/2r = 7.845; N(t) = 0.1, t [ τ,0] 2 (a) solusi persamaan (5) dengan τ = τ 0-0.2 2 (b) Bidang fasa grafik (a) 1.8 1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 N (t) 1.2 1 0.8 N (t) 1.2 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.2 0.4 0 0 500 1000 1500 2000 t 0.2 0 0.5 1 1.5 2 N(t-τ)
Simulasi Numerik r = 0.2; K = 1 τ 0 = π/2r = 7.845; N(t) = 0.1, t [ τ,0] N (t) N (t) 2.5 2 1.5 1 0.5 (a) Solusi persamaan (5) dengan τ = τ 0 + 0.2; N awal = 0.9 0 0 500 1000 1500 2000 t 1.6 1.4 1.2 0.8 (b) Solusi persamaan (5) dengan τ = τ 0 + 0.2; N awal = 0.1 1 N (t) 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 (c) Bidang fasa grafik (a) dan (b) N awal = 0.1 N awal = 0.9 0 500 1000 1500 2000 t 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 N(t - τ)
Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda Terdistribusi Persamaan Hutchinson: Delta dirac G( t) = δ ( t τ ) t t ( t) dn 1 = rn dt t ( t) 1 G( t s) N( s) ds K Waktu tunda diskret ( t s) N( s) ds = δ ( t τ s) N( s) ds = N( t τ ) G Distribusi Gamma ( u) = φ exp ( φu), φ > 0 G (MacDonald, 1978) M t ( t) = φ exp( φ( t s) ) N( s) ds
Model Pertumbuhan Logistik dengan dn dt ( t) dm ( t) dt Waktu Tunda Terdistribusi r N ( t) 1 M K ( t) Titik tetap: = ( ) N0, M0 = ( 0,0) = φn ( t) φm ( t). ( ) N, M = ( K, K ) tak stabil Linearisasi: N M ( t) = N + ε x( t) ( t) = M + ε y( t) ( t) dx = ry( t) dt dy( t) = φx φ dt ( t) y( t).
Persamaan Karakteristik: λ 2 + φλ + φ r = 0, φ 1 2 λ1,2 ± φ 4φ r 2 2 Re, 2 = ( λ ) 1 < 0 2 Konvergen ke dengan osilasi jika 4 r < 0 Teorema 2. N = K Stabil asimtotik Persamaan logistik dengan waktu tunda terdistribusi mempunyai dua titik tetap, yaitu titik tetap trivial 0 N 0 = yang bersifat tidak stabil; dan titik tetap positif N = K yang bersifat stabil asimtotik, untuk sembarang τ. φ φ
Simulasi Numerik r = 0.2; K = 1 1.8 1.6 1.4 φ = 0.1 φ = 0.3 φ = 0.5 φ = 1.0 (t) N ( 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t 2 Konvergen ke dengan osilasi jika φ 4φ r < 0 N = K
Kesimpulan 1. Model pertumbuhan logistik menjelaskan pertumbuhan dengan limiting proses akibat kompetisi intra-spesies. 2. Waktu tunda diskret mengakibatkan perubahan kestabilan dan terjadinya bifurkasi Hopf. 3. Waktu tunda terdistribusi tidak mengubah kestabilan titik tetap model logistk kecuali memungkinkan terjadinya fluktuasi 4. Model tersebut dapat dikembangkan untuk interaksi inter-spesie
Daftar Pustaka 1. Kuang, Y., Delay differential equations with applications in population dynamics, Academic Press, Boston, 1993. 2. MacDonald, N., Time lags in biological models, Lecture Notes in Biomathematics 27, Springer-Verlag, Heidelberg, 1978. 3. Murray, J.D., Mathematical biology: I. An introduction, Springer-Verlag, New York, 2002. 4. Ruan, S., Delay differential equations in single species dynamics, dalam Delay differential equations and applications, Ed(s): O. Arino, M.L. Hbid dan A. Ait Dads, Springer, Berlin, hal. 477-517, 2006. 5. Smith, H., An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences, Springer, New York, USA, 2011.
TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA