Pengantar Analisa Algoritma
Pendahuluan Suatu permasalahan memungkinkan untuk diselesaikan dengan lebih dari satu algoritma (pendekatan) Bagaimana kita memilih satu diantara beberapa algoritma tersebut. Bagaimana kita mengukur efisiensi dari algoritma tersebut?
Mengukur Efisiensi : Perbandingan Empiris: Run Program Analisis Algoritma (Asimptotis)
Kesulitan Perbandingan Empiris : Diperlukan usaha pemrograman dan pengujian yang lebih banyak Penulisan program yang berbeda memungkinkan menghasilkan kualitas program yang berbeda Pemilihan kasus-kasus uji empiris mungkin tidak selalu sesuai untuk semua algoritma yang diuji.
Sumberdaya kritis suatu program running-time (waktu eksekusi program), sehingga kita harus menganalisa waktu yang diperlukan untuk me-run program (algoritma). ruang (memory, space- memori utama dan memori tambahan) yang diperlukan untuk me-run program. Ruang yang diperlukan ini sangat berkaitan dengan struktur data yang digunakan.
Faktor yang mempengaruhi running-time Lingkungan dimana program itu dijalankan, yang antara lain meliputi kecepatan CPU, bus dan perangkat keras pendukung yang lain. Persaingan dengan user lain pada jaringan juga bisa memperlambat waktu eksekusi. Bahasa pemrograman dan kualitas kode yang dihasilkan oleh kompiler juga dapat memberikan pengaruh yang signifikan. Kemampuan pemrogram yang menerjemahkan algoritma ke kode program juga berpengaruh.
Analisis Algoritma Analisis algoritma asimptotis (asymptotic algorithm analysis) mengukur efisiensi suatu algoritma berdasar-kan ukuran input (yang biasanya besar), karena running-time suatu algoritma sebagian besar tergantung pada ukuran input. Teknik ini lebih bersifat estimasi
Analisa Algoritma (lanjutan) Pertimbangan utama ketika mengestimasi performansi suatu algoritma adalah jumlah operasi dasar (basic operation) yang diperlukan untuk oleh algoritma untuk memproses suatu input dengan ukuran (size) Running time dinyatakan dalam T(n) untuk fungsi T pada input dengan ukuran n
Contoh: Diberikan suatu algoritma untuk menemukan nilai terbesar dalam suatu array yg berisi n integer positip static int largest(int[ ] A, int n) { int currlarge = 0; for (int i=0; i<n; i++) if (A[i] > currlarge) currlarge=a[i]; return currlarge; } // Dapatkan nilai terbesar // inisialisasi nilai terbesar saat ini // untuk setiap elemen array // nilai terbesar saat ini berubah // return nilai terbesar Misalkan c jumlah waktu yang diperlukan untuk menguji suatu nilai dalam fungsi ini, termasuk didalamnya waktu yang diperlukan untuk increment nilai i dll, maka T(n) = cn
Contoh 2 Misal cuplikan kode program sebagai berikut sum = 0; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) sum++ ; Maka, T(n) = c2 n 2
Best, Worst dan Average Cases Untuk beberapa algoritma, input yang berbeda dapat memerlukan jumlah waktu yang berbeda. Sebagai ilustrasi, misalkan kita ingin mencari suatu elemen array (posisi) yang memuat nilai K dan algoritma akan berhenti jika nilai K ditemukan. Dengan pencarian secara sekuensial Best case: 1 Worst case: n Average case: n/2
Best, Worst dan Average Cases Best case Umumnya kita tidak digunakan karena jarang terjadi dan terlalu optimistik untuk karakteristik umum dari running-time suatu algoritma. Worst case Bisa diketahui secara pasti bahwa paling buruk algoritma akan memerlukan proses sebanyak kasus terburuk ini. Analisa ini juga sangat penting digunakan untuk aplikasi realtime (waktu-nyata) Average case Menyatakan perilaku umum suatu algoritma bila diberikan input dengan ukuran n
Komputer Lebih Cepat vs Algoritma Lebih Cepat Apa yang terjadi jika kita membeli komputer baru yang mempunyai kecepatan 10 kali lebih cepat (misal dapat memproses 100.000 input dalam satu satuan waktu) dibandingkan komputer lama (misal dapat memproses 10.000 input)? Pada kasus tertentu, penambahan kecepatan komputer kurang berpengaruh pada jumlah input yang diproses. Mengapa?
Komputer Lebih Cepat vs Algoritma Lebih Cepat n: ukuran input yang dapat diproses dalam satu detik pada komputer 1 n : ukuran input yang dapat diproses dalam satu detik pada komputer 2 T(n) n n' Perubahan n'/n 10n 1.000 10.000 n' = 10n 10 20n 500 5.000 n' = 10n 10 10n 5n log n 250 1.842 10n < n' < 10n 7,37 2n 2 70 223 3,16 n' = 2 n 13 16 n' = n + 3 --
Growth Rate Graph
Analisis Asimptotis: Batas Atas (Big-Oh) Definisi : T(n) adalah anggota dari himpunan Ο(f(n)) jika ada dua konstanta positip c dan n0 sedemikian hingga T(n) c f(n) untuk semua n > n0 Definisi ini memberikan arti bahwa untuk semua himpunan data yang cukup besar (yaitu n > n0) algoritma akan selalu mengeksekusi lebih kecil dari c f(n) step pada best, average dan worst case.
Contoh-contoh Contoh 2.4: Jika T(n) = 3n 2 maka T(n) ada dalam O(n 2 ). Demikian juga, T(n) ada dalam O(n 3 ), O(n 4 ) dan seterusnya, sehingga yang kita pilih adalah batas atas terkecil (least upper bound). Contoh 2.5: Mencari nilai K yang disimpan dalam suatu array. T(n) = c s n/2 Untuk semua nilai n > 1, c s n/2 c s n Sehingga, dengan definisi, T(n) adalah anggota O(n) untuk n 0 = 1 dan c = c s
Contoh-contoh: Contoh 2.6 : Diketahui T(n) = c 1 n 2 + c 2 n pada average case. Dapatkan O(f(n)) c 1 n 2 + c 2 n c 1 n 2 + c 2 n 2 (c 1 + c 2 ) n 2 untuk semua n > 1, sehingga, T(n) c n 2 untuk c = c 1 + c 2 dan n 0 = 1 Jadi, dengan definisi, T(n) adalah anggota dari O(n 2 ). Contoh 2.7 : T(n) = c adalah anggota dari O(1).
Batas Bawah : Big-Omega Definisi : T(n) adalah anggota dari himpunan Ω(g(n)) jika ada dua konstanta positip c dan n 0 sedemikian hingga T(n) c g(n) untuk semua n > n 0 Definisi ini memberikan arti bahwa untuk semua himpunan data yang cukup besar (yaitu n > n 0 ) algoritma akan selalu mengeksekusi lebih besar dari c g(n) step pada best, average dan worst case.
Contoh Diketahui T(n) = c 1 n 2 + c 2 n pada average case. Dapatkan Ω(g(n)) c 1 n 2 + c 2 n c 1 n 2 untuk semua n > 1 Sehingga, T(n) c n 2 untuk c=c 1 dan n 0 =1 Jadi, berdasarkan definisi, T(n) adalah anggota dari Ω(n 2 ). Demikian juga, T(n) juga merupakan anggota dari Ω(n) dan Ω(1). Pada kasus ini yang kita pilih adalah batas bawah terbesar (greatest lower bound).
Big-Theta Definisi : Suatu algoritma dikatakan anggota Θ(h(n)) jika algoritma itu adalah anggota O(h(n)) dan anggota Ω(h(n)) Contoh 2.9 : Karena T(n) = c 1 n 2 + c 2 n adalah angota O(n 2 ) dan anggota Ω(n 2 ), maka T(n) adalah anggota Θ(n 2 ).
Contoh:
Aturan Simplifikasi Ketika kita menentukan persamaan running time suatu algoritma, kita akan menentukan bentuk yang paling sederhana, sehingga diperlukan aturanaturan penyederhanaan untuk ketiga big-oh, big- Omega dan big-theta
Beberapa Aturan Penyederhanaan: 1) Jika f(n) adalah anggota O(g(n)) dan g(n) adalah anggota O(h(n)), maka f(n) adalah anggota O(h(n)). 2) Jika f(n) adalah anggota O(kg(n)) untuk konstanta k > 0, maka f(n) adalah anggota O(g(n)). 3) Jika f 1 (n) adalah anggota O(g 1 (n)) dan f 2 (n) adalah anggota O(g 2 (n)), maka (f 1 + f 2 )(n) adalah anggota O(max(g 1 (n), g 2 (n))). 4) Jika f 1 (n) adalah anggota O(g 1 (n)) dan f 2 (n) adalah anggota O(g 2 (n)), maka f 1 (n) f 2 (n) adalah anggota O(g 1 (n) g 2 (n)). Aturan ini juga berlaku untuk big-omega dan big-theta.
Time Complexity Examples (1) Contoh 3.9: a = b; This assignment takes constant time, so it is (1). Contoh 3.10: sum = 0; for (i=1; i<=n; i++) sum += n; 25
Time Complexity Examples (2) Contoh 3.11: sum = 0; for (j=1; j<=n; j++) for (i=1; i<=j; i++) sum++; for (k=0; k<n; k++) A[k] = k; 26
Time Complexity Examples (3) Contoh 3.12: sum1 = 0; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) sum1++; sum2 = 0; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=i; j++) sum2++; 27
Time Complexity Examples (4) Contoh 3.13: sum1 = 0; for (k=1; k<=n; k*=2) for (j=1; j<=n; j++) sum1++; sum2 = 0; for (k=1; k<=n; k*=2) for (j=1; j<=k; j++) sum2++; 28
Statement Control yang lain? Perhitungan running time dapat dinyatakan secara garis besar sebagai berikut : Untuk loop while, perhitungannya sama dengan loop for Statemen if lebih besar daripada then/else, mungkin melibatkan probabilitas karena adanya penyeleksian kondisi Rekursifitas: diselesaikan dengan relasi berulang Subrotine call: Kompleksitas dari subroutine yang dipanggil Slide berikutnya