Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan

Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan Sudaryatno Sudiram Setela mempelajari bagaimana atom tersusun membentuk padatan, berikut ini kita akan mempelajari elektron dalam padatan. Dalam padatan dengan struktur kristal, terjadi sumur potensial di sekitar ion, yang berulang secara periodik, seperti digambarkan secara dua dimensi pada Gb.1. Gambar ini anya memperliatkan keadaan di bagian dalam material dan tidak memperatikan bagaimana bentuk dinding potensial di permukaan. Mencari fungsi gelombang dengan persamaan Scrödinger pada sumur potensial periodik ini tentula amat rumit. Namun kita tidak kembali ke persamaan Scrödinger; kita cukup melakukan penilaian secara kualitatif tentang elektron-elektron dalam padatan ini, berdasarkan pengertian-pengertian yang tela kita perole pada struktur sumur potensial yang lebi sederana di bab-bab sebelumnya. Pada Gb.1. elektron dengan energi E 1 terjebak di dalam sumur potensial; ia terikat kuat ole inti atom dan sulit untuk berpinda ke sumur potensial di sebelanya karena ia mengadapi dinding sumur potensial yang tinggi; terobosan melalui mekanisme tunneling juga sulit terjadi jika dinding potensial cukup tebal. E Energi E E 1 Gb.1. Sumur potensial periodik. Elektron dengan energi E lebi longgar terikat pada inti atom; penambaan energi yang tidak terlalu besar cukup untuk digunakan melewati diding potensial dan berpinda ke sumur potensial di sebelanya. Sementara itu elektron dengan energi E tidak terikat ole sesuatu inti atom; ia dapat bergerak ampir bebas dalam material dan secara kolektif menentukan sifat material, misalnya konduktivitas listrik dan konduktivitas termal. Elektron ini pula yang secara kolektif berperan mengikat ion-ion yang membentuk struktur kristal. Pita Energi + + + + + Dalam pembaasan mengenai ikatan atom kita tela meliat bawa tingkat energi dua atom yang berdekatan akan terpeca menjadi dua, sebagaimana diperliatkan ole Gb.. Satu kurva akan diikuti ole terbentuknya ikatan stabil dan satu kurva lagi menggambarkan situasi yang tidak memungkinkan tercapainya ikatan stabil; dalam al terakir ini kedua elektron yang searusnya berperan dalam pembentukan ikatan, memiliki spin berlawanan. Dua atom H misalnya, akan membentuk H yang stabil, jika keduanya berada pada jarak keseimbangan r 0 di mana dua elektron dengan spin berlawanan menempati orbital 1s. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 1/16

E [ev] 10 8 6 4 tak stabil 4 r 0 1 Å stabil jarak antar atom Gb.. Energi pada H sebagai fungsi jarak atom.[5]. Jika dua atom H berdekatan diikuti ole terpecanya tingkat energi s menjadi dua, maka jika ada enam atom H tingkat energi tersebut akan terpeca menjadi enam (terjadinya banyak atom idrogen berdekatan adala di sekitar titik beku; gas idrogen membeku pada 5,7 o C). Jika ada N atom idrogen, maka tingkat energi s akan terpeca menjadi N. Jika N makin besar maka perbedaan antara dua tingkat yang berdekatan akan semakin kecil dan mendekati kontintyu. Kita katakan bawa orbital s tela beruba menjadi pita energi s. Terbentuknya pita energi tidak anya terjadi pada orbital s, tetapi terjadi pada semua orbital. Jadi kita memperole pita energi 1s, s, p, dan seterusnya, yang ditunjukkan secara skematis pada Gb.. Peristiwa terbentuknya pita energi tentu tidak anya terjadi pada atom H saja, akan tetapi terjadi pula pada kumpulan sejumla besar atom-atom yang menyusun padatan. Energi s p 1s Jarak antar atom Gb.. Pita Energi (tanpa skala) Tingkat-tingkat energi elektron dalam atom makin rumit jika nomer atom makin besar. Gb.4. memperliatkan tingkat-tingkat energi atom Na yang memiliki konfigurasi elektron 1s s p 6 s 1. Orbital terluar yang ditempati elektron adala s. E [ ev ] 0 1 4 7 6 5 4 s p d f 7 6 7 6 6 7 5 5 5 4 4 4 5 6 5,14 Gb.4. Tingkat energi pada atom Na. [6]. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan /16

Jika ada N atom Na maka tingkat-tingkat energi terpeca menjadi N tingkat dengan perbedaan energi yang kecil antara tingkat-tingkat energi tersebut, seingga tingkat energi beruba menjadi pita energi, seperti diperliatkan ole Gb.5. Gambar ini memperliatkan pita-pita energi yang terbentuk pada tingkat energi ke- dan ke- dari Na. Peratikan bawa mulai pada jarak atom tertentu, pita s bertumpang-tindi dengan pita p; pita p bertumpang-tindi dengan pita d mulai pada jarak atom tertentu pula. Kita peratikan pula bawa tumpang-tindi pita energi suda terjadi pada jarak r 0, yaitu jarak keseimbangan antar atom. 0 10 s d p E [ev] 0 r 0 =,67 Å 0 p Pita Energi Pada Material Konduktor 0 5 10 Ǻ 15 jarak atom Gb.5. Pita energi pada Na.[6]. Diagram pita energi padatan Na dapat digambarkan seperti terliat pada Gb.6. Konfigurasi atom Na adala 1s s p 6 s 1. Pita kosong cela energi s 1 E F Pita valensi setenga terisi. p 6 s 1s Gb.6. Diagram pita energi padatan Na. Pada atom Na orbital s yang searusnya dapat memuat elektron anya terisi 1 elektron; inila elektron valensi atom Na. Ole karena itu pita energi s pada padatan Na anya setenga terisi, dan disebut pita valensi. Orbital berikutnya p tidak terisi elektron (kosong). Diantara pita-pita energi terdapat cela energi yang merupakan cela terlarang bagi elektron. Sesunggunya pembagian pita-pita energi padatan Na agak lebi rumit dari Gb.6. Jika kita kembali ke Gb.5 akan kita liat bawa pada jarak antar atom r 0, yang merupakan jarak keseimbangan antar atom, pita s tela bertumpang tindi dengan pita p. Akibatnya adala bawa elektron di pita konduksi s mempunyai peluang lebi banyak bertemu dengan orbital yang belum terisi. Keadaan bertumpang tindinya pita energi semacam ini Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan /16

biasa terjadi pada metal. Kita ambil conto padatan magnesium. Konfigurasi elektron atom Mg adala 1s s p 6 s ; orbital s terisi penu. Pita valensi s pada padatan juga akan terisi penu. Akan tetapi pada jarak keseimbangan antar atom, pita s tela bertumpang tindi dengan pita p. Diagram pita valensi padatan ini dapat kita gambarkan seperti pada Gb.7. yang memperliatkan bertumpang tindinya pita s dan p. p cela energi s p 6 Gb.7. Diagram pita energi padatan Mg. Sebagian elektron di s akan menempati bagian bawa p sampai keseimbangan tercapai. Jumla tingkat energi elektron di s semula adala N dan dengan bertumpang tindinya s dan p tersedia sekarang N + 6N = 8N tingkat energi. Ole karena itu padatan Mg adala konduktor yang baik. Jadi elemen yang memiliki orbital terisi penu, dapat juga menjadi padatan yang bersifat sebagai konduktor jika terjadi tumpang tindi antara pita energi yang terisi penu dengan pita energi yang kosong. Pita energi yang tumpang-tindi dapat dipandang sebagai pelebaran pita. Elektron yang berada pada pita yang tumpang-tindi mempunyai kesempatan lebi luas untuk berpinda tingkat energi karena adanya tambaan tingkat energi dari orbital yang lebi tinggi. Dalam kasus atom Na, elektron di orbital s dengan muda pinda ke p dan d; elektron ini berada dalam pita energi gabungan yang jau lebi lebar dari pita s dimana semula ia berada. Pada 0 o K elektron terdistribusi dalam pita valensi sampai tingkat tertinggi yang disebut tingkat Fermi, E F (tentang energi Fermi ini akan kita baas lebi lanjut). Pada temperatur kamar elektron di sekitar tingkat energi Fermi mendapat tambaan energi dan mampu naik ke orbital di atasnya yang masi kosong. Elektron yang naik ini relatif bebas seingga medan listrik dari luar akan menyebabkan elektron bergerak dan terjadila arus listrik. Ole karena itu material dengan struktur pita energi seperti ini, di mana pita energi yang tertinggi tidak terisi penu, merupakan konduktor yang baik. Pita valensi s pada padatan yang setenga terisi disebut juga pita konduksi, seperti misalnya pada Na. Terbentuknya pita energi dapat pula kita liat sebagai terjadinya perluasan kotak potensial sebagai akibat kotak-kotak yang tumpang-tindi. Ruang di sekitar suatu ion dapat kita pandang sebagai kotak potensial. Dalam kotak inila elektron terjebak. Jika ion-ion tersusun secara rapat, maka kotak-kotak potensial ini saling tumpang-tindi seingga membentuk kotak potensial yang lebi besar. Dengan membesarnya kotak potensial maka tingkat-tingkat energi menjadi rapat sebagaimana tela kita baas dalam topik mengenai persamaan Scrödinger. Rapatnya tingkat energi memudakan elektron berpinda ke tingkat energi yang lebi tinggi dengan anya sedikit tambaan energi, misalnya dari medan listrik. Inila yang terjadi pada metal dan ole karena itu metal memiliki konduktivitas listrik yang tinggi. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 4/16

Pita Energi Pada Material Isolator Kita liat sekarang situasi di mana pita valensi terisi penu dan tidak tumpang-tindi dengan pita di atasnya. Diagram pita energi digambarkan pada Gb.8. Karena pita valensi terisi penu maka elektron dalam pita ini tidak dapat berganti status. Satu-satunya cara untuk berganti status adala dengan melompati cela energi dan masuk ke pita konduksi. Namun jika cela energi cukup lebar, beberapa ev, perpindaan ini ampir tidak mungkin terjadi kecuali ditambakan energi yang cukup besar misalnya dengan pemanasan. Material yang memiliki diagram pita energi seperti ini tidak muda mengantarkan arus listrik; mereka termasuk dalam kelompok material isolator seperti misalnya intan, quartz, dan kebanyakan padatan dengan ikatan kovalen dan ikatan ion. pita konduksi kosong cela energi pita valensi terisi penu cela energi perlu tambaan energi besar untuk memindakan elektron Gb.8. Diagram pita energi material isolator. Intan merupakan kristal karbon C yang memiliki konfigurasi elektron 1s s p ; tingkat energi kedua sebenarnya mampu memuat sampai 8 elektron, yaitu di s dan 6 di p, namun elektron yang ada di tingkat kedua ini anya 4. Jika jarak atom makin dekat, s dan p mulai tumpang tindi. Pada jarak atom yang lebi kecil lagi pita energi ini peca lagi menjdi dua pita yang masing-masing dapat menampung 4 elektron. Ole karena itu 4 elektron yang ada akan menempati empat tingkat energi terenda dan menyisakan empat tingkat energi yang lebi tinggi yang kosong. Dalam jarak keseimbangan, cela energi antara pita yang terisi dan pita yang kosong di atasnya adala sekitar 5 ev. Ole karena itu intan merupakan material isolator. Pita energi Pada Material Semikonduktor Diagram pita energi untuk material semikonduktor mirip dengan material isolator akan tetapi berbeda pada lebar cela energi-nya. Cela energi pada semikonduktor anya sekitar 1 ev. Germanium dan silikon adala material semikonduktor. Konfigurasi atom Ge [Ar] d 10 4s 4p dan Si [Ne] s p ; kedua macam atom ini memiliki 4 elektron di tingkat energi terluarnya. Tumpang-tindi pita energi di tingkat energi terluar akan membuat pita energi terisi penu 8 elektron. Karena cela energi sempit maka jika temperatur naik, sebagian elektron di pita valensi naik ke pita konduksi dengan meninggalkan tempat kosong (ole) di pita valensi. Keadaan ini digambarkan pada Gb.9. Baik elektron yang tela berada di pita konduksi maupun ole di pita valensi akan bertindak sebagai pembawa muatan untuk terjadinya arus listrik. Konduktivitas listrik naik dengan cepat dengan naiknya temperatur. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 5/16

E pita konduksi kosong E g pita valensi penu Semikonduktor intrinsik pada 0 K E pita konduksi ampir kosong elektro- ol E g pita valensi ampir penu Pada temperature kamar, sejumla electron terstimulasi termis dan mampu naik ke pita konduksi dan meninggalkan ole (tempat lowong) di pita valensi Gb.9. Diagram pita energi semikonduktor. Sejumla elektron naik ke pita konduksi pada temperatur kamar. Konduktivitas listrik tersebut di atas disebut konduktivitas intrinksik. Konduktivitas material semikonduktor juga dapat ditingkatkan dengan penambaan atom asing tertentu (pengotoran, impurity). Jika atom pengotor memiliki 5 elektron terluar (misalnya P atau As) maka akan ada kelebian satu elektron tiap atom. Kelebian elektron ini akan menempati tingkat energi sedikit di bawa pita konduksi (beberapa perpulu ev) dan dengan sedikit tambaan energi akan sangat muda berpinda ke pita konduksi dan berkontribusi pada konduktivitas listrik. Atom pengotor seperti ini disebut donor (karena ia memberikan elektron lebi) dan semikonduktor dengan donor disebut semikonduktor tipe n. Jika atom pengotor memiliki elektron terluar (misalnya B atau Al) maka akan ada kelebian satu ole tiap atom. Kelebian ole ini akan menempati tingkat energi sedikit di atas pita valensi dan dengan sedikit tambaan energi akan sangat muda elektron berpinda dari pita valensi ke ole di atasnya dan meninggalkan ole di pita valensi yang akan berkontribusi pada konduktivitas listrik. Atom pengotor seperti ini disebut akseptor (karena ia menerima elektron dari pita valensi) dan semikonduktor dengan akseptor disebut semikonduktor tipe p. Untuk membuat perubaan konduktivitas yang memadai di material semikonduktor, cukup ditambakan sekitar 1 pengotor per sejuta atom semikonduktor. Energi Fermi (Tingkat Fermi) dan Temperatur Fermi Pengisian elektron pada tingkat-tingkat energi dalam atom dimulai dari tingkat energi paling renda. Hal yang sama berlaku pada pengisian elektron pada tingkat-tingkat energi dalam padatan. Pada temperatur 0 K, elektron akan menempati tingkat-terbawa sampai tingkat-teratas sesuai dengan jumla elektron yang ada. Tingkat energi di atas tingkatteratas tersebut akan kosong karena seluru elektron tela tertampung. Tingkat energi teratas yang ditempati elektron pada 0 K ini disebut tingkat Fermi atau energi Fermi. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 6/16

Kita ingat dalam pembaasan persamaan Scrödinger untuk sumur potensial tiga dimensi L L L, energi elektron dinyatakan ole persamaan yang kita tulis kembali x sebagai (1) y z E = E x + E + E = n 8m L n + L n + L 1 n n x y n + + z = m L x L y L z Jika energi dinyatakan dalam momentum, maka akan didapatkan Dari (1) dan () kita perole y z x x y y z z p p x + p y + p z E = = () m m n n x y n L x L y L + + z p x + p y + p z = () z atau dapat dituliskan secara singkat p n i i = ± (4) Li dengan i = x, y, z. Tanda ± pada (4) secara fisik terkait dengan ara momentum yang bisa positif maupun negatif. Dalam persamaan ini p i adala komponen-komponen momentum sedangkan L i adala sisi sumur putensial tiga dimensi. Jika sumur potensial berbentuk kubus dengan rusuk L maka pi = ± ni = ± niδ (5) L dengan δ = /L yang bisa dijadikan sebagai momentum satuan. Persamaan (8.5) ini memperliatkan kuantisasi momentum dalam ruang momentum p x -p y -p z, dengan satuan ruang momentum δ = (/L), seperti digambarkan pada Gb.10. p z (1) p x δ p p y δ p z p dp p y (a) Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 7/16 (b) Gb.10. Ruang momentum, untuk p x, p y, p z positif. Kita tinjau seperdelapan ruang kulit bola dimana p i bernilai positif (p x, p y, p z bernilai positif) seperti pada Gb.10.a. Setiap posisi titik [n x δ,n y δ,n z δ] menunjukkan satu vektor momentum p; titik ini menempati ruang sebesar δ = (/L). Jika kerapatan status momentum adala N p maka dalam volume seperdelapan ruang kulit bola berjari-jari p dan tebal dp (yang ditunjukkan secara dua dimensi ole Gb.10.b) terdapat jumla status momentum sebesar volume ini dibagi dengan volume satuan ruang momentum. Jadi

dp N p (4πp / 8) dp 4πp dp 4πVp dp = = = (6) / 8L / L dengan V = L adala volume satu sumur potensial kubus. Momentum dapat dikonversikan menjadi energi dengan relasi p E = m Dengan relasi (7) ini maka (6) menjadi p = (me) 1/ dp = m(me) 1/ dan de 4πV 1/ πv N E de = (me) m(me) de = (m) πv / 1/ = (m) E de = dn (m) N E adala kerapatan status energi, dn adala jumla status dalam volume kulit bola dengan ketebalan de. Dalam relasi (8) ini massa elektron m adala massa efektif yang biasa dituliskan sebagai m *. Tentang massa efektif ini akan kita baas lebi lanjut. Dari (8) kita dapatkan kerapatan status energi πv / 1/ N E = (m) E (9) Kerapatan status energi berbanding lurus dengan akar E. Kurva N E sebagai fungsi E terliat pada Gb.11.a. 1/ E 1/ de (7) (8) N E 0 0 0 E 0 E F E (a) (b) Gb.11. Kerapatan Status Energi. tingkat energi yang terisi pada 0 o K Makin besar E kerapatan status energi makin besar. Namun tidak semua status akan terisi. Karena cara pengisian status mengikuti urutan sederana yaitu mulai dari tingkat terenda, maka jumla status yang terisi tergantung dari energi tertinggi yang dimiliki elektron. Ole karena itu timbulla pertanyaan tentang bagaimana elektron terdistribusi dalam status energi yang kerapatan statusnya dinyatakan ole (9) tersebut di atas. Pengisian Status Pada 0 o K. Pada pembaasan mengenai ikatan atom tela disebutkan bawa ikatan antar atom terjadi karena peran elektron valensi. Tingkat-tingkat energi yang tersedia dalam padatan, dengan kerapatan N E akan terisi ole elektron-elektron valensi tersebut. Pengisian elektron pada tingkat-tingkat energi yang tersedia tetap mengikuti urutan sederana yaitu bawa tingkat energi paling renda akan terisi terlebi dulu dan kemudian disusul dengan tingkat terenda berikutnya dan demikian seterusnya. Jika kita N E Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 8/16

meninjau keadaan pada 0 o K, maka setiap tingkat energi akan terisi penu sampai suatu tingkat energi tertinggi; tingkat energi di atas tingkat tertinggi ini akan kosong (tidak terisi). Energi Fermi. Tingkat energi tertinggi yang terisi pada temperatur 0 K disebut tingkat Fermi atau energi Fermi. Jadi pada temperatur 0 K, tingkat-tingkat energi yang tersedia terisi penu sampai ke tingkat energi Fermi; dan tingkat-tingkat energi di atas energi Fermi tidak terisi (kosong). Keadaan ini digambarkan pada Gb.11.b. Untuk mengitung jumla tingkat energi yang tersisi (pada 0 o K) dapat digunakan model bola seperti yang digunakan pada pengitungan kerapatan tingkat energi untuk memperole relasi (7), sebagaimana digambarkan pada Gb.10. Perbedaannya adala bawa vektor momentum untuk peritungan ini berawal dari titik asal dan berujung pada tingkat energi paling luar yang ditempati elektron. Satuan momentum diperole dari relasi de Broglie, yaitu dimana λ adala panjang gelombang. p = k = λ Kita ingat dalam pembaasan mengenai aplikasi persamaan Scrödinger bawa energi berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur potensial, L. Karena energi berbanding lurus dengan kuadrat momentum, maka momentum berbanding terbalik dengan L. Dengan demikian maka satuan ruang momentum dapat dinyatakan sebagai δ = / λ. Dengan menggunakan model bola, dapat diitung jumla status yang terisi, N, yaitu volume bola berjari-jari p dibagi dengan δ kemudian dikalikan dengan dua (4π / ) p 8πp V N = = (10) δ Faktor pada (10) diperlukan untuk memperitungkan adanya dua elektron dengan spin berlawanan dalam setiap status energi. Jika momentum pada (10) dikonversi menjadi energi dengan menggunakan relasi (7) akan diperole / / 8π(m) E V N = (11) Catatan: Relasi (11) ini dapat juga diperole melalui integrasi (8). Jika E pada (11) diganti dengan tingkat energi tertinggi yang terisi yaitu energi Fermi E F, maka akan diperole dan dari sini diperole / E F = 1 8 N πv 1 m / / / 1 N 1 N E F = = (1) 4 πv m 8m πv Inila relasi untuk mengitung energi Fermi. Dalam relasi ini N adala jumla status yang terisi, dan V adala volume sumur potensial. Jadi N/V adala jumla status yang terisi per sumur potensial. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 9/16

Estimasi teradap E F bisa dilakukan bila kita ingat bawa dalam ikatan metal atomatom metal tersusun secara rapat. Bila diameter atom metal sekitar Å, dan volume atom metal diambil pula sebagai volume sumur potensial yaitu sekitar 9 10 4 cm, maka untuk ion metal monovalen akan diperole nilai energi Fermi E F 4 ev Hasil peritungan E F untuk beberapa unsur metal diberikan dalam Tabel-1. Temperatur Fermi. Pengertian temperatur Fermi terkait dengan pengertian klasik tentang elektron dimana energi elektron dinyatakan dengan E = k T dengan 5 k B = 8,6 10 ev/k adala konstanta Boltzmann dan T e temperatur elektron dalam derajat K. Jika elektron memiliki energi sebesar E F = 4 ev maka kita dapat mengitung temperatur Fermi T F 4 / 8,6 10 5 47000 Jadi elektron dalam padatan yang berada pada tingkat energi Fermi, memiliki temperatur sangat tinggi, yaitu sekitar 50.000 o K. Penambaan energi termal pada suu kamar sekitar 00 o K ampir tak ada artinya dibandingkan dengan energi termal elektron yang berada di sekitar tingkat energi Fermi. Liat Tabel-1. Model Mekanika Gelombang Tabel-.1. Energi Fermi dan Temperatur Fermi. [1]. o K Unsur E F [ev] T F [ o K] Cu 7,0 8000 Ag 5,5 64000 Au 5,5 64000 Li 4,7 55000 Na,1 7000 K,1 4000 Rb 1,8 1000 Cs 1,5 18000 Pita-pita energi seperti kita baas di atas dapat pula kita perole dengan menerapkan karakter gelombang dari elektron. Fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawa j r pengaru medan sentral adala ψ = e k dengan k adala vektor bilangan gelombang yang seara dengan rambatan gelombang. k = π, λ : panjang gelombang (1) λ Hubungan antara energi kinetik elektron sebagai gelombang, E k, dan bilangan gelombang k diberikan ole persamaan yang suda perna kita pelajari, yaitu E k = k / m (14) Relasi seperti ini memberikan nilai E k yang beruba secara kontinyu sebagai fungsi k seperti terliat pada Gb.1. e B e Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 10/16

E k Gb.1. Kurva kontinyu: E k = k / m Kalau elektron berperilaku seperti gelombang, maka ia arus mengikuti ukum pantulan Bragg, yaitu pantulan gelombang caaya ole kisi-kisi n λ = d sin θ (15) dengan θ adala sudut antara berkas elektron yang datang dengan bidang kristal, d adala jarak antara bidang kristal, dan n adala bilangan bulat. (Gb.1). k θ d Persamaan (15) dan (1) memberikan Gb.1. Pantulan Bragg: n λ = d sin θ. nπ k = ± k (16) d sin θ Karena n bilangan bulat maka arus ada nilai-nilai k tertentu yang dapat memenui persamaan ini, di mana elektron akan dipantulkan ole bidang kristal. Hal ini tentula berlaku tidak anya untuk berkas elektron yang datang ke bidang kristal tetapi juga elektron-elektron dalam kristal, yaitu elektron valensi. Elektron valensi yang dipantulkan ole bidang kristal atau electron valensi yang tidak dapat menembus bidang kristal sama artinya dengan elektron yang tidak diperkenankan memasuki cela energi dalam model pita energi yang kita baas sebelumnya. Nilai-nilai ± k yang tidak memungkinkan elektron menembus bidang kristal memberikan batas-batas energi yang tidak dapat dimiliki ole elektron. Persamaan (14) menunjukkan bawa paling tidak ada satu seri nilai k yang akan menjadi batas cela energi. π Untuk n = 1 misalnya, kita dapatkan k 1 = yang menuju nilai minimum pada waktu d sin θ sinθ mendekati 1 dan menuju maksimum pada waktu sinθ mendekati 0. Turunan E k teradap k pada (1) memberikan E k = k / m dan untuk nilai k menuju ±k 1 kurva E k menuju konstan (mendatar); demikian juga jika k menuju 1 maka kurva E k juga menuju nilai konstan. Hal yang sama terjadi untuk n =, dan dan seterusnya. Ole karena itu kurva energi kinetik E k sebagai fungsi k pada Gb.1. arus dimodifikasi. Modifikasi dilakukan dengan Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 11/16

menambakan cela energi seperti ditunjukkan pada Gb.14; nilai energi di k 1 antara n = 1 dan n = adala cela energi. Demikian juga nilai energi di k antara n = dan n =, dan seterusnya. E k Cela energi Cela energi k k 1 +k 1 +k k Gb.14. Modifikasi kurva E k dengan adanya cela energi. Peningkatan energi kinetik di sekitar cela energi makin lambat dengan meningkatnya k dan menjadi nol pada nilai k kritis. Hal ini terkait dengan pantulan yang makin menguat pada waktu k mendekati nilai kritis. Elektron-bebas yang ditinjau di sini adala elektron valensi yaitu elektron terluar dari setiap atom; sedangkan tingkat atom individual ini tela berkembang menjadi pita energi. Sementara elektron inti tetap terikat pada inti atom, elektron valensi bergerak sepanjang kristal padatan dan sepanjang perjalanannya akan menemui sumur-sumur potensial seperti pada Gb.1. Gejala pantulan yang terjadi pada elektron tentula disebabkan ole adanya sumur-sumur potensial periodik tersebut. Di sekitar ion-ion terdapat sumur potensial yang dalam; al ini terkait dengan adanya gaya Coulomb ole ion tersebut. Ukuran sumur potensial, yaitu amplitudo rata-rata dari dinding potensial yang periodik, arusla terkait dengan lebar cela energi. Jika sumur potensial makin dalam, cela energi makin lebar. Ion-ion multivalen dalam kristal memiliki gaya tarik elektrostatik lebi besar dibanding dengan ion valensi tunggal. Jadi secara umum makin tinggi valensi ion dalam padatan akan semakin lebar cela energinya. Brillouin Zones Zona Brillouin adala representasi tiga dimensi dari nilai k yang diperkenankan. Sebagaimana tela dibaas, nilai kritis bilangan gelombang k tergantung dari sudut antara datangnya elektron dengan bidang kristal, θ. Ole karena itu dalam kristal tiga dimensi k kritis tergantung dari ara gerakan elektron relatif teradap kisi kristal, dan kemungkinan adanya susunan bidang kristal yang berbeda. Kita liat lebi dulu kasus satu dimensi. Jika jarak antar ion dalam padatan adala a, maka dari persamaan (14) kita dapatkan nilai kritis bilangan gelombang k kritis nπ = dengan n = ±1, ±, ±... (17) a Daera antara k 1 dan +k 1 disebut zona Brillouin pertama; antara +k 1 dan +k serta antara k 1 dan k disebut zona Brillouin kedua, dan seterusnya. Gb.15 memperliatkan situasi satu dimensi yang menggambarkan dua zona yang pertama. Elektron-elektron anya bisa menempati zona-zona ini. Apabila suatu zona tidak terisi penu sedangkan zona berikutnya kosong, maka situasi ini ekivalen dengan pita konduksi yang tidak terisi penu. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 1/16

E k cela energi cela energi k k 1 +k 1 +k k zona pertama zona ke-dua Gb.15. Gambaran satu dimensi Zona Brillouin pertama dan kedua. Pada kasus dua dimensi kita meliat gambaran nilai-nilai batas k pada sumbu koordinat x-y pada Gb.16.a. Karena baik bidang vertikal maupun orizontal dapat memantulkan elektron, maka kita memiliki relasi π k x n1 + k yn = ( n1 + n ) (18) a k y + π/a + π/a k z π/a π/a Zona pertama +π/a +π/a a). dua dimensi k x π/a π/a Zona kedua b) tiga dimensi Gb.16. Gambaran zona Brillouin. k x /a + / /a + /a /a + /a k y Pada kasus tiga dimensi, zona Brillouin untuk kisi kristal kubus sederana relasi (18) beruba menjadi k ( n + n ) π + (19) a x n1 k yn + k z n = 1 + n Gb.16.b. memperliatkan gambaran tiga dimensi zona Brillouin pertama pada kisi kristal kubus sederana. Zona kedua berbentuk piramida dengan dasar yang terletak pada bidangbidang sisi kubus, seperti posisi gambaran dua dimensi. Untuk kisi-kisi kristal BCC, FCC, dan HCP, dapat dilakukan peritungan serupa tetapi dengan situasi yang lebi rumit dan tidak dilakukan di sini.. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 1/16

Massa Efektif Elektron Dengan elektron dipandang sebagai gelombang, kita akan meliat bagaimana massa elektron melalui analisis pengaru medan listrik. Elektron sebagai gelombang bergerak dengan kecepatan group seperti diberikan ole persamaan yang kita tulis lagi sebagai (0) v g dω df = = π (0) dk dk di mana f adala frekuensi de Broglie dan k bilangan gelombang. Karena energi elektron adala E = f maka (0) dapat kita tulis v g π de = (1) dk Jika electron mendapat percepatan sebesar a, maka percepatan tersebut adala dv a = dt g π = d dt de π d E = dk dk Persamaan () dapat kita baca bawa percepatan elektron termanifestasikan sebagai laju perubaan bilangan gelombang serta perubaan energi seiring adanya perubaan bilangan gelombang. Jika percepatan ini timbul karena medan listrik sebesar E, maka perubaan energi dalam selang dt adala yang memberikan de = ee dx = eev dk dt Percepatan yang dialami elektron () menjadi g π dt = ee de dk dt dk dt () π = ee () 4π d E a = ee (4) dk Dalam (4) ee adala gaya yang bekerja pada elektron dan jika relasi (4) ini kita bandingkan dengan relasi klasik yang suda kita kenal yaitu F = ma, maka kita dapatkan 4π d E 1 = dk m atau / 4π m = (4) d E dk m* adala massa efektif elektron. Massa efektif ini merupakan turunan kedua energi teradap bilangan gelombang. Kita kembali pada kurva energi teradap bilangan gelombang, zona Brillouin Gb.15. yang kita gambar lagi seperti pada Gb.18. Pada Gb.18. terliat daera (selang) energi di mana de/dk cenderung menurun yang berarti d E / dk negatif; inila daera energi di mana elektron mempunyai massa efektif negatif. Daera ini berada sedikit di bawa cela energi. Di daera sedikit di atas cela energi de/dk cenderung meningkat yang berarti d E / dk positif namun dengan nilai lebi kecil dari bagian kurva yang parabolik; inila daera di mana elektron memiliki massa efektif positif yang kecil. Jadi massa efektif elektron tergantung dari energinya; elektron dengan Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 14/16

energi sedikit di bawa cela energi mempunyai massa efektif ringan sedangkan yang memiliki energi sedikit di atas pita energi memiliki massa efektif negatif. E k Cela energi massa efektif kecil massa efektif negatif Cela energi k k 1 +k 1 +k k zona pertama zona kedua Gb.18. Kurva energi teradap bilangan gelombang. Kita ingat diagram pita energi semikonduktor Gb.9. Sejumla electron yang terstimulasi termis mampu naik ke pita konduksi dan meninggalkan ole (tempat lowong) di pita valensi. Elektron yang mampu naik ke pita konduksi berada sedikit di atas cela energi. Elentron-elektron ini mempunyai massa efektif positif yang kecil. Sementara itu ole yang tertinggal di pita valensi berada sedikit di bawa cela energi. Mereka adala elektron dengan massa efektif negatif. Hole dan elektron bermassa efektif negatif adala dua pernyataan untuk satu pengertian yang sama. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 15/16

Beberapa Konstanta Fisika Kecepatan rambat caaya c,00 10 8 meter / detik Bilangan Avogadro N 0 6,0 10 molekul / mole Konstanta gas R 8, joule /(mole)( o K) Konstanta Planck 6,6 10 4 joule-detik Konstanta Boltzmann k B 1,8 10 joule / o K Permeabilitas µ 0 1,6 10 6 enry / meter Permitivitas ε 0 8,85 10 1 farad / meter Muatan elektron e 1,60 10 19 coulomb Massa elektron diam m 0 9,11 10 1 kg Magneton Bor µ B 9,9 10 4 amp-m Pustaka (berurut sesuai pemakaian) 1. Zbigniew D Jastrzebski, Te Nature And Properties Of Engineering Materials, Jon Wiley & Sons, ISBN 0-471-669-, 1987.. Daniel D Pollock, Pysical Properties of Materials for Engineers, Volume I, CRC Press, ISBN 0-849-600-6, 198. William G. Moffatt, George W. Pearsall, Jon Wulf, Te Structure and Properties of Materials, Vol. I Structure, Jon Wiley & Sons, ISBN 0 471 0685, 1979. 4. Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Fundamental University Pysics, Addison-Wesley, 197. 5. Robert M. Rose, Lawrence A. Separd, Jon Wulf, Te Structure and Properties of Materials, Vol. IV Electronic Properties, Jon Wiley & Sons, ISBN 0 471 0688 6, 1979. 6. Sudaryatno Sudiram, P. Gomes de Lima, B. Despax, C. Mayoux, Partial Syntesis of a Discarge-Effects On a Polymer Caracterized By Termal Stimulated Current makala, Conf. on Gas Disarge, Oxford, 1985. 7. Sudaryatno Sudiram, Réponse Electrique d un Polyimide Soumis à une Décarge Luminescente dans l Argon, Desertasi, UNPT, 1985. 8. Sudaryatno Sudiram, Analisis Rangkaian Listrik, Bab-1 dan Lampiran-II, Penerbit ITB 00, ISBN 979-999-54-. 9. W. Tillar Sugg, Handbook of Electrical and Electronic Insulating Materials, IEEE Press, 1995, ISBN 0-780-100-6. 10. Daniel D Pollock, Pysical Properties of Materials for Engineers, Volume III, CRC Press, ISBN 0-849-600-, 198. 11. Jere H. Bropy, Robert M. Rose, Jon Wulf, Te Structure and Properties of Materials, Vol. II Termodynamic of Structure, Jon Wiley & Sons, ISBN 0 471 0686 X, 1979. 1. L. Solymar, D. Wals, Lectures on te Electrical Properties of Materials, Oxford Scie. Publication, ISBN 0-19-85619-X, 1988. 1. Daniel D Pollock, Pysical Properties of Materials for Engineers, Volume II, CRC Press, ISBN 0-849-600-4, 198. 14. G. Bourne, C. Boussel, J.J. Moine, Cimie Organique, Cedic/ Ferdinand Natan, 198. 15. Fred W. Billmeyer, Jr, Textbook of Polymer Science, Jon Wiley & Son, 1984. Sudaryatno Sudiram, Tingkat Energi Elektron Dalam Padatan 16/16