Integrl Agus Yodi Gunwn Teknik pengintegrln.. Metode substitusi pd integrl tk tentu. Mislkn g() sutu fungsi yng terdiferensilkn. Mislkn pul F () merupkn ntiturunn dri fungsi f(). Jik u = g(), mk f(g())g ()d = f(u)du = F (u) + C = F (g()) + C.. Integrl prsil. Mislkn u() dn v() msing-msing fungsi yng terdiferensilkn. Mk, u()v ()d = u()v() 3. Integrl fungsi trigonometri. Bentuk I: sin n d, cos n d. v()u ()d. () Jik n bilngn bult positif gnjil: Integrn dituliskn sebgi perklin fungsi trigonometri berpngkt genp dn fungsi trigonometri berpngkt stu, kemudin gunkn identits sin + cos =. Contoh, cos 5 d = cos 4 cos d = ( sin ) cos d. (b) Jik n bilngn bult positif genp: Integrn disusun ulng dengn menggunkn identits cos = sin = cos. Contoh, ( ) + cos cos 4 d = d. Bentuk II: sin m cos n d. () Jik m (tu n) bilngn bult positif gnjil dn linny bilngn bult: Integrn berpngkt gnjil mengikuti turn bentuk I(). Contoh, cos 3 sin 4 d = cos sin 4 cos d = ( sin ) sin 4 cos d. (b) Jik m dn n keduny bilngn bult positif genp: Msing-msing fungsi trigonometri pd integrn disusun ulng dengn menggunkn turn bentuk I(b). Contoh, sin cos 4 d = ( ) ( ) cos + cos d.
Bentuk III: Gunkn identits: sin m cos n d, sin m sin n d, cos m cos n d. () sin m cos n = [sin(m + n) + sin(m n)]. (b) sin m sin n = [cos(m + n) cos(m n)]. (c) cos m cos n = [cos(m + n) + cos(m n)]. Bentuk IV: tn m d, cot m d. Integrn disusun ulng sehingg memut slh stuny bentuk tn (tu cot ), kemudin gunkn identits +tn = sec tu +cot = csc sehingg integrn yng bru mengndung suku sec (tu csc ). Contoh, cot 4 d = cot (csc ) d tn 4 d = tn (sec ) d Bentuk V: tn m sec n d, cot m csc n d. () Jik n bilngn bult positif genp: Integrn dituliskn sebgi perklin fungsi-fungsi yng slh stuny memut bentuk sec, kemudin gunkn identits sec = + tn. Contoh, (tn 3/ ) sec 4 d = (tn 3/ ) ( + tn ) sec d. (b) Jik m bilngn bult positif gnjil: Integrn dituliskn sebgi perklin fungsi-fungsi yng slh stuny memut bentuk sec tn, kemudin gunkn identits sec = + tn. Contoh, (tn 3 ) sec / d = (tn ) (sec 3/ ) sec tn d. 4. Integrn yng memut kr. Bentuk n + b. Gunkn substitusi u = n + b untuk menghilngkn bentuk kr. Contoh 5 ( + ) d = (u 5 )u 5u 4 du, dimn u = 5 + dn d = 5u 4 du. Bentuk, +, dn. Gunkn substitusi berikut untuk menghilngkn bentuk kr,
= sin t, π/ t π/ + = tn t, π/ < t < π/ = sec t, t π, t π/ Pembtsn nili t dimksudkn gr fungsi trigonometri di ts memiliki invers, sehingg kit dpt menytkn kembli hsil integrl dlm peubh. Selin itu, untuk menytkn hsil dri peubh t ke peubh bisny digunkn pul turn fungsi trigonometri pd sebuh segitig siku-siku. 5. Integrn berup fungsi rsionl. Fungsi rsionl dlh fungsi yng dibentuk sebgi hsil pembgin du buh sukubnyk. Jik derjt sukubnyk pd pembilng lebih kecil dri derjt sukubnyk pd penyebutny, mk fungsi rsionl diktkn fungsi rsionl sejti. Ggsn: setip fungsi rsionl sejti dpt dituliskn (didekomposisi) sebgi penjumlhn fungsi-fungsi rsionl sejti sederhn. Fungsi rsionl sejti sederhn mempunyi penyebut berup sukubnyk liner tu sukubnyk kudrtik yng tidk memiliki kr rel (disebut sukubnyk kudrtik tk tereduksi). Untuk mendekomposisi sutu fungsi rsionl f() = p()/q(), proses yng dilkukn dlh sebgi berikut: () Jik derjt p() (pembilng dri f()) lebih besr tu sm dengn derjt q() (penyebut dri f()), mk p() dibgi q() menghsilkn pembgin dengn sis sehingg diperoleh f() = sutu sukubnyk + N() D(). Sekrng N()/D() merupkn sukubnyk sejti. (b) Fktorkn D() menjdi perklin fktor liner dn fktor kudrtik tk tereduksi dengn koefisienny bilngn rel. (c) Untuk setip fktor berbentuk ( + b) k, pilih dekomposisiny berbentuk A ( + b) + A ( + b) + + A k ( + b). k (d) Untuk setip fktor berbentuk kudrtik tk tereduksi ( + b + c) m, pilih dekomposisiny berbentuk B + C ( + b + c) + B + C ( + b + c) + + B m + C m ( + b + c). m (e) Tuliskn N()/D() sebgi penjumlhn semu suku-suku yng diperoleh dri (c) dn (d). Bnykny koefisien yng kn ditentukn hrus sm dengn besrny derjt sukubnyk D(). 3
(f) Lkukn perklin oleh D() terhdp kedu rus persmn yng diperoleh di (e), kemudin tentukn nili koefisien-koefisien dengn cr: (i) menymkn koefisien setip derjt yng bersesuin, tu (ii) mensubstitusikn nili tertentu untuk peubh. Contoh: Dekomposisikn f() = 5 + 4 + 3 + + +. 4 + 3 + + + Proses yng dikerjkn: () Diperoleh f() = + 4 + 3 + + +. (b) Tulis D() = 3 + + + = ( + ) ( + ). A (c) Untuk fktor liner, tulis + + A ( + ). (d) Untuk fktor kudrtik tk tereduksi, tulis B + C +. (e) Diperoleh 4 + 3 + + + = A + + A ( + ) +B + C +. Sukubnyk D() berderjt 4, koefisien yng kn ditentukn: A, A, B dn C. (f) Diperoleh = A ( + )( + ) + A ( + ) + (B + C )( + ). Dengn cr (ii): Untuk = diperoleh A = /. Untuk = diperoleh = A + / + C. Untuk = diperoleh = 4A + + 4(B + C ). Untuk = diperoleh = 5A + 5/ + ( B + C ). Akhirny diperoleh A = /, B = /, C =. Ltihn. Hitung integrl berikut: π/ sin 6 + cos d, e e d, e + e d, 6 + 6 tn sec 4 d.. Hitung π sin + cos d (gunkn substitusi u = π). 3. Mislkn R derh tertutup yng dibtsi oleh y = sin, y = cos, dn π/4 3π/4. Hitung volume bend putr jik R diputr dengn sumbu putr = π/4. 4. Hitung integrl berikut: t rctn t dt, ln d, cos(ln ) d, (ln ) 4 d, ln d. 4
5. Gunkn teknik integrl prsil untuk menunjukkn formul reduksi berikut: () α e β d = α e β α α e β d. β β (b) α cos β d = α sin β α α sin β d. β β (c) (ln ) α d = (ln ) α α (ln ) α d. 6. Jik f () kontinu di [ π, π], gunkn integrl prsil untuk menunjukkn bhw n π π π f() sin n d =. 7. Mislkn G n = n (n + )(n + ) (n + n). Buktikn n (G n /n) = 4/e (tinju ln(g n /n), kenli mslh ini sebgi mslh jumlh Riemnn). 8. Hitung integrl berikut: π/ sin 6 t dt, (sin 3 t) cos t dt, tn 3 t sec 4 t dt, 9. Mislkn f() = sin + sin + + K sin k. () Hitung π π (b) Buktikn π π π tn 3 t sec / t dt f() sin m d (perhtikn untuk m K dn m > K). π f () d = + + + k.. Buktikn n cos(/) cos(/4) cos(/ n ) = (sin )/, dengn mengerjkn lngkhlngkh berikut: () cos(/) cos(/4) cos(/ n ) = [cos(/ n ) cos(3/ n ) cos(( n )/ n )]/( n ). (b) Kenli mslh ini sebgi mslh jumlh Riemnn, kemudin hitung integrl tentuny.. Derh R dlh derh tertutup yng dibtsi oleh y = sin, =, = π, dn y = k, k. Derh R tersebut kemudin diputr dengn sumbu putr y = k. Tentukn k sehingg volume bend putrny: () minimum, (b) mksimum.. Hitung integrl berikut: π d, π π + d, d, 4 + + + d, 6 + 8 d 5
3. Dekomposisikn fungsi rsionl berikut, tnp menghitung koefisien-koefisienny: f() = 3 4 ( + ), f() = 3 + 3 ( + + ), f() = ( + ) ( ) ( + ) 4. Hitung integrl berikut: 3 + + 5 + 6 d, + 9 + d, 4 + 5 3 5 3 + 3 + 4 + 3 d, π/4 cos ( sin )( + sin ) d 5. Hitung volume bend pdt yng terbentuk jik derh tertutup yng dibtsi oleh sumbu dn y = 4 diputr sepnjng sumbu y. 6. (Optionl) Hitung pnjng kurv y = /6, 4. 7. Sol tmbhn dri buku Clculus 9th edition, D. Vrberg et l, Person int l edition (7): () Problem set 7.: no. 74. (b) Problem set 7.4: no. 3, 33, 34, 35. (c) Problem set 7.5: no. 49 sd 54. Bentuk tk tentu dn integrl tk wjr. Aturn L Hôpitl untuk bentuk /. Mislkn f() = = g(). Jik c c [f ()/g ()] d (dlm rti hingg tu (+ ), mk c f() c g() = f () c g ().. Aturn L Hôpitl untuk bentuk /. Mislkn f() = = g(). c c Jik [f ()/g ()] d (dlm rti hingg tu (+ ), mk c f() c g() = f () c g (). 3. Bentuk tk tentu linny:,. Ggsnny: mentrnsformsikn bentuk tersebut menjdi bentuk tk tentu / tu /, kemudin menerpkn turn L Hôpitl pd bentuk tk tentu ini. Contoh: tn ln(sin ) = π/ π/ ln(sin ) cot, + ln = ln + + ( ) ln. 6
4. Integrl dengn bts tk hingg. Integrl tk wjr dri fungsi f() dengn slh stu bts integrlny tk hingg didefinisikn oleh b f() d = b f() d b f() d = f() d b Jik nili itny d dn bernili hingg, mk integrl tk wjr ini diktkn konvergen ke nili tersebut. Jik itny tidk d, mk integrl tk wjr ini diktkn divergen. Jik c f() d konvergen dn f() d dn c f() d = f() d msing-msing konvergen, mk c f() d + f() d. c 5. Integrl dengn integrnny bernili tk hingg. Mislkn f() kontinu di selng [, b) dn mislkn f() =. Mk b b f() d = t b t f() d slkn nili itny d dn hingg (integrl tersebut diktkn konvergen). Mislkn f() kontinu di [, b] keculi di titik c, < c < b dimn f() =. c Mk b f() d = c f() d + b c f() d slkn msing-msing integrl di rus knn konvergen. 6. Contoh penggunn integrl tk wjr. Fungsi Pdt Pelung f() (FPP) dri sutu peubh ck kontinu X mempunyi sift () f(), (b) f() d =. Dengn mengethui FPP dri sutu peubh ck mk pelung sutu kejdinny dpt ditentukn mellui proses pengintegrln. Nili pelung ini bis disjikn dlm bentuk Fungsi Distribusi Kumultif F () = P (X ) (FDK), yitu, < ; F () = P (X ) = f(t) dt,. 7
Nili rtn µ dn vrinsi σ dri peubh ck ditentukn oleh µ = E(X) = f() d σ = V (X) = ( µ) f() d Vrinsi σ dpt dihitung pul mellui σ = E(X ) µ. Ltihn. Hitung it berikut: ln(sin ) 3 π/ + π/,. Hitung: + sin t dt e ln( + ),, + t cos t dt 7 +, sin + tn e + e 3. Problem set 8.: no. 7, 8 [Clculus 9th edition, D. Vrberg et l]. 4. Mislkn ln f() = ; c, =. Tentukn nili c gr f() kontinu di =. 5. Tentukn nili konstnt, b, dn c sehingg 4 + b 3 + ( ) sin π = c. 6. Hitung: (sin ) cos, π/ ( + (, ) ), ln + sin t dt. 7. Mislkn c, c,, c n konstnt-konstnt positif dengn c + c + + c n =. Mislkn pul,,, n bilngn-bilngn positif. Buktikn ( n. t + j= c j t j) /t = c c cn n 8. Hitung e ln d, e d, d ( + 6), e d, e e + d 9. Hitung lus derh di bwh kurv y = /( +) dn di sebelh knn gris =. 8
. Hitung 3 3 d 9, 3 d ln( ), 4 d, 4 π/ d +, tn (ln cos ) d π/3. Perlihtkn bhw fungsi-fungsi berikut sebuh FPP, kemudin cri nili rtn µ, vrinsi σ, dn FDK-ny. { λe λ, ; () λ > dn f() =, linny. Fungsi ini merupkn PDF dri distribusi eksponensil yng bis digunkn untuk model wktu hidup sutu komponen meknik/elektrik. (b) f() = b, < < b;, tu b. Fungsi ini merupkn PDF dri distribusi uniform/sergm. β ( ) β e (/θ) β, > ; (c) β > dn f() = θ θ,. Fungsi ini merupkn PDF dri distribusi Weibull yng bis digunkn untuk model wktu hidup sutu komponen meknik/elektrik.. Dikethui PDF Preto mempunyi bentuk CM k, M; f() = k+, < M. dimn k dn M msing-msing konstnt positif. () Tentukn nili C gr f() sutu PDF. (b) Untuk nili C tersebut, tentukn kebergntungn µ terhdp k. (c) Untuk nili C tersebut, tentukn kebergntungn σ terhdp k 3. Berdsrkn teori elektromgnetik, potensil mgnetik u di sutu titik pd sumbu sutu kumprn melingkr diberikn oleh u = αβ d (β + ) 3/, dimn α, β, dn sutu konstnt. Hitung u. 4. Perhtikn sutu kwt yng sngt pnjng yng berhimpit dengn sumbu positif, dengn rpt mss δ() = ( + ). Hitung totl mss kwt, kemudin tentukn pust mssny (jik d). 9