UNIVERSITAS INDONESIA LINTASAN BEBAS RATA-RATA NEUTRINO DI BINTANG QUARK SKRIPSI SAIPUDIN 0706262741

UNIVERSITAS INDONESIA LINTASAN BEBAS RATA-RATA NEUTRINO DI BINTANG QUARK SKRIPSI SAIPUDIN 0706262741 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA DEPOK NOPEMBER 2012

UNIVERSITAS INDONESIA LINTASAN BEBAS RATA-RATA NEUTRINO DI BINTANG QUARK SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana SAIPUDIN 0706262741 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA DEPOK NOPEMBER 2012

LEMBAR PENGESAHAN DRAFT SKRIPSI Nama : Saipudin NPM : 0706262741 Program Studi : S1 Reguler Fisika Judul : Lintasan Bebas Rata-rata Neutrino di Bintang Quark Pembimbing : Dr. Anto Sulaksono Draft skripsi ini telah diperiksa dan disetujui oleh: Pembimbing (Dr. Anto Sulaksono)

ABSTRAK Nama Program Studi Judul Skripsi : Saipudin : S1 Reguler Fisika : Lintasan Bebas Rata-rata Neutrino di Bintang Quark Hamburan neutrino dengan materi bintang quark melalui interaksi lemah arus netral telah dipelajari. Untuk menjelaskan keadaan materi quark, digunakan model bag MIT. Struktur bintang quark dapat dipelajari dengan memasukkan persamaan keadaan bintang quark kedalam persamaan TOV. Dalam tulisan ini kami mempelajari penampang lintang differensial dan lintasan bebas rata-rata neutrino. Perhitungan dilakukan menggunakan dua metode; Pertama dengan memperhatikan hamburan N-body sebagai N kali hamburan dua partikel, Kedua dengan memperlakukan efek banyak benda dengan baik dalam hamburan N-body. Kedua pendekatan dipelajari dan dibandingkan pada kasus temperatur nol. Untuk pendekatan pertama, interaksi didominasi oleh quark down, sedangkan untuk pendekatan kedua quark down dan quark strange memberikan kontribusi yang sama. Lintasan bebas ratarata neutrino menurun dengan meningkatnya kerapatan, temperatur dan energi awal neutrino. Untuk kasus temperatur berhingga, terdapat beberapa faktor yang perlu diperhatikan, seperti; faktor retardasi, Pauli blocking dan detailed balancing. Pauli blocking dan detailed balancing secara signifikan mengurangi nilai lintasan bebas rata-rata neutrino. Sedangkan faktor retardasi menunjukkan sifat yang tidak biasa dari lintasan bebas rata-rata neutrino-quark strange. Selain itu, efek penangkapan neutrino secara signifikan menyebabkan fraksi elektron meningkat. Kontribusi elektron menurunkan lintasan bebas rata-rata neutrino. Lebih lanjut, perhitungan lintasan bebas rata-rata neutrino dari pusat bintang quark hingga ke permukaan bintang semakin meningkat. Kata kunci: Neutrino, materi quark, model bag MIT, Persamaan TOV, retardasi, Pauli blocking, detailed balancing i Universitas Indonesia

ABSTRACT Name Program of Study Title : Saipudin : Undergraduate Program in Physics : Neutrino Mean Free Path in Quark Star The scattering of neutrino with quark star matter through neutral current weak interaction is studied. To describe the quark matter state, MIT bag model is used. The quark star structures can be studied by inserted the quark star equation of state into TOV equation. Here we study the neutrino differential cross section and mean free path. The calculation is performed by using two method; First by considering N-body scattering as N times two body scattering, Second by treating the many body effect properly in N-body scattering. Both approach are compared and studied for the case zero temperature, where we have found that for the first approach, interaction are dominated by the one from down quark, while the second approach the down and strange quarks provide similar contribution. Neutrino mean free path decreases with increasing density, temperature and initial energy neutrino. For finite temperatur case are several factors should be considered, i.e, retardation, Pauli blocking and detailed balancing factors. Pauli blocking and detailed balancing significantly reduce the value of the neutrino mean free path. While the retardation factor indicates unusual behavior of neutrino-strange quark mean free path. In addition, the effect of neutrino trapping is significantly increased the fraction of electrons. Contribution of electrons reduces the value neutrino matter mean free path. There for, the calculations of neutrino mean free path from the center of quark star to the stellar surface increases. Keywords: Neutrino, quark matter, MIT bag model, TOV equation, retardation, Pauli blocking, detailed balancing ii Universitas Indonesia

DAFTAR ISI ABSTRAK DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR Daftar Tabel i i iii iv 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang.............................. 1 1.2 Perumusan masalah........................... 2 1.3 Metode Penelitian............................ 3 1.4 Tujuan Penelitian............................. 3 2 LANDASAN TEORI 4 2.1 Persamaan Keadaan Materi Quark................... 4 2.1.1 Model bag MIT.......................... 4 2.1.2 Persamaan TOV......................... 8 2.2 Hamburan Neutrino dengan Materi di Bintang Quark........ 9 2.2.1 Kasus Temperatur Nol...................... 11 2.2.2 Kasus Temperatur Berhingga.................. 16 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 20 3.1 Temperatur Nol.............................. 20 3.2 Temperatur Berhingga.......................... 24 3.2.1 Tanpa Neutrino Trapping.................... 24 3.2.2 Neutrino Trapping........................ 28 4 KESIMPULAN 32 A HAMBURAN NEUTRINO DENGAN QUARK 34 DAFTAR ACUAN 39 i Universitas Indonesia

DAFTAR GAMBAR 2.1 Diagram Feynman untuk ν l + B 2 l + B 4, simbol B i dan l secara berturut-turut menunjukkan baryons dan leptons. P i momentumempat partikel dan q µ = (q 0, q) adalah momentum-empat transfer; (a) reaksi penyerapan dan (b) reaksi hamburan.[22].......... 9 2.2 (a) Definisi variabel-variabel Mandelstam s, t, u pada proses hamburan dua partikel[24], (b) Proses hamburan neutrino-quark....... 12 3.1 Fraksi setiap quark pada temperatur nol[6]............... 21 3.2 Perbandingan lintasan bebas rata-rata neutrino hasil kontribusi tiap konstituen quark pada temperatur nol dengan energi awal neutrino E ν = 5 MeV;(a) Lintasan bebas rata-rata dengan asumsi hamburan dua partikel, (b) Lintasan bebas rata-rata dengan memperhatikan struktur materi di bintang quark..................... 21 3.3 Perbandingan lintasan bebas rata-rata neutrino untuk masing-masing metode yang digunakan, energi awal neutrino E ν = 5 MeV; λ A untuk metode hamburan dengan pendekatan N kali hamburan dua partikel dan λ B untuk metode hamburan dengan memperhatikan efek banyak benda dari struktur suatu materi..................... 22 3.4 Perbandingan lintasan bebas rata-rata neutrino untuk variasi energi awal neutrio; (a) Metode hamburan dengan pendekatan N kali hamburan dua partikel, (b) Metode hamburan dengan memperhatikan efek banyak benda dari struktur suatu materi.............. 23 3.5 Perbandingan fraksi setiap konstituen pada T = 50 MeV dan T = 60 MeV. Biru = quark down, merah = quark up, hijau = quark strange, hitam = elektron dan coklat = muon[6]................. 25 3.6 Perbandingan lintasan bebas rata-rata neutrino dengan masing-masing konstituen quark, pada energi awal neutrino, E ν = 5 MeV: (a) Untuk temperatur 50 MeV dan (b) Untuk temperatur 60 MeV........ 25 3.7 Lintasan bebas rata-rata neutrino untuk berbagai temperatur.... 26 3.8 Lintasan bebas rata-rata neutrino hasil kontribusi quark strange untuk berbagai faktor yang terlibat, energi awal neutrino E ν = 5 MeV. FDB = Faktor Detailed Balancing, FPB = Faktor Pauli Blocking dan FR = Faktor Retardasi (Retarded Polarization)............... 27 ii Universitas Indonesia

3.9 Perbandingan lintasan bebas rata-rata neutrino untuk kasus tanpa neutrino trapping (Y νe = 0) dan untuk adanya neutrino trapping (Y Le = 0.4), pada E ν = 5 MeV...................... 28 3.10 Perbandingan fraksi untuk setiap konstituen pada T = 50 MeV; (a) Y νe = 0, (b) Y Le = 0.4. Merah = quark up, biru = quark down, hijau = quark strange, hitam = elektron, cokelat = muon, emas = neutrino elektron[6]. Perbadingan lintasan bebas rata-rata, T = 50 MeV, E ν = 5 MeV; (c) Y νe = 0, (d) Y Le = 0.4.............. 29 3.11 Perbandingan lintasan bebas rata-rata neutrino terhadap jari-jari bintang quark untuk Y νe = 0 dan Y Le = 0.4, pada E ν = 5 MeV, B 1/4 = 145 MeV dan P C = 300 MeV.................. 31 3.12 Perbandingan lintasan bebas rata-rata neutrino terhadap jari-jari bintang quark, pada E ν = 5 MeV, B 1/4 = 145 MeV dan P C = 300 MeV; (a) Y νe = 0, (b) Y Le = 0.4......................... 31 iii Universitas Indonesia

DAFTAR TABEL 2.1 Massa quark, muatan, dan bilangan barionnya[6]............ 5 2.2 Konstanta kopling vektor dan aksial-vektor arus netral untuk quark dan elektron pada semua jenis neutrino, termasuk antineutrino; θ W merupakan sudut Weinberg (sin θ W = 0.231) [16]............ 10 iv Universitas Indonesia

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bintang neutron terbentuk dari sisa hasil ledakan supernova, bintang neutron mempunyai massa 1-2M, jari-jari sekitar 10 km dan orde temperatur 10 11 K pada awal pembentukannya, kemudian mengalami pendinginan dalam beberapa hari hingga temperatur menjadi sekitar 10 10 K dengan mengemisikan neutrino. Dalam model konvensional, bintang neutron disusun oleh hadron, secara dominan tersusun oleh neutron terdegenerasi (degenerate neutrons) dengan campuran proton dan degenerate electrons. Model dimana bagian dalam dari sebuah bintang tersusun oleh materi strange (strange matter) dikenal dengan bintang strange. Bagaimanapun, karena strangeness bergantung pada model yang digunakan untuk menjelaskan materi quark (quark matter), orang lebih suka menggambarkan sembarang model dimana bagian dalam bintang melibatkan materi quark yang tidak terkurung (deconfined quarks matter) sebagai bintang quark. Bintang quark mempunyai lapisan tipis pada permukaannya yang tersusun oleh lepton, didominasi oleh elektron, hal ini dibutuhkan untuk menjamin netralitas muatan.[1]. Memahami detail bagaimana bintang quark terbentuk merupakan hal yang dibutuhkan untuk memberikan kesimpulan yang valid tentang sifat bintang tersebut. Evolusi bintang quark mempunyai proses yang hampir sama dengan bintang strange, hipotesis evolusi bintang strange yang mungkin, seperti pada Ref.[2] yaitu melalui proses: (1) Sebuah ledakan supernova menciptakan bintang neutron dengan kerapatan pusat cukup tinggi untuk menghasilkan deconfined quark matter. (2) Dalam rangka untuk menjamin keseimbangan beta (β - equlibrium), quark strange terbentuk melalui interaksi lemah. (3) Quark strange tersebut, karena kestabilannya, menyebabkan materi nuklir mendekati transisi phase untuk mengubahnya menjadi materi quark strange. (4) Proses pembentukan materi quark strange terus berlangsung dari pusat bintang mengalir keluar menuju permukaan bintang. Dalam permodelan bintang, struktur dari suatu bintang bergantung pada asumsi persamaan keadaan, relasi antara tekanan dan kerapatan energi, yang digunakan dan berbeda untuk masing-masing kasus, bersamaan dengan persamaan Tolman- Oppenheimer-Volkov (TOV) untuk mendapatkan relasi antara massa dengan jarijari pada compact star. Persamaan keadaan materi quark memainkan peranan penting untuk menentukan struktur bintang pada temperatur dan kerapatan tinggi. Untuk menyelidiki sifat dan struktur bintang tersebut, orang telah mengembangkan 1 Universitas Indonesia

berbagai macam model. Quantum chromodynamics (QCD) menjadi dasar teoritis yang digunakan dalam model-model tersebut. Namun, sampai saat ini masih belum memungkinkan untuk memperoleh persamaan keadaan materi quark secara pasti berdasarkan prinsip-prinsip Quantum chromodynamics. Jadi, orang mencoba menemukan metode pendekatan yang memasukkan prinsip-prinsip dasar tersebut. Sebagai contoh, model bag MIT, model Nambu-Jona-Lasinio (NJL), dan model perturbative QCD. Model-model tersebut menggunakan beberapa prinsip dasar QCD, contohnya; model bag MIT menggunakan mekanisme kurungan quark (quark confinement)[3], model NJL dapat menjelaskan dinamika chiral symmetry breaking dari QCD[4], sedangkan model perturbative QCD berlaku dengan baik pada skala energi tinggi yang disebabkan oleh asymptotic freedom[5]. Penelitian bintang quark telah banyak dilakukan orang dengan menggunakan model-model tersebut. Salah satunya pada Ref.[6] penelitian dilakukan dengan menggunakan model yang lebih sederhana yaitu model bag MIT, dengan batasan bahwa persamaan keadaan bintang quark hanya pada keadaan fase murni quark, tidak dalam keadaan fase campuran, dan menganggap bintang quark memiliki crust yang sangat tipis sehingga efek crust diabaikan. Berdasarkan penelitian tersebut, penulis mencoba mempelajari kembali hasil-hasil yang telah didapat dan mengembangkannya untuk mengetahui interaksi-interaksi yang terjadi di bintang quark. Observabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah penampang lintang diferensial atau lintasan bebas rata-rata neutrino, serta memperhatikan kasus neutrino tidak terperangkap (temperatur nol) maupun yang terperangkap (temperatur berhingga). 1.2 Perumusan masalah Mengetahui struktur bintang quark merupakan langkah awal yang diperlukan untuk menghitung penampang lintang diferensial ataupun lintasan bebas rata-rata neutrino. Dengan diketahuinya struktur bintang, maka fraksi atau konsentrasi dari setiap partikel penyusun bintang dapat ditentukan dengan jelas. Hal ini disebabkan fraksi dari setiap partikel sangat mempengaruhi besaran observabel tersebut. Persamaan keadaan materi quark, diperoleh dari model yang digunakan, memberikan informasi-informasi tersebut termasuk kerapatan energi, tekanan, dan kerapatan quark. Sedangkan ukuran bintang, massa dan jari-jari, dapat ditentukan dari persamaan TOV dengan parameter input yang telah diketahui sebelumnya dalam persamaan keadaan materi quark. Faktor lain yang mempengaruhi perhitungan lintasan bebas rata-rata neutrino adalah temperatur. Efek temperatur memiliki pengaruh pada peristiwa penangkapan neutrino (neutrino trapping), sehingga persamaan keadaan mengalami perubahan dikarenakan adanya neutrino yang 2 Universitas Indonesia

terperangkap dalam materi. Hal ini mengindikasikan bahwa penambahan neutrino dalam materi menyebabkan kerapatan materi berubah, fraksi setiap partikel berubah. Dengan demikian lintasan bebas rata-rata neutrino juga mengalami perubahan. 1.3 Metode Penelitian Penelitian ini bersifat teoritik, perhitungan lintasan bebas rata-rata neutrino dilakukan dengan dua cara, analitik dan numerik. Dalam perhitungan analitik, menentukan terlebih dahulu matriks transisi yang terkait dengan proses interaksi. Matriks transisi yang telah diperoleh kemudian dikuadratkan (mengalikan dengan conjugate) untuk memperoleh probabilitas interaksi. Penampang lintang diferensial sebanding dengan probabilitas transisi. Selanjutnya, lintasan bebas rata-rata dapat dihitung yang besarnya berbanding terbalik dengan penampang lintang total. Sedangkan dalam perhitungan numerik, rumusan penampang lintang diferensial yang telah diperoleh sebelumnya dalam perhitungan analitik, dimasukkan kedalam program menggunakan perangkat lunak Fortran 90/95. Untuk melakukan penghitungan lintasan bebas rata-rata, program tersebut dijalankan dengan parameter input seperti; massa partikel, temperatur, energi awal neutrino dan potensial kimia dari partikel yang berinteraksi. 1.4 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari kembali sifat dan struktur bintang quark dengan menggunakan model bag MIT pada penelitian sebelumnya, dan mengembangkannya untuk mengetahui interaksi-interaksi yang terjadi di bintang tersebut. Observabel yang digunakan adalah penampang lintang diferensial atau lintasan bebas rata-rata neutrino. Faktor-faktor yang mempengaruhi besaran observabel tersebut, fraksi atau konsetrasi dari setiap partikel penyusun, serta temperatur pada sistem untuk kasus neutrino tidak terperangkap maupun yang terperangkap akan dianalisis. 3 Universitas Indonesia

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Keadaan Materi Quark Bintang quark merupakan bintang pada keadaan murni quark, hal ini dimungkinkan karena ketika materi nuklir dalam bintang neutron berada pada kondisi tekanan yang sangat besar, materi nuklir diperkirakan menuju phase transisi ke keadaan materi quark yang tidak terkurung (deconfined quark matter) [7]. Persamaan keadaan materi quark memainkan peranan penting untuk menentukan struktur bintang pada temperatur dan kerapatan tinggi. Persamaan keadaan akan memberikan hubungan energi, kerapatan dan tekanan sebagai suatu fungsi untuk berbagai temperatur yang relevan pada kasus tertentu, yang dapat diperoleh dari model yang digunakan dengan relasi termodinamika. Model bag MIT menjadi dasar permodelan dalam penelitian ini, untuk mempelajari sifat-sifat dari materi quark, khusunya dalam bintang quark, melalui beberapa pendekatan-pendekatan pada penelitian sebelumnya, yang terdapat pada Ref.[6]. 2.1.1 Model bag MIT Model bag MIT didasari pada fenomena kurungan (confinement), model ini banyak digunakan untuk menggambarkan materi quark-gluon pada temperatur dan kerapatan tinggi. Pada model bag MIT, hadron terdiri dari quark bebas yang terkurung dalam ruang terbatas yang disebut bag [8]. Model bag MIT menganggap massa quark konstan, dapat dilihat pada Tabel 2.1, dan quark terkurung didalam wilayah atau kurungan terbatas, yang besarnya diparameterisasi oleh suatu konstanta fenomenologis, yang disebut konstanta bag B, sehingga semua informasi yang belum diketahui mengenai sistem quark, seperti interaksi antar quark, tersimpan didalam konstanta bag tersebut[6]. Fenomena kurungan merupakan hasil dari keseimbangan tekanan pada dinding bag yang berasal dari luar dan tekanan dari energi kinetik quark yang berada didalam bag [9]. p + B = f ɛ = f p f, ɛ f + B, (2.1) 4 Universitas Indonesia

Nama Massa (MeV) q(muatan) bilangan barion u 5 2/3 1/3 d 7-1/3 1/3 s 150-1/3 1/3 Tabel 2.1: Massa quark, muatan, dan bilangan barionnya[6]. konstanta B menunjukkan tekanan bag, 145 MeV< B 1/4 < 162 MeV[10], dan p merupakan tekanan luar sedangkan f p f menunjukkan tekanan quark. Dengan menggunakan relasi termodinamika yang diperoleh dari model gas Fermi, kerapatan energi, tekanan, dan kerapatan quark dapat dinyatakan, secara berturut-turut, oleh ɛ f f = f p f f = f ρ f f = f γ f (2π) 3 γ f 1 3 (2π) 3 γ f 1 3 (2π) 3 0 0 0 d 3 k k 2 + m 2 f (f + + f ), d 3 k k 2 k 2 + m 2 f (f + + f ), d 3 k(f + f ), (2.2) dimana f menyatakan flavor quark sedangkan γ f menyatakan faktor degeneracy quark, γ f = 6, 3 untuk jumlah colours dan 2 untuk spin degeneracy. Fungsi distribusi untuk quark (f + ) dan anti-quark (f ) adalah distribusi Fermi f ± = 1/(1 + exp{[e(k) µ f ]/T }), dengan E(k) = (k 2 + m 2 f )1/2 dan µ f ( µ f ) merupakan potensial kimia quark (antiquark). Sistem dalam suatu bintang diperlukan suatu konfigurasi keseimbangan yang terdiri dari netralitas muatan dan keseimbangan potensial kimia, yang disebut dengan (β - equlibrium). Netralitas muatan terpenuhi jika q f ρ f f l q l ρ l = 0, (2.3) dengan l menyatakan lepton dan keseimbangan potensial kimia dari quark [11] µ u = 1 [ ] µ n 2(µ e µ νe ), 3 µ d = µ s = 1 [ ] µ n + (µ e µ νe ), (2.4) 3 Persamaan-persamaan tersebut berlaku untuk temperatur tidak nol. Pada saat temperatur cukup tinggi, lintasan bebas rata-rata dari neutrino akan lebih kecil 5 Universitas Indonesia

dibandingkan radius bintang, sehingga terjadi proses penangkapan neutrino (neutrino trapping) [12]. Apabila terjadi penangkapan neutrino maka Y Le = Y e + Y νe = 0.4, Y Lµ = Y µ + Y νµ = 0, µ e ν e = µ µ ν µ. (2.5) Komposisi materi ketika terjadi penangkapan neutrino, secara signifikan berubah, yang disebabkan karena Y Le 0.4 [13]. Jika persamaan (2.2) diselesaikan dengan menganggap semua massa quark dan lepton nol, maka akan diperoleh hubungan antara tekanan dengan energi total sistem ɛ = 3p + 4B. (2.6) Persamaan (2.6) menunjukkan linearitas antara tekanan dengan kerapatan energi pada kemiringan 3 dan konstanta 4B, detail perhitungan terdapat dalam Ref.[6]. Pada saat temperatur T = 0 relasi persamaan termodinamika dapat ditentukan dengan menghilangkan kontribusi antipartikel, dan fungsi distribusi Fermi menjadi fungsi theta (step function), dengan demikian batas integrasi berubah menjadi momentum Fermi k F. Sehingga pesamaan (2.2) menjadi ɛ f = f f = f p f = f f = f γ f kf 0 γ f 2π 2 1 4 1 2 m4 f ln ( γ f 3 kf 0 γ f 6π 2 1 4 + 3 2 m4 f ln ( d 3 k (2π) 3 E(k) = f [ k F (k 2 F + m 2 f )3/2 1 2 m2 f k F k 2 F + m2 f + k F m f γ kf f 2π 2 dkk 2 k 2 + m 2 f 0 )], d 3 k k 2 (2π) 3 = k 2 + m 2 f f [ kf 3 kf 2 + m2 f 3 2 m2 f k F k 2 F + m2 f + k F m f )]. k 2 F + m2 f γ f 1 3 2π 2 kf 0 k 2 F + m2 f dk k 4 k 2 + m 2 f (2.7) Pada proses pendinginan bintang, lintasan bebas rata-rata dari neutrino semakin besar dibandingkan radius bintang, maka pada T = 0, neutrino dianggap tidak terperangkap, ν e = 0 [6], sehingga persamaan (2.4) menjadi 6 Universitas Indonesia

µ u = µ n 2µ e, 3 µ d = µ s = µ n + µ e, (2.8) 3 sedangkan netralitas muatan untuk T = 0, sesuai dengan persamaan (2.3), maka f ( k 3 ) f q f π 2 k3 e 3π 2 k3 µ = 0, (2.9) 3π2 untuk pendekatan analitik, m u = m d = m e = 0, dan kontribusi muon diabaikan pada persamaan keadaannya, maka diperoleh dengan µ e = m 2 s 4µ = 3m2 s 4µ n, (2.10) µ = (µ u + µ d + µ s ), 3 dari hasil yang diperoleh pada persamaan (2.6) dan (2.8), maka momentum Fermi setiap quark k u = µ u = µ 2µ e 3 = µ m2 s 6µ, k d = µ d µ e = µ + 3 = µ + m2 s 12µ, ( ) 1 k s = µ 2 s m 2 2 5m 2 s = µ s 12µ. (2.11) Persamaan (2.9) memberikan informasi bahwa, apabila m s = µ e = 0 maka setiap quark akan memiliki momentum Fermi yang sama µ, yang menunjukkan sistem dalam kasus ini berada pada keadaan netral [10]. Dengan mengabaikan kontribusi dari lepton, maka didapat tekanan total konstituen p f dan tekanan total p f p f = p u + p d + p s = µ4 u 4π 2 + µ4 d 4π 2 + 1 kf s π 2 dkk 4 1 0 k 2 + m 2 s = µ4 4π 4 µ2 m 2 s 6π 2 + µ4 4π 4 + µ2 m 2 s 12π 2 + µ4 4π 2 2µ2 m 2 s 3π 2 = 3µ4 4π 2 3µ2 m 2 s 4π 2, (2.12) 7 Universitas Indonesia

p = f p f B sedangkan energi total konstituen ɛ f = 3µ4 4π 2 3µ2 m 2 s 4π 2 B. (2.13) ɛ = f ɛ f + B = 9µ4 4π 2 3µ2 m 2 s 4π 2 + B. (2.14) dengan demikian hubungan tekanan dengan energi total Jika m s p = ɛ 4B 3 µ2 m 2 s 2π 2. (2.15) = 0 pada kasus ini, T = 0, maka persamaan (2.15) akan menjadi persamaan (2.6), sehingga persamaan (2.6) berlaku umum untuk semua kerapatan bila massa quark strange diabaikan. 2.1.2 Persamaan TOV Bintang quark merupakan bintang kompak (compact star) yang tersusun oleh materi quark dengan kerapatan dan temperatur yang tinggi. Struktur bintang quark dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan Tolman-Oppenheimer-Volkof (TOV), Persamaan TOV merupakan penyelesaian dari persamaan medan Einstein untuk bintang relativistik, statik, dan simetrik bola [6] dp = (ɛ + p)(m + 4πr3 p), dr r(r 2M) dm = 4πɛr 2, (2.16) dr dimana M menyatakan massa, P menyatakan tekanan dan ɛ menyatakan kerapatan energi, yang masing-masing merupakan fungsi dari jari-jari bintang quark, dengan G c h = 1. Untuk dapat menyelesaikan persamaan TOV, maka diperlukan input berupa kerapatan energi dan tekanan dengan kondisi awal dari pusat bintang, r = 0, dengan demikian massa pada pusat bintang mendekati nol, M(r = 0) = 0. Sedangkan pada permukaan bintang, tekanan menjadi nol, p = 0, maka solusi dari persamaan TOV dapat dicari melalui proses iterasi dari p(r = 0) 0 sampai p(r = R) = 0. Dengan menyelesaikan persamaan TOV tersebut, maka akan diperoleh massa dan radius bintang. 8 Universitas Indonesia

2.2 Hamburan Neutrino dengan Materi di Bintang Quark Proses interaksi neutrino di bintang dimediasi oleh interaksi lemah yang dapat diklasifikasikan sebagai leptonic processes (semua partikel yang berinteraksi adalah lepton) dan semileptonic processes (interaksi lepton dengan hadron melalui interaksi lemah) [14]. Interaksi neutrino dengan materi diproses melalui reaksi arus netral (neutral current) dan arus bermuatan (charged current). Reaksi arus netral merupakan kontribusi dari hamburan elastik (elastic scattering), sedangkan reaksi arus bermuatan merupakan hasil dari penyerapan neutrino (neutrino absorption), Gambar 2.1. Gambar 2.1: Diagram Feynman untuk ν l + B 2 l + B 4, simbol B i dan l secara berturut-turut menunjukkan baryons dan leptons. P i momentumempat partikel dan q µ = (q 0, q) adalah momentum-empat transfer; (a) reaksi penyerapan dan (b) reaksi hamburan.[22]. Lagrangian interaksi untuk reaksi hamburan neutrino didasari pada teori Weinberg- Salam-Glashow[15] L nc int = G F 2 l ν µj µ z (2.17) dimana G F 1.17GeV 2 merupakan konstanta kopling lemah. Arus netral lemah dari neutrino dan partikel target didefinisikan l ν µ = ψ ν γ µ (1 γ 5 )ψ ν j µ z = ψ i γ µ (C V i C Ai γ 5 )ψ i (2.18) 9 Universitas Indonesia

i (Flavor) Scattering process C V i C Ai 1 u, c u + ν e u + ν e 4 2 3 sin2 1 θ W 2 1 u, c u + ν e u + ν e 4 2 3 sin2 θ W 1 2 d, s d + ν e d + ν e 1 + 2 2 3 sin2 θ W 1 2 d, s d + ν e d + ν e 1 + 2 2 3 sin2 1 θ W 2 1 e e + ν e e + ν e + 2 2 sin2 1 θ W 2 1 e e + ν e e + ν e + 2 2 sin2 θ W 1 2 e e + ν µ e + ν µ 1 + 2 2 sin2 θ W 1 2 e e + ν µ e + ν µ 1 + 2 2 sin2 1 θ W 2 Tabel 2.2: Konstanta kopling vektor dan aksial-vektor arus netral untuk quark dan elektron pada semua jenis neutrino, termasuk antineutrino; θ W merupakan sudut Weinberg (sin θ W = 0.231) [16]. indeks i menunjukkan jenis dari partikel target (quark up, quark down dan quark strange). Konstanta kopling vektor dan aksial-vektor, C V i dan C Ai, dapat dilihat pada Tabel 2.2, untuk masing-masing proses yang terlibat. Besaran fisis yang diperhitungkan dalam proses hamburan adalah penampang lintang total dari hamburan. Dalam hamburan neutrino dengan materi, fraksi dari setiap partikel dari penyusun materi diperhitungkan, hal ini disebabkan fraksi dari setiap partikel sangat mempenaruhi tampang lintang diferensial neutrino dan juga lintasan bebas rata-rata neutrino. Fraksi atau konsentrasi dari setiap partikel dapat ditentukan melalui netralitas muatan pada kesetimbangan β [17]. Selain fraksi, efek temperatur juga memainkan peranan penting dalam perhitungan penampang lintang diferensial ataupun lintasan bebas rata-rata. Efek temperatur memiliki pengaruh pada peristiwa penangkapan neutrino (neutrino trapping), sehingga persamaan keadaan mengalami perubahan dikarenakan adanya neutrino yang terperangkap dalam materi. Hal ini mengindikasikan bahwa penambahan neutrino dalam materi menyebabkan kerapatan materi berubah, fraksi setiap partikel berubah. Dengan demikian lintasan bebas rata-rata neutrino juga mengalami perubahan. Untuk detail penjelasan dan perumusannya, akan di bahas lebih lanjut dalam subbab selanjutnya. 10 Universitas Indonesia

2.2.1 Kasus Temperatur Nol Untuk menentukan penampang lintang ataupun lintasan bebas rata-rata, maka diperlukan terlebih dahulu matriks transisi yang berisi informasi terkait interaksi yang terjadi dalam proses hamburan. Kuadrat dari matriks transisi akan memberikan nilai probabilitas untuk mendapatkan keadaan akhir setelah berinteraksi. Probabilitas interaksi tersebut berbanding lurus dengan penampang lintang diferensial. Matriks transisi untuk interaksi neutrino dengan quark didefinisikan sebagai; M = G ][ ] F [ū ν (k )γ µ (1 γ 5 )u ν (k) ū q (p )γ µ (C V q C Aq γ 5 )u q (p), (2.19) 2 kuadrat dari matriks transisi ( M 2 ) akan mempunyai dua bagian, arus transisi untuk neutrino (L µν ν ) dan arus transisi untuk quark (L q µν), atau dengan kata lain M 2 = G2 F 2 Lµν ν L q µν, (2.20) sehingga akan kita peroleh tensor neutrino untuk interaksi lemah L µν ν = ū ν (k )γ µ (1 γ 5 )u ν (k)ū ν (k)γ ν (1 γ 5 )u ν (k ) [ ] = 8 k µ k ν + k ν k µ g µν (k.k ) iɛ αµβν k α k β, dengan relasi k ν = k ν q ν, k.k = k.q dan k.k = k 2 = 0, maka tensor neutrino menjadi [ ] L µν ν = 8 2k µ k ν (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q) iɛ αµβν k α k β, (2.21) dimana k µ (k µ) merupakan momentum-empat neutrino awal (akhir) dan q µ menyatakan transfer momentum-empat. Sedangkan tensor interaksi untuk quark L q µν = ū q (p )γ µ (C V q C Aq γ 5 )u q (p)ū q (p)γ ν (C V q C Aq γ 5 )u q (p ) [ = 4 (CV 2 q + CAq)(p 2 µ p ν + p ν p µ g µν p α p α ) + 2iC Aq C V q ɛ αµβν p α p β + m 2 q(cv 2 q CAq)g 2 µν ], (2.22) dengan p µ (p µ) merupakan momentum-empat awal (akhir) dari quark. Gabungan persamaan (2.21) dan (2.22) memberikan hasil [ L µν ν L q µν = 64 (C V q + C Aq ) 2 (k.p)(k.p ) + (C V q C Aq ) 2 (k.p )(k.p) ] + (CAq 2 CV 2 q)m 2 (k.k ), (2.23) 11 Universitas Indonesia

Gambar 2.2: (a) Definisi variabel-variabel Mandelstam s, t, u pada proses hamburan dua partikel[24], (b) Proses hamburan neutrino-quark. Kinematika hamburan secara sederhana dapat digambarkan sebagai, hamburan dua pertikel yang datang dengan dua partikel keluar. Mekanisme interaksi partikel tersebut dapat dijelaskan melalui sistem kerangka acuan yang digunakan. Sistem pusat massa memperlakukan kedua partikel yang datang, bergerak dengan kecepatan yang sama namun dengan arah yang berlawanan. Dengan demikian, sistem pusat massa memberikan acuan dimana momentum total dari partikel yang datang sama dengan nol. Sedangkan sistem laboratorium menjadikan salah satu partikel, sebagai target tumbukan yang berada dalam keadaan diam. Materi quark dengan massa yang jauh lebih besar dibandingkan neutrino, menjadikan materi quark lebih massive dari pada neutrino, sehingga penjelasan mengenai interaksinya akan lebih sesuai apabila sistem kerangka acuan yang digunakan adalah sistem laboratorium. Kinematika reaksi dua partikel datang menghasilkan dua partikel keluar dapat dijelaskan dalam variabel Mandelstam, sesuai dengan Gambar 2.2 (a); s = (p a + p b ) 2 = (p c + p d ) 2, t = (p c p a ) 2 = (p d p b ) 2, u = (p c p b ) 2 = (p d p a ) 2, (2.24) dengan definisi pada persamaan (2.24), maka proses hamburan neutrino-quark dalam Gambar 2.2 (b) mempunyai variabel-variabel; 12 Universitas Indonesia

s (k + p) 2 = (k + p ) 2, t (k k ) 2 = (p p) 2, u (k p ) 2 = (k p) 2. (2.25) Penampang lintang differensial, untuk sistem laboratorium maupun sistem pusat massa, dirumuskan secara umum dalam bentuk variabel Mandelstam[18] : dimana λ(a, b, c) (a b c) 2 4bc = dσ dt = M 2 16πλ(s, m 2 1, (2.26) m2 2 ), [ a ( b + c) 2] [ a ( b c) 2], (2.27) m 1 dan m 2 merupakan massa dari partikel yang berinteraksi (neutrino dan quark). Jika massa dari neutrino diabaikan, m 1 = m ν = 0 dan m 2 = m q, dengan menggunakan definisi kuadrat transfer momentum-empat q µ = (k k ) µ atau t = q 2 = k k 2 yang dapat kita tulis Q 2 = q 2 0, maka persamaan (2.26) menjadi dσ dq 2 = M 2 16π(s m 2 q) 2. (2.28) Dalam sistem laboratorium dengan quark merupakan partikel target yang berada dalam keadaan diam, p = 0, kita dapatkan s = m 2 q +2m q E ν dimana E ν adalah energi awal neutrino. Relasi lain yang serig digunakan pada variabel laboratorium, dapat diperoleh dari persamaan (2.25); (k.p) = 1 2 (s m2 q), (k.p ) = 1 2 (u m2 q), (k.p ) = 1 2 (s m2 q), (k.p) = 1 2 (u m2 q), (k.k ) = 1 2 t, s + t + u = 2m2 q, (2.29) subtitusikan hasil yang terdapat pada persamaan (2.29) kedalam (2.23), (2.20) dan (2.28), kita dapatkan dσ dq 2 = G 2 [ F 2π(s m 2 q) 2 (C V q + C Aq ) 2 (s m 2 q) 2 + (C V q C Aq ) 2 (s m 2 q Q 2 ) 2 + 2(C 2 Aq C 2 V q)m 2 qq 2]. (2.30) Dengan mengintegrasikan persamaan (2.30), penampang lintang total menjadi, detail perhitungan dapat dilihat dalam Lampiran A; σ(ν + q ν + q) G2 F s 2π [(C V q + C Aq ) 2 + 13 (C V q C Aq ) 2 ], (2.31) 13 Universitas Indonesia