LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn syrt f() > g() dn keduny dlh fungsi yng kontinyu pd intervl [,] mk derhny dlh segi erikut (derh yng dirsir) : f() g() Jik derh yng ditsi oleh du kurv f() dn g() yng kontinyu dn erpotongn di (, y ) dn (, y ) mk derhny dlh segi erikut : g() y y,y f(),y Henny Ekn Pge
Contoh : Gmrlh derh yng dientuk dri kurv y dn y + Jw : Kurv y erup prol menghdp ke ts. Titik potong dengn sumu diperoleh jik y 0 Jdi kurv y menyinggung sumu di (0, 0) Kurv y + erup gris lurus. Titik potong dengn sumu diperoleh jik 0 Jdi kurv y + memotong sumu di (0,) Titik potong dengn sumu diperoleh jik y 0. Jdi kurv y + memotong sumu di (-,0) Tentukn titik potong kedu kurv terseut 0 + ( )( + ) 0 tu - y + 4 - y - + Jdi kedu kurv kn erpotongn di titik (-,) dn (,4) Apil derh terseut digmrkn segi erikut : Henny Ekn Pge
y y + (-,) 4 (,4) - -. LUAS DAERAH A. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU Apil kit mempunyi seuh kurv seperti gmr erikut : y f() Bgimnkh kit menghitung lus kurv terseut yng ditsi oleh kurv y f(), sumu, gris dn (derh yng dirsir). Henny Ekn Pge
y f() Untuk menjw pertnyn terseut kit hrus memut pendektn lus, yitu dengn memut eerp gris verticl (strip) sehingg mementuk persegi pnjng. Jumlh lus persegi pnjng terseut merupkn pendektn lus derh terseut. Q P(,y) y f() Q' δ P' Jik slh stu potongn persegi pnjng terseut dieri nm PP Q Q dengn koordint titik P(,y). Ler persegi pnjng P Q kit nmkn δ dn lus PP Q Q kit nmkn δ L. Lus persegi pnjng dlh pnjng kli ler, mk : δ L yδ Jumlh lus persegi pnjng dri smpi dengn dpt dinytkn dengn : Lus Totl n i yi δ i dengn n dlh nyk persegi pnjng. Perhitungn lus totl kn kurt jik δ yng dipilih sngt kecil hingg mendekti nol (δ limit nol). Lus Totl lim n δ 0 i yi δi Henny Ekn Pge 4
Bentuk dits dpt kit tuliskn segi entuk integrl seperti di wh ini : L y d kren y f() L f ( ) d Integrl yng dituliskn dlm notsi f ) ( d kn menghsilkn nili tertentu sehingg integrl terseut diseut dengn Integrl Tertentu, diseut ts wh dn diseut ts ts integrl. Jdi dri ukti di ts dpt dikethui hw integrl tertentu dpt kit gunkn untuk menghitung lus derh sutu kurv dengn sumu koordint yng ditsi oleh du uh gris. y f() Besr lus derh yng ditunjukkn pd gmr ernili negtif, se hsil kli perklin f() dn δ dlh negtif. Kren lus derh sellu ernili positif, mk : L f ( ) d Henny Ekn Pge 5
B. Teorem Fundmentl Jik f dlh fungsi kontinyu pd intervl [,] dn F dlh nti derivtif f pd [,], mk f ( ) d F( ) F( ) Bukti : S P Q R yf() f() f(+h) P' h Q' (+h) Derh yng dirsir merupkn lus derh yng ditsi kurv y f(), sumu, gris, dn. Mislkn ler persegi pnjng pd gmr terseut dlh h, mk lus PP Q Q dlh L( + h) L() Dn lus ini esrny terletk di ntr lus persegi pnjng kecil PP Q R dn persegi pnjng esr SP Q Q, sehingg Lus PP Q R < lus PP Q Q < lus SP Q Q h. f() < L( + h) L() < h. f( + h) L( + h) L( ) f ( ) < < f ( + h) h Untuk h 0 mk : L( + h) L( ) lim f ( ) lim lim f ( + h) h 0 h 0 h h 0 f() L () f() f ( ) L'( ) f ( ) L () f() L ( ) f ( ) d F( ) + c Henny Ekn Pge 6
Lus derh dri smpi dengn dlh L f ( ) d L( ) L( ) F()+ c [F() + c] F() F() (Terukti) Bentuk penulisn F() F() isny dinytkn dengn Penulisn terseut secr lengkp dlh segi erikut : [ F ( )] f ( ) d [ F( )] F( ) F( ) Contoh :. Hitunglh lus derh yng ditsi oleh kurv y, sumu, gris dn gris Jw : y L d (. ) ( 8. ) Jdi lusny dlh stun lus. Henny Ekn Pge 7
. Hitunglh lus derh di wh sumu yng ditsi oleh kurv y 4, sumu dn gris 4 Jw : 4 y 4-4 Derh yng dirsir erd di wh sumu, mk lusny : L 4 4 (4 ) d ( 4 + ) d [ 4 + ] ( 4.4 + 4 ) ( 4. + ( 6 + 6) ( 8 + 4) 4 Jdi, lusny dlh 4 stun lus 4 ) Henny Ekn Pge 8
. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU Llu gimn dengn lus derh kurv tertutup yng ditsi sumu? f(y) Bgimnkh kit menghitung lus kurv terseut yng ditsi oleh kurv f(y), sumu, gris y dn y (derh yng dirsir)?. f(y) Untuk menjw pertnyn terseut kit hrus memut pendektn lus, yitu dengn memut eerp gris vertikl (strip) sehingg mementuk persegi pnjng. Jumlh lus persegi pnjng terseut merupkn pendektn lus derh terseut. Henny Ekn Pge 9
f(y) Q' δy P' Q P(,y) Jik slh stu potongn persegi pnjng terseut dieri nm PP Q Q dengn koordint titik P(,y). Ler persegi pnjng P Q kit nmkn δ y dn lus PP Q Q kit nmkn δ L. Lus persegi pnjng dlh pnjng kli ler, mk : δ L δy Jumlh lus persegi pnjng dri y smpi dengn y dpt dinytkn dengn : Lus Totl n i i δ yi dengn n dlh nyk persegi pnjng. Perhitungn lus totl kn kurt jik δy yng dipilih sngt kecil hingg mendekti nol ( δy limit nol). Lus Totl lim n δy 0 i i δyi Bentuk dits dpt kit tuliskn segi entuk integrl seperti di wh ini : L dy Contoh : Hitunglh lus derh yng ditsi oleh kurv y, sumu, gris y dn gris y Jw : Henny Ekn Pge 0
y L y ( 8 Jdi lusny dlh y. dy ) ( stun lus.. ). LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU Mislkn : f dn g dlh fungsi yng kontinyu di [,] dn f() g() dlm intervl terseut, dengn syrt y f() dn y g() tidk sling erpotongn pd [,] seperti pd gmr (fungsi f dn g non negtif) Henny Ekn Pge
f() g() tmpk pd gmr hw lus derh yng ditsi oleh kurv f dn g dlm [,] dlh : L (lus derh f) (lus derh g) L f ( ) d g( ) d L ( f ( ) g( )) d Dengn cr yng sm dpt ditunjukkn hw rumus terseut jug erlku untuk fungsi f dn g yng negtif tu fungsi f positip dn fungsi g negtif seperti pd gmr erikut : f() g() Henny Ekn Pge
f() g() Contoh : Hitunglh lus yng ditsi oleh kurv y + dn y + Jw : Tentukn terleih dhulu titik potong kedu kurv terseut, segi ts ts dn ts whny + + + 0 ( + )( ) 0 - tu Jdi, ts-tsny dlh - dn - - - Henny Ekn Pge
Henny Ekn Pge 4 4 8 4 ) ( )] ( ) [( + + + d d L Jdi lusny 4 stun lus.4 LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU Mislkn : f dn g dlh fungsi yng kontinyu di [,] dn f(y) g(y) dlm intervl terseut, dengn syrt f(y) dn g(y) f(y) g(y) tidk sling erpotongn pd [,] seperti pd gmr (fungsi f dn g non negtif) tmpk pd gmr hw lus derh yng ditsi oleh kurv f dn g dlm [,] dlh : L (lus derh f) (lus derh g)
L f ( y) dy g( y) dy L ( f ( y) g( y)) dy Dengn cr yng sm dpt ditunjukkn hw rumus terseut jug erlku untuk fungsi f dn g yng negtif tu fungsi f positip dn fungsi g negtif seperti pd gmr erikut : g(y) f(y) g(y) f(y) Contoh : Hitunglh lus yng ditsi oleh kurv 4 - y, gris y dn sumu Jw : Tentukn terleih dhulu titik potong kedu kurv terseut segi ts ts dn whny y 4 - y y 4 y Jdi, ts-tsny dlh y 0 (kren ertsn dengn sumu ) dn y Henny Ekn Pge 5
y 4 - y L 0 (4 y) 0 [ 4y y ] ( 8 4) ( 0 0) 4 [(4 y) ( y)] dy dy 0 Jdi lusny 4 stun lus LATIHAN. Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv y 6 dn sumu- dintr dn. Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv-kurv. y dn y. y dn y c. y 4 dn 4 y + 4 Henny Ekn Pge 6