MATEMATIKA PADA GAPURA BALI

Transkripsi

1 MATEMATIKA PADA GAPURA BALI Brigita Florensia Rusmiyati Uba Ina 1), Riris Ayu Panuntun 2), Winarko Atmojo 3) Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma 1 gitaflorensia23@gmail.com 2 ririsayyu@gmail.com 3 atmojowinarko@gmail.com Abstrak Gapura Bali merupakan salah satu kekhasan yang dimiliki oleh Pulau Bali. Gapura Bali merupakan arsitektur yang dipengaruhi oleh agama Hindu, dimana gapura adalah pintu gerbang suatu kawasan dan merupakan unsur yang penting. Makalah ini merupakan hasil penelitian studi pustaka yang menganalisa gapura Bali secara matematis. Secara khusus, makalah ini membahas unsur-unsur simetri, geometri, perspektif, dan golden ratio dalam gapura Bali. Unsur simetri dan perspektif memiliki peran penting dalam kepercayaan agama Hindu. Keywords: Gapura Bali, Pencerminan, Dilatasi, dan Golden Ratio. 1. PENDAHULUAN Kebudayaan merupakan salah satu identitas suatu bangsa. Kebudayaan juga mencerminkan kepribadian bangsanya, yang di dalamnya terkandung nilai pengetahuan, moral, hukum, kesenian, kepercayaan dan banyak lainnya. Indonesia merupakan salah satu negara yang memiliki berbagai keragaman budaya sebagai konsekuensi beragamnya suku, ras dan bahasa. Setiap budaya memiliki keunikan dan ciri khasnya masing-masing. Salah satunya kita jumpai dalam budaya Bali, yaitu gapura Bali. Telah banyak peneliti yang menyelidiki unsur-unsur matematis dalam arsitektur. Sterk (2005) menyelidiki unsur-unsur geometris dalam arsitektur dan bangunan. Dalam artikel tersebut, penulis menemukan adanya golden ratio pada bangunan. Penulis juga membahas adanya golden ratio yang ditemukan pada lukisan. Oleh sebab itu, dalam penelitian ini, kami akan membahas golden ratio yang terdapat dalam gapura Bali. Selain itu, kami juga akan mengamati unsur perspektif yang terdapat dalam gapura bali. Kami menghubungkan konsep simetris dengan kepercayaan yang dimiliki oleh masyarakat Bali. Seperti kita ketahui bersama, masyarakat Bali memiliki kepercayaan dan kebudayaan yang sangat kental. Kami ingin mengetahui relasi antara bentuk gapura Bali dengan kepercayaan masyarakat Bali. 2. KAJIAN LITERATUR Bagian ini akan mendiskusikan secara singkat konsep-konsep matematis yang dipakai sebagai dasar dalam penelitian ini. 2.1 Transformasi Geometri Transformasi geometri adalah proses perpindahan suatu bangun geometris (titik, garis, atau bidang) menjadi bayangan titik atau garis atau bidang di sisi lain. Jenis-jenis transformasi antara lain terdiri dari refleksi (pencerminan), translasi (perpindahan), rotasi (perputaran), dilatasi (perbesaran). Penelitian ini hanya akan menggunakan refleksi dan dilatasi Refleksi (Pencerminan) Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah benda yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Menurut Prijono (2006) Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada 2 jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain: 38 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya.

2 Refleksi terhadap sumbu y. Gambar 1. Refleksi terhadap sumbu y. benda dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi. Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Rumus dalam dilatasi, yaitu: Jika titik P(x, y) didilatasi terhadap titik pusat A(a, b), dengan faktor skala k. Sesuai dengan Gambar 1. jika bayangan titik P(x, y) adalah P (x, y ) maka P (x, y ) = P ( x, y), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: x = x y = y ( x y ) = ( ) (x y ) = ( x y ) Jadi, ( 1 0 ) adalah matriks 0 1 pencerminan terhadap sumbu y. Refleksi terhadap garis y = x. Gambar 3. Titik P(x, y) didilatasi terhadap titik pusat A(a, b), dengan faktor skala k. Didapat bayangan titik P (x, y ) dan dapat dilihat pada Gambar 3. maka: x = a + k(x a) y = b + k(y b) Gambar 2. Refleksi terhadap garis y = x. Sesuai dengan Gambar 2. jika bayangan titik P(x, y) adalah P (x, y ) maka P (x, y ) = P ( y, x), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: x = y y = x ( x y ) = ( ) (x y ) = ( y x ) Jadi, ( 0 1 ) adalah matriks 1 0 pencerminan terhadap garis y = x Dilatasi Kurniasih (2017) menyatakan bahwa dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunannya. Ukuran ( x y ) = ( k 0 a ) (x 0 k y b ) + (a b ) 2.2 Perspektif 1 Titik Hilang Perspektif satu titik hilang adalah sebuah metode menggambar tiga dimensi ke dalam bidang dua dimensi. Dalam metode tersebut, benda-benda yang dilukis memuat garis-garis yang bertemu di satu titik imajiner (disebut titik hilang). Sistem perspektif ini digunakan untuk menggambar obyek (benda) yang terletak relative dekat dengan mata. Karena letak obyek yang cukup dekat, akibatnya mata memiliki sudut pandang yang sempit, sehingga ada garis-garis imajiner yang merupakan batas-batas benda dan garis-garis tersebut akan menuju satu titik hilang. Penerapan gambar ini banyak digunakan pada gambar rancang bangun (design) interior. Gambar 4 menyajikan ilustrasi perspektif 1 titik hilang. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei

3 dan refleksi untuk menganalisa perspektif pada bangunan gapura Bali. Dalam pengamatan tersebut, kami juga menggunakan kerangka teoritis Golden Ratio. Pengamatan kami lakukan secara tidak langsung, dengan melakukan pengamatan pada gambar-gambar gapura Bali yang ada. Gambar 4. Perspektif Satu Titik Hilang. 2.3 Golden Ratio Sterk (2005) berpendapat bahwa Golden Ratio adalah sebuah bilangan yang membuat kagum para ilmuwan sejak bilangan tersebut ditemukan. Kekaguman tersebut disebabkan karena bilangan Golden Ratio memiliki interpretasi sebagai sesuatu yang ideal pada benda-benda seni (lukisan, patung) dan (bagian) bangunan. Golden Ratio dianggap sebagai perbandingan yang menghasilkan bentuk geometris yang indah dan menarik. Gambar 5 menampilkan perbandingan lebar dan tinggi bangunan Yunani yang bernama Parthenon. Bilangan Golden Ratio kira-kira sama dengan HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini kami akan membahas mengenai penemuan penelitian ini yakni mengenai geometri, simetri, serta perspektif pada bangunan gapura Bali. Yang pertama kami akan membahas adalah simetri pada gapura Bali. Menurut jurnal serta penemuan sebelumnya yang sudah dipaparkan oleh para ahli, kami menemukan bahwa semua gapura Bali selalu simetri, karena kepercayaan orang Hindu di Bali dari jaman dahulu sangat percaya dengan alam dan Tuhan. Menurut kepercayaan masyarakat Bali, alam merupakan sumber inspirasi geometri. Hal itu tampak pada situasi protokoler, seperti pada saat perayaan agama atau kenegaraan, atau secara spesifik diperjelas sebagai situasi yang dipilih orang sewaktu menghadap Yang Ilahi. Brouwer, seperti dirujuk oleh Dewi (2003), menyebut situasi tersebut sebagai solemnitas. Orante atau orang yang menghadap Yang Ilahi tersebut, akan cenderung mengambil sikap sehingga bagian kanan tubuh tidak berbeda dengan bagian kirinya. Sikap yang secara fisik ditangkap sebagai posisi simetris. Gambar 5. Golden ratio pada bangunan Parthenon di Atena. Tandiono (2016) berpendapat biasanya, Golden Ratio (rasio emas) dilambangkan dengan huruf Yunani φ (phi). Paparan sederhana geometris Golden Ratio diilustrasikan pada Gambar 6. Gambar 6 memperlihatkan sebuah garis yang memiliki panjang a + b. Jika garis tersebut dibagi a hasilnya sama dengan a dibagi b, dan sama dengan bilangan Golden Ratio (φ). 3. METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian teoritis atau kajian pustaka dan pengamatan. Kami mengaplikasikan teori-teori yang terdapat dalam geometri, khususnya dilatasi Gambar 6. Paparan sederhana Golden Ration. Diunduh dari Bagi masyarakat Bali, sumbu simetri pada gapura Bali merupakan merupakan lambang equillibrium (keseimbangan). Bangunan yang simetris adalah bangunan yang terkesan stabil, kokoh, diam, dan dalam posisi yang seimbang. Kesan keseimbangan ini tentunya diperlukan untuk mendukung 40 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya.

4 sikap solemnitas. Ruang yang simetris menggambarkan alam yang ideal, berputar dalam kondisi yang harmonis. Simetri menggambarkan idealisme atau cita-cita kesempurnaan. Pada kasus ini kami akan meneliti bahwa adanya pencerminan (refleksi) pada gapura Bali, dengan menggunakan perpaduan antara refleksi terhadap sumbu y dan refleksi terhadap garis y = x, dimana bangunan tersebut memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan, sehingga sesuai dengan konsep refleksi terhadap sumbu y, jika bayangan titik P(3,3) adalah titik P (3, 3 ) dimana ( ) adalah matriks pencerminan terhadap sumbu y maka P (3, 3 ) = P ( 3,3) dan sesuai dengan konsep refleksi terhadap garis y = x, jika bayangan titik P(4,5) adalah P (4, 5 ) dimana ( 0 1 ) adalah matriks 1 0 pencerminan terhadap garis y = x maka P (4, 5 ) = P ( 4, 5). Jadi, kami menyimpulkan bahwa bangunan gapura Bali saling simetris yang bisa dilihat pada Gambar 7. Gambar 8. Pembuktian Ukiran Gapura Bali dengan menggunakan Dilatasi Oleh karena itu, dengan menggunakan PB perbandingan dilatasi = M = PA maka PB N PA secara tidak langsung ukiran pada gapura Bali mengandung unsur dilatasi dimana gapura Bali memiliki bentuk yang sama dengan ukuran yang berbeda (diperbesar atau diperkecil) yang dapat dilihat pada Gambar 8. Jadi, pada pembuktian dilatasi pada ukiran Gapura Bali yang kami lakukan dengan rumus dan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa ukiran gapura Bali jika diperkecil bentuk atau motifnya tidak akan berubah, begitu juga saat bentuk atau motif pada ukiran gapura Bali diperbesar tidak akan merubah bentuk aslinya. Selanjutnya, kami meneliti menggunakan konsep perspektif 1 titik hilang. Penelitian ini menemukan adanya perspektif satu titik hilang dalam ukiran gapura Bali. Perspektif tersebut diperlihatkan dalam Gambar 9. Gambar 7. Refleksi Gapura Bali terhadap sumbu y dan garis y = x. Selanjutnya kami meneliti menggunakan konsep dilatasi. Kami menemukan bahwa konsep dilatasi dapat digunakan pada ukiran gapura Bali yakni ukuran pada ukiran gapura Bali dapat diperbesar ataupun diperkecil, dimana pada gapura bali menggunakan ukiran satu motif yang digunakan. Sesuai dengan konsep dilatasi yakni perbesaran atau pengecilan pada suatu bidang tanpa merubah bentuk. Gambar 9. Ukiran Gapura Bali dengan menggunakan Perspektif 1 Titik Hilang Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei

5 Dari sisi perspektif, ukiran pada gapura Bali pada ruas kiri maupun pada ruas kanan memiliki bentuk atau motif yang sama. Akhirnya, kami mengamati keberadaan Golden Ratio dalam gapura Bali tersebut. Tandiono (2016) berpendapat dalam menerapkan Golden Ratio, khususnya persegi panjang emas dalam arsitektur, kita dapat memanfaatkan spiral emas. Spiral emas adalah fungsi logaritmik yang menghasilkan bentuk spiral dengan faktor pertumbuhnnya adalah rasio emas itu sendiri, yaitu φ. Ilustrasi spiral emas dapat dilihat pada Gambar 10. Berikut. Unsur-unsur simetris tersebut sangat dipengaruhi oleh budaya maupun kepercayaan masyarakat Hindu Bali. Misalnya, masyarakat Bali memiliki kepercayaan bahwa saat seseorang meninggal, sikap tubuh yang dimilikinya disebut Orante, dimana bagian kiri dan bagian kanan tubuh bersifat simetris. Unsur-unsur simetri yang ditemukan dalam penelitian ini adalah pencerminan, dilatasi, dan perspektif satu titik hilang. Pada gapura Bali, peneliti juga menemukan adanya Golden Ratio serta spiral emas dalam bangunan tersebut. Gambar 10. Spiral Emas Sumber: mathworld.wolfarm.com/goldenspiral.html Secara visual, spiral emas seperti terlihat pada Gambar 10 terbagi menjadi 2 bagian: persegi yang besar dengan detail yang lebih sedikit, dan persegi panjang yang lebih kecil di sebelahnya dengan detail yang lebih banyak. Dengan menggunakan kerangka teori ini, kami juga menemukan adanya Golden Ratio dalam gapura Bali. Hal itu diperlihatkan dalam Gambar 11. Perbandingan-perbandingan yang ditemukan adalah sebagai berikut. Ujung/Atap Gapura Bali dan Tinggi Gapura Bali. Bagian kosong dari spiral emas dapat kita anggap sebagai ujung gapura Bali, sedangkan tinggi gapura Bali disesuaikan dengan bagian terisi dari spiral emas. Dengan begitu, kita memperoleh Ujung Gapura : Tinggi Gapura = 1 (1 1,618) = 1 0,618 = 1,618 Yang juga merupakan Golden Ratio. 5. KESIMPULAN Penelitian ini menemukan bahwa gapura Bali memiliki banyak unsur-unsur simetris. Gambar11. Golden Ratio serta spiral emas pada Gapura Bali Penelitian ini hanya mengamati salah satu bangunan adat yang terdapat di Bali. Penelitian lanjut bisa dikembangkan untuk mengamati unsur-unsur matematika yang terdapat pada bangunan-bangunan tradisional lain yang terdapat di Indonesia. Misalnya, penelitian bisa dilakukan untuk mengamati unsur-unsur Matematika yang ditemukan dalam rumah-rumah adat di Indonesia. 6. REFERENSI Dewi, N.K.A.(2003). Wantah Geometri, dan Religiusitas pada Rumah Tinggal Tradisional di Indonesia. Jurnal Permukiman Natah Vol. 1 No Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya.

6 Kurniasih, M.D. dan Isnaini Handayani. (2017). Tangkas Geometri Transformasi. Jakarta: Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA. Prijono, Pundjul. (2006). Transformasi Geometri. Modul transformasi Geometri MIPA Peminatan. Malang. Diunduh dari 5/09/ modul-transformasigeometri-mipa-peminatan.pdf Sterk, H. (2005). Geometry in Architecture and Building. Lecture Note for 2DB60 Meetkunde voor Bouwkunde, Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Univerteit Eindhoven. Diunduh /hoofdstuk1.pdf Tandiono, E.K. (2016). Penggunaan Konsep Barisan Fibonacci dalam Desain Interior dan Arsitkektur. Makalah IF2120 Matematika Diskrit. Diunduh dari unir/matdis/ /makalah2016/makalah-matdis pdf Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, 12 Mei