LAPORAN AKHIR PRAKTIKUM STOKASTIK

Transkripsi

1 LAPORAN AKHIR PRAKTIKUM STOKASTIK Disusun Oleh: Nama : Marulloh NPM : Kelas : 3ID01 Shift : 1 (Satu) LABORATORIUM TEKNIK INDUSTRI LANJUT JURUSAN TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS GUNADARMA DEPOK 2012

2 LEMBAR PENGESAHAN Diajukan sebagai syarat untuk mengikuti ujian Praktikum Stokastik PTA 2012/2013 Mengetahui, Kepala Laboratorium Teknik Industri Lanjut (Dr. Emirul Bahar, SSI., MT., AAAIJ) Penanggung Jawab Depok Asisten Pembimbing (Arief Nurdini) (Dewi Kania Pratiwi) ii

3 ABSTRAKSI Marulloh ( ). Laporan Akhir Praktikum Stokastik. Laboratorium Teknik Industri Lanjut, Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Gunadarma, Kata Kunci : Pemograman Dinamis, Teori Permainan, Rantai Markov, Teori Antrian. (xii Lampiran) Seiring dengan berkembangnya dunia industri yang semakin kompetitif dan terbatasnya sumber daya, mengakibatkan setiap perusahaan harus menentukan strategi yang tepat. Karena pada prinsipnya, setiap perusahaan menginginkan keuntungan yang maksimal. Namun, terkadang keterbatasan manusia dalam menyelesaikan suatu masalah tanpa menggunakan alat bantu merupakan suatu kendala dalam pencarian solusi yang optimum. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu metode yang tepat untuk mencari solusi optimum yaitu metode stokastik. Metode stokastik diterapkan dalam pembahasan pada laporan akhir ini. Pemrograman dinamis digunakan untuk pengambilan keputusan yang terdiri dari tahap-tahap minimalisasi biaya operasional pendistribusian yang perlu dikeluarkan oleh UKM Widyatama dan optimalisasi keuntungan yang diperoleh oleh UKM Widyatama berdasarkan berat dari buku paket yang didistribusikan. Teori permainan digunakan dalam pengambilan keputusan yaitu strategi optimum dari situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan seperti keuntungan maksimum yang diperoleh UKM Wijaya dan kerugian minimum yang diperoleh UKM Pratama pada Bulan Oktober dan November. Rantai markov digunakan untuk pengambilan keputusan berdasarkan perkiraan probabilitas pangsa pasar pada waktu tertentu di masa datang. Sehingga dapat menentukan perbandingan market share dari ketiga merek minyak goreng yaitu bimoli, filma, dan tropical dari bulan pertama sampai dengan bulan keempat. Teori antrian digunakan untuk menentukan sistem antrian yang tepat digunakan pada PT. Asuransi Allianz Utama dan PT. Astra Honda Motor sehingga mampu meminimalkan biaya total. Hasil perhitungan pada pemograman dinamis dengan metode backward dan forward diperoleh biaya minimum yang perlu dikeluarkan oleh UKM Widyatama sebesar Rp dan keuntungan maksimum yang diperoleh oleh UKM Widyatama sebesar Rp ,-. Hasil perhitungan pada teori permainan dengan metode pure strategy dan mix strategy diperoleh saddle point untuk UKM Wijaya dan UKM Pratama pada bulan Oktober berdasarkan metode pure strategy adalah dengan harga 1 sedangkan saddle point pada bulan November berdasarkan metode mix strategy adalah dengan harga 2,5. Hasil perhitungan pada rantai markov diperoleh market share pada bulan keempat dari ketiga merek minyak goreng dengan perhitungan rantai markov yaitu bimoli sebesar 35,62%; filma sebesar 41,85%; dan tropical sebesar 22,42% dengan perbandingan market share dari ketiga merek minyak goreng yaitu bimoli, filma, dan tropical setiap periodenya adalah cenderung tetap setelah bulan pertama. Hasil perhitungan pada teori antrian diperoleh jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem antrian pada PT. Asuransi Allianz Utama dengan model single channel single phase diperoleh 5 orang dengan tingkat intensitas fasilitas pelayanan diperoleh 82,5%. Sedangkan jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem antrian pada PT. Astra Honda Motor dengan model multi channel single phase diperoleh 3 unit dengan tingkat intensitas fasilitas pelayanan diperoleh 50%. Daftar Pustaka ( ) iii

4 KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah memberi rahmat dan hidayah-nya sehingga saya dapat menyelesaikan Laporan Akhir Praktikum Stokastik. Laporan Akhir Praktikum Stokastik ini disusun guna melengkapi sebagian syarat untuk mengikuti ujian Praktikum Stokastik. Penyusunan Laporan Akhir Praktikum Stokastik ini banyak pihak yang telah membantu, sehingga dapat menyempurnakan penyusunan laporan akhir ini. Penyusun mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu Ir. Rakhma Oktavina, MT., selaku Ketua Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknologi Industri, Universitas Gunadarma. 2. Bapak Ir. Asep Mohamad Noor, MT., selaku Koordinator Laboratorium Teknik Industri Universitas Gunadarma. 3. Bapak Dr. Emirul Bahar, SSI., MT., AAAIJ., selaku Kepala Laboratorium Teknik Industri Lanjut. 4. Bapak Ir. Farry Firman Hidayat, MSIE., selaku dosen mata kuliah Metode Stokastik. 5. Arief Nurdini, selaku Penanggung Jawab Praktikum Stokastik Depok. 6. Dewi Kania Pratiwi, selaku asisten pembimbing yang telah membimbing dan memberikan pengarahan selama penyusunan Laporan Akhir Praktikum Stokastik. 7. Kedua Orang Tua yang telah memberikan doa dan dorongan baik materil maupun moril. 8. Seluruh kakak pembimbing dan teman-teman kelas 3ID01 angkatan 2010 Teknik Industri, Universitas Gunadarma. 9. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penyusun sebutkan satu per satu. Penyusunan Laporan Akhir Praktikum Stokastik ini, penyusun menyadari bahwa masih memiliki kekurangan. Kritik dan saran diperlukan untuk membangun dalam penyempurnaan laporan ini. iv

5 Akhir kata saya berharap semoga Laporan Akhir Praktikum Stokastik ini dapat bermanfaat bagi penyusun pada khususnya dan bagi pembaca pada umumnya. Mohon maaf bila ada salah penulisan kata maupun gelar dalam Laporan Akhir Praktikum Stokastik ini. Jakarta, 1 Desember 2012 Penyusun v

6 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PENGESAHAN... ii ABSTRAKSI... iii KATA PENGANTAR... iv DAFTAR ISI... vi DAFTAR TABEL... ix DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR LAMPIRAN... xii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Permasalahan... I Perumusan Masalah... I Tujuan... I Tujuan Pemrograman Dinamis... I Tujuan Teori Permainan... I Tujuan Rantai Markov... I Tujuan Teori Antrian... I-4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemrograman Dinamis... II Pengertian Program Dinamis... II Karakteristik Program Dinamis... II Tahapan Program Dinamis... II Model Program Dinamis... II Konsep Dasar Program Dinamis... II Teori Permainan... II Sejarah Teori Permainan... II Pengertian Teori Permainan... II Manfaat dan Ketentuan Umum Teori Permainan... II-7 vi

7 2.2.4 Unsur-Unsur Dalam Teori Permainan... II Strategi Dalam Teori Permainan... II Rantai Markov... II Sejarah Rantai Markov... II Pengertian Rantai Markov... II Langkah-langkah Proses Markov... II Teori Antrian... II Sejarah Teori Antrian... II Konsep Dasar Model Antrian... II Sistem dan Struktur Antrian... II-20 BAB III STUDI KASUS 3.1. Studi Kasus Pemrograman Dinamis... III Studi Kasus Stokastik (Backward)... III Studi Kasus Knapsack (Forward)... III Studi Kasus Teori Permainan... III Studi Kasus Pure Strategy... III Studi Kasus Mix Strategy... III Studi Kasus Rantai Markov... III Studi Kasus Teori Antrian... III Studi Kasus Single Channel Single Phase... III Studi Kasus Multi Channel Single Phase... III-5 BAB IV PEMBAHASAN 4.1. Perhitungan Manual... IV Perhitungan Manual Pemrograman Dinamis... IV Perhitungan Manual Teori Permainan... IV Perhitungan Manual Rantai Markov... IV Perhitungan Manual Teori Antrian... IV Perhitungan Software... IV Perhitungan Software Pemrograman Dinamis... IV Perhitungan Software Teori Permainan... IV Perhitungan Software Rantai Markov... IV-19 vii

8 4.2.4 Perhitungan Software Teori Antrian... IV Analisis... IV Analisis Pemrograman Dinamis... IV Analisis Teori Permainan... IV Analisis Rantai Markov... IV Analisis Teori Antrian... IV-29 BAB V KESIMPULAN 5.1 Pemrograman Dinamis... V Teori Permainan... V Rantai Markov... V Teori Antrian... V-2 DAFTAR PUSTAKA viii

9 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.1 Permainan Dua Pemain Jumlah Nol... II-9 Tabel 3.1 Data Buku Paket SMA... III-2 Tabel 3.2 Strategi UKM Wijaya dan UKM Pratama Bulan Oktober... III-3 Tabel 3.3 Strategi UKM Wijaya dan UKM Pratama Bulan November... III-3 Tabel 4.1 Tahap 4 Metode Backward... IV-1 Tabel 4.2 Tahap 3 Metode Backward... IV-2 Tabel 4.3 Tahap 2 Metode Backward... IV-2 Tabel 4.4 Tahap 1 Metode Backward... IV-2 Tabel 4.5 Data Buku Paket SMA... IV-2 Tabel 4.6 Tahap 1 Metode Forward... IV-3 Tabel 4.7 Tahap 2 Metode Forward... IV-3 Tabel 4.8 Tahap 3 Metode Forward... IV-3 Tabel 4.9 Tahap 4 Metode Forward... IV-3 Tabel 4.9 Tahap 4 Metode Forward (Lanjutan)... IV-4 Tabel 4.10 Nilai Maximin Pure Strategy... IV-4 Tabel 4.11 Nilai Minimax Pure Strategy... IV-5 Tabel 4.12 Nilai Maximin Mix Strategy... IV-5 Tabel 4.13 Nilai Minimax Mix Strategy... IV-5 Tabel 4.14 Pure Strategy... IV-6 Tabel 4.15 Peluang Market Share Minyak Goreng... IV-9 ix

10 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Model Single Channel... II-19 Gambar 3.1 Jalur Pendistribusian UKM Widyatama... III-1 Gambar 4.1 Kotak Dialog Menu Software QM... IV-12 Gambar 4.2 Kotak Dialog Dynamic Programming... IV-12 Gambar 4.3 Kotak Dialog Input Data Stagecoach... IV-13 Gambar 4.4 Kotak Dialog Input Data... IV-13 Gambar 4.5 Output Metode Stagecoach... IV-14 Gambar 4.6 Kotak Dialog Menu Software QM... IV-14 Gambar 4.7 Kotak Dialog Dynamic Programming... IV-15 Gambar 4.8 Kotak Dialog Input Data Knapsack... IV-15 Gambar 4.9 Input Data Knapsack... IV-15 Gambar 4.10 Output Knapsack... IV-16 Gambar 4.11 Kotak Dialog Menu Software QM... IV-17 Gambar 4.12 Kotak Dialog Game Theory... IV-17 Gambar 4.13 Output Pure Strategy... IV-18 Gambar 4.14 Kotak Dialog Menu Software QM... IV-18 Gambar 4.15 Kotak Dialog Game Theory... IV-18 Gambar 4.16 Output Mix Strategy... IV-19 Gambar 4.17 Kotak Dialog Menu Software QM... IV-19 Gambar 4.18 Kotak Dialog Markov Analysis... IV-19 Gambar 4.19 Output Markov Analysis... IV-20 Gambar 4.20 Kotak Dialog Menu Software QM... IV-21 Gambar 4.21 Kotak Dialog Queueing Theory... IV-21 Gambar 4.22 Kotak Dialog Single Server... IV-21 Gambar 4.23 Output Standar Single Server... IV-22 Gambar 4.24 Kotak Dialog Menu Software QM... IV-22 Gambar 4.25 Kotak Dialog Queueing Theory... IV-22 x

11 Gambar 4.26 Kotak Dialog Multiple Server... IV-23 Gambar 4.27 Output Multiple Server... IV-23 xi

12 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lembar Asistensi... L-1 xii

13 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Permasalahan Seiring dengan berkembangnya dunia industri yang semakin kompetitif dan terbatasnya sumber daya, mengakibatkan setiap perusahaan harus menentukan strategi yang tepat. Karena pada prinsipnya, setiap perusahaan menginginkan keuntungan yang maksimal. Namun, terkadang keterbatasan manusia dalam menyelesaikan suatu masalah tanpa menggunakan alat bantu merupakan suatu kendala dalam pencarian solusi yang optimum. Apalagi jika dihadapkan dengan jumlah objek yang terlampau banyak sehingga sulit untuk menentukan keputusan yang tepat. Efisiensi waktu dan biaya juga sering menjadi pertimbangan dalam pengambilan keputusan. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu metode yang tepat untuk mencari solusi optimum yaitu metode stokastik. Metode stokastik sering digunakan untuk membantu pembuatan keputusan dalam dunia bisnis dan industri. Metode stokastik terdiri dari beberapa bagian yaitu pemograman dinamis, teori permainan, rantai markov, dan teori antrian. Setiap bagian dari metode stokastik memiliki perbedaan dalam pengaplikasiannya namun tetap digunakan untuk menentukan solusi yang optimum. Informasi yang dihasilkan dengan metode stokastik tidak mutlak digunakan menjadi suatu keputusan, karena sifatnya hanya memberikan bantuan dalam proses pengambilan keputusan. Metode stokastik diterapkan dalam pembahasan pada laporan akhir ini. Setiap bagian dari metode stokastik digunakan untuk menentukan solusi yang optimum sesuai dengan penerapannya pada setiap studi kasus. Pemrograman dinamis digunakan untuk pengambilan keputusan yang terdiri dari tahap-tahap minimalisasi biaya operasional pendistribusian yang perlu dikeluarkan oleh UKM Widyatama dan optimalisasi keuntungan yang diperoleh oleh UKM Widyatama berdasarkan berat dari buku paket yang didistribusikan. Teori permainan I-1

14 I-2 digunakan dalam pengambilan keputusan yaitu strategi optimum dari situasisituasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan seperti keuntungan maksimum yang diperoleh UKM Wijaya dan kerugian minimum yang diperoleh UKM Pratama pada Bulan Oktober dan November. Rantai markov digunakan untuk pengambilan keputusan berdasarkan perkiraan probabilitas pangsa pasar pada waktu tertentu di masa datang. Sehingga dapat menentukan perbandingan market share dari ketiga merek minyak goreng yaitu bimoli, filma, dan tropical dari bulan pertama sampai dengan bulan keempat. Teori antrian digunakan untuk menentukan sistem antrian yang tepat digunakan pada PT. Asuransi Allianz Utama dan PT. Astra Honda Motor sehingga mampu meminimalkan biaya total. Setiap pembahasan dilakukan dengan melakukan perhitungan dengan manual dan menggunakan perhitungan dengan software QM 3.0. Nantinya, keputusan yang dihasilkan dengan metode stokastik diharapkan mampu meminimalkan waktu dan biaya yang digunakan sehingga keuntungan yang diperoleh oleh suatu perusahaan akan maksimal. 1.2 Perumusan Masalah Pembahasan pada laporan akhir ini tidak terlepas dari inti permasalahan yang terdapat pada setiap modulnya. Inti permasalahan dalam laporan akhir ini adalah sebagai berikut. 1. Pemrograman Dinamis Berapa biaya operasional pendistribusian minimum yang perlu dikeluarkan oleh UKM Widyatama dan berapa keuntungan maksimum yang diperoleh oleh UKM Widyatama berdasarkan berat dari buku paket yang didistribusikan. 2. Teori Permainan Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh UKM Wijaya dan kerugian minimum yang diperoleh UKM Pratama pada Bulan Oktober dan November apabila keduanya menginginkan hasil yang optimal.

15 I-3 3. Rantai Markov Bagaimana perbandingan market share dari ketiga merek minyak goreng yaitu bimoli, filma, dan tropical dari bulan pertama sampai dengan bulan keempat. 4. Teori Antrian Berapa jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian oleh PT. Asuransi Allianz Utama dan PT. Astra Honda Motor serta berapa tingkat intensitas fasilitas pelayanan dari kedua perusahaan tersebut Tujuan Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan maka terdapat beberapa tujuan yang perlu dijawab dalam bentuk kesimpulan. Setiap modul metode stokastik memiliki tujuan yang berbeda. Tujuan dari setiap modul dalam laporan akhir ini adalah sebagai berikut Tujuan Pemrograman Dinamis Tujuan pemrograman dinamis terbagi menjadi dua yaitu tujuan untuk studi kasus dengan metode backward dan studi kasus dengan metode forward. Tujuan dari pemrograman dinamis dengan metode backward dan forward adalah sebagai berikut. 1. Mengetahui biaya minimum yang perlu dikeluarkan oleh UKM Widyatama berdasarkan metode backward. 2. Mengetahui keuntungan maksimum yang diperoleh oleh UKM Widyatama berdasarkan metode forward Tujuan Teori Permainan Tujuan teori permainan terbagi menjadi dua yaitu tujuan untuk studi kasus dengan pure strategy dan studi kasus dengan mix strategy. Tujuan dari teori permainan dengan pure strategy dan mix strategy adalah sebagai berikut.

16 I-4 1. Mengetahui keuntungan yang diperoleh UKM Wijaya dan kerugian yang diperoleh UKM Pratama pada bulan Oktober berdasarkan metode pure strategy. 2. Mengetahui keuntungan yang diperoleh UKM Wijaya dan kerugian yang diperoleh UKM Pratama pada bulan November berdasarkan metode mix strategy Tujuan Rantai Markov Berdasarkan pembahasan terdapat dua tujuan rantai markov yang perlu dijawab dalam bentuk kesimpulan. Tujuan dari rantai markov pada laporan akhir ini adalah sebagai berikut. 1. Mengetahui minat pasar (market share) dari ketiga merek minyak goreng yaitu bimoli, filma, dan tropical dengan perhitungan rantai markov. 2. Mengetahui perbandingan minat pasar (market share) dari ketiga merek minyak goreng yaitu bimoli, filma, dan tropical setiap periodenya Tujuan Teori Antrian Tujuan teori antrian terbagi menjadi beberapa tujuan yaitu tujuan untuk studi kasus dengan model single channel single phase dan studi kasus dengan model multi channel single phase. Tujuan dari teori antrian dengan model single channel single phase dan multi channel single phase adalah sebagai berikut. 1. Mengetahui jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem antrian pada PT. Asuransi Allianz Utama dengan model single channel single phase. 2. Mengetahui tingkat intensitas fasilitas pelayanan pada PT. Asuransi Allianz Utama dengan model single channel single phase. 3. Mengetahui jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem antrian pada PT. Astra Honda Motor dengan model multi channel single phase. 4. Mengetahui tingkat intensitas fasilitas pelayanan pada PT. Astra Honda Motor dengan model multi channel single phase.

17 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemrograman Dinamis Pemrograman dinamis terdiri dari beberapa sub-sub bab yaitu pengertian program dinamis, karakteristik program dinamis, tahapan program dinamis, model program dinamis, dan konsep dasar program dinamis. Penjelasan mengenai subsub bab tersebut adalah sebagai berikut Pengertian Program Dinamis Istilah Pemrograman Dinamis, pertama kali diperkenalkan pada era an oleh Richard Bellman seorang professor di Universitas Princeton dan juga bekerja pada RAND corporation, perlu diketahui bahwa RAND corporation pada era itu merupakan suatu perusahan yang dibentuk untuk menawarkan analisis dan riset untuk angkatan bersenjata Amerika Serikat. Pada saat itu, Bellman bekerja di bidang pengambilan keputusan multi tahap (multistage desicion process) dan mengerjakan beberapa metode matematis, beberapa tahun kemudian setelah Bellman berada di RAND, lahirlah istilah pemrograman dinamis. Istilah ini tidak secara langsung berhubungan dengan pemrograman, melainkan digunakan sebagai judul project yang kemudian yang diusulkan RAND coorporation pada Angkatan Udara Amerika Serikat. Selanjutnya, pada penerapanya pemrograman dinamis banyak digunakan pada proses optimalisasi masalah (Munir, 2004). Program dinamis memiliki keunggulan melalui bentuk skema barisan, yang mana akan memperkecil dimensi dari persoalan-persoalan. Program dinamis adalah sekumpulan metode atau teknik model matematis yang digunakan untuk pengambilan keputusan yang terdiri dari tahap-tahap baik optimalisasi dan minimalisasi. Program Dinamis memiliki perhitungan yang dilakukan dalam tahap-tahap dengan merinci masalah menjadi beberapa bagian masalah. Setiap II-1

18 II-2 bagian masalah kemudian dipertimbangkan secara terpisah dengan tujuan untuk mengurangi jumlah dan kerumitan dalam perhitungan (Wood, 1984). Sebuah tahap dalam program dinamis didefinisikan sebagai bagian dari masalah didefinisikan sebagai bagian dari masalah yang memiliki beberapa alternatif yang saling menggantikan yang darinya alternatif terbaik akan dipilih. Setiap pabrik mendefisikan sebuah tahap dengan tahap pertama, kedua, dan ketiga masing- masing memiliki tiga, empat dan dua alternatif (Munir, 2004) Karakteristik Program Dinamis Program Dinamis merupakan sebuah algoritma pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah atau tahapan sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Pada penyelesaian metode ini kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap. Algoritma program dinamis memiliki karakteristik sebagai berikut ( 2009): 1. Persoalan dapat dibagi mejadi beberapa tahap, yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan yang optimal. 2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status yang berhubungan dengan tahap tersebut. 3. Hasil keputusan yang diambil pada tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya. 4. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap sebelumnya dan meningkat secara teratur dengan bertambahnya jumlah tahapan 5. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan tahap sebelumnya. 6. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk tahap sebelumnya. 7. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

19 II Tahapan Program Dinamis Teori utama dalam program dinamis adalah prinsip optimalitas. Prinsip itu pada dasarnya menentukan bagaimana suatu masalah yang diuraikan dengan benar dapat dijawab dalam tahap-tahap melalui pemakaian perhitungan rekursif. Pemecahan masalah dengan menggunakan program dinamis mempunyai empat tahapan yaitu (Munir, 2004): 1. Memecah permasalahan asli menjadi bagian permasalahan yang juga disebut sebagai tahapan dengan aturan di tiap-tiap tahapan. 2. Memecahkan tahapan terakhir dari permasalahan dengan semua kondisi dan keadaan yang memungkinkan. 3. Bekerja mundur dari tahapan akhir dan memecahkan tiap tahap. Hal ini dikerjakan dengan mencari keputusan optimal dari tahap tersebut samapai dengan tahap akhir. 4. Solusi optimal dari permasalahan didapatkan jika semua tahap sudah terpecahkan Model Program Dinamis Perhitungan program dinamis dilakukan dalam tahap-tahap dengan memerinci masalah menjadi beberapa bagian masalah. Setiap bagian masalah kemudian dipertimbangkan secara terpisah dengan tujuan untuk mengurangi jumlah dan kerumitan perhitungan. Tetapi karena semua masalah saling bergantung, harus dipikirkan sebuah prosedur untuk menghubungkan perhitungan dengan cara yang menjamin bahwa pemecahan yang layak untuk tiap-tiap tahap juga layak untuk keseluruhan masalah (Eodia, 2011). Sebuah tahap dalam program dinamis didefinisikan sebagai bagian dari masalah yang memiliki beberapa alternatif yang saling menggantikan yang darinya alternatif terbaik akan dipilih. Gagasan dasar program dinamis adalah secara praktis menghilangkan pengaruh saling ketergantungan antara tahap-tahap dengan menghubungkan definisi suatu keadaaan dengan setiap tahap. Suatu keadaaan biasanya didefinisikan untuk menunjukkan suatu batasan yang mengikat semua tahap secara bersama-sama (Eodia, 2011).

20 II-4 Terdapat beberapa pendekatan yang ada dalam program dinamis. Dua pendekatan tersebut adalah sebagai berikut (Eodia, 2011): 1. Program dinamis maju (forward atau up-down). Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1 terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap j. 2. Program dinamis mundur (backward atau bottom-up). Program dinamis bergerak mulai dari tahap j, terus mundur ke tahap j 1, j 2, dan seterusnya sampai tahap Konsep Dasar Program Dinamis Program dinamis memiliki beberapa konsep dasar dalam penyelesaiannya. Berikut ini adalah konsep dasar program dinamis beserta penjelesannya (library.binus.ac.id, 2009): 1. Dekomposisi Persoalan program dinamis dapat dipecah-pecah menjadi subpersoalan atau tahapan yang menjadi lebih kecil dan berurutan. Setiap tahap disebut juga titik keputusan. Setiap keputusan yang dibuat pada suatu tahap akan mempengaruhi keputusan-keputusan pada tahap berikutnya. 2. Status Status adalah kondisi awal dan kondisi akhir pada setiap tahap, dimana pada tahap tersebut keputusan dibuat. Status akhir pada sebuah tahap tergantung keadaaan status awal dan keputusan yang dibuat pada tahap yang bersangkutan. Status akhir pada suatu tahap merupakan input bagi tahap berikutnya. 3. Variabel keputusan dan hasil Keputusan yang dibuat pada setiap tahap merupakan keputusan yang berorientasi kepada return yang diakibatkannya, tingkat maksimal, dan minimal. 4. Fungsi transisi Fungsi transisi menjelaskan secara pasti bagaiman tahap-tahap saling berhubungan. Fungsi ini berbentuk fungsi hubungan antar status pada setiap tahap yang berurutan.

21 II-5 5. Optimasi tahap Optimasi tahap dalam program dinamis adalah menentukan keputusan optimal pada setiap tahap dari berbagai kemungkinan nilai status inputnya. 6. Fungsi rekursif Fungsi rekursif biasanya digunakan pada berbagai program komputer, di mana nilai sebuah variabel pada fungsi itu merupakan nilai kumulatif dari nilai variabel tersebut pada tahap sebelumnya Teori Permainan Teori permainan terdiri dari beberapa sub-sub bab yaitu sejarah teori permainan, pengertian teori permainan, tahapan program dinamis, manfaat dan ketentuan umum teori permainan, unsur-unsur teori permainan, dan strategi dalam teori permainan. Penjelasan mengenai sub-sub bab tersebut adalah sebagai berikut Sejarah Teori Permainan Sejarah teori permainan dimulai dari diskusi awal contoh permainan dua orang yang terjadi jauh sebelum munculnya teori permainan matematika modern. Pembahasan pertama yang diketahui dari teori permainan terjadi dalam surat yang ditulis oleh James Waldegrave pada tahun Seorang ahli matematika Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921 membuktikan teorema minimax untuk dua orang zero-sum game matriks hanya jika matriks pay-off adalah simetris ( 2012). Teori permainan modern yang paling terkenal dimulai dengan ide tentang adanya campuran strategi keseimbangan oleh John von Neumann. Ide Von Neumann ini digunakan sebagai landasan teorema Brouwer yang menjadi metode standar dalam teori permainan dan ekonomi matematika. Makalahnya diikuti dengan dikeluarkannya buku tentang teori permainan dan perilaku ekonomi pada tahun 1944, dengan Oskar Morgenstern, yang dianggap permainan kooperasi dari beberapa pemain. Edisi kedua dari buku ini memberikan teori aksiomatis dari utilitas yang diharapkan, yang memungkinkan ahli statistik matematika dan

22 II-6 ekonom untuk mengobati pengambilan keputusan di bawah ketidakpastian ( 2012). Pembahasan pertama dari dilema narapidana muncul pada tahun 1950, dan percobaan dilakukan pada teori permainan ini di perusahaan RAND. Sekitar waktu yang sama, John Nash mengembangkan kriteria untuk konsistensi saling strategi pemain, yang dikenal sebagai kesetimbangan Nash, berlaku untuk lebih banyak jenis permainan dari kriteria yang diusulkan oleh Von Neumann dan Morgenstern. Keseimbangan ini cukup umum untuk memungkinkan analisis permainan non-kooperatif di samping yang kooperatif. Teori permainan mengalami perkembangan yang pesat pada tahun 1950, selama periode ini, konsep-konsep inti, permainan bentuk yang luas, bermain fiktif, permainan berulang, dan nilai Shapley dikembangkan. Aplikasi pertama dari teori permainan ke filsafat dan ilmu politik terjadi dalam periode ini. Reinhard Selten memperkenalkan konsep solusi dari kesetimbangan subgame sempurna pada tahun 1965, yang merupakan pengembangan dari kesetimbangan Nash. John Harsanyi mengembangkan konsep informasi yang lengkap dan permainan Bayes pada tahun Nash, Selten dan Harsanyi menjadi pemenang hadiah Nobel Ekonomi pada tahun 1994 atas kontribusi mereka pada teori permainan ekonomi. Teori permainan secara luas diterapkan dalam biologi pada 1970-an, sebagian besar sebagai hasil karya John Maynard Smith dan strateginya evolusi stabil ( 2012) Pengertian Teori Permainan Menurut John von Neumann dan Oskar Morgenstern permainan terdiri atas sekumpulan peraturan yang membangun situasi bersaing dari dua sampai beberapa orang atau kelompok dengan memilih strategi yang dibangun untuk memaksimalkan kemenangan sendiri atau pun untuk meminimalkan kemenangan lawan. Peraturan-peraturan menentukan kemungkinan tindakan untuk setiap pemain, sejumlah keterangan diterima setiap pemain sebagai kemajuan bermain, dan sejumlah kemenangan atau kekalahan dalam berbagai situasi ( 2012).

23 II-7 Teori permainan (game theory) merupakan teori yang menggunakan pendekatan matematis dalam merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan. Teori ini dikembangkan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan yaitu strategi optimum dari situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan (Kartono, 1994). Teori Permainan juga merupakan suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan. Teori permainan melibatkan dua atau lebih pengambil keputusan atau yang biasa disebut pemain. Setiap pemain mempunyai keinginan untuk menang (Media Anugerah Ayu, 1996). Ide dasar dari teori permainan dalah tingkah laku strategis dari pemain atau pengambil keputusan. Setiap pemain diasumsikan mempunyai suatu seri rencana atau model tingkah laku dari mana pemain dapat memilih, jika memilih suatu himpunan strategi. Permainan diartikan sebagai gerakan khusus yang harus dipilih dari himpunan strategi yang ada. Anggapannya bahwa setiap pemain mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas dan rasional ( 2012) Manfaat dan Ketentuan Umum Teori Permainan Aplikasi-aplikasi nyata yang paling sukses dari teori permainan banyak ditemukan dalam militer. Seiring dengan berkembangnya dunia usaha yang semakin bersaing dan terbatasnya sumber daya serta saling meningkatkan pentingnya aplikasi bisnis teori permainan. Terdapat beberapa manfaat teori permainan untuk beberapa hal yaitu ( 2012): 1. Mengembangkan suatu kerangka untuk analisa pengambilan keputusan dalam situasi persaingan (kerja sama). 2. Menguraikan metode kuantitatif yang sistematik bagi pemain yang terlibat dalam persaingan untuk memilih strategi yang tradisional dalam pencapaian tujuan. 3. Memberi gambaran dan penjelasan fenomena situasi persaingan/konflik seperti tawar menawar dan perumusan koalisi.

24 II-8 Teori permainan memiliki beberapa ketentuan umum. Ketentuan umum tersebut menjadi persyaratan terhadap studi kasus yang ingin diselesaikan dengan teori permainan. Ketentuan umum dari teori permainan adalah sebagai berikut ( 2012): 1. Setiap pemain bermain rasional, dengan asumsi memiliki intelegensi yang sama, dan tujuan sama, yaitu memaksimumkan payoff, dengan kriteria maksimin dan minimax. 2. Minimal terdiri dari 2 pemain, keuntungan bagi salah satu pemain merupakan kerugian bagi pemain lain. 3. Tabel yang disusun menunjukkan keuntungan pemain baris, dan kerugian pemain kolom. 4. Permainan dikatakan adil jika hasil akhir menghasilkan nilai nol (0), tidak ada yang menang atau kalah. 5. Tujuan dari teori permainan ini adalah mengidentifikasi strategi yang paling optimal. Model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian serta jenis strategi yang digunakan dalam permainan. Berdasarkan jumlah pemain ada dua jenis games yang dikenal, yaitu two-person games (pemain berjumlah 2) dan N-person games (pemain berjumlah lebih dari 2). Berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugian dikenal dua jenis games, yaitu zero-sum games (nilai permainan 0) dan non zerosum games (nilai permainan tidak 0). Berdasarkan jenis strategi permainan yang biasa digunakan, yaitu pure strategy dan mixed strategy (Media Anugerah Ayu, 1996) Unsur-Unsur Dalam Teori Permainan Berikut ini akan diuraikan beberapa unsur atau elemen dasar yang penting dalam penyelesaian dari setiap kasus dengan teori permainan dengan mengambil permainan dua pemain jumlah nol. Unsur-unsur dasar teori permainan adalah sebagai berikut (Kartono, 1994).

25 II-9 Tabel 2.1 Permainan Dua Pemain Jumlah Nol Pemain Pemain B A B 1 B 2 B 3 A A Angka-angka dalam matriks pay-off, atau biasa disebut matriks permainan, menunjukkan hasil-hasil dari strategi-strategi permainan yang berbeda-beda. Hasil-hasil ini dinyatakan dalam suatu bentuk ukutan efektivitas, seperti uang, persentase market share. Dalam permainan dua pemain jumlah nol, bilanganbilangan positif menunjukkan keuntungan bagi pemain baris (maximizing player), dan merupakan kerugian bagi pemain kolom (maximizing player). Sebagai contoh, bila pemain A mempergunakan strategi A 1 dan pemain B memilih strategi B 2, maka hasilnya A memperoleh keuntungan 9 dan B kerugian 9. Anggapannya bahwa matriks pay-off diketahui oleh kedua pemain. 2. Suatu strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh dari seorang pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain lain yang menjadi pesaingnya. Dalam hal ini dianggap bahwa suatu strategi tidak dapat dirusak oleh para pesaing atau faktor lain. Dalam tabel di atas pemain A mempunyai 2 strategi yaitu A 1 dan A 2 dan pemain B mempunyai 3 strategi yaitu (B 1, B 2, B 3 ). 3. Aturan-aturan permainan menggambarkan kerangka dengan mana para pemain memilih strategi mereka. Sebagai contoh, dipakai anggapan bahwa para pemain harus memilih strategi-strategi mereka secara simultan dan bahwa permainan adalah berulang. 4. Nilai permainan adalah hasil yang diperkirakan permainan atau pay-off ratarata dari sepanjang rangkaian permainan, dimana kedua pemain mengikuti atau mempergunakan strategi mereka yang paling baik atau optimal. Suatu permainan dikatakan adil (fair) apabila nilainya nol, dimana tak ada pemain yang memperoleh keuntungan atau kemenangan. Permainan dikatakan tidak adil (unfair) apabila nilainya bukan nol.

26 II Suatu strategi dikatakan dominan bila setiap pay-off dalam strategi adalah superior terhadap setiap pay-off yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif. Nilai permainan adalah 4. Aturan dominan ini dapat digunakan untuk mengurangi ukuran matriks pay-off dan upaya perhitungan. 6. Suatu strategi optimal adalah rangkaian kegiatan, atau rencana yang menyeluruh, yang menyebabkan seorang pemain dalam posisi yang paling menguntungkan tanpa memperhatikan kegiatan-kegiatan para pesaingnya. Penger tian posisi menguntungkan adalah bahwa adanya deviasi (penyimpangan) dari strategi optimal, atau rencana optimal, akan menurunkan pay-off. 7. Tujuan dari model permainan adalah mengindentifikasikan stratagi atau rencana optimal untuk setiap pemain. Berdasarkan contoh diatas, strategi optimal untuk A adalah A 2, dan B 3 adalah strategi optimal untuk B Strategi Dalam Teori Permainan Penyelesaian masalah dalam teori permainan biasanya menggunakan dua karakteristik strategi yaitu pure strategy dan mixed strategy. Penjelasan dari pure strategy dan mixed strategy adalah sebagai berikut. 1. Pure Strategy (Strategi Murni) Penyelesaian masalah dengan strategi murni dilakukan dengan menggunakan konsep maximin untuk pemain/perusahaan baris dan konsep minimax untuk pemain/perusahaan kolom. Strategi ini merumuskan seorang pemain atau perusahaan akan menggunakan satu strategi/strategi tunggal untuk mendapatkan hasil optimal (saddle point yang sama). Saddle point adalah semacam titik keseimbangan antara nilai permainan kedua pemain (Kamaruddin, 2012). Maximin adalah nilai maksimum dari nilai-nilai minimum, sedangkan minimax adalah nilai minimum dari nilai-nilai maksimum. Terdapat beberapa langkah penyelesaian dengan pure strategy yaitu (Media Anugerah Ayu, 1996):

27 II-11 a. Terjemahkan setiap kasus ke dalam bentuk matiks segi, dimana satu pemain berperan sebagai pemain baris dan yang lain berperan sebagai pemain kolom. b. Pay-off bernilai positif berarti keuntungan bagi pemain baris. c. Pay-off bernilai negatif berarti keuntungan bagi pemain kolom. d. Tentukan nilai minimum setiap baris. e. Tentukan nilai maksimum dari langkah d. f. Tentukan nilai maksimum setiap kolom. g. Tentukan nilai minimum dari langkah f. h. Apabila nilai minimax = maximin maka terdapat saddle point. 2. Mixed Strategy (Strategi Campuran) Penyelesaian masalah dengan strategi campuran dilakukan apabila strategi murni yang digunakan belum mampu menyelesaikan masalah permainan atau belum mampu memberikan pilihan strategi yang optimal bagi masing-masing pemain/perusahaan. Strategi ini merumuskan bahwa seorang pemain atau perusahaan akan menggunakan campuran/lebih dari satu strategi untuk mendapatkan hasil optimal. Agar sebuah permainan atau persaingan menjadi optimal, setiap strategi yang dipergunakan berusaha untuk mendapatkan nilai permainan (saddle point) yang sama (Kamaruddin, 2012). Mixed strategy memiliki beberapa metoda yang dapat digunakan dalam penyelesaian yaitu metoda analitis, metoda grafik, dan metoda pemrograman linier. Metoda analitis efektif digunakan untuk menyelesaikan kasus yang sederhana. Metoda grafik dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah permainan yang mempunyai matriks pay-off berukuran 2 x n atau m x 2. Metoda pemrograman linier dalam penyelesaiannya menggunakan metoda simpleks (Media Anugerah Ayu, 1996) Rantai Markov Rantai markov terdiri dari beberapa sub-sub bab yaitu sejarah rantai markov, pengertian rantai markov, syarat-syarat rantai markov, dan langkah-

28 II-12 langkah proses markov. Penjelasan mengenai sub-sub tersebut adalah sebagai berikut Sejarah Rantai Markov Andrei Andreevich Markov (2 Juni Juli 1922) adalah seorang fisikawan Rusia. Dalam usahanya untuk menjelaskan secara matematik gejala alam yang dikenal dengan gerak Brown (Brownian motion), ia menemukan sebuah fakta yang kemudian dikenal dengan rantai markov (Markov Chain) atau ( ). Konstruksi matematik proses markov yang benar dengan trajektori-trajektori yang berkesinambungan pertama kali dilakukan oleh N. Wiener pada tahun Selanjutnya, teori umum proses markov dikembangkan oleh A.N. Kolmagorov, W. Feller, W. Doeblin, P. Levy, pada tahun 1930 dan Temuan A.A. Markov adalah: Untuk setiap waktu t, ketika kejadian adalah K t, dan seluruh kejadian sebelumnya adalah K t(j),, K t(j-n) yang terjadi dari proses yang diketahui, probabilitas seluruh kejadian yang akan datang K t(j) hanya tergantung kepada kejadian K t(j-1) dan tidak tergantung kepada kejadian-kejadian sebelumnya yaitu K t(j-2), K t(j-3),, K t(j-n) (Siswanto, 2007) Pengertian Rantai Markov Rantai markov adalah suatu teknik matematik yang biasa digunakan untuk melakukan pembuatan model bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan dari variabel-variabel dinamis tersebut di masa lalu. Teknik ini juga dapat menganalisa kejadian-kejadian di waktu mendatang secara matematis. Menggunakan analisa markov terhadap tingkah laku peralihan merek mencakup hal-hal sebagai berikut (Siagian, 1987): 1. Perkiraan dari pembagian pasar pada waktu tertentu di masa datang. 2. Penyelidikan tentang laju perubahan dalam pembagian pasar sepanjang waktu.

29 II Perkiraan dari kemantapan pembagian pasar. 4. Penyelidikan tentang pengaruh khusus strategi pasar dalam mengubah pembagian pasar yang tidak diinginkan. Rantai markov akan menjelaskan gerakan-gerakan beberapa variabel dalam satu periode waktu di masa yang akan datang berdasarkan pada gerakangerakan variabel tersebut di masa kini. Secara matematik, dapat ditulis: K t(j) = P x K t(j-1) Keterangan : K t(j) P t (j) = Peluang kejadian pada t (j) = Probabilitas transisional = Waktu ke-j Peluang kejadian K t(j) dalam formulasi di atas dinyatakan ke dalam bentuk vektor sehingga jumlah seluruh selnya akan selalu 100% (Siswanto, 2007). Analisis markov merupakan suatu bentuk khusus dari model probabilistik yang lebih umum yang dinamakan stochastic process, yaitu proses perubahan probabilistik yang terjadi terus menerus. Analisis ini sangat sering digunakan untuk membantu pembuatan keputusan dalam bisnis dan industri, misalnya dalam masalah ganti merek, masalah utang-piutang, masalah operasi mesin, analisis pengawasan dan penggantian, dan lain-lain (Mulyono, 2007). Proses stokastik ialah suatu himpunan variabel acak {X (t) } yang tertentu dalam suatu ruang sampel yang sudah diketahui, dimana t merupakan parameter waktu (indeks) dari suatu himpunan T. Ruang keadaan I dari suatu proses dinyatakan sebagai himpunan harga variabel acak yang mungkin. Misalnya, kalau X (t) b erupa variabel acak diskrit yang terdiri dari sejumlah harga tak berhingga yang dapat dihitung dalam suatu himpunan bilang cacah tidak negatif, maka I = {1,2, }. Dan kalau X (t) merupakan variabel acak kontinu yang non negatif, maka, I = { x : 0 x } (Siagian, 1987). Dalam proses stokastik, istilah variabel acak X (t) dapat diartikan sebagai variabel keadaan. Misalnya, kalau t = 1,2,, dalam himpunan T = {1,2,..} dan X (t) = 0,1,.., N dalam himpunan I = {0,1,2,.., N}maka dalam sistem persediaan,

30 II-14 X(1) menggambarkan keadaan tingkat persediaan pada akhir minggu pertama, X(2) menggambarkan keadaan tingkat persediaan pada akhir minggu kedua dan seterusnya (Siagian, 1987). Informasi yang dihasilkan dari analisis markov adalah probabilitas berada dalam suatu status pada satu periode di masa depan. Untuk memperoleh itu, seluruh probabilitas transisi dalam proses markov memainkan peran yang menentukan. Ada dua cara untuk menemukan informasi itu, yaitu dengan probabilities tree dan perkalian matriks. Probabilities tree merupakan cara yang nyaman untuk menunjukkan sejumlah terbatas transisi dari suatu proses markov (Mulyono, 2007). Penerapan analisa markov bisa dibilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisa markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem). Untuk mendapatkan analisa rantai markov ke dalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi, adalah sebagai berikut (Mulyono, 2007): 1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem adalah Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem. 3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu. 4. Kondisi merupakan kondisi yang independen sepanjang waktu Langkah-langkah Proses Markov Proses markov terdiri dari beberapa langkah dalam menyelesaikan suatu studi kasus. Langkah-langkah proses markov adalah sebagai berikut. 1. Matriks Aljabar Primer Merupakan suatu matrik yang menggambarkan transisi perilaku konsumen dalam hal menggunakan merek suatu produk. Dengan matriks ini dapat diketehui kondisi peroleh konsumen tiap merek produk, baik itu konsumen yang berasal dari merek lain, konsumen yang berpindah merek lain maupun

31 II-15 konsumen yang tetap setia pada merek tersebut. Dengan demikian akan terlihat peralihan dan pembagian pasar tiap merek serta kehilangan dari satu merek ke merek lain (Subagyo, 1989). 2. Matrik Probabilitas Transisi Untuk memperoleh matrik probabilitas transisi atau matrik peluang peralihan ini diperlukan pengamatan teliti tentang kondisi sistem (yang diamati) pada suatu periode ke periode berikutnya (Subagyo, 1989). a. Peluang peralihan banyak langkah Misalkan Pjk (m, n) k PXn j,0 m n sehingga Pjk (m, n) Xm adalah peluang bahwa proses akan berlangsung dari kejadian j hingga kejadian k dalam (n m ) langkah, dengan ketentuan bahwa sebelumnya sudah berada dalam keadaan j dalam langkah m, karena itu Pjk ( m,n ) disebut fungsi peluang peralihan dari rantai markov. Peluang peralihan dari rantai markov tergantung hanya pada selisih ( n m ) saja sehingga dapat ditulis : Pjk (m, n) Pjk Dan dapat dikatakan bahwa rantai markov mempunyai peluang peralihan yang stasioner atau homogen. Kita menetepkan fungsi peralihan yang stasioner sehingga: Pjk (n) b. Peluang peralihan satu langkah Misalkan, PXt - n (n-m) k Xt j k Pjk P Xm j sehingga Pjk = Pjk (1) adalah Xm -1 peluang bahwa proses akan berlangsung dari j ke k dalam satu langkah saja, dengan ketentuan bahwa keadaan j sudah ada sebelumnya. Maka Pjk diketahui sebagai fungsi peralihan satu langkah saja dari rantai markov. Dari definisi Pjk ( n ) kita mencatat bahwa: k1 Pjk (1) 1

32 II-16 c. Matrik peluang peralihan penting untuk menjelaskan peluang peralihan dari rantai markov dengan matrik peluang peralihan satu langkah ditentukan sebagai: P P B Pij P P P P P P P Matrik peluang peralihan n langkah dari rantai markov homogen ditentukan secara sama sebagai: B (n) Pij (n) P P P... (n) 00 (n) 01 (n) P P (n) 11 P (n) 01 (n) P P (n) 12 P (n) 02 (n) 22 Jadi, matrik peluang dua langkah ialah : B2 =B.B Anggapan dasar pada peralihan merek ini adalah bahwa pelanggan tidak mengubah dari satu merek ke merek lain secara acak, disamping itu mereka membeli merek-merek pada waktu yang akan datang yang mencerminkan pilihan-pilihan merek dibuat di waktu lalu. (Subagyo, 1989). 3. Matrik steady state Kondisi stedy state akan tercapai apabila tidak ada pesaing yang mengubah matriks probabilitas transisi dalam keadaan equilibrium pertukaran para pelanggan yang berkenaan dengan peralihan konsumen. Pembagian pasar mencapai keadaan mantap apabila memenuhi: A. B = A atau B. A = A Keterangan: A = Market share equilibrium B = Matriks steady state Untuk membutktikan telah tercapai kondisi steady state dapat dengan mengalihkan matriks probabilitas transisional dengan market share

33 II-17 equilibrium. Kondisi equilibrium tercapai hanya jika tidak ada pesaing yang mengubah matriks probabilitas transisi. Dalam keadaan equilibrium pertukaran para konsumen berkenaan dengan retention, mendapatkan, dan kehilangan akan statis. Keadaan yang umum terjadi adalah bahwa tidak ada satu provider pun yang seluruh konsumennya tetap setia menggunakan produknya, yang berarti kondisi equilibrium akhir tercapai berdasarkan matriks probabilitas transisi tetap (Siagian, 1987) Teori Antrian Teori antrian terdiri dari beberapa sub-sub bab yaitu sejarah teori antrian, konsep dasar model antrian, tujuan model antrian, elemen-elemen pokok dalam sistem antrian, dan sistem serta struktur antrian. Penjelasan mengenai sub-sub tersebut adalah sebagai berikut Sejarah Teori Antrian Teori Antrian (Queueing Theory) diawali oleh Agner Kraup Erlang (1 Januari Februari 1929) yang pertama kali mempublikasikan makalah mengenai Queueing Theory pada tahun A.K Erlang adalah seorang insinyur asal Denmark yang bekerja di Copenhagen Telephone Exchange. Penemuan itu terjadi ketika mereka mengamati masalah kepadatan penggunaan telepon di Copenhagen Telephone. Pada saat itu permintaan hubungan telepon ke satu nomor masih dilayani secara manual oleh operator di mana pada saat-saat sibuk peminta harus menunggu untuk bias disambungkan dengan nomor yang dikehendaki karena padatnya lalu lintas komunikasi (Subagyo,1989). Pada tahun 1917, A. K. Erlang memperbaiki penemuannya dan kemudian disusul Molina (1927) dan thornton (1928). Sebelum perang dunia kedua berakhir, teori ini telah diperluas penerapannya ke masalah-masalah umum dengan memasukkan Faktor Antri dan Garis Tunggu. Penggunaan istilah Sistem Antrian (Queueing System) dijumpai pertama kali pada tahun 1951 di dalam Journal Royal Statistical Society, sedangkan masalah antrian sendiri sebenarnya sudah dijumpai sejak jaman Moses atau Noah (Subagyo,1989).

34 II Konsep Dasar Model Antrian Suatu antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga nasabah yang tiba tidak bias segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayan (Siagian,1987). Dalam kehidupan sehari-hari, kejadian ini sering kita temukan misalnya seperti terjadi pada loket bioskop, loket kereta api, loket-loket pada bank, dermaga di pelabuhan, loket jalan tol, pelabuhan udara, telepon jarak jauh, tempat praktek dokter, loket stadion, pompa minyak, dan banyak lagi yang lain. Umumnya, tiap orang pernah mengalami kejadian seperti ini dalam hidupnya. Oleh karena itu, boleh dikatakan bahwa antrian sudah menjadi bagian dari kehidupan setiap orang (Siagian,1987). Teori antrian memiliki beberapa konsep dasar yaitu tujuan, elemen-elemen pokok dalam sistem antrian yang berupa sumber masukan (input), pola kedatangan, disiplin antrian, kepanjangan antrian, tingkat pelayanan, dan keluar (exit). Penjelasan konsep-konsep dasar teori antrian adalah sebagai berikut (Siswanto,2007): 1. Tujuan Model Antrian Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Bila suatu sistem mempunyai fasilitas pelayanan lebih dari jumlah optimal, ini berarti membutuhkan investasi modal yang berlebihan, tetapi bila jumlahnya kurang dari optimal hasilnya adalah tertundanya pelayanan (Siswanto,2007). 2. Elemen-elemen Pokok Dalam Sistem Antrian Sistem antrian yang paling sederhana ditunjukkan pada Gambar 1.1. Sistem ini mempunyai dua bagian dasar yaitu suatu antrian tunggal dan sebuah

35 II-19 fasilitas pelayanan tunggal, yang kadang-kadang disebut single channel. Sistem single channel ini menerima individu-individu dari suatu populasi khusus. Sistem antrian terdiri dari 6 elemen-elemen pokok. Elemen-elemen pokok dalam suatu sistem antrian adalah sebagai berikut (Siswanto,2007). Sumber Masukan Sistem Antrian Keluar Populasi Individu Individu Antri Fasilitas Pelayanan Individu Yang Telah Dilayani Gambar 2.1 Model Single Channel a. Sumber Masukan (Input) Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk dilayani. Bila populas relatif besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang tak terbatas. Anggapan ini adalah hampir umum karena perumusan sumber masukan yang tak terbatas lebih sederhana daripada sumber yang terbatas. Suatu populasi dinyatakan besar bila populasi tersebut lebih besar dibanding dengan kapasitas sistem pelayanan. b. Pola Kedatangan Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu berapa banyak individu-individu per periode waktu). Distribusi probabilitas poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan yang paling sering (umum) digunakan bila kedatangankedatangan didistribusikan secara random. c. Disiplin Antrian

36 II-20 Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk menseleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu (prioritas). Beberapa pedoman disiplin antrian yaitu. - First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO). - Last come first served (LCFS) atau last in last out (LILO). - Service in random order (SIRO). - Priority service (PS). d. Kepanjangan Antrian Banyak sistem antrian dapat menampung jumlah individu-individu relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai kepanjangan antrian yang terbatas (finite) dan model antrian terbatas harus digunakan untuk menganalisa sistem tersebut. e. Tingkat Pelayanan Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga sering acak (random). Bila waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial atau distribusi acak, waktu pelayanan (yaitu unit/jam) akan mengikuti suatu disstribusi Poisson. f. Keluar (Exit) Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari sistem. Sesudah keluar, dia mungkin bergabung dengan populasi asal dan mempunyai probabilitas yang sama untuk memasuki sistem kembali, atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain yang mempunyai probabilitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut kembali Sistem dan Struktur Antrian Banyak perbedaan sistem-sistem dan struktur-struktur antrian yang terdapat dalam masyarakat yang semakin kompleks. Perbedaan-perbedaan dalam jumlah antrian, fasilitas pelayanan, dan hubungan-hubungan yang terjadi dapat

37 II-21 menghasilkan bentuk atau susunan yang bervariasi tidak terbatas. Umumnya sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman (1990) adalah sebagai berikut: 1. Sistem pelayanan komersial 2. Sistem pelayanan bisnis industri 3. Sistem pelayanan transportasi 4. Sistem pelayanan sosial Sebuah fasilitas pelayanan dalam sebuah sistem mungkin hanya terdiri satu kali proses, artinya setelah selesai proses pelayanan segera keluar dari sistem. Namun mungkin juga memerlukan beberapa tahap proses di mana penyelesaian proses pelayanan dalam sebuah tahap perlu dilanjutkan dengan pelayanan tahap berikutnya. Hal ini tentu saja mempengaruhi konfigurasi model antrian. Memperhatikan ragam dan fasilitas pelayanan maka model antrian mempunyai empat macam konfigurasi yaitu (Subagyo,1989): 1. Kanal Tunggal Fase Tunggal (Single Channel Single Phase) Sistem antrian jalur tunggal (single channel single phase) berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan serta satu jenis layanan yang diberikan. Beberapa rumus yang digunakan dalam penyelesaian studi kasus single channel single phase adalah sebagai berikut. a. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P) P b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq) 2 Lq ( ) c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ls) Ls -

38 II-22 d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq) Wq ( - ) e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ws) 1 Ws ( - ) f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem (Po) Keterangan : a. Rata-rata tingkat kedatangan b. Rata-rata tingkat pelayanan Po 1-2. Multi Kanal Fase Tunggal (Multi Channel Single Phase) Sistem antrian jalur berganda satu tahap (multi channel single phase) adalah terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut, namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan. Beberapa rumus yang digunakan dalam penyelesaian studi kasus multi channel single phase adalah sebagai berikut. a. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P) P S b. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem (Po) Po S 1 n0 n! n 1 S S! 1 S c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq) Lq ( S 1)!( S ) s 2 Po

39 II-23 d. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (L) L Lq e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (W) Po Wq μs(s!) 1- S f. Waktu rata-rata unit dalam antrian (W) Pw W Wq S 1 2 Po S! 1 S S menunggu antrian (Pw) g. Probabilitas dalam Keterangan : a. S Fasilitas pelayanan b. Rata-rata tingkat kedatangan c. Rata-rata tingkat pelayanan 3. Kanal Tunggal Multi Fase (Single Channel Multi Phase) Sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda (single channel multi phase) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan. 4. Multi Kanal Multi Fase (Multi Channel Multi Phase) Sistem antrian jalur berganda dengan tahapan berganda (multi channel multi phase) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap jenis layanan.

40 II-24 Terdapat empat macam tolak ukur yang digunakan untuk mengetahui gambaran atau kinerja keempat macam konfigurasi model tersebut, yaitu (Subagyo,1989): 1. Panjang Sistem (P S ) atau Length of System 2. Waktu di dalam sistem (W S ) atau Time Spent in the System 3. Panjang Antrian (P A ) atau Length of Queue 4. Waktu Antrian (W A ) atau Waiting in the Queue

41 BAB III STUDI KASUS 3.1. Studi Kasus Pemrograman Dinamis Studi Kasus untuk program dinamis terbagi menjadi dua macam yaitu studi kasus program dinamis menggunakan metode backward dan forward. Studi kasus program dinamis metode backward dan forward adalah sebagai berikut Studi Kasus Stokastik (Backward) UKM Widyatama merupakan usaha kecil menengah yang bergerak di bidang jasa pengiriman barang untuk kawasan Jakarta dan sekitarnya. UKM tersebut berlokasi di Kebon Jeruk, Jakarta Barat. UKM Widyatama ingin mengirim barang berupa buku paket ke SMAN 34 Jakarta yang berlokasi di Pondok Labu. UKM Widyatama perlu menentukan jalur distribusi yang tepat untuk meminimalkan biaya operasional pendistribusian dimana setiap 1 km membutuhkan biaya operasional sebesar Rp 3.000,-. Berikut ini adalah beberapa jalur distribusi yang dapat ditempuh (dalam satuan km) Gambar 3.1 Jalur Pendistribusian UKM Widyatama III-1

42 III-2 Berdasarkan jalur distribusi tersebut, jalur manakah yang optimal sehingga dapat meminimalkan biaya operasional pendistribusian UKM Widyatama? Studi Kasus Knapsack (Forward) UKM Widyatama dalam melakukan pendistribusian buku paket ke SMAN 34 Jakarta terdiri dari 4 tipe buku. Setiap tipe buku paket memiliki berat yang berbeda. Berat dari buku paket yang didistribusikan berbanding lurus dengan profit yang akan diterima. Data berat dan profit (dalam ribuan) masing-masing tipe buku paket SMA adalah sebagai berikut. Tabel 3.1 Data Buku Paket SMA Buku Paket Tipe ke- Berat Buku (kwintal) Profit (Rp) Apabila dalam sekali pendistribusian UKM Widyatama hanya mampu membawa buku paket dengan berat maksimal sebesar 6 kwintal, tentukan tipe buku paket manakah yang mampu memberikan profit atau keuntungan yang optimal? 3.2. Studi Kasus Teori Permainan Studi kasus teori permainan terdiri dari dua studi kasus. Pembahasan setiap studi kasus game theory diselesaikan dengan dua strategi yaitu strategi murni (pure strategy) dan strategi campuran (mix strategy) Studi Kasus Pure Strategy UKM Wijaya dan UKM Pratama merupakan usaha kecil menengah yang bergerak dibidang konveksi pakaian batik. Kedua UKM yang memiliki produk yang relatif sama tersebut, saling bersaing dan berusaha untuk mendapatkan keuntungan sebesar-besarnya. Maka dari itu, UKM Wijaya dan UKM Pratama mengandalkan 3 strategi penjualan untuk bulan Oktober, dan hasilnya terlihat dalam tabel berikut ini (satuan dalam ratusan ribu Rupiah).

43 III-3 UKM Wijaya Tabel 3.2 Strategi UKM Wijaya dan UKM Pratama Bulan Oktober UKM Pratama Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) Berdasarkan tabel tersebut, strategi apa yang dapat digunakan oleh UKM Wijaya dan UKM Pratama, agar masing-masing mendapatkan hasil yang optimal (Jika untung maka keuntungan maksimum dan jika rugi maka kerugian minimum)? Studi Kasus Mix Strategy UKM Wijaya dan UKM Pratama yang bergerak dibidang konveksi pakaian batik kembali menentukan strategi penjualan untuk bulan November. Kedua UKM yang memiliki produk yang relatif sama tersebut, tetap menggunakan 3 strategi penjualan yaitu harga murah, harga sedang, dan harga mahal, serta hasilnya terlihat dalam tabel berikut ini (satuan dalam ratusan ribu Rupiah). UKM Wijaya Tabel 3.3 Strategi UKM Wijaya dan UKM Pratama Bulan November UKM Pratama Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) Berdasarkan tabel tersebut, bagaimana strategi penjualan yang dapat digunakan oleh UKM Wijaya dan UKM Pratama, agar masing-masing mendapatkan hasil yang optimal pada bulan November (Jika untung maka keuntungan maksimum dan jika rugi maka kerugian minimum)?

44 III Studi Kasus Rantai Markov PT. Bimoli adalah perusahaan yang bergerak di bidang produksi minyak goreng. Perusahaan tersebut ingin mengetahui perubahan minat konsumen produk minyak goreng bimoli untuk 4 bulan ke depan terhadap dua produk saingannya yaitu filma dan tropical. PT. Bimoli melakukan survey tentang produk mereka dan produk filma serta tropical. Survey dilakukan dengan kuisioner terhadap para ibu rumah tangga yang berbelanja minyak goreng di Hypermart dan Carefour regional Jakarta. Selanjutnya, PT. Bimoli melakukan penyelesaian menggunakan rantai markov berdasarkan hasil survey. Berikut merupakan perkiraaan jumlah perpindahan konsumen PT. Bimoli. 1. Jika bulan ini konsumen membeli minyak goreng bimoli maka bulan depan akan berpeluang 40% konsumen akan membeli minyak goreng bimoli, 30% konsumen akan membeli minyak goreng filma, dan 30% konsumen akan membeli minyak goreng tropical. 2. Jika bulan ini konsumen membeli minyak goreng filma maka bulan depan akan berpeluang 35% konsumen akan membeli minyak goreng bimoli, 45% konsumen akan membeli minyak goreng filma, dan 20% konsumen akan membeli minyak goreng tropical. 3. Jika bulan ini konsumen membeli minyak goreng tropical maka bulan akan berpeluang 30% konsumen akan membeli minyak goreng bimoli, 55% konsumen akan membeli minyak goreng filma, dan 15% konsumen akan membeli minyak goreng tropical. Diketahui market share dari ketiga merek minyak goreng tersebut yaitu 50%, 30%, dan 20%. Berapakah peluang market share untuk bulan ke-4 dari ketiga merek minyak goreng tersebut? 3.4. Studi Kasus Teori Antrian Studi kasus pada teori antrian ini terdiri dari dua studi kasus. Studi kasus yang pertama berkaitan dengan single channel single phase sedangkan studi kasus yang kedua berkaitan dengan multi channel single phase dengan 4 server.

45 III Studi Kasus Single Channel Single Phase PT. Asuransi Allianz Utama Indonesia merupakan perusahaan yang bergerak dalam bidang asuransi kendaraan bermotor, kecelakaan diri, properti, rekayasa, liability, kebakaran, serta bencana alam. Perusahaan tersebut ingin melakukan evaluasi terhadap sistem antrian pada bagian security check point yang hanya memiliki 1 unit. Security check point merupakan bagian yang memeriksa barang bawaan para pegawai maupun pelanggan yang berasuransi di perusahaan tersebut. Evaluasi dilakukan berdasarkan hasil pengamatan selama sebulan terakhir. Berdasarkan hasil pengamatan menunjukkan bahwa rata-rata tingkat kedatangan pegawai dan pelanggan adalah 110 orang/jam dan rata-rata tingkat pelayanan adalah 0,45 menit/orang. Berdasarkan data tersebut, perusahaan ingin mengetahui beberapa hal yaitu: 1. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P). 2. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq). 3. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ls). 4. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq). 5. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ws). 6. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem (Po) Studi Kasus Multi Channel Single Phase PT. Astra Honda Motor mempunyai beberapa Bengkel Ahass di Jakarta. Bengkel Ahass menyediakan jasa service motor Honda untuk segala tipe motor. Setiap Bengkel Ahass memiliki 4 petugas service motor dan menggunakan sistem antrian first come first served (FCFS) yaitu pemilik motor yang datang pertama dilayani lebih dulu dan sistem antrian hanya satu jalur. PT. Astra Honda Motor ingin melakukan evaluasi terhadap sistem antrian yang digunakan selama sebulan terakhir. Evaluasi dilakukan terhadap hasil pengamatan terhadap beberapa Bengkel Ahass yang terdapat di daerah Jakarta. Berdasarkan hasil pengamatan, menunjukkan bahwa rata-rata ada 8 konsumen yang datang tiap jam (sesuai distribusi poisson) dan rata-rata tingkat pelayanan adalah 15 menit/motor.

46 III-6 Berdasarkan hasil pengamatan tersebut, perusahaan ingin mengetahui beberapa hal yaitu: 1. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P). 2. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem (Po). 3. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq). 4. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (L). 5. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq). 6. Waktu rata-rata unit dalam antrian (W). 7. Probabilitas menunggu dalam antrian (Pw).

47 BAB IV PEMBAHASAN 4.1. Perhitungan Manual Pembahasan setiap studi kasus dilakukan dengan perhitungan manual yang menggunakan beberapa metode stokastik. Hal tersebut disesuaikan dengan permasalahan yang terdapat pada setiap studi kasus. Perhitungan manual pada laporan akhir ini adalah sebagai berikut Perhitungan Manual Pemrograman Dinamis Perhitungan manual untuk pemrograman dinamis dilakukan dengan metode backward dan forward. Kedua metode penyelesaian tersebut disesuaikan dengan studi kasus dalam pemograman dinamis. Berikut ini adalah perhitungan manual program dinamis dengan metode backward dan knapsack. 1. Perhitungan Manual Stokastik (Backward) Misalkan x 1, x 2, x 3, x 4 adalah simpul-simpul yang dikunjungi pada tahap k (k = 1,2,3,4). Maka rute yang dilalui adalah 1 x 1 x 2 x 3 x 4, yang dalam hal ini x 4 = 11. Pada persoalan ini, tahap (k) adalah proses memilih simpul tujuan berikutnya (ada 4 tahap). Status (s) yang berhubungan dengan masingmasing tahap adalah simpul-simpul di dalam graf. Tujuan program dinamis mundur adalah mendapatkan f 1 (1) dengan cara mencari f 4 (s), f 3 (s), f 2 (s) terlebih dahulu. a. Tahap 4 : f 4 (s) = c sx4 Tabel 4.1 Tahap 4 Metode Backward s Solusi Optimum f 4 (s) x 4 * b. Tahap 3 : f s c f ( x ) min sx x 3 3 IV-1

48 IV-2 Tabel 4.2 Tahap 3 Metode Backward x 3 f3( s, x ) 3 c sx f4( x3) Solusi 3 Optimum s f 3 (s) x 3 * = = = = = = = = c. Tahap 2 : f s c f ( x ) s x 2 min sx x 2 2 Tabel 4.3 Tahap 2 Metode Backward f2( s, x2) csx f3( x2) 2 Solusi Optimum f 2 (s) x 2 * = = = = atau = = = = d. Tahap 1 : f s c f ( x ) min sx x 1 1 s Tabel 4.4 Tahap 1 Metode Backward x 1 f1( s, x1 ) c sx f2( x1 ) 1 Solusi Optimum 2 3 f 1 (s) x 1 * = = e. Jadi, solusi optimum untuk jalur pendistribusian terpendek dari 1 ke 11 adalah dengan panjang jalur pendistribusian UKM Widyatama ke SMA 34 Jakarta adalah sejauh 10 km. Sehingga biaya minimum yang dikeluarkan untuk operasional adalah sebesar Rp ,-. 2. Perhitungan Manual Knapsack (Forward) Diketahui : n = 4, M = 6 Tabel 4.5 Data Buku Paket SMA Barang ke-i w i p i

49 IV-3 a. Tahap 1 : f y) max f ( y), p f ( y w ) max f ( y),25 f ( y 1) 1( Tabel 4.6 Tahap 1 Metode Forward y [f 0 (y)] 25 + f 0 (y 1) Solusi Optimum f 1 (y) (x 1 *, x 2 *, x 3 *, x 4 *) (- ) = - 0 (0,0,0,0) (0) = (1,0,0,0) (0) = (1,0,0,0) (0) = (1,0,0,0) (0) = (1,0,0,0) (0) = (1,0,0,0) (0) = (1,0,0,0) b. Tahap 2 : f y) max f ( y), p f ( y w ) max f ( y),40 f ( y 2) 2( Tabel 4.7 Tahap 2 Metode Forward y [f 1 (y)] 40 + f 1 (y 2) Solusi Optimum f 2 (y) (x 1 *, x 2 *, x 3 *, x 4 *) (- ) = - 0 (0,0,0,0) (- ) = - 25 (1,0,0,0) (0) = (0,1,0,0) (25) = (1,1,0,0) (25) = (1,1,0,0) (25) = (1,1,0,0) (25) = (1,1,0,0) c. Tahap 3 : f y) max f ( y), p f ( y w ) max f ( y),80 f ( y 4) 3( Tabel 4.8 Tahap 3 Metode Forward y [f 2 (y)] 80 + f 2 (y 4) Solusi Optimum f 3 (y) (x 1 *, x 2 *, x 3 *, x 4 *) (- ) = - 0 (0,0,0,0) (- ) = - 25 (1,0,0,0) (- ) = - 40 (0,1,0,0) (- ) = - 65 (1,1,0,0) (0) = (0,0,1,0) (25) = (1,0,1,0) (40) = (0,1,1,0) d. Tahap 4 : f y) max f ( y), p f ( y w ) max f ( y),70 f ( y 3) 4( Tabel 4.9 Tahap 4 Metode Forward Solusi Optimum y [f 3 (y)] 70 + f 3 (y 3) f 4 (y) (x 1 *, x 2 *, x 3 *, x 4 *) (- ) = - 0 (0,0,0,0)

50 IV-4 Tabel 4.9 Tahap 4 Metode Forward (Lanjutan) y [f 3 (y)] 70 + f 3 (y 3) Solusi Optimum f 4 (y) (x 1 *, x 2 *, x 3 *, x 4 *) (- ) = - 25 (1,0,0,0) (- ) = - 40 (0,1,0,0) (0) = (0,0,0,1) (25) = (1,0,0,1) (40) = (0,1,0,1) (65) = (1,1,0,1) e. Solusi optimum X = (1,1,0,1) dengan p = f = 135. Jadi, UKM Widyatama akan mendapatkan profit optimal sebesar Rp jika mendistribusikan buku paket SMA dengan tipe ke-1, 2, dan Perhitungan Manual Teori Permainan Perhitungan manual untuk teori permainan dilakukan dengan dua metode yaitu pure strategy dan mix strategy. Kedua metode penyelesaian tersebut disesuaikan dengan tipe studi kasus dalam teori permainan. Berikut ini adalah perhitungan manual teori permainan dengan metode pure strategy dan mix strategy. 1. Perhitungan Manual Pure Strategy a. Menentukan nilai untuk maximin, yaitu dengan memilih nilai yang paling terkecil pada masing-masing baris yang ada pada UKM Wijaya. Kemudian pilih nilai terbesar yang terdapat pada nilai dari maximin. UKM Wijaya Tabel 4.10 Nilai Maximin Pure Strategy UKM Pratama Harga Harga Harga Murah Sedang Mahal Maximin (S1) (S2) (S3) Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) b. Menentukan nilai untuk minimax, yaitu dengan memilih nilai paling terbesar pada masing-masing kolom yang ada pada UKM Pratama. Kemudian pilih nilai terkecil yang terdapat pada nilai terbesar minimax.

51 IV-5 UKM Wijaya Tabel 4.11 Nilai Minimax Pure Strategy UKM Pratama Harga Harga Harga Murah Sedang Mahal Maximin (S1) (S2) (S3) Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) Minimax c. Karena pilihan untuk UKM Wijaya yaitu strategi murah (S1) dengan harga 1 dan UKM Pratama strategi murah (S1) dengan harga 1 (Rp ,-, maka permainan ini dinyatakan sudah optimal (saddle point). 2. Perhitungan Manual Mix Strategy a. Menentukan nilai untuk maximin, yaitu dengan memilih nilai yang paling terkecil pada masing-masing baris yang ada pada UKM Wijaya. Kemudian pilih nilai terbesar yang terdapat pada nilai dari maximin. UKM Wijaya Tabel 4.12 Nilai Maximin Mix Strategy UKM Pratama Harga Harga Harga Murah Sedang Mahal Maximin (S1) (S2) (S3) Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) b. Menentukan nilai untuk minimax, yaitu dengan memilih nilai paling terbesar pada masing-masing kolom yang ada pada UKM Pratama. Kemudian pilih nilai terkecil yang terdapat pada nilai terbesar minimax. UKM Wijaya Tabel 4.13 Nilai Minimax Mix Strategy UKM Pratama Harga Harga Harga Murah Sedang Mahal Maximin (S1) (S2) (S3) Harga Murah (S1) Harga Sedang (S2) Harga Mahal (S3) Minimax 5 4 8

52 IV-6 c. Karena pilihan UKM Wijaya yaitu strategi murah (S1) dengan harga 1 dan UKM Pratama strategi sedang (S2) dengan harga 4, maka permainan ini dinyatakan belum optimal, maka perlu dilakukan strategi campuran. d. Masing-masing pemain menghilangkan strategi yang menghasilkan keuntungan atau kerugian yang paling buruk. UKM Wijaya memiliki strategi sedang (S2) yang paling buruk sedangkan UKM Pratama memiliki strategi mahal (S3) yang paling buruk, maka nilai buruk tersebut dibuang. UKM Wijaya Harga Murah (S1) (p) Harga Mahal (S3) (1-p) e. Mencari nilai besaran probabilitas: UKM Wijaya Tabel 4.14 Pure Strategy UKM Pratama Harga Murah (S1) (q) Harga Sedang (S2) (1-q) Strategi yang digunakan UKM Wijaya maka UKM Pratama akan meresponnya dengan strategi S1, maka: 1p + 5 (1 p) = p + 5 5p = 5 4p Strategi yang digunakan UKM Wijaya maka UKM Pratama akan meresponnya dengan strategi S2, maka: Kemudian persamaan yang ada: 4p + 0 (1 p) = 4p 5 4p = 4p 8p = 5 p = 5/8 = 0,625 f. Karena p = 0,625, maka nilai dari (1 p) adalah (1 0,625) = 0,375. Sehingga kedua hasil tersebut dimasukkan ke dalam kedua persamaan dan keuntungan maksimal yang diharapkan oleh UKM Wijaya adalah: - Persamaan 1 = 1p + 5 (1 p) = 1 (0,625) + 5 (0,375) = 2,5 - Persamaan 2 = 4p + 0 (1 p) = 4 (0,625) + 0 (0,375) = 2,5

53 IV-7 g. Mencari nilai besaran probabilitas: UKM Pratama Strategi yang digunakan UKM Pratama maka UKM Wijaya akan meresponnya dengan strategi S1, maka: 1q + 4 (1 q) = q + 4 4q = 4 3p Strategi yang digunakan UKM Pratama maka UKM Wijaya akan meresponnya dengan strategi S3, maka: 5q + 0 (1 q) = 5q Kemudian persamaan yang ada: 4 3q = 5q 8p = 4 p = 4/8 = 0,5 h. Karena p = 0,5, maka nilai dari (1 q) adalah (1 0,5) = 0,5. Sehingga kedua hasil tersebut dimasukkan ke dalam kedua persamaan dan kerugian minimal yang diharapkan oleh UKM Pratama adalah: - Persamaan 1 = 1q + 4 (1 q) = 1 (0,5) + 4 (0,5) = 2,5 - Persamaan 2 = 5q + 0 (1 q) = 5 (0,5) + 0 (0,5) = 2,5 i. Kesimpulan yang diperoleh adalah kedua UKM tersebut sudah optimal (saddle point), setelah menggunakan mix strategy. Hasil yang diperoleh sama yaitu sebesar 2,5. Keuntungan UKM Wijaya sebesar 2,5 (Rp ,-) dan kerugian UKM Pratama sebesar 2,5 (Rp ,-) Perhitungan Manual Rantai Markov Studi kasus PT. Bimoli menggunakan rantai markov dalam penyelesaiannya. Perhitungan perubahan market share dilakukan sebanyak 4 kali karena PT. Bimoli ingin mengetahui perubahan minat konsumen untuk bulan ke- 4. Perhitungan manual studi kasus PT. Bimoli dengan metode rantai markov adalah sebagai berikut. 1. Perhitungan perubahan market share pada periode pertama. MK( t) MK( t 1) P MK( 1) MK(0) P

54 IV-8 MK (1) (.50,.30,.20) MK ( 1) (.50.40) (.30.35) (.20.30),(.50.30) (.30.45) (.20.55), ( ) (.30.20) (.20.15) MK(1) (.365,.395,.24) 2. Perhitungan perubahan market share pada periode kedua. MK( t) MK( t 1) P MK( 2) MK(1) P MK (1) MK (1) (.365,.395,.24) ( ) ( ) (.24.30),( ) ( ) ( ),( ) ( ) (.24.15) MK ( 1) (.356,.419,.224) 3. Perhitungan perubahan market share pada periode ketiga. MK( t) MK( t 1) P MK( 3) MK(2) P MK (3) MK (3) (.356,.419,.224) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) MK ( 3) (.3562,.4185,.2242) 4. Perhitungan perubahan market share pada periode keempat. MK( t) MK( t 1) P MK( 4) MK(3) P

55 IV-9 MK (4) MK (4) (.3562,.4185,.2242) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) MK ( 4) ( , ,.22419) Tabel 4.15 berikut ini merupakan perubahan market share untuk ketiga produk minyak goreng yaitu bimoli, filma, dan tropical. Peluang market share pada ketiga produk minyak goreng pada bulan keempat yaitu sebesar 36%, 42%, dan 22%. Tabel 4.15 Peluang Market Share Minyak Goreng Bulan Ke- Peluang Bimoli Peluang Filma Peluang Tropical 0 50% 30% 20% 1 36,5% 39,5% 24% 2 35,6% 41,9% 22,4% 3 35,62% 41,85% 22,42% 4 35,62% 41,85% 22,42% Perhitungan Manual Teori Antrian Perhitungan manual untuk teori antrian dilakukan dengan dua metode yaitu single channel single phase dan multi channel single phase. Metode penyelesaian tersebut disesuaikan dengan tipe studi kasusnya. Berikut ini adalah perhitungan manual teori antrian. 1. Perhitungan Manual Single Channel Single Phase Diketahui : a. Rata-rata tingkat kedatangan ( ) 110 orang/jam b. Rata-rata tingkat pelayanan ( ) 0,45 menit/orang Penyelesaian : Dalam hal ini tingkat pelayanan menjadi 60/0,45 = 133,3 orang/jam a. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P) P ,3 0,825

56 IV-10 Sehingga tingkat intensitas fasilitas pelayanan adalah 82,5% b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq) Lq ( ) 133,3 (133,3-110) ,89 3,89 4 orang c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ls) 110 Ls 4,72 5 orang - 133,3 110 d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq) Wq ( - ) ,3(133,3-110) 0,035 jam 2,1menit e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ws) 1 1 Ws 0,043 jam 2,58 menit ( - ) (133,3 110) f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem (Po) Po ,3 0,175 atau 17,5% 2. Perhitungan Manual Multi Channel Single Phase Diketahui : a. Fasilitas pelayanan ( S ) 4 unit b. Rata-rata tingkat kedatangan ( ) 8 motor/jam c. Rata-rata tingkat pelayanan ( ) 15 menit/motor( 60:15 4 motor/jam) Penyelesaian : a. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P) P S ,5 atau 50% b. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem (Po) Po S 1 n0 n! n 1 S S! 1 S

57 IV-11 Po S-1 n 0 (8/ 4) 0! 0 (8/ 1! Po = 0,1304 atau 13,04% 4) 1 1 (8/ 4) 2! 2 (8/ 4) 3! c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq) s Lq Po 0, ( S 1)!( S ) (4 1)!(4.4 8) Lq 0,1738 1unit 2 d. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (L) 8 L Lq 0,1738 2, unit (8/ 4) 8 4! (16) 0,1304 (3)!(64) e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq) S Wq Po 0, , μs(s!) 1-4.4(4!) 1 S 4.4 Wq 0,0217 jam 1,302 menit f. Waktu rata-rata unit dalam antrian (W) 1 1 W Wq 0,0217 0,2717 jam 16,302 menit 4 g. Probabilitas menunggu dalam antrian (Pw) 4 0,5 16 Pw S Po S! 1 S ,1304 4! (16) 0, ,5 0,1738 Pw 17,38% 4.2. Perhitungan Software Pembahasan setiap studi kasus juga dilakukan dengan perhitungan software yang menggunakan beberapa metode stokastik. Hal tersebut disesuaikan

58 IV-12 dengan permasalahan yang terdapat pada setiap studi kasus. Perhitungan software pada laporan akhir ini adalah sebagai berikut Perhitungan Software Pemrograman Dinamis Perhitungan software untuk pemrograman dinamis dilakukan dengan metode backward dan knapsack. Berikut ini adalah perhitungan software pemrograman dinamis beserta langkah-langkahnya.. 1. Perhitungan Software Stokastik (Backward) Perhitungan software untuk metode backward menggunakan software QM 3.0. Langkah-langkah perhitungan software stokastik dengan metode backward adalah sebagai berikut. a. Buka software QM, lalu akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Gambar 4.1 Kotak Dialog Menu Software QM b. Setelah itu, memilih dynamic programming, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Gambar 4.2 Kotak Dialog Dynamic Programming c. Berikutnya memilih stagecoach, karena kasus yang akan dipecahkan mengenai jalur pendistribusian yang optimal masuk ke tipe stagecoach. Berikutnya memilih new, untuk membuka lembar data baru, maka akan

59 IV-13 muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Lalu, memasukkan data yang sesuai dengan kasus yang terjadi pada UKM Widyatama. Gambar 4.3 Kotak Dialog Input Data Stagecoach d. Setelah data dimasukkan, tekan enter maka akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Kemudian, masukkan lagi data yang diperlukan pada kotak dialog tersebut. Gambar 4.4 Kotak Dialog Input Data e. Setelah itu tekan tombol esc, kemudian apabila mau menyimpan file tekan tombol S dan masukkan nama file-nya, lalu enter. Apabila ada kesalahan dalam memasukkan data, tekan tombol E untuk mengubah data. Setelah di save, tekan tombol R untuk run atau melakukan pengolahan data software. Setelah di run, maka akan muncul output seperti di bawah ini.

60 IV-14 Gambar 4.5 Output Metode Stagecoach 2. Perhitungan Software Knapsack (Forward) Perhitungan software untuk metode forward menggunakan software QM 3.0. Langkah-langkah perhitungan software knapsack dengan metode forward adalah sebagai berikut. a. Buka software QM, lalu akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Gambar 4.6 Kotak Dialog Menu Software QM

61 IV-15 b. Setelah itu, memilih dynamic programming, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Gambar 4.7 Kotak Dialog Dynamic Programming c. Berikutnya memilih new untuk membuka lembar data baru, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Lalu, masukkan data yang sesuai dengan kasus yang terjadi pada UKM Widyatama mengenai profit optimal. Gambar 4.8 Kotak Dialog Input Data Knapsack d. Setelah itu menekan tombol esc, kemudian apabila mau menyimpan file tekan tombol S dan masukkan nama file-nya, lalu enter. Apabila ada kesalahan dalam memasukkan data, tekan tombol E untuk mengubah data. Setelah di save, tekan tombol R untuk run atau melakukan pengolahan data software. Setelah di run, maka akan muncul output seperti di bawah ini. Gambar 4.9 Input Data Knapsack

62 IV-16 Gambar 4.10 Output Knapsack Perhitungan Software Teori Permainan Perhitungan software untuk teori permainan dilakukan dengan pure strategy dan mix strategy. Berikut ini adalah perhitungan software teori permainan beserta langkah-langkahnya dengan software QM.

63 IV Perhitungan Software Pure Strategy Perhitungan software untuk metode pure strategy menggunakan software QM 3.0. Langkah-langkah perhitungan software teori permainan dengan metode pure strategy adalah sebagai berikut. a. Buka software QM, lalu akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Gambar 4.11 Kotak Dialog Menu Software QM b. Memilih menu game theory dengan tekan tombol Q, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Berikutnya pilih new, untuk membuka lembar data baru, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Lalu, masukkan data yang sesuai dengan studi kasus strategi murni (pure strategy). Gambar 4.12 Kotak Dialog Game Theory c. Menekan tombol esc, kemudian apabila mau menyimpan file tekan tombol S dan masukkan nama file-nya, lalu enter. Apabila ada kesalahan dalam memasukkan data, tekan tombol E untuk mengubah data. Setelah di save, tekan tombol R untuk run atau melakukan pengolahan data software. Setelah di run, maka akan muncul output seperti di bawah ini.

64 IV-18 Gambar 4.13 Output Pure Strategy 2. Perhitungan Software Mix Strategy Perhitungan software untuk metode mix strategy menggunakan software QM 3.0. Langkah-langkah perhitungan software teori permainan dengan metode mix strategy adalah sebagai berikut. a. Buka software QM, lalu akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Gambar 4.14 Kotak Dialog Menu Software QM b. Memilih menu game theory dengan tekan tombol Q, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Berikutnya pilih new, untuk membuka lembar data baru, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Lalu, masukkan data yang sesuai dengan studi kasus strategi campuran (mix strategy). Gambar 4.15 Kotak Dialog Game Theory c. Menekan tombol esc, kemudian apabila mau menyimpan file tekan tombol S dan masukkan nama file-nya, lalu enter. Apabila ada kesalahan

65 IV-19 dalam memasukkan data, tekan tombol E untuk mengubah data. Setelah di save, tekan tombol R untuk run atau melakukan pengolahan data software. Setelah di run, maka akan muncul output seperti di bawah ini. Gambar 4.16 Output Mix Strategy Perhitungan Software Rantai Markov Studi kasus PT. Bimoli menggunakan rantai markov dalam penyelesaiannya dengan software QM. Perhitungan software studi kasus PT. Bimoli untuk laporan akhir markov chain adalah sebagai berikut. 1. Buka software QM, lalu akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Gambar 4.17 Kotak Dialog Menu Software QM 2. Memilih menu Markov Analysis dengan tekan tombol P, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Berikutnya pilih new, kemudian masukkan data yang sesuai dengan studi kasus PT. Bimoli. Gambar 4.18 Kotak Dialog Markov Analysis

66 IV Menekan tombol esc, kemudian apabila mau menyimpan file tekan tombol S dan masukkan nama file-nya, lalu enter. Apabila ada kesalahan dalam memasukkan data, tekan tombol E untuk mengubah data. Setelah di save, tekan tombol R untuk run atau melakukan pengolahan data software. Setelah di run, maka akan muncul output seperti di bawah ini. Gambar 4.19 Output Markov Analysis Perhitungan Software Teori Antrian Perhitungan software untuk teori antrian dilakukan dengan single channel single phase dan multi channel single phase. Berikut ini adalah perhitungan software teori antrian beserta langkah-langkahnya dengan software QM. 1. Perhitungan Software Single Channel Single Phase Perhitungan software untuk metode single channel single phase menggunakan software QM 3.0. Langkah-langkah perhitungan software teori antrian dengan metode tersebut adalah sebagai berikut.

67 IV-21 a. Buka software QM, lalu akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Gambar 4.20 Kotak Dialog Menu Software QM b. Memilih menu queueing theory dengan tekan tombol L, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Gambar 4.21 Kotak Dialog Queueing Theory c. Berikutnya memilih standar single server dengan menekan tombol A lalu memilih new dengan menekan tombol N, untuk membuka lembar data baru, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Lalu, masukkan data yang sesuai dengan studi kasus single channel single phase. Gambar 4.22 Kotak Dialog Single Server d. Menekan tombol esc, kemudian apabila mau menyimpan file tekan tombol S dan masukkan nama file-nya, lalu enter. Apabila ada kesalahan dalam memasukkan data, tekan tombol E untuk mengubah data. Setelah

68 IV-22 di save, tekan tombol R untuk run atau melakukan pengolahan data software. Setelah di run, maka akan muncul output seperti di bawah ini. Gambar 4.23 Output Standar Single Server 2. Perhitungan Software Multi Channel Single Phase Perhitungan software untuk metode multi channel single phase menggunakan software QM 3.0. Langkah-langkah perhitungan software teori antrian dengan metode tersebut adalah sebagai berikut. a. Buka software QM, lalu akan muncul tampilan seperti di bawah ini. Gambar 4.24 Kotak Dialog Menu Software QM b. Memilih menu queueing theory dengan tekan tombol L, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Gambar 4.25 Kotak Dialog Queueing Theory c. Berikutnya memilih multiple server dengan menekan tombol B lalu memilih new dengan menekan tombol N, untuk membuka lembar data

69 IV-23 baru, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini. Lalu, masukkan data yang sesuai dengan studi kasus multi channel single phase. Gambar 4.26 Kotak Dialog Multiple Server d. Menekan tombol esc, kemudian apabila mau menyimpan file tekan tombol S dan masukkan nama file-nya, lalu enter. Apabila ada kesalahan dalam memasukkan data, tekan tombol E untuk mengubah data. Setelah di save, tekan tombol R untuk run atau melakukan pengolahan data software. Setelah di run, maka akan muncul output seperti di bawah ini. Gambar 4.27 Output Multiple Server 4.3. Analisis Analisis perhitungan manual dan software dalam laporan akhir ini terdiri dari beberapa analisis perhitungan yang berdasarkan pada perhitungan yang telah dilakukan yaitu perhitungan manual dan software. Analisis perhitungan untuk pemograman dinamis, teori permainan, rantai markov, dan teori antrian adalah sebagai berikut.