APLIKASI REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN GENERALIZED POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON

Transkripsi

1 APLIKASI REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN GENERALIZED POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON (Studi Kasus Data Kemiskinan Provinsi di Indonesia Tahun 2009) Fitriana Fadhillah PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2011 M / 1432 H

2 APLIKASI REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN GENERALIZED POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON (Studi Kasus Data Kemiskinan Provinsi di Indonesia Tahun 2009) Skripsi Sebagai Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Oleh : Fitriana Fadhillah PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2011 M / 1432 H i

3 PENGESAHAN PEMBIMBING APLIKASI REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN GENERALIZED POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON (Studi Kasus Data Kemiskinan Provinsi di Indonesia Tahun 2009) Skripsi Sebagai satu syarat untuk memperoleh Gelar sarjana sains Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Oleh Fitriana Fadhillah Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Hermawan Setiawan, M. Kom Bambang Ruswandi, M. Stat NIP NIDN Mengetahui : Ketua Program Studi Matematika Yanne Irene, M. Si NIP ii

4 PENGESAHAN UJIAN Skripsi berjudul Aplikasi Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson Dalam Mengatasi Overdispersion Pada Regresi Poisson yang ditulis oleh Fitriana Fadhillah, NIM telah di uji dan dinyatakankan lulus dalam sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 7 Juni Skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Matematika. Menyetujui, Penguji 1 Penguji 2 Gustina Elfiyanti, M.Si Taufik Edy Sutanto, M.ScTech NIP NIP Pembimbing 1 Pembimbing 2 Hermawan Setiawan, M. TI Bambang Ruswandi, M. Stat NIP NIDN Mengetahui : Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ketua Program Studi Matematika DR. Syopiansyah Jaya Putra, M. Sis Yanne Irene, M. Si NIP NIP iii

5 PERNYATAAN DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN. Jakarta, Juni 2011 Fitriana Fadhillah iv

6 Karya ini ku persembahkan untuk Orangtuaku tercinta yang telah banyak mencurahkan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materi Kedua kakakku dan keponakanku (Salsa) Febriyana Motto Tidak akan ada rasa kecewa jika segalanya dilakukan dengan ketulusan. Tidak akan ditemukan kata sakit hati jika kita murni melakukannya untuk Allah dan atas nama Allah. Janganlah kalian bersikap lemah dan janganlah pula kalian bersedih hati, padahal kalianlah orang-orang yang paling tinggi (derajatnya) jika kalian orang-orang yang beriman (Qs. Ali-Imran: 139)

7 ABSTRAK Model Regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data cacah yang diasumsikan menyebar Poisson dimana nilai rata-rata dan variansinya sama (equidispersion). Namun seringkali terjadi masalah nilai variansi melebihi nilai rataannya atau lebih dikenal dengan overdispersion. Regresi Poisson yang diterapkan pada data yang mengandung overdispersion akan menghasilkan nilai standard error yang menjadi underestimate. Model yang sering digunakan untuk mengatasi masalah overdispersion adalah Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson. Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson dapat digunakan baik dalam keadaan equidispersion maupun overdispersion. Penaksiran parameter dapat diperoleh dengan menggunakan metode maximum likelihood melalui iterasi Newton-Raphson. Beberapa ukuran perbandingan dapat digunakan untuk membandingkan model Regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson. Kajian yang digunakan dalam penelitian ini adalah mengetahui faktorfaktor yang mempengaruhi angka kemiskinan provinsi di Indonesia tahun Data Jumlah penduduk miskin menunjukkan terjadi overdispersion. Sehingga pemodelan yang tepat adalah menggunakan Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson. Hasil analisis dalam penelitian ini menunjukkan bahwa faktor yang berpengaruh terhadap jumlah penduduk miskin adalah jumlah penduduk. Model Regresi Generalized Poisson memenuhi kriteria kesesuaian model regresi dibandingkan dengan model Regresi Poisson dan Binomial Negatif. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk kasus data kemiskinan provinsi di Indonesia tahun 2009, Regresi Generalized Poisson merupakan salah satu solusi yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan overdispersion. Kata Kunci : Kemiskinan, Overdispersion, Regresi Poisson, Regresi Binomial Negatif, Regresi Generalized Poisson v

8 ABSTRACT Poisson regression model is commonly used to analyze count data that is assumed to spread Poisson where the average and variance values are equal (equidispersion). But often there are problems with the variance value exceeds the average or better known as overdispersion. Poisson regression is applied to the data that contains overdispersion will generate the value of standard error becomes underestimate. Models are often used to solve problem of overdispersion are Negative Binomial and Generalized Poisson regression. Negative Binomial and Generalized Poisson regression can be used either in a state equidispersion or overdispersion. Estimation of parameters can be obtained by using maximum likelihood method via Newton-Raphson iteration. Some size comparison can be used to compare the model Poisson, Negative Binomial and Generalized Poisson regression. Studies used in this research was to determine the factors that affect poverty rate in provinces of Indonesia Data on the number of poor people show that there were overdispersion. So that proper modeling is to use Negative Binomial and Generalized Poisson Regression. The results showed that the factors which affects the number of poor people is the population, unemployment, number of illiterate population, population who complete elementary, junipr and senior high school. Generalized Poisson Regression model criteria fullfilment regression model compared with Poisson and Negative Binomial Regression models. It can be concluded that for the case of data poverty rate in provinces of Indonesia 2009, Generalized Poisson regression is one solution that can be used to solve problems of overdispersion. Keywords : Poverty, Overdispersion, Poisson Regression, Negative Binomial Regression, Generalized Poisson Regression vi

9 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur yang sebesar-besarnya penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, keluarga, sahabat serta segenap umatnya. Penulis sadar bahwa skripsi ini tidak akan selesai bila penulis tidak mendapat bantuan dari berbagai pihak, baik bantuan secara langsung maupun dukungan moril dan doa. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarya kepada: 1. Dr. Syopyansyah Jaya Putra, M.Si, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta. 2. Ibu Yanne Irene, M.Si, Ketua Program Studi Matematika dan Ibu Sumainna, M.Si, Sekretaris Program Studi Matematika. 3. Bapak Hermawan Setiawan, M.Kom, sebagai Dosen Pembimbing I, yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan hingga terselesaikannya skripsi ini. 4. Bapak Bambang Ruswandi, M.Stat, sebagai Dosen Pembimbing II, atas bimbingan, saran dan bantuannya dari awal hingga terselesaikannya skripsi ini. 5. Alm. Ayahanda tercinta yang telah menghabiskan waktu dan tenaga tanpa mengenal batas untuk memberikan yang terbaik bagi penulis agar dapat meraih cita-cita serta segenap kasih sayang dan perhatiannya. vii

10 6. Ibunda tercinta yang selalu memberikan semagat dan dukungan kepada penulis, atas doa, kasih sayang, dorongan, pengertian dan kesabaran yang tak terkira hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 7. Seluruh dosen jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang telah memberikan segenap ilmu. 8. Febriyana yang telah meluangkan banyak waktunya untuk membantu menyelesaikan skripsi ini serta memberikan dukungan moril dan kesabaran. 9. Dua kakakku, keponakanku (Salsa) dan seluruh keluarga besarku tercinta yang telah memberikan perhatian, dukungan dan doanya. 10. Seluruh karyawan dan murid Primagama Mayestik yang selalu memberikan dorongan motivasi kepada penulis hingga terselesaikan skripsi ini. 11. Seluruh teman-teman Matematika 2007 yang selalu memberikan motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis mengharapkan kritik dan saran agar penulis dapat memperbaiki kekurangan yang ada. Penulis berharap semoga tugas akhir ini bermanfaat bagi penulis khususnya, dan pihak lain umumnya. Jakarta, Juni 2011 Penulis viii

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... PENGESAHAN PEMBIMBING... PENGESAHAN UJIAN... PERNYATAAN... i ii iii iv PERSEMBAHAN DAN MOTTO ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... v vi vii ix xi xii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Permasalahan Pembatasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 BAB II LANDASAN TEORI Kemiskinan Regresi Poisson Overdispersion... 9 ix

12 2.4. Regresi Binomial Negatif Regresi Generalized Poisson Penaksiran Parameter Kesesuaian Model Regresi BAB III METODOLOGI PENELITIAN Sumber Data Pengujian Signifikansi Model dan Parameter Alur Penelitian BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Data Regresi Poisson Overdispersion Regresi Binomial Negatif Regresi Generalized Poisson Kesesuaian Model Regresi BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN x

13 DAFTAR TABEL Tabel 4.1 : Statistik Deskriptif Tabel 4.2 : Nilai Parameter Regresi Poisson Tabel 4.3 : Hasil Uji Overdispersion Tabel 4.4 : Nilai Parameter Regresi Binomial Negatif Tabel 4.5 : Nilai Parameter Regresi Generalized Poisson Tabel 4.6 : Kesesuaian Model Regresi xi

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 : Syntax Pengolahan Data Stata Versi Trial Lampiran 2 : Output Statistik Deskriptif Lampiran 3 : Output Regresi Poisson Lampiran 4 : Output Kesesuaian Model Regresi Poisson Lampiran 5 : Output Pendeteksian Overdispersion Lampiran 6 : Output Regresi Binomial Negatif Lampiran 7 : Output Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif Lampiran 8 : Output Regresi Generalized Poisson Lampiran 9 : Output Kesesuaian Model Regresi Generalized Poisson xii

15 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Model regresi Poisson merupakan salah satu model yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel dependent Y berupa data cacah dengan variabel independent X berupa data kontinu, diskrit, kategori atau campuran. Dalam model regresi Poisson terdapat beberapa asumsi. Salah satu asumsi yang harus terpenuhi adalah variansi dari variabel dependent Y sama dengan rataannya (equidispersion), yaitu: Var(Y) = E(Y) = μ Namun, dalam analisis data cacah sering dijumpai data yang variansinya lebih kecil atau lebih besar dari rataan. Keadaan ini lebih dikenal dengan underdispersion atau overdispersion. Regresi Poisson yang diterapkan pada data yang mengandung overdispersion akan menghasilkan nilai standard error yang menjadi turun atau underestimate [4]. Pendekatan yang dapat digunakan untuk menangani overdispersion pada regresi Poisson adalah regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson. Hasil penelitian Dimas Haryo Pamungkas (2003) menyatakan bahwa saat terjadi overdispersion pada data, regresi Binomial Negatif lebih baik digunakan dibandingkan regresi Poisson [7]. Sedangkan pada penelitian Ega Prihastari (2008), saat terjadi underdispersion dan overdispersion pada data, regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan regresi Poisson [8]. Oleh karena itu, perlu dilakukan penelitian untuk 1

16 membandingkan regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson pada data yang mengandung overdispersion. Model yang digunakan dalam penelitian ini untuk mengetahui faktor eksternal yang berpengaruh terhadap kemiskinan penduduk Indonesia tahun Tingginya tingkat kemiskinan di Indonesia membuat pemerintah memberikan perhatian lebih terhadap upaya pengentasan kemiskinan. Untuk menurunkan tingkat kemiskinan terlebih dahulu perlu diketahui faktor-faktor yang mempengaruhi tingkat kemiskinan, sehingga dapat dirumuskan kebijakan yang efektif untuk menurunkan angka kemiskinan di Indonesia. Faktor-faktor yang mempengaruhi tingkat kemiskinan di Indonesia antara lain Pertumbuhan Ekonomi, Jumlah Penduduk dan Pendidikan [10]. Dalam penelitian ini akan dijelaskan hubungan antara jumlah penduduk miskin (variabel dependent) dengan faktor-faktor yang berpengaruh (variabel independent) yaitu jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf penduduk, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat. Jumlah penduduk miskin di Indonesia dapat dikatakan masih cukup tinggi namun jarang sekali terjadi dalam ruang sampel besar. Sehingga hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan faktor-faktor yang berpengaruh dapat dilihat melalui regresi Poisson. 2

17 1.2 Permasalahan Rumusan masalah penelitian ini dapat dirinci ke dalam beberapa pertanyaan penelitian sebagai berikut: a. Bagaimana pengaruh overdispersion pada regresi Poisson dalam data kemiskinan Indonesia tahun b. Bagaimana penerapan Regresi Poisson, regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson pada data kemiskinan Indonesia tahun 2009 yang mengandung overdispersion. c. Faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun Pembatasan Masalah Agar dalam pembahasan tidak terlalu luas dan hasilnya dapat mendekati pokok permasalahan, maka dalam penulisan hanya akan membahas overdispersion pada data kemiskinan, faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun 2009 serta analisis yang dilakukan berdasarkan data yang diperoleh pada waktu penelitian. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: a. Untuk menganalisa adanya pengaruh overdispersion pada regresi Poisson dalam data kemiskinan Indonesia tahun b. Untuk membandingkan penerapan regresi Poisson, regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson pada data kemiskinan Indonesia tahun 2009 yang mengandung overdispersion. 3

18 c. Untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun Manfaat Penelitian Manfaat penelitian terdiri dari manfaat teoritis serta manfaat praktis digunakan untuk perbaikan bagi pemerintah dan/atau Pemerintah Daerah (Pemda) yang bersangkutan. Manfaat penelitian dijelaskan sebagai berikut: 1. Manfaat Teoritis Hasil penelitian ini dapat dijadikan bahan studi lanjutan yang relevan dan bahan kajian ke arah pengembangan, serta kultur yang berkembang. Pembahasan tentang indikator yang berkaitan dengan angka kemiskinan, diharapkan dapat menjadi masukan untuk peningkatan pembangunan sosial di Indonesia. 2. Manfaat Praktis Penelitian ini secara praktis diharapkan dapat memiliki kontribusi sebagai berikut: a. Bagi Pemerintah 1) Sebagai dasar perencanaan terutama yang terkait dengan masalah faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun ) Dapat memberikan sumbangan penelitian dalam membantu mengatasi angka kemiskinan yang dihadapi, melalui kebijakan yang relevan dalam mengatasi masalah kemiskinan. 4

19 b. Bagi Penulis Hasil penelitian ini dapat dijadikan bahan untuk melakukan penelitian lebih lanjut mengenai model pengembangan faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan. Serta menambah pengetahuan bagi penulis dan menerapkan ilmu-ilmu yang telah di dapat selama kuliah. c. Bagi Pembaca Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan bacaan dan perbandingan bagi pembaca yang sedang melakukan penelitian. 5

20 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Kemiskinan Masalah kemiskinan merupakan salah satu persoalan mendasar yang harus menjadi perhatian pemerintah di negara manapun. Secara umum, kemiskinan adalah ketidakmampuan seseorang untuk memenuhi kebutuhan dasar pada setiap aspek kehidupan [2]. Badan Pusat Statistik (BPS) mendasarkan pada besarnya rupiah yang dibelanjakan perkapita/bulan untuk memenuhi kebutuhan minimum makanan dan non makanan [1]. Kualitas dan kuantitas sumber daya manusia akan berpengaruh terhadap pembangunan ekonomi suatu wilayah. Kualitas dan kuantitas sumber daya manusia dapat dilihat dari jumlah penduduknya [2]. Perkembangan jumlah penduduk dapat menjadi faktor pendorong dan penghambat pembangunan. Faktor pendorong karena memungkinkan semakin banyaknya tenaga kerja. Sedangkan penduduk disebut faktor penghambat pembangunan karena akan terdapat banyak pengangguran. Dalam kaitannya dengan kemiskinan, jumlah penduduk yang besar justru akan menambah tingkat kemiskinan. Fakta menunjukkan, beberapa Negara dengan jumlah penduduk yang besar, tingkat kemiskinannya juga lebih besar dibandingkan dengan jumlah penduduk sedikit. 6

21 Kualitas sumber daya manusia dapat dilihat dari tingkat pendidikannya. Dengan melakukan investasi pendidikan, maka akan meningkatkan produktivitas. Peningkatan produktivitas akan meningkatkan pendapatan. Pendapatan yang cukup akan mampu mengangkat kehidupan seseorang dari kemiskinan. 2.2 Regresi Poisson Regresi Poisson termasuk ke dalam Generalized Linear Models dan merupakan salah satu bentuk regresi yang digunakan untuk model data cacah. Variabel dependent dalam persamaan tersebut menyatakan data cacah [4]. Jika ingin diketahui hubungan antara variabel dependent Y dan p buah variabel independent X, X,, X. Diberikan sampel sebesar n pengamatan yaitu x, x,, x, y ; i = 1, 2,, n dan j = 1, 2,, p. Pengamatan ke-i dari variabel X, X,, X adalah x, x,, x. Pengamatan ke-i dari variabel Y adalah y. Jika y merupakan variabel acak untuk data cacah dengan i = 1, 2,..., n, dimana n menyatakan banyaknya data dan y mengikuti distribusi Poisson. Maka fungsi kepadatan peluangnya adalah: f(y ; μ ) =! (2.1) Untuk μ > 0, dengan μ merupakan rataan dari variabel dependent Y. Fungsi peluang Poisson termasuk keluarga eksponensial, sehingga dapat dituliskan dalam bentuk: f(y ; μ ) = exp[y ln(μ ) μ ]! (2.2) 7

22 Berdasarkan fungsi peluang di atas, maka diperoleh fungsi penghubung (Link Function) yaitu: η = ln(μ ) = x β (2.3) Asumsi yang harus dipenuhi pada model regresi Poisson yaitu: Var(Y ) = E(Y ) = μ = exp(x β) (2.4) Dengan x adalah vektor yang berukuran px1 yang menjelaskan variabel independent dan β adalah vektor berukuran px1 merupakan parameter regresi. Sehingga fungsi kepadatan peluang regresi Poisson adalah sebagai berikut: f(y ; β) = exp[y x β exp(x β)]! (2.5) Nilai harapan y yang bergantung pada variabel independent adalah μ. Taksiran parameter koefisien regresi Poisson dapat dilakukan dengan menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Fungsi log likelihood untuk regresi Poisson dapat ditulis sebagai: dimana μ = exp(x β) l(y ; μ ) = [y ln(μ ) μ ln(y!)] (2.6) l(y ; β) = [y (x β) exp(x β) ln(y!)] (2.7) Dengan demikian, penaksir maximum likelihood dapat diselesaikan dengan memaksimumkan model log likelihood l(y ; β), yaitu: dan l( ;β) = (y μ )x = 0, j = 1, 2,, p (2.8) l( ;β) = μ x x, j, s = 1, 2,, p (2.9) 8

23 2.3 Overdispersion Pada model regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi. Salah satunya adalah asumsi kesamaan antara rataan dan variansi dari variabel dependent, yang disebut juga equidispersion. Namun, dalam analisis data cacah seringkali dijumpai data yang variansinya lebih besar dari rataannya (overdispersion). Jika pada data cacah terjadi overdispersion namun tetap digunakan regresi Poisson, akan berpengaruh pada nilai standard error yang menjadi turun atau underestimate, sehingga kesimpulannya menjadi tidak valid [4]. Fenomena overdispersion dapat dituliskan: Var(Y) > E(Y) Overdispersion dapat diindikasikan dengan nilai deviance dan pearson chi-squares yang dibagi dengan derajat bebasnya. Jika kedua nilai tersebut lebih dari 1, maka dikatakan terjadi overdispersion pada data [6]. Terdapat dua cara yang dapat digunakan untuk mendeteksi overdispersion, yaitu: 1. Deviance φ = ; D = 2 y ln (y μ ) (2.10) Dimana db = n k dengan k merupakan banyaknya parameter termasuk konstanta, n merupakan banyaknya pengamatan dan D adalah nilai Deviance [4]. 9

24 2. Pearson Chi-Squares ( ) φ = ; χ = (2.11) ( ) Dimana db = n k dengan k merupakan banyaknya parameter termasuk konstanta, n merupakan banyaknya pengamatan dan χ adalah Pearson Chi-Squares [5]. Jika φ dan φ bernilai lebih dari 1 maka terjadi overdispersion pada data. 2.4 Regresi Binomial Negatif Model Regresi Binomial Negatif merupakan suatu model regresi yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara sebuah variabel dependent yang berupa data cacah dengan satu atau lebih variabel independent. Regresi Binomial Negatif dapat digunakan baik dalam keadaan equidispersion ataupun overdispersion [5]. Jika ingin diketahui hubungan antara variabel dependent Y dan p buah variabel independent X, X,, X. Diberikan sampel sebesar n pengamatan yaitu x, x,, x, y ; i = 1, 2,, n dan j = 1, 2,, p. Pengamatan ke-i dari variabel X, X,, X adalah x, x,, x. Pengamatan ke-i dari variabel Y adalah y. 10

25 Jika y menyebar Poisson dengan parameter λ u dan terdapat variabel random u berdistribusi gamma dengan parameter v dan rataan 1. Maka fungsi peluang bersama Poisson Gamma adalah: f(y ; u ) = e (λ u ) y! v Γ(v) u e du = ( ) () e( ) ( u ) du misal t = (λ + v)u maka u = Diperoleh, ( ). Sehingga du = ( ) = ( ) () e ( ) ( ) = ( ) () ( ) e t () dt = ( ) () ( ) Γ(y + v) = ( ) () ( ) ( ) = ( ) ( )() Jika inverse dari v adalah α dan λ = μ. Sehingga fungsi kepadatan peluang Binomial Negatif menjadi: f(y ; μ, α) = ( )( ) (2.12) Rataan dan variansi dari Binomial Negatif adalah E(y ) = μ dan Var(y ) = μ (1 + αμ ). Dengan α merupakan parameter dispersi. 11

26 Jika α = 0, maka rataan dan variansinya akan sama, E(y ) = Var(y ). Jika α > 0, maka variansinya akan melebihi rataannya, Var(y ) > E(y ) [5]. Jika diasumsikan bahwa E(y x i ) = μ = exp(x β). Dengan x adalah vektor yang berukuran px1 yang menjelaskan variabel independent dan β adalah vektor berukuran px1 merupakan parameter regresi. Maka model log likelihood untuk regresi Binomial Negatif dapat dituliskan sebagai: l(μ ; y, α) = y ln αμ αμ α ln(1 + αμ ) + lnγ y + 1 α dimana μ = exp(x β) lnγ(y + 1) lnγ (2.13) l(y ; β, α) = y ln α exp(x β) 1 + α exp(x β) 1 α ln1 + α exp(x β) + lnγ y + lnγ(y + 1) lnγ (2.14) Dengan demikian, penaksir maximum likelihood dapat diselesaikan dengan memaksimumkan model l(y ; β, α), yaitu: dan l( ;β,) = ( ) = 0, j = 1, 2,, p (2.15) l( ;β,) = ( ), j, s = 1, 2,, p (2.16) ( ) ly i ;β, = ln(1 + αμ ) + ( ) + ψ y + ψ = 0 (2.17) 12

27 ly i ;β, = ( ) + 2 ln(1 + αμ ) + ( )( ) ( ) ψ y + ψ (2.18) Fungsi digamma ψ merupakan turunan pertama dari fungsi log-gamma lnγ(). Fungsi trigamma ψ merupakan turunan kedua dari lnγ() [4]. 2.5 Regresi Generalized Poisson Model Regresi Generalized Poisson merupakan suatu model regresi yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara sebuah variabel dependent yang berupa data cacah dengan satu atau lebih variabel independent. Regresi Generalized Poisson dapat digunakan baik dalam keadaan underdispersion, equidispersion ataupun overdispersion [5]. Jika ingin diketahui hubungan antara variabel dependent Y dan p buah variabel independent X, X,, X. Diberikan sampel sebesar n pengamatan yaitu x, x,, x, y ; i = 1, 2,, n dan j = 1, 2,, p. Pengamatan ke-i dari variabel X, X,, X adalah x, x,, x. Pengamatan ke-i dari variabel Y adalah y. Fungsi kepadatan peluang distribusi Generalized Poisson adalah: f(y ; μ, δ) = ( )! exp ( ) (2.19) Dengan E(y ) = μ dan Var(y ) = μ (1 + δμ ). Dengan δ merupakan parameter dispersi [3]. 13

28 Generalized Poisson merupakan perluasan dari Poisson. Dengan δ merupakan parameter dispersi. Jika δ = 0, maka E(y ) = Var(y ). Jika δ > 0 maka Var(y ) > E(y ). Jika δ < 0 maka Var(y ) < E(y ) [5]. Jika diasumsikan bahwa E(y x i ) = μ = exp(x β). Dengan x adalah vektor yang berukuran px1 yang menjelaskan variabel independent dan β adalah vektor berukuran px1 merupakan parameter regresi. Maka model log likelihood untuk regresi Generalized Poisson dapat dituliskan sebagai: l(y ; μ, δ) = dimana μ = exp(x β) y ln + (y 1) ln(1 + δy ) ( ) ln(y!) (2.20) l(y ; β, δ) = y ln x β + (y x β 1) ln(1 + δy ) x β( ) ln(y x β!) (2.21) Dengan demikian, penaksir maximum likelihood, dapat diselesaikan dengan memaksimumkan model l(y ; β, δ), yaitu: l( ;β,) = ( ) ( ) = 0, j = 1, 2,, p (2.22) dan l( ;β,) l( ;β,) l( ;β,) =, j, s = 1, 2,, p (2.23) ( ) + ( ) ( ) ( ) = ( ) = 0 (2.24) ( ) = + (2.25) ( ) ( ) ( ) 14

29 2.6 Penaksiran Parameter Penaksiran parameter untuk regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson menggunakan iterasi Newton-Raphson [4]. Penurunan algoritma didasarkan pada modifikasi dua orde deret taylor dengan fungsi log likelihood. Bentuk dari deret Taylor yaitu: f(x ) = f(x ) + (X X )f (X ) + ( ) f"(x ) + ( )! f (X ) + (2.26) Jika dipotong sampai orde kedua menjadi: f(x ) = f(x ) + (X X )f (X ) (2.27) Untuk menentukan nilai X dapat menggunakan perluasan deret Taylor berupa f(x ) = 0 [9]. 0 = f(x ) + (X X )f (X ) (2.28) atau! X = X ( ) ( ) (2.29) Metode Newton-Raphson menerapkan estimasi di atas dengan menggunakan nilai turunan pertama dan kedua dari fungsi log likelihood sebagai dasar estimasi parameter, yaitu: β = β l( ), r = 1, 2,, k (2.30) l( ) Dengan β dan β adalah vektor untuk β = β, β,, β pada iterasi ke r dan ke r 1 untuk iterasi Newton-Raphson. Turunan pertama dari fungsi log likelihood, l(β ), untuk regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.8), (2.15) dan (2.22). 15

30 Turunan kedua dari fungsi log likelihood, l(β ), untuk regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.9), (2.16) dan (2.23). Penaksiran parameter dispersi, untuk memaksimumkan l(y ; β, α) terhadap α pada regresi Binomial Negatif dapat menggunakan iterasi Newton-Raphson. α = α l(α r 1) l( ) (2.31) Untuk memaksimumkan l(y ; β, δ) terhadap δ pada regresi Binomial Negatif dapat menggunakan iterasi Newton-Raphson. δ = δ l(δ r 1) l( ) (2.32) Turunan pertama dari fungsi l(α ) dan l(δ ) untuk regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.17) dan (2.24). Turunan kedua dari fungsi l(α ) dan l(δ ) untuk regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.18) dan (2.25). Secara umum, model Regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson untuk menganalisis data adalah: ln μx, X,, X = β + β X + β X + + β X (2.33) Atau dapat ditulis dengan: μx, X,, X = expβ + β X + β X + + β X = expβ + β X (2.34) 16

31 Nilai residual didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai yang diamati (Y) dengan nilai hasil prediksi Y atau (μ). Sehingga, Residual = Y Y atau Residual = (Y μ ). 2.7 Kesesuaian Model Regresi Ketika ketiga model regresi telah didapatkan, selanjutnya adalah membandingkan model tersebut untuk mencari model yang terbaik yang dapat digunakan. Pengukuran yang sering digunakan adalah likelihood ratio tests, Akaike Information Criteria (AIC) dan Bayesian Schwartz Information Criteria (BIC) [4]. Uji likelihood ratio tests (T) biasa digunakan untuk uji perbandingan model. Uji nilai likelihood ratio tests (T) yang menunjukkan penolakan H 0 berarti model tersebut lebih baik, karena mengindikasikan terjadinya overdispersion pada data. Nilai AIC dapat didefinisikan sebagai: AIC = 2l k (2.35) Nilai log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent adalah l. Banyaknya parameter termasuk konstanta dinyatakan dengan k. Dalam pengukuran ini, jika nilai AIC A < AIC B, maka model A lebih baik. 17

32 Nilai BIC dapat didefinisikan sebagai: BIC = 2l + k ln(n) (2.36) Nilai log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent adalah l. Banyaknya parameter termasuk konstanta dinyatakan dengan k. Jika nilai BIC A < BIC B, maka model A lebih baik. 18

33 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Sumber Data Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Februari Jenis data yang digunakan adalah data sekunder. Data berasal dari hasil Survey Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) yang diselenggarakan oleh Badan Pusat Statistik (BPS) tahun Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: a. Variabel dependent Dalam penelitian ini adalah jumlah penduduk miskin dengan ukuran jiwa. b. Variabel independent Adapun variabel independent dalam penelitian ini adalah: 1. Jumlah penduduk (X ) yang diukur dalam satuan jiwa. Adalah jumlah penduduk yang berdomisili di wilayah geografis Republik Indonesia selama 6 bulan atau lebih atau mereka yang berdomisili kurang dari 6 bulan tetapi bertujuan untuk menetap serta yang sudah diakui secara sah sebagai Warga Negara Indonesia (WNI). 19

34 2. Pengangguran (X ) yang diukur dalam ukuran persentase. Adalah penduduk usia 15 tahun ke atas yang tidak bekerja tetapi berharap mendapatkan pekerjaan. Terdiri dari penduduk yang mencari pekerjaan, penduduk yang mempersiapkan usaha, penduduk yang tidak mencari pekerjaan karena merasa tidak mungkin mendapatkan pekerjaan dan penduduk yang sudah punya pekerjaan tetapi belum mulai bekerja. 3. Angka Melek Huruf Penduduk (X ) yang diukur dalam ukuran persentase. Adalah perbandingan antara jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas yang dapat membaca dan menulis, dengan jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas. 4. Penduduk Tamat SD/Sederajat (X ) yang diukur dalam ukuran persentase. Adalah penduduk yang tamat pada jenjang pendidikan Sekolah Dasar, Madrasah Ibtidaiyah dan sederajat yang ditandai dengan sertifikat/ijazah. 5. Penduduk tamat SMP/Sederajat (X ) yang diukur dalam ukuran persentase. Adalah penduduk yang tamat pada jenjang pendidikan SMP Umum, Madrasah Tsanawiyah, SMP kejuruan dan sederajat yang ditandai dengan sertifikat/ijazah. 20

35 6. Penduduk tamat SM/Sederajat (X ) yang diukur dalam ukuran persentase. Adalah penduduk yang tamat pada jenjang pendidikan Sekolah Menengah Atas (SMA), Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), Madrasah Aliyah dan sederajat yang ditandai dengan sertifikat/ijazah. 3.2 Pengujian Signifikansi Model dan Parameter a. Pengujian Signifikansi Model Setelah taksiran parameter dari model regresi diketahui, selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi model. Pengujian yang dilakukan adalah uji rasio likelihood, dengan hipotesis: H 0 : β = β =... = β = 0 H 1 : β 0 j = 1, 2, 3,, p Statistik uji yang dilakukan adalah: G = 2l l (3.1) Dengan l adalah log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent dan l adalah log likelihood untuk model yang tidak mengandung variabel independent. Pada kondisi H 0 statistik uji G mendekati distribusi chi-square (χ ) dengan derajat bebas p. Aturan keputusannya adalah H 0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 jika G > χ.;. Penolakan H 0 pada tingkat signifikansi 0.05 berarti bahwa terdapat paling sedikit satu 21

36 parameter di antara β, β,..., β yang signifikan pada tingkat signifikansi 0.05 atau dapat dikatakan bahwa model regresi tersebut cocok untuk menjelaskan hubungan antara variabel independent dengan variabel dependent pada tingkat signifikansi b. Pengujian Signifikansi Parameter dalam Model Setelah dilakukan pengujian signifikansi model, selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model. Pengujian yang dilakukan adalah uji Wald, dengan hipotesis: H 0 : β = 0 H 1 : β 0 j = 1, 2,, p Statistik uji yang digunakan adalah: W = (3.2) Dengan b adalah nilai taksiran parameter dan S b adalah nilai taksiran standard error dari b. Pada kondisi H 0, statistik uji W mendekati distribusi chi-square (χ ) dengan derajat bebas 1. Aturan keputusannya adalah H 0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 jika W > χ.;. Penolakan H 0 pada tingkat signifikansi 0.05 berarti bahwa variabel independent X untuk suatu j tertentu dengan j = 1, 2,, p memiliki kontribusi terhadap variabel dependent Y pada tingkat signifikansi

37 c. Pengujian Signifikansi Parameter Dispersi pada Model Pengujian signifikansi untuk parameter dispersi dilakukan untuk menentukan apakah kondisi kesamaan rataan dan variansi (equidispersion) terpenuhi atau tidak. Kondisi equidispersion terjadi apabila nilai α = 0 dan δ = 0 terpenuhi. Untuk pengujian parameter dispersi pada regresi Binomial Negatif hipotesis yang digunakan adalah: H 0 : α = 0 H 1 : α > 0 Untuk pengujian parameter dispersi pada regresi Generalized Poisson hipotesis yang digunakan adalah: H 0 : δ = 0 H 1 : δ 0 Dengan α merupakan parameter dispersi untuk regresi Binomial Negatif dan δ merupakan parameter dispersi untuk Generalized Poisson. Misalkan taksiran log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent pada regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson adalah l, l dan l. Pada model regresi Binomial Negatif, statistik uji yang digunakan adalah: T = 2 l l (3.3) 23

38 Pada model regresi Generalized Poisson, statistik uji yang digunakan adalah: T = 2 l l (3.4) Pada kondisi H 0, statistik uji T mendekati distribusi chi-square (χ ) dengan derajat bebas 1. Aturan keputusannya adalah H 0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.05 jika T > χ.;. Penolakan H 0 berarti pada tingkat signifikansi 0.05 berarti bahwa model regresi Binomial Negatif atau Generalized Poisson lebih tepat digunakan dibandingkan model regresi Poisson. 24

39 3.3 Alur Penelitian Mulai Pengumpulan Data Regresi Poisson Uji Asumsi underdispersion equidispersion/ overdispersion Regresi Generalized Poisson 1. Regresi Binomial Negatif 2. Regresi Generalized Poisson 1. Uji Signifikansi Model 2. Uji Signifikansi Parameter 3. Uji Signifikansi Parameter Dispersi Model Terbaik Selesai Gambar 3.1 Alur Penelitian 25

40 BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Deskripsi Data Untuk melihat karakteristik dari masing-masing variabel maka ditampilkan statistika deskriptif yang dapat dilihat pada tabel berikut ini: Tabel 4.1 Statistika Deskriptif Variabel Rata-rata Variansi Min Maks Penduduk Miskin (Y) x Jumlah Penduduk (X ) x x10 7 Pengangguran (X ) Angka Melek Huruf (X ) Penduduk Tamat SD/Sederajat (X ) Penduduk Tamat SMP/Sederajat (X ) Penduduk Tamat SM/Sederajat (X ) Persentase jumlah penduduk miskin di Indonesia pada tahun 2009 tercatat sebesar 14.15% atau Distribusi jumlah penduduk miskin tertinggi tahun 2009 untuk setiap provinsi di Indonesia terjadi pada provinsi Jawa Timur dengan jumlah penduduk miskin sebesar jiwa. Sedangkan jumlah penduduk miskin terendah pada tahun 2009 terjadi pada provinsi Bangka Belitung dengan jumlah penduduk miskin sebesar jiwa. 26

41 4.3 Regresi Poisson a. Hasil Pengolahan Data Setelah melakukan pengolahan data, diperoleh nilai untuk parameter β, β, β, β, β, β, β pada tabel berikut: Tabel 4.2 Nilai Parameter Regresi Poisson Parameter estimate Std. error W j Konstanta (b ) Jumlah Penduduk (b ) 8.04x x Pengangguran (b ) Angka Melek Huruf (b ) Penduduk Tamat SD/Sederajat (b ) Penduduk Tamat SMP/Sederajat (b ) Penduduk Tamat SM/Sederajat (b ) l -2.21x10 7 l Model regresi Poisson yang dihasilkan adalah: lnμ (X, X,, X ) = x10-8 X X X X X X 27

42 Pada model terlihat bahwa nilai taksiran parameter model untuk angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat bernilai negatif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding terbalik. Jika terjadi kenaikan angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat maka log rata-rata penduduk miskin akan menurun. Sedangkan nilai taksiran parameter model untuk jumlah penduduk dan pengangguran bernilai positif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding lurus. Jika terjadi kenaikan jumlah penduduk dan pengangguran maka log rata-rata penduduk miskin akan meningkat. b. Uji Signifikansi Model Pengujian signifikansi model dilakukan untuk mengetahui apakah model regresi Poisson tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. Hipotesis: H 0 : β = β =... β = 0 H 1 : β 0 j = 1, 2,, 6 28

43 Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut adalah: G = 2l l = 2( (-2.21x10 7 )) = 2( ) = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 6 diperoleh nilai χ.; = Nilai G = > χ.; = 12.59, maka H 0 ditolak pada tingkat signifikansi Sehingga, model tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. c. Uji Signifikansi Parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Poisson. Hipotesis: H 0 : β = 0 j = 1, 2,, 6 H 1 : β 0 Berdasarkan Persamaan (3.2) diperoleh: 1) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. =

44 4) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai χ.; = Aturan keputusan: 1) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak 2) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak 3) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak 4) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak 5) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak 6) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak Parameter β, β, β, β, β, β signifikan pada tingkat signifikansi Artinya, pada tingkat signifikansi 0.05 jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin. 30

45 d. Interpretasi Parameter Karena seluruh parameter dalam model regresi Poisson signifikan pada tingkat signifikansi 0.05, maka seluruh parameter dapat diinterpretasi. 1) Interpretasi b = 8.04x10-8 Untuk setiap kenaikan jumlah penduduk sebanyak 1 jiwa, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar exp(8.04x10-8 ) 1 jiwa. 2) Interpretasi b = Untuk setiap kenaikan pengangguran sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar exp( ) 1 jiwa. 3) Interpretasi b = Untuk setiap kenaikan angka melek huruf penduduk sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung berkurang sebesar exp( ) 1 jiwa. 4) Interpretasi b = Untuk setiap kenaikan penduduk yang tamat SD/sederajat sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung berkurang sebesar exp( ) 1 jiwa. 31

46 5) Interpretasi b = Untuk setiap kenaikan penduduk tamat SMP/Sederajat sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar exp( ) 1 jiwa. 6) Interpretasi b = Untuk setiap kenaikan penduduk tamat SM/Sederajat sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung berkurang sebesar exp( ) 1 jiwa. 4.4 Overdispersion Overdispersion pada data kemiskinan tahun 2009 ditunjukkan pada Tabel 4.1 dimana variansi Y lebih besar dari rataan Y. Selain itu, fenomena overdispersion pada data kemiskinan tahun 2009 dapat dilihat berdasarkan nilai Pearson Chi-Squares dan Deviance yang dibagi dengan derajat bebasnya bernilai lebih dari 1. Tabel 4.3 Hasil Uji Overdispersion Goodness of Fit Statistik db D χ Berdasarkan Persamaan (2.10) dan (2.11) didapatkan φ = dan φ = atau jauh di atas 1. Sehingga dapat disimpulkan terjadi overdispersion pada data. 32

47 4.5 Regresi Binomial Negatif a. Hasil Pengolahan Data Setelah melakukan pengolahan data, diperoleh nilai untuk parameter β, β, β, β, β, β, β pada tabel berikut: Tabel 4.4 Nilai Parameter Regresi Binomial Negatif Parameter estimate Std. error W j Konstanta (b ) Jumlah Penduduk (b ) 9.18x x Pengangguran (b ) Angka Melek Huruf (b ) Penduduk Tamat SD/Sederajat (b ) Penduduk Tamat SMP/Sederajat (b ) Penduduk Tamat SM/Sederajat (b ) l l Model regresi Binomial Negatif yang dihasilkan adalah: lnμ (X, X,, X ) = x10-8 X X X X X X 33

48 Pada model terlihat bahwa nilai taksiran parameter model untuk angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat bernilai negatif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding terbalik. Jika terjadi kenaikan angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat maka log ratarata penduduk miskin akan menurun. Sedangkan nilai taksiran parameter model untuk jumlah penduduk dan pengangguran bernilai positif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding lurus. Jika terjadi kenaikan jumlah penduduk dan pengangguran maka log rata-rata penduduk miskin akan meningkat. b. Uji Signifikansi Model Pengujian signifikansi model dilakukan untuk mengetahui apakah model regresi Binomial Negatif tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. Hipotesis: H 0 : β = β =... β = 0 H 1 : β 0 j = 1, 2,, 6 34

49 Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut adalah: G = 2l l = 2( ( )) = 2( ) = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 6 diperoleh nilai χ.; = Nilai G = > χ.; = 12.59, maka H 0 ditolak pada tingkat signifikansi Sehingga, model tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. c. Uji Signifikansi Parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Binomial Negatif. Hipotesis: H 0 : β = 0 j = 1, 2,, 6 H 1 : β 0 Berdasarkan Persamaan (3.2) diperoleh: 1) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. =

50 4) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai χ.; = Aturan keputusan: 1) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak 2) W = 0.32 < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 3) W = 1.192< χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 4) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 5) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 6) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima Parameter b signifikan pada tingkat signifikansi Artinya, pada tingkat signifikansi 0.05 jumlah penduduk memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin. 36

51 d. Uji Signifikansi Parameter Dispersi Hipotesis: H 0 : α = 0 H 1 : α > 0 Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut berdasarkan Persamaan (3.3) adalah: T = 2 l l = 2( ( )) = 2( ) = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai χ.; = Nilai T = > χ.; = 3.841, maka tolak H 0 pada tingkat signifikansi Parameter α signifikan pada tingkat signifikansi Artinya, model regresi Binomial Negatif lebih baik digunakan dibandingkan dengan model regresi Poisson. e. Interpretasi Parameter Parameter yang signifikan pada tingkat signifikansi 0.05 dalam model regresi Binomial Negatif hanyalah parameter β, maka interpretasi yang diperlukan adalah interpretasi untuk parameter β dan parameter α. 37

52 1) Interpretasi b = 9.18x10-8 Untuk setiap kenaikan jumlah penduduk sebanyak 1 jiwa, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar exp(9.04x10-8 ) 1 jiwa. 2) Interpretasi α = Nilai taksiran α yang diperoleh adalah positif. Hal ini mengindikasikan terjadinya overdispersion. 4.6 Regresi Generalized Poisson a. Hasil Pengolahan Data Setelah melakukan pengolahan data, diperoleh nilai untuk parameter β, β, β, β, β, β, β pada tabel berikut: Tabel 4.5 Nilai Parameter Regresi Generalized Poisson Parameter estimate Std. Error W j Konstanta (b ) Jumlah Penduduk (b ) 8.19x x Pengangguran (b ) Angka Melek Huruf (b ) Penduduk Tamat SD/Sederajat (b ) Penduduk Tamat SMP/Sederajat (b ) Penduduk Tamat SM/Sederajat (b ) l l

53 Model regresi Generalized Poisson yang dihasilkan adalah: lnμ (X, X,, X ) = x10-8 X X X X X X Pada model terlihat bahwa nilai taksiran parameter model untuk angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat bernilai negatif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding terbalik. Jika terjadi kenaikan angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat maka log ratarata penduduk miskin akan menurun. Sedangkan nilai taksiran parameter model untuk jumlah penduduk dan pengangguran bernilai positif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding lurus. Jika terjadi kenaikan jumlah penduduk dan pengangguran maka log rata-rata penduduk miskin akan meningkat. b. Uji Signifikansi Model Pengujian signifikansi model dilakukan untuk mengetahui apakah model regresi Generalized Poisson tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat 39

54 SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. Hipotesis: H 0 : β = β =... β = 0 H 1 : β 0 j = 1, 2,, 6 Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut adalah: G = 2l l = 2( ( )) = 2( ) = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 6 diperoleh nilai χ.; = Nilai G = > χ.; = 12.59, maka H 0 ditolak pada tingkat signifikansi Sehingga, model tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. c. Uji Signifikansi Parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Generalized Poisson. Hipotesis: H 0 : β = 0 j = 1, 2,, 6 H 1 : β 0 40

55 Berdasarkan Persamaan (3.2) diperoleh: 1) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = ) W = ( ) =.. = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai χ.; = Aturan keputusan: 1) W = > χ.; = 3.841, maka H 0 ditolak 2) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 3) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 4) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 5) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima 6) W = < χ.; = 3.841, maka H 0 diterima Parameter b signifikan pada tingkat signifikansi Artinya, pada tingkat signifikansi 0.05 jumlah penduduk memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin. 41

56 d. Uji Signifikansi Parameter Dispersi Hipotesis: H 0 : δ = 0 H 1 : δ 0 Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut berdasarkan Persamaan (3.3) adalah: T = 2 l l = 2( ( )) = 2( ) = Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai χ.; = Nilai T = > χ.; = 3.841, maka tolak H 0 pada tingkat signifikansi Parameter δ signifikan pada tingkat signifikansi Artinya, model regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan dengan model regresi Poisson. 42

57 e. Interpretasi Parameter Parameter yang signifikan pada tingkat signifikansi 0.05 dalam model regresi Generalized Poisson hanyalah parameter b, maka interpretasi yang diperlukan adalah interpretasi untuk parameter b serta untuk parameter δ. 1) Interpretasi b = 8.19x10-8 Untuk setiap kenaikan jumlah penduduk sebanyak 1 jiwa, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar exp(8.19x10-8 ) 1 jiwa. 2) Interpretasi δ = Nilai taksiran δ yang diperoleh adalah positif. Hal ini mengindikasikan terjadinya overdispersion. 4.7 Kesesuaian Model Regresi Untuk membandingkan model regresi Poisson, regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson dapat dilihat pada tabel berikut ini: Tabel 4.6 Kesesuaian Model Regresi Kriteria Poisson Binomial Generalized Negatif Poisson Likelihood Ratio AIC BIC

58 Berdasarkan nilai likelihood ratio tests antara regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif, nilai likelihood ratio statistics dari regresi Binomial Negatif sebesar T = dinyatakan signifikan. Hal ini menunjukkan bahwa model regresi Binomial Negatif merupakan model yang lebih baik. Untuk perbandingan lebih lanjut dapat menggunakan nilai AIC dan BIC yang ditunjukkan pada Tabel 4.6. Berdasarkan nilai likelihood ratio, AIC dan BIC, maka pada penelitian ini regresi Binomial Negatif merupakan model yang lebih baik dari regresi Poisson. Nilai likelihood ratio tests antara regresi Poisson dan regresi Generalized Poisson sebesar T = dinyatakan signifikan. Hal ini menunjukkan bahwa model regresi Generalized Poisson merupakan model yang lebih baik. Untuk perbandingan lebih lanjut dapat menggunakan nilai AIC dan BIC yang ditunjukkan pada Tabel 4.6. Berdasarkan nilai likelihood ratio, AIC dan BIC, maka pada penelitian ini regresi Generalized Poisson merupakan model yang lebih baik dari regresi Poisson. Berdasarkan pengujian di atas, regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson lebih baik dibandingkan model regresi Poisson. Maka langkah selanjutnya adalah membandingkan model regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson berdasarkan nilai AIC dan BIC. Pada Tabel 4.6 terlihat bahwa nilai AIC dan BIC untuk regresi Generalized Poisson lebih kecil dibandingkan regresi Binomial Negatif. Sehingga, pada penelitian ini model regresi Generalized Poisson lebih baik dibandingkan regresi Binomial Negatif. 44

59 R. P R. BN R. GP Miskin Gambar 4.1 Hasil Observasi dan Prediksi Regresi Grafik di atas digunakan untuk melihat hasil prediksi antara regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson berdasarkan model yang telah di dapatkan. Pada gambar terlihat bahwa regresi Generalized Poisson lebih mendekati nilai sebenarnya dari jumlah penduduk miskin. Sehingga, untuk data kemiskinan Indonesia tahun 2009 model regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif. 45

60 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Jika pada data cacah terjadi overdispersion namun tetap digunakan regresi Poisson akan berpengaruh pada nilai standard error yang menjadi turun atau underestimate seperti yang terlihat pada Tabel 4.2. Sehingga kesimpulannya menjadi tidak valid. Ketika model telah didapatkan, dilakukan pembandingan model untuk mencari model terbaik yang dapat digunakan. Berdasarkan nilai likelihood ratio tests, AIC dan BIC, model regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan model regresi Poisson dan Binomial Negatif untuk kasus jumlah penduduk miskin di Indonesia tahun Model untuk regresi Generalized Poisson yang dihasilkan adalah: lnμ (X, X,, X ) = x10-8 X X X X X X Setelah taksiran parameter dari model regresi Generalized Poisson diperoleh, dilakukan pengujian signifikansi untuk kebaikan model dan parameter yang terdapat dalam model. Pada model regresi Generalized Poisson, variabel jumlah penduduk memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin. 46

61 5.2 Saran Dalam penelitian ini telah dibahas mengenai model regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson dengan metode penaksiran parameter maximum likelihood. Berdasarkan model regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson yang dihasilkan masih terdapat parameter yang dinyatakan tidak signifikan, sehingga model tersebut dirasa kurang tepat. Selain menggunakan metode penaksiran maximum likelihood, dapat digunakan metode penaksiran lain yaitu moment. Oleh karena itu, penelitian selanjutnya disarankan untuk membahas metode penaksiran parameter moment. 47

62 DAFTAR PUSTAKA [1] Badan Pusat Statistik. Data dan Informasi Kemiskinan 2009, Buku 2: Kabupaten/Kota. Jakarta: BPS [2] Chamsyah, Bachtiar. Pembangunan Sosial untuk Kesejahteraan Masyarakat Indonesia. Jakarta: Trisakty University Press [3] Hardin, J.W. and J.M. Hilbe. Generalized Linear Models and Extensions. Texas: A Stata Press Publication [4] Hilbe, Joseph M. Negative Binomial Regression 2 nd edition. Cambridge: Cambridge University Press [5] Ismail, N and A.A. Jemain. Handling Overdispersion with Negative Binomial and Generalized Poisson Regression Model. Malaysia: Causalty Actuarial Society Forum [6] McCullagh, P. and J.A. Nelder. Generalized Linear Models 2 nd edition. London: Chapman and Hall [7] Pamungkas, Dimas Haryo. Kajian Pengaruh Overdispersi Dalam Regresi Poisson. Bogor: Institut Pertanian Bogor [8] Prihastari, Ega. Model Regresi Generalized Poisson I. Depok: Universitas Indonesia [9] Munir, Rinaldi. Metode Numerik Revisi Kedua. Bandung: Informatika [10] Usman, Sunyoto. Pembangunan dan Pemberdayaan Masyarakat. Yogyakarta: Pustaka Pelajar Offset

63 LAMPIRAN Lampiran 1 Syntax STATA versi Trial Syntax Statistik Deskriptif tabstat Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, statistics( mean var min max ) columns(statistics) Syntax Regresi Poisson poisson Miskin Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, nolog technique(nr) Syntax Kesesuaian Model Regresi Poisson estat ic, n(29) Syntax Deviance. estat gof Syntax Pearson Chi-Squares. estat gof, pearson Syntax Regresi Binomial Negatif nbreg Miskin Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, dispersion(mean) nolog technique(nr) 49

64 Syntax Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif estat ic, n(29) Syntax Regresi Generalized Poisson gpoisson Miskin Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, nolog technique(nr) Syntax Kesesuaian Model Regresi Generalized Poisson estat ic, n(29) 50

65 Lampiran 2 Output Statistik Deskriptif variable mean variance min max Miskin e Penduduk e e+07 Pengangguran AMH SD SMP SM Lampiran 3 Output Regresi Poisson Poisson regression Number of obs = 29 LR chi2(6) = 3.89e+07 Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = Miskin Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Penduduk 8.04e e e e-08 Pengangguran AMH SD SMP SM _cons

66 Lampiran 4 Output Kesesuaian Model Regresi Poisson Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC e Note: N=29 used in calculating BIC Lampiran 5 Output Pendeteksian Overdispersion Deviance Goodness-of-fit chi2 = Prob > chi2(22) = Pearson Chi-Squares Goodness-of-fit chi2 = Prob > chi2(22) =

67 Lampiran 6 Output Regresi Binomial Negatif Negative binomial regression Number of obs = 29 LR chi2(6) = Dispersion = mean Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = Miskin Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Penduduk 9.18e e e e-07 Pengangguran AMH SD SMP SM _cons /lnalpha alpha Likelihood-ratio test of alpha=0: chibar2(01) = 5.3e+06 Prob>=chibar2 = Lampiran 7 Output Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC Note: N=29 used in calculating BIC 53

68 Lampiran 8 Output Regresi Generalized Poisson Generalized Poisson regression Number of obs = 29 LR chi2(6) = Dispersion = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = Miskin Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] Penduduk 8.19e e e e-08 Pengangguran AMH SD SMP SM _cons /tanhdelta delta Likelihood-ratio test of delta=0: chibar2(1) = 5.3e+06 Prob>=chibar2 = Lampiran 9 Output Kesesuaian Model Regresi Generalized Poisson Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC Note: N=29 used in calculating BIC 54

69 DAFTAR RIWAYAT HIDUP Data Pribadi Nama : Fitriana Fadhillah NIM : Tempat Tanggal Lahir : Bogor, 27 April 1990 Alamat Rumah : Komp. Pelni Blok H1 No.5 Rt 004 Rw 019 Baktijaya Depok Phone / Hand Phone : / Jenis Kelamin : dhila.2497@gmail.com : Perempuan Riwayat Pendidikan 1. S1 : Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta, Tahun SMA : SMA Islam PB Soedirman, Tahun SMP : SMP Islam PB Soedirman, Tahun SD : SD Islam PB Soedirman, Tahun