PERAMALAN KURS RUPIAH TERHADAP DOLAR DENGAN METODE BERBASIS RATA-RATA FUZZY TIME SERIES MARKOV CHAIN FUJI KURNIA NINGSIH

Transkripsi

1 PERAMALAN KURS RUPIAH TERHADAP DOLAR DENGAN METODE BERBASIS RATA-RATA FUZZY TIME SERIES MARKOV CHAIN FUJI KURNIA NINGSIH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI DISERTASI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Peramalan Kurs Rupiah terhadap Dolar dengan Metode Berbasis Rata-rata Fuzzy Time Series Markov Chain adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2016 Fuji Kurnia Ningsih NIM G

4 ABSTRAK FUJI KURNIA NINGSIH. Peramalan Kurs Rupiah terhadap Dolar dengan Metode Berbasis Rata-rata Fuzzy Time Series Markov Chain. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan HADI SUMARNO. Kurs atau nilai tukar mata uang sangat penting dalam perekonomian. Oleh karena itu, perlu dilakukan upaya untuk memprediksi besarnya nilai kurs di periode berikutnya. Pada karya ilmiah ini, metode peramalan yang yang digunakan adalah metode fuzzy time series Markov chain yang dikombinasikan dengan metode berbasis rata-rata untuk penentuan jumlah interval yang efektif. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah meramalkan nilai kurs rupiah terhadap dolar Amerika menggunakan metode berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain, serta menghitung tingkat kesalahan peramalan menggunakan ukuran kesalahan mean absolute percentage error. Dalam metode ini data kurs rupiah terhadap dolar Amerika diubah menjadi himpunan fuzzy sehingga diperoleh fuzzy logical relationship group. Hasil prediksi menunjukkan bahwa nilai mean absolute percentage error yang diperoleh dalam peramalan kurs periode Maret 2014-Maret 2016 hanya sebesar 0.71%, yang berarti hasil prediksi dianggap cukup baik. Kata kunci: fuzzy time series Markov chain, nilai kurs, mean absolute percentage error ABSTRACT FUJI KURNIA NINGSIH. Forecasting of Rupiah-Dollar Exchange Rate by using Avarage Based Fuzzy Time Series Markov Chain Method. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and HADI SUMARNO. The exchange rate between two currencies is very important for economy. Therefore, it is necessary to predict the future exchange rate within a minimal error. In this research the proposed forecast method is fuzzy time series Markov chain which is combined with the average based method for determining the number of effective intervals. The purpose of this study is to predict the rupiah dollar exchange rate using the methods average based fuzzy time series Markov chain. The level of forecast error is measured using mean absolute percentage. In this work, initially, the data sets were converted into fuzzy sets in order to obtain the fuzzy logical relationship groups. The prediction result shows that mean absolute percentage error value obtained within the forecast period of March 2014-March 2016 is 0.71%. The percentage was found a good level prediction. Keywords: fuzzy time series Markov chain, exchange rate, mean absolute percentage error

5 PERAMALAN KURS RUPIAH TERHADAP DOLAR DENGAN METODE BERBASIS RATA-RATA FUZZY TIME SERIES MARKOV CHAIN FUJI KURNIA NINGSIH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

6

7 Judul Skripsi: Perarnalan Kurs Rupiah terhadap Dolar dengan Metode Berbasis Rata-rata Fuzzy Time Series Markov Chain Nama : Fuji Kurnia Ningsih NIM : G Disetujui oleh Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS Pembimbing I r Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II Tanggal Lulus: 0 6 OCT 2016

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala rahmat dan karunia-nya yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Keluarga tercinta Papah, Mamah, Adik dan keluarga besar yang selalu memberikan kasih sayang, doa, dukungan, dan motivasi. 2. Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan ilmu, bimbingan, motivasi, dan arahan baik selama penulisan skripsi ini. 3. Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, bimbingan, motivasi, dan arahan baik selama penulisan skripsi ini. 4. Dr Ir Budi Suharjo, MS selaku penguji yang telah memberikan ilmu serta saran dalam skripsi ini. 5. Muhammad Yusuf yang selalu memberi semangat dan senantiasa menemani penulis dalam keluh kesah selama ini. 6. Para sahabat sejak SMA: Ririn, Mega, Shidiq, Syifa, Fira, dan Ayu yang memberikan semangat serta motivasi untuk penulis. 7. Teman-teman Matematika Angkatan 49 yang selalu memberikan keceriaan, dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah diberikan. 8. Teman-teman tercinta sejak kuliah: Nala, Dara, Hesty, Ria, Lina, Rani, Gia, Fariz yang selalu memberikan keceriaan, semangat, doa, dan bantuannya selama ini. 9. Kakak-kakak Matematika Angkatan 48 serta adik-adik angkatan 50 dan 51 yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi peneliti-peneliti selanjutnya. Bogor, Oktober 2016 Fuji Kurnia Ningsih

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Teori Peramalan 2 Fuzzy Time Series 3 Konsep Dasar Fuzzy Time Series 3 Rantai Markov (Markov Chain) 4 Fuzzy Time Series Markov Chain 4 Metode Berbasis Rata-Rata 5 Pengukuran Kesalahan Peramalan 5 METODE 6 HASIL DAN PEMBAHASAN 8 Analisis Proses Peramalan Fuzzy Time Series Markov Chain 9 SIMPULAN DAN SARAN 14 Simpulan 14 Saran 14 DAFTAR PUSTAKA 15 LAMPIRAN 16 RIWAYAT HIDUP 21

10 DAFTAR TABEL 1 Basis Interval 5 2 Data fuzzifikasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika 10 3 Fuzzy logical relationship 11 4 Fuzzy logical relationship group 11 5 Hasil peramalan data aktual 12 6 Hasil peramalan dan tingkat akurasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika 14 DAFTAR GAMBAR 1 Plot nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika periode Maret Maret Perbandingan data aktual dengan nilai peramalan 13 DAFTAR LAMPIRAN 1 Data aktual nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika bulan Maret 2014 sampai bulai Maret Partisi himpunanan semesta pembicaraan 16 3 Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dan hasil peramalan yang telah disesuaikan 17 4 Persentase error setiap bulan mengunakan MAPE 18 5 Hubungan antar state pada proses transisi peramalan berdasarkan FLRG 19 6 Matriks probabilitas R 20

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Peramalan merupakan upaya memperkirakan apa yang terjadi pada masa mendatang berdasarkan data pada masa lalu, berbasis pada metode ilmiah dan kualitatif yang dilakukan secara sistematis. Metode peramalan dibagi ke dalam dua kategori utama, yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif. Berdasarkan metode kualitatif, pendapat-pendapat para ahli akan menjadi pertimbangan dalam pengambilan keputusan sebagai hasil dari peramalan yang telah dilakukan, sedangkan metode peramalan yang digunakan secara kuantitatif yaitu metode peramalan melalui analisis suatu variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu atau hubungan data deret waktu. Berdasarkan hal tersebut metode kuantitatif lebih efektif dibandingkan dengan metode kualitatif karena menggunakan data pada masa lalu (Makridakis et al. 1999). Kurs adalah perbandingan nilai tukar mata uang suatu negara dengan mata uang negara asing atau perbandingan nilai tukar valuta antarnegara. Kurs mata uang juga merupakan salah satu variabel ekonomi makro yang sangat penting, karena kurs dapat menjaga stabilitas ekonomi di suatu kawasan. Kegiatan tukar menukar valuta asing (foreign exchange), atau disingkat dengan forex, sering dilakukan oleh semua orang di dunia, seperti bepergian ke negara lain, pelaku bisnis dan masyarakat umum yang memperjualbelikan dolar untuk memperoleh keuntungan besar. Contoh lain akibat dari kegiatan ekspor impor, kebutuhan pasar serta institusi bank, pasti melakukan kegiatan tukarmenukar mata uang. Informasi seperti ini sangat membantu para pelaku bisnis untuk mengambil keputusan dalam berinvestasi dan memperjualbelikan uangnya guna untuk memperoleh keuntungan yang sangat besar. Kebutuhan informasi seperti ini menjadikan peramalan (forecasting) sebagai salah satu cara yang bisa membantu para pelaku bisnis dalam mengambil keputusan yang lebih bijak untuk memperjualbelikan dolar mereka. Menurut Song & Chissom (1993), sistem peramalan dengan metode fuzzy time series dilakukan dengan cara menangkap pola dari data sebelumnya kemudian data tersebut digunakan untuk memproyeksikan nilai yang akan datang. Dalam perhitungan peramalan menggunakan fuzzy time series, untuk penentuan panjang interval yang efektif dimodifikasi dengan metode berbasis rata-rata yang ditentukan di awal proses perhitungan. Penentuan panjang interval sangat berpengaruh dalam pembentukan fuzzy relationship yang tentunya akan memberikan dampak perbedaan hasil perhitungan peramalan. Oleh karena itu, pembentukan fuzzy relationship haruslah tepat dan hal ini mengharuskan penentuan panjang interval yang sesuai. Penelitian terbaru dilakukan oleh Gamalita et al. (2014) dengan judul penelitian Analisis dan Perancangan Aplikasi Web Prediksi Indeks Harga Saham Gabungan Menggunakan Fuzzy Time Series Markov Chain Model menyatakan bahwa akurasi dari metode fuzzy time series Markov chain cukup baik dan mempunyai akurasi yang lebih baik dibandingkan dengan metode fuzzy time series yang diperkenalkan oleh Song & Chissom. Akurasi berbanding lurus dengan data

12 2 interval range yang digunakan, jika data interval range yang kecil, akan memperkecil penyimpangan nilai prediksi yang dihasilkan (Gamalita et al, 2014). Dalam penelitian ini, penulis mencoba melakukan kajian pengembangan metode berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain digunakan untuk meramalkan nilai tukar rupiah terhadap dolar. Nilai tukar rupiah terhadap dolar dipilih karena dolar merupakan mata uang yang dominan terutama untuk negara berkembang seperti Indonesia. Fluktuasi data nilai tukar rupiah terhadap dolar dapat dikurangi dengan memanfaatkan kelebihan dari relasi logika fuzzy yaitu mengelompokkan data yang dikumpulkan berdasarkan waktu serta menggabungkan kelebihan dari rantai Markov sehingga diperoleh peramalan dengan akurasi yang lebih baik. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah meramalkan nilai kurs rupiah terhadap dolar Amerika di masa yang akan datang menggunakan metode berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain, serta menguji tingkat kesalahan peramalan menggunakan ukuran kesalahan mean absolute percentage error (MAPE). TINJAUAN PUSTAKA Teori Peramalan Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) pengertian peramalan adalah kegiatan untuk menduga hal yang akan terjadi. Beberapa definisi lainnya tentang peramalan, yaitu: a. Peramalan diartikan sebagai penggunaan teknik-teknik statistik dalam bentuk gambaran masa depan berdasarkan pengolahan angka-angka data historis (Buffa & Sarin 1996) b. Peramalan merupakan bagian internal dari kegiatan pengambilan keputusan manajemen (Makridakis et al. 1999) c. Peramalan adalah prediksi, rencana atau situasi kejadian masa depan yang tidak pasti. Metode peramalan merupakan cara memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa depan secara sistematis dan pragmatis atas dasar data yang relevan pada masa yang lalu, sehingga dengan demikian metode peramalan diharapkan dapat memberikan objektivitas yang lebih besar. Selain iu metode peramalan dapat memberikan cara pegerjaan yang teratur dan terarah, dengan demikian dapat dimungkinkannya penggunaan teknik analisa yang lebih maju. Dengan penggunaan teknik-teknik tersebut maka diharapkan dapat memberikan tingkat kepercayaan dan keyakinan yang lebih besar karena dapat diuji kesalahan atau deviasi yang terjadi secara ilmiah.

13 3 Fuzzy Time Series Teori himpunan fuzzy Zadeh digunakan untuk mengembangkan model time variant dan time invariant peramalan fuzzy time series dengan menerapkan pada masalah peramalan pendaftaran mahasiswa baru dengan data berkala pada Universitas Alabama (Song & Chissom 1993). Beberapa penelitian dan pengembangan metode ini yaitu peramalan dengan metode fuzzy time series pada pendaftaran mahasiswa baru Universitas Alabama menggunakan operasi aritmetika sederhana (Chen 1996). Model second order fuzzy time series untuk meramal pendaftaran mahasiswa di Universitas Alabama (Tsai & Wu 1999). Menggunakan model high order fuzzy time series untuk mengatasi kelemahan model first order fuzzy time series dengan mengimplementasikan pada peramalan pendaftaran mahasiswa pada Universitas Alabama (Chen 2002), model 2 faktor high-order fuzzy logical relationship untuk meningkatkan akurasi peramalan (Lee et al. 2003) selanjutnya dikembangkanlah model fuzzy time series Markov chain yang digunakan untuk meramalkan nilai tukar mata uang Negara Taiwan terhadap dolar Amerika. Model tersebut memanfaatkan kelebihan dari fuzzy logical relationship (FLR) dan menggabungkan kelebihan dari proses rantai Markov (Markov chain) sehingga diperoleh peramalan dengan akurasi lebih baik (Tsaur 2012). Konsep Dasar Fuzzy Time Series Berbagai definisi peramalan fuzzy time series diringkas sebagai berikut: Definisi 1. Himpunan fuzzy merupakan objek kelas-kelas dengan rangkaian kesatuan nilai keanggotaan. Misalkan U adalah universe of discourse, U = {u 1, u 2,, u n }, di mana u i merupakan nilai linguistik yang mungkin dari U kemudian sebuah himpunan fuzzy variabel linguistik A i dari U didefinisikan dengan sebagai berikut: A i = μ Ai(u 1 ) + μ Ai(u 2 ) + + μ Ai(u n ), u 1 u 2 u n di mana μ Ai merupakan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy A i sehingga μ Ai U [0,1]. Jika u j keanggotaan dari A i maka μ Ai adalah derajat yang dimiliki u j terhadap A i (Singh 2007). Definisi 2. Misalkan Y(t)(t =, 0, 1, 2, ) subset R 1, menjadi universe discourse dengan himpunan fuzzy f i (t)(i = 1, 2, ) didefinisikan dan F(t) adalah kumpulan dari f 1 (t), f 2 (t),, maka F(t) disebut fuzzy time series didefinisikan pada Y(t)(t =, 0, 1, 2, ). Dari definisi tersebut F(t) dapat dipahami sebagai variabel linguistik f i (t)(i = 1, 2, ) dari nilai kemungkinan linguistik F(t). Karena pada waktu yang berbeda, nilai F(t) dapat berbeda, F(t) sebagai himpunan fuzzy adalah fungsi dari waktu t dan universe discourse berbeda di tiap waktu maka digunakan Y(t) untuk waktu t (Song & Chissom 1993). Definisi 3. Misalkan F(t) dihasilkan oleh F(t 1), F(t 2),, dan F(t m), m > 0 secara simultan dan relasi adalah time variant maka F(t) disebut menjadi time variant fuzzy time series dan relasi dapat diekspresikan dengan rumus: F(t) = F(t 1) R w (t, t 1), di mana W > 1 merupakan parameter waktu (bulan atau tahun) yang mempengaruhi ramalan F(t) (Singh 2007).

14 4 Rantai Markov (Markov Chain) Rantai Markov pertama kali dikembangkan oleh ahli Rusia yang bernama A.A. Markov pada tahun Secara konseptual rantai Markov dapat diilustrasikan dengan menganggap {X n, n = 0, 1, 2, } sebagai suatu proses stokastik berhingga atau nilai peluangnya yang dapat dihitung. Himpunan nilai peluang dari proses ini dinotasikan dengan himpunan integer positif {0, 1, 2, }. Jika X n = i, maka proses ini terjadi di i pada saat n. Dengan menganggap bahwa kapanpun proses ini terjadi di state i, terdapat sebuah nilai probabilitas P ij yang akan berpindah ke state j. Dapat dituliskan: P{X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,, X 1 = i 1, X 0 = i 0 } = P ij untuk semua state i 0, i 1,, i n 1, i, j, n 0. Proses yang seperti itu disebut rantai Markov. Persamaan tersebut diinterpretasikan dalam rantai Markov sebagai distribusi bersyarat dari state yang akan datang X n+1 yang diperoleh dari state sebelumnya X 0, X 1,, X n 1 dan state yang sekarang X n, dan tidak bergantung pada state yang sekarang. Nilai P ij mewakili peluang proses transisi dari i ke j. Karena nilai peluang selalu positif dan proses transisi berpindah, maka: P ij 0, i, j 0, jumlah P ij = 1, j = 1,,, i = 0, 1, Misal P merupakan matriks peluang transisi P ij, maka dapat dinotasikan sebagai berikut (Ross 2010): P 00 P 01 P 0n P P = ( 10 P 11 P 1n ). P n0 P n1 P nn Fuzzy Time Series Markov Chain Tsaur (2012) memperkenalkan model fuzzy time series Markov chain yang merupakan model hibrida fuzzy time series dengan proses stokastik rantai Markov. Dalam model fuzzy time series Markov chain, matriks peluang transisi digunakan sebagai dasar perhitungan peramalan. Peluang dari suatu state menuju state berikutnya diperoleh dari grup relasi logika fuzzy (GRLF). Peluang transisi state dituliskan sebagai berikut: P ij = M ij M i, i, j = 1, 2,, n, (1) dengan P ij adalah peluang transisi satu langkah dari state A i ke A j, M ij adalah jumlah transisi satu langkah dari state A i ke A j dan M i adalah jumlah transisi yang termasuk dalam state A i. Sehingga matriks peluang transisi dari seluruh state berdimensi n n, dengan n merupakan banyaknya himpunan fuzzy. Matriks peluang transisi P dapat dituliskan dengan

15 5 P 11 P 12 P 1n P P = ( 21 P 22 P 2n ) P n1 P n2 P nn Matriks P merefleksikan transisi dari seluruh sistem. Jika F(t 1) = A i maka proses akan didefinisikan pada state A i pada waktu (t 1) sehingga hasil peramalan Y (t) dihitung dengan menggunakan baris [ P i1, P i2,, P in ] pada matriks P. Menurut Ross (2010) jika P ij > 0, maka state A j dikatakan accessible dari state A i. Jika state A i dan A j saling accessible satu sama lain maka A i dikatakan communicate dengan A j. Metode Berbasis Rata-Rata Dalam perhitungan peramalan menggunakan metode fuzzy time series, panjang interval ditentukan pada awal proses perhitungan. Penentuan panjang interval tersebut sangat berpengaruh dalam pembentukan relasi logika fuzzy yang juga memberikan dampak terhadap hasil perhitungan peramalan. Dalam penelitian ini, penentuan panjang interval dilakukan dengan metode berbasis rata-rata (average-based), yaitu sebuah metode yang diperkenalkan oleh Huarng (2001) untuk menentukan panjang interval yang efektif. Berikut merupakan algoritme metode berbasis rata-rata. 1. Menghitung nilai mutlak selisih antara Y(t + 1) dan Y(t), t = 1,, n 1 sehingga diperoleh rata-rata nilai mutlak selisih, 2. Menentukan setengah dari rata-rata yang diperoleh dari langkah pertama untuk kemudian dijadikan sebagai panjang interval (l), 3. Menentukan basis dari panjang interval sesuai dengan Tabel 1, 4. Panjang interval kemudian dibulatkan sesuai dengan basis yang diperoleh dari langkah ketiga. Tabel 1 Basis Interval Interval Basis Pengukuran Kesalahan Peramalan Kesalahan peramalan merupakan ukuran seberapa baik kinerja suatu model peramalan yang digunakan dengan membandingkan nilai hasil peramalan dari model tersebut dengan data historis. Terdapat berbagai macam ukuran kesalahan yang dapat diklasifikasikan menjadi ukuran standar dalam statistik dan ukuran relatif. Ukuran kesalahan yang termasuk ukuran relaif adalah nilai rata-rata kesalahan persentase (Mean Percentage Error) dan nilai rata-rata kesalahan persentase absolut (Mean Absolute Percentage Error) (Makridakis et al. 1999).

16 6 Dalam penelitian ini pengukuran kesalahan peramalan menggunakan MAPE (Mean Absolute Percentage Error), yaitu : n MAPE = PE i n, dengan i=1 PE i = ( Y t Y adj ) 100 Y t serta Y t data aktual pada periode ke-t, Y adj data hasil ramalan dengan metode fuzzy time series Markov chain pada periode ke-t, n : banyaknya periode waktu. MAPE (Mean Absolute Percentage Error) merupakan rata-rata dari keseluruhan persentase kesalahan antara data aktual dengan data data hasil peramalan. Suatu dikatakan layak jika nilai MAPE berada di bawah 10% dan 20%. METODE Penelitian ini merupakan kajian metode fuzzy time series yang dimodifikasi dengan metode berbasis rata-rata diinduksikan dengan Markov chain serta pada fuzzy logic relation group (FLRG). Metode kemudian diujikan pada data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika pada bulan Maret 2014 sampai bulan Maret 2016 yang diperoleh dari website Bank Indonesia. Hasil dari pengujian peramalan kemudian divalidasi dalam bentuk nilai MAPE. Berikut ini adalah algoritma metode berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain yang dikembangkan oleh Tsaur (2012), untuk peramalan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika: Himpunan semesta Menentukan semesta pembicaraan U umtuk data historis. Semesta pembicaraan U dapat didefinisikan sebagai [D min D 1, D max +D 2 ] dengan D min dan D max secara berturut-turut adalah data terkecil dan data terbesar dari semesta pembicaraan, sedangkan D 1 dan D 2 adalah bilangan random yang bernilai positif. Mempartisi semesta pembicaraan U menjadi beberapa interval dengan panjang yang sama menggunakan metode berbasis rata-rata. Menentukan jumlah interval fuzzy dengan rumus berikut: p = [(D max + D 2 ) (D min D 1 ] ((2), l di mana p adalah jumlah interval dan l adalah pembulatan nilai basis interval Proses fuzzifikasi

17 Mendefinisikan himpunan fuzzy dari semesta pembicaraan U berdasarkan interval partisi yang telah ditentukan.berikut himpunan fuzzy didefinisikan A 1 = 1/u /u 2 + 0/u 3 + 0/u /u i (3) A 2 = 0.5/u 1 + 1/u /u 3 + 0/u /u i A i = 0/u 1 + 0/u 2 + 0/u 3 + 0/u /u i 1 + 1/u i, 7 di mana 0 atau 1 adalah derajat keanggotaan himpunan u i pada himpunan fuzzy A i, dan apabila derajat keanggotaan maksimum suatu data berada dalam himpunan fuzzy A i, maka nilai linguistik atau hasil fuzzifikasi data tersebut adalah A i. Fuzzifikasi data historis, yaitu mengubah data numerik menjadi himpunan fuzzy yang sesuai. Menentukan fuzzy logical relationship (FLR), tahap ini menentukan relasi logika fuzzy yaitu A j A i. Dimana A j merupakan current state dan A i next state. Menentukan fuzzy logical relationship group (FLRG), yaitu mengelompokkan dari hasil fuzzy logical relationships (FLR). Contoh, jika terdapat relasi logika fuzzy berbentuk A 1 A 2, A 1 A 1, A 1 A 3, A 1 A 1, maka relasi logika fuzzy dikelompokkan menjadi FLRG A 1 A 1, A 1, A 2, A 3. Defuzzifikasi Proses defuzzifikasi dari metode fuzzy time series Markov chain dilakukan berdasarkan pada aturan Tsaur (2012), dengan langkah-langkah sebagai berikut: Menentukan hasil peramalan Y (t)melalui matriks probabilitas transisi P yang didapatkan dari FLRG, dengan aturan berikut. a. Jika tidak terdapat FLRG dari A i (misal A i ), maka nilai peramalan Y (t) = m i, dengan m i nilai tengah dari u i. b. Jika FLRG A i adalah relasi one the one, selanjutnya disebut 1 1 (misal A i A k, dengan P ik = 1 dan P ij = 0, j k ) maka nilai peramalan Y (t) = m k P ik = m k, dengan m k nilai tengah dari u k. c. Jika FLRG A i adalah relasi one to many (misal A j A 1, A 2,, A n, j = 1, 2,, n), dengan data yang diambil Y(t 1) pada waktu (t 1) pada state A j, maka nilai peramalan Y (t) = m 1 P j1 + + m (j 1) P j(j 1) + Y(t 1)P jj + m (j+1) P j(j+1) + + m n P jn dengan m 1,, m j 1, m j+1,, m n adalah nilai tengah u 1,, u j 1, u j+1,, u n dan m j disubstitusi oleh Y(t 1) untuk mendapatkan data akual dari state A j pada waktu (t 1). Menyesuaikan kecenderungan nilai peramalan (selanjutnya disebut adjusted value D(t)), dengan aturan berikut. a. Aturan 1 : Jika state A i communicate dengan A i dan melakukan transisi ke A j pada waktu t, (i < j), maka D(t 1 ) = l 2. b. Aturan 2 : Jika state A i communicate dengan A i dan melakukan transisi ke A j pada waktu t, (i > j), maka D(t 1 ) = l 2.

18 8 c. Aturan 3 : Jika state A i melakukan transisi lompatan maju ke A i+s pada waktu t, (1 s n i), maka D(t 2 ) = l 2 s, dengan s adalah jumlah lompatan ke depan. d. Aturan 4 : Jika state A i melakukan transisi lompatan mundur ke A i v pada waktu t, ( 1 v i), maka D(t 2 ) = l 2 v, dengan v adalah jumlah lompatan ke belakang. Menentukan hasil peramalan Y adj (t), dengan aturan berikut. a. Jika FLRG A i adalah one to many dan state A i+1 accessible dari A i dengan state A i communicate dengan A i maka Y adj (t) = Y (t) + D(t 1 ) + D(t 2 ). b. Jika FLRG A i adalah one to many dan state A i+1 accessible dari A i tetapi state A i tidak communicate dengan A i maka Y adj (t) = Y (t) + D(t 2 ). c. Jika FLRG A i adalah one to many dan state A i 2 accessible dari A i tetapi state A i tidak communicate dengan A i maka Y adj (t) = Y (t) 2D(t 2 ). d. Jika v adalah jump step, maka rumus umum dari Y adj (t) adalah Y adj (t) = Y (t) ± D(t 1 ) ± D(t 2 ). Menghitung akurasi hasil peramalan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan melihat nilai MAPE. Menentukan nilai peramalan untuk data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika pada bulan April HASIL DAN PEMBAHASAN Proses peramalan dengan menggunakan metode fuzzy time series Markov chain yang dikembangkan oleh Tsaur (2012) menggunakan data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika diperoleh dari website Bank Indonesia yaitu dengan periode bulanan. Terdapat 25 observasi yang diambil dari bulan Maret 2014 sampai bulan Maret 2016 dapat dilihat pada Lampiran 1. Trend data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika bulan Maret 2014 sampai bulan Maret 2016 dapat dilihat pada Gambar 1.

19 9 Gambar 1 Plot nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika periode Maret Maret 2016 Berdasrkan Gambar 1 terlihat bahwa data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika pada periode ke-1 yaitu bulan Maret 2014 sampai periode ke-19 yaitu bulan September 2015 cenderung meningkat, dan kenaikan tertinggi terjadi pada bulan September Pada bulan Oktober 2015 sampai Maret 2016 data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika cenderung menurun, yang artinya pada saat periode tersebut nilai tukar rupiah melemah terhadap dolar Amerika. Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika terendah terjadi pada bulan Maret 2014 yaitu sebesar Rp sedangkan tertinggi terjadi pada bulan September 2015 sebesar Rp Analisis Proses Peramalan Fuzzy Time Series Markov Chain Analisis yang harus dilakukan dalam peramalan menggunakan metode fuzzy time series Markov chain adalah mendefinisikan semesta pembicaraan U untuk data aktual. Himpunan semesta pembicaraan U dinyatakan dari data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika. Berdasarkan Tabel 1 diketahui D min (data terkecil) yaitu dan D max (data terbesar) yaitu , kemudian dipilih D 1 dan D 2 bilangan random yang bernilai positif, yaitu 7.05 dan Sehingga diperoleh semesta pembicaraan U = [D min D 1, D max + D 2 ] adalah [11420,14420]. Setelah ditentukan semesta pembicaraan dari data aktual selanjutnya semesta pembicaraan U dipartisi menjadi beberapa interval dengan panjang yang sama. Dalam menentukan panjang interval dari semesta pembicaraan digunakan metode berbasis rata-rata yang diperkenalkan oleh Huarng (2001). Berikut merupakan perhitungan panjang interval dengan metode berbasis rata-rata. 1. Hasil penjumlahan semua nilai mutlak selisih antara Y(t + 1) dan Y(t), t = 1,, n 1 adalah shingga rata-rata nilai mutlak selisihnya adalah Setelah diketahui rata-rata nilai mutlak selisihnya kemudian ditentukan setengah dari rata-rata yang diproleh tersebut, yaitu

20 10 3. Berdasarkan panjang interval yang diperoleh dari langkah kedua, ditentukan basis dari panjang interval sesuai dengan Tabel 1. Dari Tabel 1 diketahui basis untuk panjang interval adalah Panjang interval kemudian dibulatkan sesuai dengan basisnya yaitu 100, sehingga diperoleh panjang interval sebesar 100. Berdasarkan metode berbasis rata-rata diperoleh 100 sebagai panjang interval yang efektif. Kemudian semesta pembicaraan U = [11420,14420] dipartisi menjadi beberapa interval dengan panjang interval 100, selanjutnya menghitung jumlah interval menggunakan persamaan (2), sehingga diperoleh sebanyak 30 partisi dapat dilihat pada Lampiran 2. Proses fuzzifikasi Pembentukan himpunan fuzzy diperoleh setelah menentukan jumlah interval terlebih dahulu. Ada 30 himpunan fuzzy yang dapat dibentuk berdasarkan jumlah interval u. Berdasarkan persamaan (3) himpunan fuzzy yang dibentuk sebagai berikut: A 1 = 1 u u u u u 30, A 2 = 0.5 u u u u u 30, A 3 = 0 u u u u u u 30, A 4 = 0 u u u u u u u 30, A 27 = 0 u u u u u u 30, A 28 = 0 u u u u u 30, A 29 = 0 u u u u u u 30, A 30 = 0 u u u u u 30. Berdasarkan himpunan fuzzy yang sudah dibentuk, maka dapat ditentukan himpunan fuzzy untuk setiap data aktual nilai tukar, dimana data aktual nilai tukar diubah menjadi ke dalam bentuk nilai linguistik yang merupakan bentuk interval. Hasil fuzzifikasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Data fuzzifikasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika Periode (Tgl/bln/th) Data aktual Fuzzifikasi Periode (Tgl/bln/th) Data aktual Fuzzifikasi 01/03/ A 1 01/04/ A 16 01/04/ A 1 01/05/ A 18 01/05/ A 2 01/06/ A 19 01/06/ A 5 01/07/ A 20 01/07/ A 3 01/08/ A 24 01/08/ A 3 01/09/ A 30 01/09/ A 5 01/10/ A 24

21 Periode (Tgl/bln/th) Data aktual Fuzzifikasi Periode (Tgl/bln/th) Data aktual Fuzzifikasi 01/10/ A 8 01/11/ A 23 01/11/ A 8 01/12/ A 25 01/01/ A 12 01/02/ A 21 01/02/ A 14 01/03/ A 19 01/03/ A Fuzzy logical relationship Berdasarkan hasil fuzzifikasi pada Tabel 2, maka dapat ditentukan fuzzy logical relationship (FLR) yang merupakan hubungan antara setiap urutan data terhadap data berikutnya dalam bentuk himpunan fuzzy. FLR untuk seluruh data dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Fuzzy logical relationship A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 A 5 A 5 A 3 A 3 A 3 A 3 A 5 A 5 A 8 A 8 A 8 A 8 A 11 A 11 A 12 A 12 A 14 A 14 A 17 A 17 A 16 A 16 A 18 A 18 A 19 A 19 A 20 A 20 A 24 A 24 A 30 A 30 A 24 A 24 A 25 A 25 A 25 A 25 A 21 A 21 A 19 Fuzzy logical relationship group Selanjutnya, berdasarkan Tabel 3 setelah memperoleh FLR dapat ditentukan fuzzy logical relationship group (FLRG) yang merupakan pengelompokan dari setiap perpindahan state yaitu state saat ini (current state) dan state selanjutnya (next state). Pada setiap FLRG terdapat hubungan antara dua state yang disebut current state dan next state. Current state merupakan nilai yang akan dihitung sebagai nilai peramalan. Sedangkan next state merupakan data yang digunakan sebagai syarat untuk memperoleh nilai pada current state. FLRG dibentuk untuk mempermudah perhitungan dari FLR yang sudah ada. Hubungan yang terdapat dalam FLRG antara current state dan next state ini sejalan dengan prinsip dasar Markov chain. FLRG yang ada untuk seluruh data dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4 Fuzzy logical relationship group Current state Next state Current state Next state A 1 A 1, A 2 A 17 A 16 A 2 A 5 A 18 A 19 A 3 A 3, A 5 A 19 A 20 A 5 A 3, A 8 A 20 A 24 A 8 A 8, A 11 A 21 A 19 A 11 A 12 A 23 A 25 A 12 A 14 A 24 A 23, A 30 A 14 A 17 A 25 A 21, A 25 A 16 A 18 A 30 A 24

22 12 Defuzzifikasi Dalam proses defuzzifikasi ini, menentukan hasil peramalan berdasarkan matriks probabilitas perpindahan state A i ke A j yaitu matriks transisi R berorde yang setiap elemennya merupakan nilai probabilitas yang diperoleh dari persamaan (1) dapat dilihat pada Lampiran 6. Sebagai contoh perhitungan nilai peramalan, dihitung nilai peramalan pada bulan April 2014 diperoleh dari fuzzy logical relationship group yaitu A 1 A 1, A 2, relasinya one to many. Jadi nilai peramalannya adalah Y (t) = m 1 P j1 + + m j 1 P j(j 1) + Y(t 1)P jj + m j+1 P j(j+1) + + m n P jn Ŷ(April 2014) = Y(t 1)P 1(1) + m 2 P 1(2) = ( ) (11570) 1 2 = Hasil peramalan pada bulan-bulan berikutnya dinyatakan pada Tabel 5. Menentukan nilai penyesuaian/adjusted value D(t). Hubungan antar state dapat diihat (pada Lampiran 5). Tanda panah satu arah menandakan state melakukan transisi dari asal pangkal panah ke ujung panah. Misal state A 1 melakukan transisi ke state A 2, tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dalam hal ini state A 2 dikatakan accessible dari state A 1. Sedangkan tanda panah dua arah menandakan antar state saling accessible, seperti state A 3 dan state A 5. Dalam hal ini dapat dikatakan state A 3 communicate dengan state A 5. Sebagai contoh perhitungan untuk bulan April 2014 (t = 2), nilai D(t) dihitung berdasarkan Y(t 1) = A 1. Pada waktu t = 1 state A 1 tidak melakukan transisi ke state lain hanya bertransisi dengan state A 1 pada t = 2 maka nilai D(t) = 0. Hasil perhitungan nilai D(t) untuk periode yang lainnya dituliskan pada Tabel 7. Langkah berikutnya, menentukan hasil peramalan Y adj (t). Hasil perhitungan Y adj (t) dinyatakan dalam Tabel 5 dan selengkapnya pada Lampiran 3. Tabel 5 Hasil peramalan data aktual t Periode Y(t) Y (t) D(t) Y adj (t) 1 Maret April Mei Juni Juli Agustus September Januari Februari Maret Selanjutnya menghitung nilai penyesuaian peramalan ( Y adj (t)), sebagai contoh nilai peramalan penyesuaian pada bulan April 2014 (t = 2) yaitu Y adj (t) = Y (2) + D(2) = = Menghitung tingkat kesalahan hasil peramalan dengan melihat nilai MAPE. Nilai MAPE yang didapat

23 menggunakan fuzzy time series Markov chain untuk data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika periode Maret 2014 Maret 2016 adalah sebesar 0.71%. Semakin kecil nilai MAPE yang didapat semakin baik metode yang digunakan dalam peramalan tersebut. Nilai MAPE untuk seluruh data dapat dilihat pada Lampiran 4. Dari proses fuzzy time series Markov chain yang telah dijelaskan diatas, kemudian langkah terakhir adalah menentukan nilai peramalan untuk data nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika pada bulan April 2016 (t = 25). Nilai peramalan Y (25) dihitung dengan FLRG pada Y(24) = A 19. Karena FLRG dari A 19 adalah A 20 sehingga hasil peramalan Y (25) adalah nilai tengah dari u 20 dan adjusted value D(25) bernilai 0. Diperoleh nilai peramalan Y adj (25) untuk bulan April 2016 sebesar Rp Visualisasi grafik hasil peramalan data aktual dinyatakan pada Gambar Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika Data aktual Nilai peramalan Periode Gambar 2 Perbandingan data aktual dengan nilai peramalan Gambar 2 menunjukkan bahwa nilai peramalan dengan metode fuzzy time series Markov chain mendekati data aktualnya, dengan plot sebaran data yang hampir sesuai dengan data aktual. Pengujian selanjutnya adalah meramalkan nilai beberapa waktu ke depan, karena metode fuzzy time series Markov chain hanya dapat meramalkan satu periode ke depan, yaitu pada periode April Maka untuk meramalkan beberapa bulan ke depan dengan menganggap setiap output peramalan yang dihasilkan akan dijadikan kembali data input untuk meramalkan periode berikutnya. Peramalan lima bulan ke depan menggunakan data aktual periode Maret 2014 sampai dengan Maret Dengan menggunakan D 1 = 7.05 dan D 2 = 23.9 yang telah diperoleh dari perhitungan menggunakan data training sebelumnya, maka untuk setiap output peramalan yang diperoleh akan dijadikan data input untuk memperoleh hasil peramalan periode berikutnya. Berikut adalah hasil perhitungan peramalan lima bulan ke depan beserta tingkat akurasinya dapat dilihat pada Tabel 6.

24 14 Tabel 6 Hasil peramalan dan tingkat akurasi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika Periode Data Aktual Nilai Peramalan Error April % Mei % Juni Juli Agustus September MAPE 0.3% Berdasarkan Tabel 6 maka diperoleh bahwa hasil peramalan nilai tukar untuk enam bulan ke depan menggunakan fuzzy time series Markov chain yaitu peramalan dari periode April 2016 sampai dengan September 2016 diperoleh rata-rata tingkat kesalahan dengan menggunakan MAPE sebesar 0.3%. Berdasarkan kriteria tingkat akurasi menggunakan MAPE hasil peramalan menggunakan metode fuzzy time series Markov chain dinyatakan sangat baik karena nilai MAPE di bawah 10% dan tingkat akurasi untuk proses peramalan 25 periode serta 6 periode ke depan hasilnya sangat signifikan. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan analisis proses peramalan dengan menggunakan metode berbasis rata-rata fuzzy time series Markov chain dapat menghasilkan perhitungan prediksi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika, untuk 1 bulan ke depan pada bulan April 2016 adalah Rp ,00 dengan tingkat kesalahan peramalan menggunakan MAPE sebesar 0.71%. Karena pada metode fuzzy time series Markov chain menerapkan perhitungan probabilitas pada setiap perpindahan current state ke next state pada tahap fuzzy logical relationship group (FLRG), serta penyesuaian kecenderungan nilai peramalan. Saran Saran yang dapat disampaikan untuk penelitian selanjutnya dengan tidak hanya menggunakan satu metode peramalan. Tujuannya adalah untuk membandingkan tingkat kesalahan peramalan, karena metode peramalan yang mempunyai tingkat kesalahan lebih kecil berarti metode tersebut adalah metode yang baik. Dapat mengembangkan metode fuzzy time series Markov chain agar menghasilkan nilai peramalan untuk lebih dari 1 bulan.

25 15 DAFTAR PUSTAKA Buffa ES, Sarin RK Modern Production and Operation Management. Eight Edition. London: John and Wiley and Sons Inc. Chen SM Forecasting Enrollments Based on Fuzzy Time Series. Fuzzy Sets and Systems 81: Chen SM Forecasting Enrollments Based on High-order Fuzzy Time Series. Cybernetics and Systems 33: Gamalita A, Rachmawati N, dan Suhartono, D Analisis dan Perancangan Aplikasi Web Prediksi Indeks Harga Saham Gabungan menggunakan Fuzzy Time Series Markov Chain Model [Thesis]. Universitas Bina Nusantara, Jakarta. Huarng K Heuristic Models of Fuzzy Time Series for Forecasting. Fuzzy Sets and Systems 123: Lee J, Boatwright P, Kamakura WA A Bayesian Model for Prelaunch Sales Forecasting of Recorded Music. Management Science 49: Makridakis S, Wheelwright SC, McGee VE Metode dan Aplikasi Peramalan, Jilid Satu. Ed Ke-2. Jakarta (ID): Binarupa Aksara. Ross SM Introduction to Probability Models. Tenth Edition. California (US): Academic Pr. Singh SR A Simple Time Variant Method for Fuzzy Time Series Forecasting. Cybernetics and Systems 38: Song Q, Chissom B Forecasting Enrollments with Fuzzy Time Series-Part I. Fuzzy Sets and Systems 54: 1-9. Tsai CC, Wu SJ A Study for Second Order Modelling of Fuzzy Time Series. IEE international fuzzy systems conference proceedings II. Korea Tsaur RC A Fuzzy Time Series-Markov Chain Model with An Application to Forecast The Exchange Rate Between Taiwan and US Dollar. ICIC International.

26 16 Lampiran 1 Data aktual nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika bulan Maret 2014 sampai bulai Maret 2016 Periode Data aktual Periode Data aktual (Tgl/bln/th) (Tgl/bln/th) 01/03/ /04/ /04/ /05/ /05/ /06/ /06/ /07/ /07/ /08/ /08/ /09/ /09/ /10/ /10/ /11/ /11/ /12/ /12/ /01/ /01/ /02/ /02/ /03/ /03/ Sumber: Lampiran 2 Partisi himpunanan semesta pembicaraan u i Interval Nilai tengah(m) u i Interval Nilai tengah(m) u 1 [11420,11520) u 16 [12920,13020) u 2 [11520,11620) u 17 [13020,13120) u 3 [11620,11720) u 18 [13120,13220) u 4 [11720,11820) u 19 [13220,13320) u 5 [11820,11920) u 20 [13320,13420) u 6 [11920,12020) u 21 [13420,13520) u 7 [12020,12120) u 22 [13520,13620) u 8 [12120,12220) u 23 [13620,13720) u 9 [12220,12320) u 24 [13720,13820) u 10 [12320,12420) u 25 [13820,13920) u 11 [12420,12520) u 26 [13920,14020) u 12 [12520,12620) u 27 [14020,14120) u 13 [12620,12720) u 28 [14120,14220) u 14 [12720,12820) u 29 [14220,14320) u 15 [12820,12920) u 30 [14320,14420) 14370

27 Lampiran 3 Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dan hasil peramalan yang telah disesuaikan 17 t Periode Y(t) Y (t) D(t) Y adj (t) 1 Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Januari Februari Maret

28 18 Lampiran 4 Persentase eror setiap bulan mengunakan MAPE Periode Nilai 1 USD dalam Rupiah Error Aktual Peramalan Maret April % Mei % Juni % Juli % Agustus % September % Oktober % November % Desember % Januari % Februari % Maret % April % Mei % Juni % Juli % Agustus % September % Oktober % November % Desember % Januari % Februari % Maret % MAPE 0.71%

29 19 Lampiran 5 Hubungan antar state pada proses transisi peramalan berdasarkan FLRG A 2 A 1 A 5 A 3 A 8 A 11 A 12 A 14 A A 16 A 18 A 17 A A 21 A 25 A 23 A 24 A 30

30 20 Lampiran 6 Matriks probabilitas R R = [ ]

31 21 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama lengkap Fuji Kurnia Ningsih, dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Agustus Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara dan lahir dari pasangan Suwanda dan Umbang Yanas. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam. Pendidikan yang telah ditempuh oleh penulis yaitu SMP Negeri 95 Jakarta lulus tahun 2009, dan SMA Negeri 80 Jakarta lulus tahun Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SNMPTN dan diterima di Departemen Matemtika, Fakultas Ilmu dan Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai staf Departemen PSDM himpunan profesi Matematika GUMATIKA IPB pada tahun 2014/2015. Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti lomba yang diadakan oleh Fakultas MIPA IPB. Adapun penghargaan yang penulis raih, antara lain Juara 3 dan Juara 2 Drama Musikal SPIRIT FMIPA IPB tahun 2014 dan 2015.