Analisis Riil dalam Poster GRAVITASI BUMI DENGAN KEKONVERGENAN BARISAN

Transkripsi

1 Analisis Riil dalam Poster GRAVITASI BUMI DENGAN KEKONVERGENAN BARISAN Wahidin Pendidikan Matematika UHAMKA 2008, Setiap benda yang berada dalam jangkauan atmosfer bumi, maka akan tertarik oleh gaya gravitasi bumi, sehingga mereka akan bergerak menuju ke pusat bumi. Page 1 of 12

2 A. Lapisan Atmosfer Bumi Bumi diselubungi oleh lapisan udara yang disebut atmosfer. Perubahan atmosfer Bumi, dapat mempengaruhi perubahan cuaca dan iklim dan dapat berdampak bagi makhluk hidup di Bumi. Atmosfer terdiri atas berbagai campuran gas yang dipengaruhi dan terikat oleh gravitasi Bumi. Ketebalan lapisannya diperkirakan 1000 km dari permukaan Bumi. Komposisi gas-nya yaitu 78% nitrogen dan 21% oksigen. Dan gas lain dengan jumlah sangat sedikit: karbon dioksida (CO 2 ), Argon (Ar), Neon (Ne), dan uap air (H 2 O). Berdasarkan profil temperatur secara vertikal, lapisan-lapisan atmosfer di bagi menjadi: 1. TROPOSFER (0 10 Km): Merupakan atmosfer terbawah dan dekat dengan Bumi. Pada lapisan ini, terjadi adanya awan, angin, hujan,petir, dan lain-lain. 2. STRATOSFER (10 50 Km): Pada lapisan ini, terjadi peningkatan temperature karena bertambahnya ketinggian. Ozon (O 3 ) terdapat pada lapisan ini dengan ketinggian 25 Km dari permukaan Bumi. 3. MESOSFER (50 85 Km): Lapisan ini mempunyai ion atau udara yang bermuatan listrik (Lapisan D) yang berfungsi untuk memantulkan gelombang radio. Karena adanya muatan listrik tersebut, Kita dapt berkomunikasi dengan orang lain di luar negri. 4. TERMOSFER ( Km): Lapisan ini berfungsi untuk melindungi bumi dari meteor dengan cara membakarnya. Hal ini disebabkan karena lapisan atmosfer mempunyai atom yang bermuatan listrik atau terionisasi radiasi matahari. B. Seputar Gravitasi Bumi 2.1 Gaya Berat Massa adalah jumlah zat yang terkandung dalam suatu benda (selalu tetap di manapun berada). Sedangakan berat suatu benda adalah massa suatu benda yang dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi, di tempat yang gravitasinya berbeda berat benda akan berubah. Berdasarkan Hukum II Newton, berat benda dirumuskan: w = m.g di mana w : gaya gravitasi bumi pada benda atau berat benda dalamnewton m : massa benda, dalam kg g : percepatan gravitasi bumi yang besarnya 9,8 ms -2 kadang-kadang untuk memudahkan dibulatkan menjadi 10 ms -2 Makin jauh dari bumi percepatan gravitasi bumi makin kecil, sehingga berat roket pada saat di A lebih besar dibandingkan roket di B. Page 2 of 12

3 Semua benda yang berada di atas permukaan bumi pada jarak tertentu dari pusat bumi akan mengalami gaya gravitasi yang dinamakan gaya berat w. Gaya berat w kedudukannya pada pusat massa benda itu dan arahnya menuju pusat bumi. 2.2 Hukum Gravitasi Newton Newton menyelidiki gerakan planet-planet dan bulan. Ia selalu bertanya mengapa bulan selalu berada dalam orbitnya yang hampir berupa lingkaran ketika mengitari bumi. Selain itu, ia juga selalu mempersoalkan mengapa benda-benda selalu jatuh menuju permukaan bumi. Wililiam Stukeley, teman Newton ketika masih muda, menulis bahwa ketika mereka sedang duduk minum teh di bawah pohoh apel, Newton melihat sebuah apel jatuh dari pohonnya. Dikatakan bahwa Newton mendapat ilham dari jatuhnya buah apel. Menurutnya, jika gravitasi bekerja di puncak pohon apel, bahkan di puncak gunung, maka mungkin saja gravitasi bekerja sampai ke bulan. Dengan penalaran bahwa gravitasi bumi yang menahan bulan pada orbitnya, Newton mengembangkan teori gravitasi. Pada zaman yunani kuno, persoalan yang selalu dipertanyakan adalah mengapa benda-benda selalu jatuh ke permukaan bumi dan bagaimana gerakan planet-planet, termasuk matahari dan bulan (matahari dan bulan pada waktu itu digolongkan menjadi planet-planet). Orang-orang Yunani pada waktu itu melihat kedua persoalan di atas sebagai dua hal yang berbeda. Yang membedakan Newton dan orang-orang sebelumnya adalah bahwa memandang kedua persoalan dasar di atas (gerak jatuh benda dan gerakan planet) disebabkan oleh satu hal saja dan pasti mematuhi hukum yang sama. Pada abad ke-17, Newton menemukan bahwa ada interaksi yang sama yang menjadi penyebab jatuhnya buah apel dari pohon dan Page 3 of 12

4 membuat planet tetap berada pada orbitnya ketika mengelilingi matahari. Demikian juga bulan, satu-satunya satelit alam kesayangan bumi tetap berada pada orbitnya. Hukum dasar inilah yang menentukan interaksi gravitasi. Ingat bahwa hukum ini bersifat universal; gravitasi bekerja dengan cara yang sama, baik antara diri kita dengan bumi, antara bumi dengan buah mangga ketika jatuh, antara bumi dengan pesawat yang jatuh, antara planet dengan satelit dan antara matahari dengan planetplanetnya dalam sistem tatasurya. Gagasan Newton mengenai gravitasi pada mulanya sulit diterima oleh banyak ilmuwan lainnya. Gaya gravitasi termasuk gaya tak sentuh, di mana bekerja antara dua benda yang berjauhan alias tidak ada kontak antara benda-benda tersebut. Gayagaya yang umumnya dikenal adalah gaya-gaya yang bekerja karena adanya kontak; gerobak sampah bergerak karena kita memberikan gaya dorong, bola bergerak karena ditendang, sedangkan gravitasi, bisa bekerja tanpa sentuhan? Newton mengatakan kepada mereka bahwa ketika apel jatuh, bumi memberikan gaya kepadanya sehingga apel tersebut jatuh, demikian juga bumi mempertahankan bulan tetap pada orbitnya dengan gaya gravitasi, meskipun tidak ada kontak dan letak bumi dan bulan berjauhan. Sebelum mencetuskan Hukum Gravitasi Universal, Newton telah melakukan perhitungan untuk menentukan besar gaya gravitasi yang diberikan bumi pada bulan sebagaimana besar gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda-benda di permukaan bumi. Besar percepatan gravitasi di bumi adalah 9,8 m/s 2. Percepatan gravitasi bulan terhadap bumi 3600 kali lebih kecil dibandingkan dengan percepatan gravitasi bumi terhadap benda-benda di permukaan bumi. Bulan berjarak km dari bumi, sama dengan 60 kali jari-jari bumi (jari-jari bumi = 6380 km). Jika jarak bulan dari bumi (60 kali jari-jari bumi) dikuadratkan, maka hasilnya sama dengan 3600 (60 x 60 = 60 2 = 3600). Angka 3600 yang diperoleh dengan mengkuadratkan 60 hasilnya sama dengan Percepatan bulan terhadap bumi, sebagaimana hasil yang diperoleh melalui perhitungan. Berdasarkan perhitungan ini, Newton menyimpulkan bahwa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh bumi pada setiap benda semakin berkurang terhadap kuadrat jaraknya (r) dari pusat bumi. Selain faktor jarak, Newton juga menyadari bahwa gaya gravitasi juga bergantung pada massa benda. Pada Hukum III Newton bahwa jika ada gaya aksi maka ada gaya reaksi. Ketika bumi memberikan gaya aksi berupa gaya gravitasi kepada benda lain, maka benda tersebut memberikan gaya reaksi yang sama besar tetapi berlawanan arah terhadap bumi. Karena besarnya gaya aksi dan reaksi sama, maka besar gaya gravitasi juga harus sebanding dengan massa dua benda yang berinteraksi. Berdasarkan penalaran ini, Newton menyatakan hubungan antara massa dan gaya gravitasi. Setelah membuat penalaran mengenai hubungan antara besar gaya gravitasi dengan massa dan jarak, Newton membuat penalaran baru berkaitan dengan gerakan planet yang selalu berada pada orbitnya ketika mengitari matahari. Newton menyatakan bahwa jika planet-planet selalu berada pada orbitnya, maka pasti ada gaya gravitasi yang bekerja antara matahari dan planet serta gaya gravitasi antara Page 4 of 12

5 planet, sehingga benda langit tersebut tetap berada pada orbitnya masing-masing. Tidak puas dengan penalarannya di atas, ia menyatakan bahwa jika gaya gravitasi bekerja antara bumi dan benda-benda di permukaan bumi, serta antara matahari dan planet-planet maka mengapa gaya gravitasi tidak bekerja pada semua benda? Akhirnya, Newton pun mencetuskan Hukum Gravitasi Universal dan mengumumkannya pada tahun 1687: Semua benda di alam semesta menarik semua benda lain dengan gaya sebanding dengan hasil kali massa benda-benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda-benda tersebut. 2.3 Kuat Medan Gravitasi dan Percepatan Gravitasi Pada pembahasan mengenai Hukum Newton tentang Gravitasi, kita telah meninjau gaya gravitasi sebagai interaksi gaya antara dua atau lebih partikel bermassa. Partikel-partikel tersebut dapat saling berinteraksi walaupun tidak bersentuhan. Pandangan lain mengenai gravitasi adalah konsep medan, di mana sebuah benda bermassa mengubah ruang di sekitarnya dan menimbulkan medan gravitasi. Medan ini bekerja pada semua partikel bermassa yang berada di dalam medan tersebut dengan menimbulkan gaya tarik gravitasi. Jika sebuah benda berada di dekat bumi, maka terdapat sebuah gaya yang dikerjakan pada benda tersebut. Gaya ini mempunyai besar dan arah di setiap titik pada ruang di sekitar bumi. Arahnya menuju pusat bumi dan besarnya adalah mg. Jadi jika sebuah benda terletak di setiap titik di dekat bumi, maka pada benda tersebut bekerja sebuah vektor g yang sama dengan percepatan yang akan dialami apabila benda itu dilepaskan. Vektor g tersebut dinamakan kekuatan medan gravitasi. Kita dapat mengatakan bahwa kekuatan medan gravitasi di setiap titik merupakan gaya gravitasi yang bekerja pada setiap satuan massa di titik tersebut. C. Konsep Konvergen 3.1. Definisi Barisan Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain N dan mempunyai range dalam S. (def. 14.1; Bartle, 1975: 91). Konsep definisi tersebut di atas dapat diterapkan pada pembahasan tentang gravitasi bumi, dapat dilihat sebagai berikut: Pada sekumpulan benda dengan massa m n = (m 1, m 2, m 3, ) dengan percepatan gravitasi yang tetap, maka gaya berat benda-benda tersebut memenuhi: w n = (m 1 g, m 2 g, m 3 g, ) w n = (w 1, w 2, w 3, ) Karena percepatan gravitasi g, massa benda m dan berat benda w adalah bilangan riil, dan dapat dipandang sebagai fungsi dengan domain N ke R, maka Page 5 of 12

6 ketiganya memenuhi konsep barisan bilangan bilangan riil. Sebagai catatan, di sini sekumpulan benda tersebut berada pada ketinggan tetap. Suatu benda pada ketinggian berbeda (tetapi masih dalam lingkungan atmosfer bumi) memenuhi h n = (h 1, h 2, h 3, ) dengan efek gravitasi pada benda tersebut berbeda pada setiap ketinggian yaitu g n = (g 1, g 2, g 3, ), sehingga diperoleh gaya berat benda w n = (mg 1, mg 2, mg 3, ). Baik h n, g n, maupun w n di sini memenuhi konsep barisan bilangn riil. Hal tersebut berdasarkan konsep, bahwa setiap benda akan mempertahankan massa-nya pada setiap ketinggian. Misalnya massa seseorang di bumi ataupun di bulan tetap sama, hanya beratnya yang berrubah, sesuai dengan percepatan gravitasi bumi pada bulan Limit Barisan Misalkan X barisan di R P, x R P dikatakan sebagai limit dari X, jika lingkungan V dari x K V N n K V, maka X berada dalam V. (def. 14.3; Bartle, 1975: 92). Bumi sendiri beserta lapisan atmosfer-nya dapat dipandang sebagai himpunan yang terbatas, yakni terbatas di atas oleh dissipasisfer (radius 1000 km) dan terbatas di bawah oleh bumi itu sendiri. Artinya dalam lingkungan ini, setiap benda akan mendapatkan efek dari percepatan gravitasi bumi. Sehingga dalam wilayah ini pula, benda-benda akan tertarik oleh gravitasi bumi (benda jatuh ke bumi), inilah konsep kekonvergenan yang dimaksud di sini. Jadi setiap benda akan konvergen ke bumi, selama ia berada dalam jangkauan atmosfer bumi. Lalau bagaimana dengan benda-benda yang memiliki energi lebih besar untuk melawan efek gravitasi ini? seperti balon gas, pesawat terbang, roket, ataupun burung. Pada prinsipnya sama saja dengan benda-benda lainnya, mereka tetap mendapatkan efek gravitasi selama mereka berada dalam lingkungan atmosfer bumi, hanya saja mereka melawannya, toh kalau mereka kehabisan energi, maka akan jatuh juga ke bumi. Misalkan benda B n, gravitasi bumi g dan bumi b, maka kekonvergenan dapat dipandang sebagai fungsi: g : B n b atau (B n ) b B n konvergen ke b, dapat dilihat pada diagram berikut Benda B n g Gravitasi Bumi b Page 6 of 12

7 Ketunggalan limit; mengatakan bahwa setiap barisan di R P mempunyai tepat satu limit. (theorema. 14.5; Bartle, 1975: 93). hanya dapat Setiap benda yang jatuh pasti akan jatuh tepat pada satu tempat (lubang bekas jatuh), dengan akat lain, tidak ada suatu benda mempunyai lokasi tempat jatuh yang lebih dari satu. Tetapi sangat mungkin bagi beberapa benda (lebih dari satu) mempunyai satu lokasi tempat jatuh yang sama. Jadi konsep benda jatuh konvergen pada satu titik, yang juga memenuhi konsep fungsi (sebagaimana di bilangan riil), dapat dilihat pada (Gbr. i), sementara ilustrasi pada (Gbr. ii) merupakan suatu hal yang tidak mungkin terjadi, juga ia tidak memenuhi konsep fungsi. Sehingga dapat dibuat suatu teorema; Jika benda-benda jatuh ke bumi pada suatu tempat yang sama maka gravitasi tersebut memenuhi suatu fungsi (Gbr. i). Kontraposisi dari pernyataan ini adalah jika gravitasi tidak memenuhi suatu fungsi, maka suatu benda akan jatuh pada beberapa titik yang berbeda (Gbr. ii). B 1 B 2 B n B n g g b b 1 b 2 b n Gbr. i Gbr. ii Lain halnya dengan sebuah benda sebelum jatuh, ia pecah terlebih dahulu di udara, kemudian jatuh di beberapa tempat yang berbeda. Tetapi harus pula dilihat bahwa pecahan-pevahan benda tadi, masing-masing tidak mungkin jatuh pada lebih dari satu tempat di bumi. Sehingga keonsep ketunggalan limit tetap dipenuhi oleh kekonvergenan benda jatuh ke bumi. Suatu barisan konvergen di R P adalah terbatas. (lemma 14.6; Bartle, 1975: 93). Benda-benda yang tertarik oleh gravitasi bumi, dalam artian mereka konvergen ke bumi, tentu saja yang letaknya berada dalam atmosfer bumi. Jadi benda-benda tersebut terbatas oleh atmosfer bumi (dissipasisfer, 1000 km). Efek gravitasi konvergen ke bumi manakala ia terbatas pada atmosfer bumi. Misalkan X = (x n ) suatu barisan di R P yang konvergen ke x, dan misalkan c R, maka lim (cx n ) = cx. (latihan 14.C; Bartle, 1975: 97). Page 7 of 12

8 Misalkan sebuah benda dengan massa m jatuh ke bumi (tanah), akan menyebabkan kedalaman lubang (tanah) sebesar d, sebut saja lim m = d. Jika massa benda tersebut diperbesal k kali menjadi km, dengan k > 0, maka kedalaman kedalaman lubang (tanah) tempat jatuhnya benda tersebut adalah kd, dengan kata lain lim (km) = kd. Jika (m) d, maka (km) kd Misalkan dua buah benda B n1 dan B n2 dengan massa mb n1 < mb n2. Jika B n1 jatuh ke bumi, maka B n2 juga akan jatuh ke bumi. Misalkan massa mb n1 < mb n2 < mb n3, dengan B n1 dan B n2 jatuh ke bumi, maka B n3 juga akan jatuh ke bumi. Hal ini memanfaatkan ketaksamaan segitiga Sub-barisan Jika X = (x n ) suatu barisan di R P dan jika r 1 < r 2 < r 3 < < r n < adalah barisan naik kuat di bilangan asli, maka barisan X di R P yang diberikan oleh x r1, x r2, x r3,, x rn, dinamakan sebagai subbarisan dari X. (def. 15.1; Bartle, 1975: 98). Kita akan memandang hujan sebagai suatu barisan, sebutlah dengan J = (j n ). hujan yang dimaksud di sini adalah hujan yang secara keseluruhan yang jatuh (turun) ke bumi dari awal terciptanya bumi sampai saat ini dan yang akan datang. Kemudian beberapa hujan yang turun di suatu wilayah tertentu (dari bumi), maka dipandang hal tersebut sebagai suatu sub-hujan (sub-barisan), sebutlah dengan J *. Jika suatu barisan X di R P konvergen ke x, maka maka semua sub-barisan dari X juga konvergen ke x. (lemma 15.2; Bartle, 1975: 98). J = (j n ) sebagai hujan yang turun ke bumi (b), maka J * sebagai bagian dari hujan (sub-hujan) akan turun ke bumi (b) juga. Jika J b maka J * b Seandainya ada sebagian hujan (sub-hujan) yang tidak turun ke bumi, maka tidak dapat dikatakan bahwa hujan itu selalu turun ke bumi. Tetapi juga, kalau tidak turun ke bumi, bukan hujan namanya. Karena itu hujan pasti turun ke bumi. Ini adalah ilustrasi dari akibat lemma 15.2 di atas, bahwa jika ada suatu subbarisan dari X yang tidak konvergen ke x, maka barisan X tersebut tidak konvergen ke x. Jika suatu barisan X konvergen ke x di R P, dan jika m N, maka ekorbarisan X = x m+1, x m+2, juga konvergen ke x. (corollary 15.3; Bartle, 1975: 99). Page 8 of 12

9 Sehingga kita pun bisa mengatakan bahwa ekor dari hujan akan turun ke bumi, karena memang hujan itu sendiri merupakan suatu barisan yang konvergen ke bumi. Jika suatu barisan X di R P, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen: (a) X tidak konvergen ke x (b) V suatu lingkungan dari x n N, maka untuk m n x m V (c) V suatu lingkungan dari x dan X sub-barisan dari X X V =. (theorem 15.4; Bartle, 1975: 99). Jika B n suatu benda ada di alam semesta (angkasa), maka pernyataanpernyataan berikut ekivalen: (a) B n tidak jatuh ke b (bumi) (b) Ada V suatu lingkungan dari b (atmosfer bumi), sedemikian sehingga untuk setiap ketinggian h n, ada ketinggian tertentu yang melebihi h n (h k h n ) sehingga B hk V. (c) Ada V suatu lingkungan dari b dan B n sub-barisan dari B n sedemikian sehingga B n V =. Bukti: (a) (b) : B n tidak jatuh ke b, benda tidak jatuh ke bumi, berarti ada lingkungan V dari b di bumi (pasti berada dalam atmosfer bumi) sedemikian sehingga pada ketinggian tertentu yang melebihi ketinggian lapisan terluar atmosfer (dissipasisfer, 1000 km), yaitu h k h n sehingga benda-benda yang berada pada ketinggian tersebut ( > 1000 km) tidak akan berada di lingkungan V, karena memang V berada di dalam atmosfer bumi. (b) (c) : Ada V suatu lingkungan dari b (atmosfer bumi), sedemikian sehingga untuk setiap ketinggian h n, ada ketinggian tertentu yang melebihi h n (h k h n ) sehingga B hk V. Pada ketinggian h k > 1000 km tersebut ada sub-barisan dari benda yang seluruh anggotanya berada di luar V (atmosfer). Ingat, bahwa atmosfer bumi merupakan himpunan tutup, jadi di luar atmosfer adalah himpunan buka. (c) (a) : Ada V suatu lingkungan dari b dan B n sub-barisan dari B n sedemikian sehingga B n V =. Karena B n V = dan b V, maka jelas bahwa sub-barisan B n tidak konvergen ke b. Sehingga dengan menerapkan kontraposisi dari lemma 15.2, maka B n juga tidak konvergen ke b Kriteria Kekonvergenan Suatu barisan X = (x n ) monoton naik di R, maka X akan konvergen jika dan hanya jika X terbatas. Dalam hal ini lim (x n ) = sup {x n } Page 9 of 12

10 (theorem 16.1; Bartle, 1975: 104). Efek gravitasi bumi terbatas di atas oleh lapisan atmosfer bumi yang paling luar (dissipasisfer, 1000 km), juga kekurangan efeknya monoton naik terhadap ketinggian (h n ). Karena itu kekurangan efek gravitasi konvergen ke dissipasisfer. Artinya benda-benda yang berada di luar atmosfer bumi tidak akan tertarik oleh gravitasi bumi (tidak jatuh ke bumi), terkait dengan lemma Suatu barisan X = (x n ) monoton turun di R, maka X akan konvergen jika dan hanya jika X terbatas. Dalam hal ini lim (x n ) = inf {x n } (corollary 16.2; Bartle, 1975: 105). Pada sisi lain, kekuatan efek gravitasi monoton turun terhadap ketinggian (h n ), dan ia terbatas di bawah oleh permukaan bumi, karena itu ia konvergen ke bumi. Lebih tepanya, seandainya ada jalan (lubang) maka gerakan benda jatuh akan menuju ke pusat (inti) bumi. Jika ketinggian benda monoton turun, maka benda tersebut akan jatuh ke bumi jika ia terbatas di bawah oleh bumi. Konsep ini berlaku untuk semua planet yang mempunyai gravitasi. Kalau saja ketinggian benda tersebut monoton turun dan terbatas di bawah oleh planet mars maka ia akan konvergen ke mars. Suatu barisan terbatas di R P mempunyai sub-barisan yang konvergen (Bolzano-Weierstrass theorem 16.4; Bartle, 1975: 108). Hujan terbatas oleh atmosfer bumi; berada pada lapisan troposfer (0 10 Km), pada lapisan ini, terjadi adanya awan, angin, hujandan petir. Karena itu ada sub-hujan yang akan turun ke bumi. Untuk hal ini kita berangkat dari hujan yang memang turun ke bumi (konvergen ke bumi). Untuk benda yang tidak konvergen ke bumi, misalnya: satelit yang ditempatkan di luar atmosfer bumi, kebanyakan dari satelit tersebut setelah masa aktifnya habis akan menjadi sampah luar angkasa, artinya sangat jarang yang jatuh kembali ke bumi. Tetapi ada satelit yang karena posisinya bergeser masuk ke atmosfer bumi, maka ia tertarik oleh gravitasi bumi, karena itu ia jatuh ke bumi (konvergen ke bumi). Suatu barisan di R P konvergen jika dan hanya jika ia merupakan barisan Cauchy. (Cauchy convergence theorem 16.10; Bartle, 1975: 109). Setiap benda (B n ) akan jatuh ke bumi jika dan hanya jika ia berada dalam lingkungan atmosfer bumi (V). Bahkan benda-benda langit seperti asteroid dan meteor akan jatuh ke bumi jika ia berada pada posisi dekat sekali dengan dissipasisfer. Namun untuk kasus ini, sangat tidak diharapkan, karena akan terjadi ledakan yang luar biasa di permukaan bumi. Kehancuran, bahkan kiamat bisa terjadi karenanya. Sekarang ada meteor yang berada pada posisi dekat sekali dengan bumi, kalau meteor tersebut terus beredar megikuti lintasan system tata Page 10 of 12

11 surya dalam galaksi Bimasakti, maka diperkirakan tahun 2029 ia akan tersedot ke dalam atmosfer bumi, dan ledakannya akan mampu menghancurkan suatu wilayah di permukaan bumi seluas Negara Inggris Barisan Fungsi f n suatu barisan fungsi dengan domain D R P dan range R P, ditulis (f n (x)) (def. 17.1; Bartle, 1975: 113). Suatu benda berupa roket ditembakkan dengan sudut tertentu, tetapi dengan energi tembakkan yang konstan, akan membentuk suatu fungsi parabola, yang lama kelamaan akan konvergen ke bumi (tanah), berikut grafiknya: f 1 f2 f 3 f k f n merupakan fungsi lintasan roket yang ditembakkan, dengan sudut elevasi tertentu, maka f n akan konvergen ke f = 0, yaitu permukaan bumi. Hal ini dikarenakan oleh gravitasi bumi yang bekerja terhadap roket. Seandainya tidak ada gravitasi bumi, maka bom dan roket tidak akan dapat meledakkan permukaan bumi Limit Superior f = 0 Misalkan X = (x n ) suatu barisan terbatas di R. (a) Limit superior dari X dinotasikan oleh lim sup X, lim sup (x n ), atau lim(x n ); adalah infimum dari V = {v : v R} ada berhingga buah n N v < x n. (b) Limit inferior dari X dinotasikan oleh lim inf X, lim inf (x n ), atau lim(x n ); adalah suprimum dari W = {w : w R} ada berhingga buah n N x n < w. (def. 18.1; Bartle, 1975: ). Dalam hal ini, pada konsep gravitasi bumi, yang menjadi limit superior adalah lapisan atmosfer paling luar (dissipasisfer, 1000 km), karena lapisan ini merupakan infimum dari V, sedemikian sehingga ada berhingga buah benda (B n ) Page 11 of 12

12 yang berada pada ketinggian tertentu sehingga v < B n. Artinya benda-benda yang berada di luar himpunan V tidak akan tertarik oleh gravitasi bumi. Untuk limit inferiornya adalah permukaan bumi, yaitu lapisan tanah, lebih tepatnya pada inti bumi. Referensi: Bartle, Robert G The Elements of Real Analysis. New York: John Wiley & Sons Giancoli, Douglas C Fisika Jilid I. (terj). Jakarta: Erlangga Halliday dan Resnick Fisika Jilid I. (terj). Jakarta : Penerbit Erlangga Kanginan, Marthen Fisika untuk SMA kelas X, Semester 1. Jakarta: Erlangga Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (terj). Jakarta: Erlangga Young, Hugh D. & Roger A Freedman Fisika Universitas. (terj). Jakarta: Erlangga Page 12 of 12