TIGA DIMENSI. (1) a tegak lurus pada h (2) a tegak lurus pada B (3) b tegak lurus pada h (4) b tegak lurus pada A

Transkripsi

1 TIGA DIMENSI 0. MA-7-08 Bnykny gris lurus yng memotong tig buh gris yng sling bersilngn d nol buh du buh lebih dri du buh stu buh 0. MA-9-0 Gris g tegk lurus pd bidng V dn bidng W membentuk sudut lncip dengn bidng V. Jik W memotong V menurut sutu gris s, mk proyeksi g pd W tegk lurus pd V tegk lurus pd s berselng tegk lurus dengn g sejjr dengn V sejjr dengn s 0. MA-9-0 Gris-gris h dn k pd bidng V dengn h k. Gris g tegk lurus V, mk () d bidng mellui g dn sejjr h () d gris memotong g, sejjr V dn tegk lurus h () g h dn g k () d bidng yng tegk lurus g dn tegk lurus h. 0. MA-87-0 dn b dlh du buh gris yng bersilng. Titiktitik P, Q, R terletk pd dn titik-titik K, L, M terletk pd b. Bidng yng mellui P, Q, dn K dn bidng yng mellui R, L, M berhimpit sejjr berpotongn sepnjng QL berpotongn sepnjng PM berpotongn sepnjng RK 0. MA-79- Gris g dn h bersinggungn. Bidng V mellui g sejjr dengn gris h berpotongn dengn bidng V. Jik k dlh gris potong kedu bidng tersebut, mk k sejjr dengn g dn memotong h k memotong g dn h k dn h bersilngn k sejjr h memotong g k berimpit dengn g 07. MA-80- Bil gris tegk lurus pd bidng A, gris b tegk lurus pd bidng B, dn bidng A berpotongn dengn bidng B pd gris h, mk () tegk lurus pd h () tegk lurus pd B () b tegk lurus pd h () b tegk lurus pd A 08. MA-78- Bidng V dn bidng W sling berpotongn pd gris. Jik gris g tegk lurus bidng V, mk g tegk lurus bidng W g sejjr g sellu sejjr bidng W g sellu memotong bidng W g tegk lurus 09. MA-8- Bidng V dn bidng W berpotongn sepnjng gris. Bidng U tegk lurus pd gris. Dengn demikin () bidng U bidng V () bidng U bidng W () gris potong bidng U dn bidng W () gris potong bidng U dn bidng V 0. MA-8- Dikethui tig bidng U, V dn W, mk yng benr dlh () Jik U dn W berpotongn, V dn W berpotongn, mk U sejjr V () Jik W tegk lurus U dn V tegk lurus U mk V sejjr W () Jik U dn V berpotongn dn W tegk lurus U mk V tidk kn memotong W () Jik U sejjr V dn W tegk lurus U, mk W tegk lurus V. ITB-7- Gris g dn h bersinggungn. Bidng V mellui g dn sejjr dengn gris h, bidng W mellui h dn berpotongn dengn bidng V. Jik k dlh gris potong kedu bidng tersebut, mk k memotong g dn h k dn h bersilngn k sejjr h dn memotong g k sejjr dengn g dn memotong h 0. MA-8-0 Bil gris tegk lurus bidng A, gris b tegk lurus p d bidng B, bidng A berpotongn dengn bidng B pd gris h, mk () tegk lurus pd h () tegk lurus pd B () b tegk lurus pd h () b tegk lurus pd A 8

2 . MA-0-08 Bidng V dn W berpotongn tegk lurus sepnjng gris g. Gris l membentuk sudut o dengn V dn 0 o dengn W. Sinus sudut ntr l dn g dlh. MA-8-0 ABCD dlh empt persegi pnjng pd bidng horisontl, dn ADEF empt persegi pnjng pul pd bidng vertikl. Pnjng AF = m, BC = m dn CE = 7 m. Jik α dn β berturut-turut sudut ntr BE dengn bidng ABCD dn bidng ADEF, mk tn α tn β. MA-78- Kubus ABCEFGH berusuk cm. P, Q dn R dlh titik-titik tengh dri AD, AB dn BF. Penmpng bidng PQR dengn kubus berup bujur sngkr segi tig sm sisi segi lim berturn trpesium sm kki segi enm berturn. MA-78- Perbndingn pnjng rusuk kubus ABCEFGH dn pnjng rusuk kubus KLMN.PQRS dlh sebgi : sedngkn jumlh isi kedu kubus itu sm dengn 78 cm, mk KL = cm KL = cm AB = 8 cm AB = cm AB = cm. MA-77- Dlm kubus ABCEFGH gris-gris AF dn BH bersilngn dengn sudut MA-77-8 B ilh bol lur kubus K, sedngkn B ilh bol dlm kubus K. Mk perbndingn (isi B ) : (isi B ) sm dengn : : 7 : : : 8. ITB-7- Perbndingn ntr isi bol dlm dn isi bol lur kubus dlh : : : tergntung dri pnjng rusuk kubus. 9. MA-79- Dlm sebuh kubus ABCEFGH dengn pnjng rusuk sm dengn dibut bol dengn titik pust berhimpit dengn titik pust kubus sedemikin sehingg rusuk-rusuk AB, CD, EF dn GH menyinggung bol tersebut. Mk lus permukn bol tersebut sm dengn MA-0-09 Pnjng rusuk kubus ABCEFGH dlh. Jrk A ke digonl BH dlh. MA 99 0 Dikethui kubus ABCEFGH dengn rusuk. Titik T pd perpnjngn CG sehingg CG = GT. Jik sudut ntr TC dn bidng BDT dlh α mk tn α 8

3 . MA 99 0 Dikethui kubus ABCEFGH dengn rusuk. Titik T pd perpnjngn CG sehingg CG = GT. Jik sudut ntr TC dn bidng BDT dlh α mk tn α. MA-0-0 Dikethui kubus ABCEFGH dengn pnjng rusuk cm. Jik titik P pd CG dn titik Q pd DH dn CP = DQ = cm. mk bidng PQEF mengiris kubus tersebut menjdi du bgin. Volume bgin yng lebih besr dlh cm 8 cm 0 cm cm cm. MA-00-0 Dlm kubus ABCEFGH titik S dlh titik tengh sisi CD dn P dlh titik tengh digonl rung BH. Perbndingn ntr volume lims P.BCS dn volume kubus ABCEFGH dlh : : : 8 : :. MA-9-0 Titik P, Q, R msing-msing terletk rusuk rusuk BC, FG, dn EH sebuh kubus ABCEFGH. Jik BP = BC, FQ= FG dn ER = EH, perbndingn lus irisn bidng P,Q dn R dn lus permukn kubus dlh H G : R Q 8 : E F 0 : 8 : 8 D C 0 : 8 A B P. MA H G Dikethui kubus ABCEFGH dengn rusuk. Mellui digonl E F DF dn titik tengh rusuk AE di but bidng dtr. Lus bgin bi- D C dng di dlm kubus sm dengn A B 7. MA-8- Dikethui kubus ABCEFGH dengn sisi. T dlh sutu ririk pd perpnjngn AE sehingg TE =. Jik bidng TBD memotong bidng ls EFGH sepnjng PQ, mk PQ T H G E F A B 8. MA-0-0 Dikethui kubus ABCEFGH dengn pnjng rusuk cm. Jik S merupkn proyeksi titik C pd bidng AFH, mk jrk titik A ke titik S dlh cm cm cm cm cm 9. MA-80-0 Pd sutu kubus ABCEFGH, sudut ntr gris AH dn bidng digonl BFHD sm dengn D C 8

4 0. MA-88-0 H G Dikethui kubus ABCEFGH P pertenghn AE, Q pertengh E F Q n CG. Bidng yng mellui H, P dn Q membgi kubus ts P D C du bgin dengn perbndingn volumeny A : : : : : B. MA-80- Jrk ntr titik C dengn bidng BDG dlm kubus ABCEFGH yng pnjng rusukny cm, dlh cm cm cm cm cm. MA-8- Ditentukn kubus ABCEFGH. Tngen sudut ntr CG dengn bidng BDG ilh H G E F D C A B. MA-0-09 Dikethui kubus ABCEFGH dengn pnjng rusuk. P dn Q msing-msing merupkn titik tengh AB dn CD, sedngkn R merupkn titik perpotongn EG dn FH. Jrk titik R ke bidng EPQH dlh. MA-0-0 Dikethui kubus ABCEFGH dengn pnjng rusuk. Jik P titik tengh HG, Q titik tengh FG, R titik tengh PQ dn BS dlh proyeksi BR pd bidng AMCD, mk pnjng BS 0. MA-8- E H D A B ABCEFGH sutu kubus dengn rusuk. Di ntr pernytn-pernytn di bwh ini. AF memotong BG. AC BH. Jrk BD dn CE sm dengn. BD CH. Jrk AE dn DF sm dengn yng benr ilh pernytn, dn, dn, dn, dn, dn. MA-8- Tinggi sutu bidng empt berturn, dengn rusukrusuk sm dengn cm, dlh cm cm cm cm cm F G C 87

5 7. MA 98 0 Pd bidng empt T.ABCD, bidng ls ABC merup-kn segitig sm sisi, TA tegk lurus pd bidng ls, pnjng TA sm dengn dn besr sudut TBA d-lh 0 o. Jik α dlh sudut ntr bidng TBC dn bidng ls, mk tn α 8. MA-9-0 T Pd lims berturn T.ABCD, AT =, AB =. Lus irisn bidng dtr mellui D C A dn tegk lurus TC A B dengn lims 9. MA-9-0 Pnjng setip rusuk bidng empt berturn T.ABC s m dengn cm. Jik P pertenghn AT dn Q pertenghn BC, mk PQ sm dengn 8 cm 8 cm 8 cm cm cm 0. MA Pd bidng empt T.ABC, bidng TAB, TAC dn ABC sling tegk lurus. Jik TA =, AB = AC = dn α dlh sudut ntr bidng TBC dn ABC, mk sin α dlh MA-8-0 Dri sebuh bidng-empt ABCD dikethui BC BD dn AB tegk lurus bidng BC BC = BD = dn AB =, mk sudut ntr bidng ACD dn bidng BCD sm dengn. MA-90-0 Rusuk TA, TB TC pd bidng empt T.ABC sling te-gk lurus pd T. AB = AC = dn AT =. Jik α dlh sudut ntr bidng ABC dn bidng TBC, m-k tn α. MA 98 0 Pd bidng empt T.ABCD, bidng ls ABC merup-kn segitig sm sisi, TA tegk lurus pd bidng ls, pnjng TA sm dengn dn besr sudut TBA d-lh 0 o. Jik α dlh sudut ntr bidng TBC dn bidng ls, mk tn α. MA-8-9 Pd lims berturn T.ABCD, TA = TB = TC = TD = dm dn ABCD bujur sngkr dengn sisi dm. Besr sudut ntr bidng TAB dn TCD ilh

6 . MA-9-0 Dikethui bidng empt T.AB TA = TB = ; TC = ; CA = CB = ; AB =. Jik α sudut ntr TC dn bidng TAB, mk cos α dlh 9 7. MA Dikethui ABCD sebuh siku empt. TAB sm kki dengn ls A TAB tegk lurus pd ABC Jik AB =, AD = 7 dn TD = mk jrk T ke bidng ABCD dlh C D B A 7 T 7. MA-8- Dikethui ABC segitig D sembrng dn E pd B Jik DA ABC dn AE BC, mk () DA BC A C () BC ADE () DE BC E () AED = sudut ntr bidng ABC dn bidng BCD B 8. MA-8- Dri lims berturn T.PQRS dikethui TP = TQ = TR = TS = dn PQ = QR = RS = SP =. Jik α dlh su-dut ntr bidng TPQ dn bidng TRS, mk cos α sm dengn 9. MA-8- D C Pd bngun DABC dikethui bhw segitig ABC sm sisi A DC bidng ABC, pnjng DC =, dn sudut DBC = 0 0 Bil α menytkn sudut ntr bidng DAB dengn CAB, B mk tg α dlh 0. MA-79- Pd bngun DABC, dikethui bidng ABC sm sisi, DC tegk lurus ABC, pnjng DC =, dn sudut DBC = 0 0. Bil α dlh sudut ntr bidng DAB dn CAB, mk tn α dlh D A C. MA-79- Dri sebuh kerucut lingkrn tegk dikethui bhw : penmbhn volum kren bertmbhny jri-jri dengn cm sm dengn penmbhn volum kren bertmbhny tinggi kerucut itu dengn cm. Jik ting gi semul kerucut tersebut cm, mk jri-jri semul 8 cm cm 8 cm cm cm. MA-7- Dri sutu bidng empt tegk OABC, dikethui OA tegk lurus bidng ABC, OA = cm, segitig ABC sm sisi dengn AB = 8 cm. Mk lus segitig OBC dlh cm cm cm cm B 89

7 . MA-7-9 Jik dri sutu lims berturn T.ABCD dikethui TA = AB = cm, mk tinggi dn isiny berturut-turut dlh cm dn cm cm dn cm cm dn cm cm dn cm. MA-8-8 Bidng empt (tetrhedron) T.ABC mempunyi ls segitig siku-siku ABC, dengn sisi AB = A TA = dn tegk lurus pd ls. Jik BC = 0, mk sudut n-tr bidng TBC dn bidng ls dlh ITB-7- Tinggi sebuh kerucut lingkrn tegk cm, sedngkn jejri (rdius) lingkrn lsny cm. Perbndingn ntr isi bol dlm kerucut dn isi kerucut itu sendiri dlh : : 8 : : 8. ITB-7- Dikethui lims T.ABC, pd rusuk TA dipilih titik P pd TB titik Q dn pd TC titik R sehingg: TP : PA = : TQ : QB = : TR : RC = : Mk perbndingn isi lims T.ABC dn T.PQR dlh : : 98 : : 90

8 Eksponen 0. MA-77-8 Jik n bilngn sli, mk 0 n hbis dibgi oleh () () 9 () 99 () 0. MA-80-0 Hrg yng memenuhi persmn + = 8 + ilh MD-9-09 Nili yng memenuhi persmn () = + dlh = 9 = 9 = 9 = = 0. MA-78-0 Akr dri persmn = 7 + dlh 0. MA-8- Jik dikethui () () () () + - = 7, mk 07. MD-0-0 Nili yng memenuhi persmn = +. ( ) dlh MA-89-0 Nili yng memenuhi pertksmn 9 > ( ) dlh > < > > < 09. MD-89- Persmn 9 + = 8 - mempunyi penyelesin = MA-8- Nili dri persmn = - 9 dlh 0. MD-9- Penyelesin persmn + = 9 - ilh 0 9

9 . MD-0-0 Nili yng memenuhi persmn : dlh 0. MA-0- Jik ( 0,008) ( 0,) 8 y + = = dn. y =, mk + y. MD-9-0 Jik - y = dn y = 0, mk nili + y MD-9- Untuk dn y yng memenuhi sistem persmn y + = y dn y + = y +, mk nili. y MD-8- Nili yng memenuhi persmn 0, = 9 ( ) 0, dlh 9. MA Jik = 0 mk hruslh - = = + = = 0 = 7. MD-8-7 Dri fungsi eksponen f () = -- hrg yng memenuhi f () = dlh 0 tu 0 tu tu 8. MD-00- Diberikn persmn : = 9 Jik o memenuhi persmn, mk nili o 9. MD-0-9 Jik dn solusi persmn = 8, mk MD-8- Himpunn jwb persmn = 0 dlh ( ) (, ) (, ) ( ) (, ). MD-8-7 Bil ( - 8 ) + =, mk 0 9

10 . MA-9-0 Dikethui f () = +. Jik f ( ) = f ( ) = 0 mk.. MD-90-0 Jumlh-jumlh kr persmn ( ) ( ) + = 0 dlh 0. MD-98-9 Jumlh kr-kr persmn + + = dlh 0. MA-0-0 Jrk kedu titik potong kurv y = +. + dengn sumbu dlh. MD-9- Nili-nili yng memenuhi persmn 000 ( ) = 0 ( ) dlh = ; = 9 = ; = 9 = ; = 7 = ; = 7 = 7. MD-89-0, = 9 Himpunn penyelesin ( ) {} {} {0, } {, } {0,, } = dlh MD-8-0 Jik f = 8 ( ) ( 7 - ) mk f () dlh 9. MA Kurv y = berd di bwh kurv 9 y = + pd st < > < > 0 < 0 0. MD-0- Jik grfik fungsi y = N ( ) mellui titik (, ) dn 7 (, 9 ), mk nili yng memenuhi dlh. MD-0-0 Jik f(n) = n + n dn g(n) = n, n bilngn sli, f ( n) mk g( n) MA Jik f () = dn g () =, mk () grfik f () dn grfik g () berpotongn di (0,) () g () dlh fungsi invers dri f () () grfik g () dlh cermin grfik f () terhdp sumbu y () grfik f () turun dn grfik g () nik 9

11 . MA-77- Bil rumus pertumbuhn sutu kecmbh dlh y = t, mk gris bts pertumbuhnny dlh y = 0 y = y = y = y =. MA-0-07 Sutu populsi hewn mengikuti hukum pertumbuhn yng berbunyi : N(t) = t N(t) : besr populsi pd st t t : wktu dlm stun thun Agr besr populsi menjdi kli lipt populsi wl (st t = 0) mk t 0 log 0 log log log log. MA-8- Jik dn kr-kr dri persmn =0 mk jumlh kedu kr tersebut dlh 0 log log log 9

12 Logritm 0. MA-80-0 Jik dikethui:, b dn c bilngn-bilngn nyt, > 0, dn b > 0 mk hubungn c = b dpt dituliskn jug sebgi log b = c b log = c c log = b log c = b b log c = 0. MD-8-7 c c log b = p dpt dinytkn dengn () c log b. log c = log p () c log b. c log c = c log p () log b. log c = log p. log c () b = p 0. MD-8- log (b+c) log b + log c log (b+c) log log b + log c log log b. log c log (b+c) 0. MD-9-7 Untuk > 0 dn b > 0, n log b m m log b n n ( log b)m m log b n n b log m m log b n 0. MD-8-9 Mnkh di ntr yng berikut ini ekivlen dengn log y? () log y 8 () log + log y () log + log y () log y 0. MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log d ilh log d d log log log d log d log log. log d 07. MA-77- b log. log. c log b c bc + bc bc 08. MA-8-0 Bil >, mk mn log (m + n) log (m + n) log log (m + n) log mn m log + n log 09. MA-8- Jik m = log dn n = b log, mk () m = log b n () = log m n b () n = b log m () + = log b m n sm dengn 0. MA-8- Bil >, b > dn log b = p, mk log b sm dengn p p p p p. MA-78-0 Jik log ( b ) = log ( b) dn > b, mk ( b) = ( b) = ( + b) = ( + b) = ( + b) =. MA-77-0 Bil g dn msing-msing bilngn nyt positif, mk g log berhrg negtif bil tidk negtif lebih besr dripd lebih kecil dripd tidk sm dengn lebih kecil dripd g 9

13 . MA-88-0 C C grfik fungsi (0,) y = log C grfik fungsi C y (,0) 7. MD-8- Jik log = 0,00, mk () log 0 =,9897 () log 0 =,0 () log 0 =,00 () log = 0,9897 log ( + ) log ( + 00) log log log 00. MA 98 0 Grfik fungsi y = log y y y y y dlh 8. MD-8- Bil log = 0,9897, mk () log 00 = 0,9897 () log 0 =,9897 () log 0,0 =,9897 () log = 0,00 9. MD-88- Jik = 0, mk log 0. MD-99-0 Dikethui log = 0,00 dn log = 0,77 mk log ( ) 0,0 0,90 0,007 0,89 0,89. MD log. log 7 dlh. ITB-7-09 Grfik fungsi y = log, > 0 dn, simetris terhdp gris y = gris y = sumbu y sumbu. MA-78- Grfik fungsi y = log berd di bwh sumbu jik 0 < < 0 < < 0 < < < 0. MD-9-0 log 7. 9 log + log

14 . MD-87-0 ( log ) log 8 8 ( log ) =. MD-97-7 Jik b =, dn b positif, mk log b b log dlh 0. MD-98-0 log. b b c c b b log c. c log. MD-0- Jik >, b >, dn c >, mk b log. c log b. log c 7. MA-8-7 Dikethui y = log dn + + ( ) = 0. Agr y d niliny untuk semu tersebut di ts, hruslh 0 > 0 < 0 0 < < 8. ITB-7- Fungsi log hny didefinisikn untuk positif, bilngn-bilngn sli yng terkndung didlm derh definisi fungsi ( ) f = log dlh +,,,,,,,,,,, = 9. MA-8-0 Penyelesin persmn ( log ) = = dn = = dn = = = dn = = 0. MD-9- Jik ( log ( )) ( log ) =, mk 8 0. MD-8- Jik dikethui log log + log = 0, mk... = = = = 00 = 0. MD-89-0 log Penyelesin dri = ilh.... MD-0- Jik kurv F() = log ( + ) memotong sumbu di titik (, 0) dn (b, 0), mk ( + b). MD-89- Jik log =, mk (( ) ) =... 97

15 . MD-9-7 Nili yng memenuhi sistem persmn liner : log log y = log + log y = 8 dlh MD-97-8 log = log 8 + log 9 log 7 dipenuhi untuk sm dengn 8 7. MD-9- Jik log (. ) =, mk 8. MD-88-8 log ( ) + log ( y ) + log ( y ) log ( y) 9. MD Jumlh kr-kr persmn log = sm dengn MD-89- Himpunn penyelesin persmn 9 dlh... { } { } { } {, } {, } log ( ) =. MD-8-9 Kren opersi logritm hny dpt dilkukn kepd bilngn positif, mk log ( ) + log ( ) = untuk () () () (). MD-87-8 Jik dn kr-kr persmn log ( + ) =, mk. MD-87- Persmn 0 log - ( 0 log ) - = 0 oleh () () () (). MD-88-8 Himpunn penyelesin persmn 0 log (0) log = dlh { } {, } {} {, } {, 8} dipenuhi. MD-90-7 log log Persmn. + = 0 dipenuhi oleh () () () (). MD-9-7 Jik dn b dlh kr-kr persmn log ( + ) + log ( ) = 9 mk + b 0 98

16 7. MD-87- Jik dn memenuhi ( + log ) log = log 0 mk MD-87-7 Penyelesin dri ( log ) + log ( ) = dlh = = = = = 9. MD-9-8 Jik + log = + log00, mk = 0 (), (), (), (),7 0. MA-80-9 Jik > 0 dn, mk nili yng memenuhi persmn log ( + ) log + = 0 dlh 8. MA-8- Jik { log ( ) } ( log ) =, mk 9 8. MA-97-0 Jik log + log b = log log b = mk + b MD-90- Nili mksimum fungsi f () = log (+) + log ( ) dlh 8. MD-9- Jik f () = log log mk f () + f ( ) sm dengn. MD-90- Supy log d niliny, mk 0 < < < 0 tu > tu 0 < < dn > 0 dn dn. MD-9- Jik (+) log ( ) = mk dlh MD-98-9 Jik + y = 8 dn log ( + y) = log. 8 log mk + y MD-00-7 Jik dn memenuhi persmn: ( log ) = log0 log

17 9. MD-00-8 Nili yng memenuhi: log = log (+b) + log ( b) log ( b ) log + b dlh b ( + b) ( b) ( + b) 0 0. MD-0- Jik log ( y) = log + log y, mk y tu tu tu tu tu. MD-0- Jik y = log dn + + ( ) = 0, mk yng bernili rel untuk yng memenuhi > < < > - < <. MD-8- Dikethui log = -, mk 0, log 9. MD-0- Jik log = dn log = b, mk 8 log 0 + b + b + b + b + b. MD-9- MD-9-9 Jik log8 = m, nili log m m m m m. MD-0- Jik log = m +, mk 9 log 8 m + m + m m m +. MD-0- Jik log = p dn log = q, mk log 7 p + q p + p + q p + q + p ( p + q)( p +) ( p + q)( q +) 7. MA-77- log 9 d dintr dn dn dn dn dn 8. MA-8- Jik log 8 8 b =, mk log b sm dengn 00

18 9. MA-8-7 Jik log =, mk log b 0 b sm dengn 70. MA-80-9 Bil 7 log = dn log = b, mk log 98 sm dengn + b + b + + (b + ) + b + + b( + ) 7. MA-0-0 Jik log + log y = log z, mk z y y y y y 7. MA-9-0 Hsil kli semu yng memenuhi persmn log ( 0) = 0 dlh 7. MA-0-0 Dikethui ( log ) log =. Jik kr-kr persmn di ts dlh dn, mk + 7. MA-9-0 Jik dn memenuhi persmn : 0 log 0 0 log = ; mk =... log log MA-8- Jik dn > 0, mk nili yng memenuhi persmn log ( + ) log + = 0 dlh 8 7. MA Jik t = ; mk log ( t ) dpt ditentukn - 7 untuk < < < < tu > < tu > 77. MA-00-0 Nili yng memenuhi persmn log log ( + + ) = + log dlh log log log tu 8 tu 78. MA Jumlh semu kr-kr persmn log ( ) ( ) = ( ) ( ) 0 + dlh 0 0

19 79. MA-0-0 log Jik = m dn log b m mk n log log log 9 ( log ) ( log ) log = n, > dn b >, log b 8. MA 99 0 Himpunn jwb pertidksmn log + log ( ) < dlh { > } { > 9 } { 0 < < 9 } { < < 9 } { < < 9 } 80. MA-0-07 Jik 8 log = log = y log, mk y y MA-97-0 Dikethui deret geometri : Jik = dn log + log + log + log = log + log, mk MA-9-0 Perhtikn deret : + log cos + log cos + log cos + Jumlh deret ini, yitu S, dpt mengmbil setip nili < S < < S < S < S > S > 8. MA-89-0 Jumlh deret geometri tk hingg log + log + log +... dlh log log log log log 8. MA-9-0 Himpunn penyelesin pertksmn log log ( + ) + log dlh { } { } { 0 < } { 0 < } { 0 < tu } 8. MA-0- Himpunn penyelesin pertksmn log + dlh { R tu } { R 0 < tu } { R < 0 tu } { R tu } { R } 87. MA-8-7 Jwb pertksmn logritm : log ( ) ilh < 0 tu >, 0 dn 0 tu < < 0 tu 0 tu 88. MA-8-0 Himpunn penyelesin persmn log ( ) = log ilh {} {, } {,, } {,,, } {,, 0,, } 0

20 89. MA-0-0 Penyelesin pertksmn dlh + < log tu log < tu + 0 < tu < tu < < tu 90. MA-9-0 Himpunn jwb pertksmn log ( +) + log > log dlh { < < 0} { < < 0} { 0 < < } { < < } { < < } { > } { < } { > } 9. MA-77-9 Nili-nili yng memenuhi log( ) < < < < tu < < < < tu > tu < > 0 dlh 0

21 Fungsi komposisi & Fungsi Invers 0. MD Fungsi f () = terdefinisi dlm derh - 0 tu < < 0 tu < < 0 tu 0 < tu 0 < < tu > 07. MD-89- Grfik berikut yng dpt merupkn grfik fungsi = f (y) dlh : () y () y MD-9-07 Fungsi f dengn rumus f () = + pd himpunn { } { 0 } { } { 0 tu } { < 0 tu } terdefinisikn () y (). y MD-87- Bil D f menytkn derh sl dn R f derh hsil fungsi y = - mk D f ={ R}, R f = {y y R} D f ={ R, > 0}, R f ={y y R, y > 0} D f ={ R, > }, R f ={y y R} D f ={ R, }, R f ={y y R, y 0} D f ={ R, 0}, R f ={y y R, y 0} 0. MA-8- Bil f : R R ditentukn oleh f() = dn f invers f mk f ({, }) ilh himpunn { } { } { tu } { < } { < < } 0. MA-8- Jik A = { : < }, B dn C dlh himpunn bilngn rel, f : A B dengn f() = + : g: B C dengn g() = dn h = g o f : A C, bilngn di A dipetkn ke di C, mk sm dengn MA-8- Fungsi yng mempunyi invers dlh () y = + () y = () y = log () y = 08. MA-80-8 Di ntr gmbr-gmbr berikut, yng kurvny merupkn grfik dri fungsi yng puny invers ilh () () () () 09. MD-90-0 Bil f : R R dn g : R R ditentukn oleh f() = + dn g() =, mk (f o g)() dlh 0

22 0 MD-8- Dikethui fungsi f : + dn g : + untuk setip R. Mk dpt disimpulkn bhw... () f o g : + () f + g : + () g o f : + () f g :. MD-97-0 Jik (g o f) () = +, g() =, mk f ( ) dlh + +. MA Jik f() = dn g() = + mk komposisi f{g()} MD-0-0 Jik f() =, mk untuk setip dn y berlku f() f(y) = f(y) f() f(y) = f( + y) f() f(y) = f() + f(y) f() + f(y) = f(y) f() + f(y) = f( + y). MA-8- Jik f dn g berturut-turut dlh invers fungsi f dn fungsi g, dengn f() = + dn g() =, 0, mk () (f o f) () = f (f()) = + () (f o f ) () = f (f ) () = () (g o g) () = g (g()) = () (f o g) () = f (g()) = +. MA-8-07 Jik f() = + dn g () = - mk g {f()} dlh MD-90- Jik f() = dn g() =, mk log [g o f ()] f () g () f () log 8. MA-8- Bil f :, mk f dlh log log log log log 9. MA-8-07 Jik f () = dn f () invers dri f (), mk nili f ( ) dlh. MD-00-0 Dikethui f () = + dn g () = Jik (f o g) () =, mk MD-9-08 Invers dri f() = ( ) + dlh ( ) ( ) + ( ) { } { + } ( ) ( ) 0

23 . MD-9-0 Jik dikethui bhw f () =, g() =, mk (g o f) () ( + ( + ) ( ) 0 ( ) 0 ( ). MD-9-0 Fungsi f : R R dn g : R ditentukn oleh F () = + dn g() = +, mk (f o g) - () memetkn ke MD-9-0 Fungsi f : R R dn g : R R dirumuskn dengn : f() = dn g() = +, mk (g o f) (0) = 8 9. MD-98-0 Jik g() = ( + ) dn (f o g)() = + +, mk f () MD-89-0 Dikethui f () = + dn f o g () = +. Rumus g () yng benr dlh... g () = + g () = + g () = + g () = ( + ) g () = ( + ). MD-0-07 Jik (f o g) () = + 8 dn g() = +, mk f () = MA-8- + Fungsi invers dri f () = dlh MA-80-8 Jik F() = ( - ) ; mk fungsi inversny F - () dlh - 9. MD-9-0 Fungsi f : R R dn g : R R dirumuskn dengn f() =, 0 dn g() = +, mk {g(f())} = + + 0

24 0. MD-9-0 Jik f () = dn g() =, mk (f o g) () +. MD-97- Jik f () = 8-0 (- ) 0 ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) - +. MA-8- Jik f () =, g () = - mk h () MD-99-0, mk turunn dri f () dlh - Jik f() =, 0 dn g() = (g o f) () dn h () = g [f()], +,, mk. MD Dikethui fungsi f () =, 0 dn f dlh invers f. jik k dlh bnykny fktor prim dri 0, mk f (k). MD-99-0 Jik f ( ) = + dn ( f ο g)( ) = + mk g( ) + +. MA-8-0 Dikethui fungsi f dn h, dengn f() = 0 dn h() = + untuk setip bilngn rel. Untuk 0 mk f {h ( ) } log log log ( + ) log ( ) log ( + ) 7. MA-8-8 Jik f () = 8 + dn g () = untuk > 0, mk f { g ()} + ( + ) + tidk d 07

25 8. MA-8- Mislkn f() = + untuk > 0 dn g() = untuk > 0. Dengn demikin (f o g ) () = untuk sm dengn ITB-7-0 Dikethui grfik-grfik dri fungsi-fungsi y = f() dn y = g() seperti pd gmbr di bwh (,0) g() (b,0) (c,0) f() f ( ) mk y = > 0 bil g( ) < < 0 tu b < < c 0 tu b c <, 0 < < b, > c < < c 08

26 Hitung Keungn 0. MD-8-07 Pd st yng sm Sri muli menbung Rp ,- dn Atik Rp ,-. Kemudin tip buln Sri menbung Rp..000,- dn Atik menbung Rp..00,-. Setelh berp buln tbungn Sri dn Atik tept sm? 80 buln 0 buln 0 buln 0 buln tidk pernh tept sm 0. MD-8- Modl Rp ,00 dibungkn secr bung tunggl dengn bung % sethun. Sesudh n thun modl men-jdi Rp ,00 mk n dlh 7 0. MD-8-9 Seorng pedgng meminjm modl rupih di Bnk dengn bung tunggl % sebuln. Ternyt setelh stu thun di mengemblikn pinjmn dn bung semuny Rp ,00. Berp modl yng dipinjm? Rp ,00 Rp..000,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 0. MD-8- B meminjm ung sebnyk Rp ,00 dengn bung tunggl. Setelh buln i mengemblikn ung itu seluruhny ditmbh dengn bung, sehingg jumlhny menjdi Rp. 7.00,00, mk bungny tip thun dlh... 7, % % % % % 0. MD-8- Modl sebesr Rp ,00 dibungkn secr tunggl dengn dsr bung p % per buln. Setelh 0 thun bung yng diterim Rp ,00. Berpkh p?, 0, 0, 0,0 0. MD-8- Sutu modl sebesr M rupih dibungkn dengn bung p % per thun. Jik dengn bung mjemuk mk sesudh n thun modl tersebut menjdi... n p M + 00 ( M + p%. M ) n n M. p % M ( p %) n M ( + p %) n 07. MD-8- Bi Neneng memiliki modl sebesr Rp ,- dibungkn %. Modl sesudh 0 thun dlh Rp...99,00 Rp...9,90 Rp...9,00 Rp ,00 Rp , MD-89- Pd Jnuri 80 Budi menbung di bnk Rp.0.000,- dengn suku bung 0 % perthun. Demikin pul pd Jnuri thun-thun berikutny smpi 0 kli. Tbungn Budi pd thun 90 menjdi... (, 0, ) (00.000) rupih (, ) (00.000) rupih (, 0 ) (00.000) rupih (, 0 ) (0.000) rupih (,, ) (0.000) rupih 09. MD-8- Ali menyerhkn modl pd bnk sebesr Rp..000,00. Selm thun dengn dsr bung mjemuk sebesr 0 % sethun. Mk ung yng diterim Ali setelh thun dlh Rp..97,00 Rp..97,00 Rp..97,00 Rp..97,00 (0. ) rupih 0. MD-8-0 Pd tip wl thun, Jono menbung Rp.00,- di sebuh bnk dengn bung % per thun. Setelh 0 thun, tbungn Jono menjdi (dlm rupih) : () 0 (,0) 0-0,0 () 00 ( + 0,0) 0 0 () 00 (,0) n n= 0 () (,0) n n= 09

27 . MD-8- Hrg sebuh mesin semul Rp...000,00. Jik hrgny setip thun menyusut 0 % dri hrg yng ditksir pd khir thun sebelumny, mk hrg tksirn mesin tersebut pd khir thun ke lim dlh Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp. 9.00,00 Rp ,00. MD-8- Sutu perushn memiliki utng Rp ,- hrus dibyr dengn 0 nuitet tip thun. Pembyrn pert m dilkukn sesudh thun. Jik bung %, besr nuitet dlh Rp..,7 Rp.., Rp..,78 Rp., Rp..00,00. MD-90-0 Hrg sutu brng berbnding lurus dengn logritm permintn. Bil h = hrg dn d = permintn mk grfik hubungn h dn d dpt digmbrkn sebgi berikut D D. MD-88-0 Untuk produk sutu merek sbun, hukum penwrnny berbunyi bhw hrg (p) berbnding lngsung dengn kudrt besr permintn (n). Untuk n = ternyt p =. Grfik fungsi penwrn di ts dlh p 0 n p D d d 0 n C. p 0 n p n p 0 n 0

28 Permutsi & Kombinsi 0. MD-99- n Jik C r menytkn bnykny kombinsi r elemen n n dri n elemen dn C = n, mk C MD-8- Pd sutu konferensi hdir 7 negr, yitu A, B, C, D, E, F, dn G. Bender msing-msing negr kn dikibrkn pd ting yng ditur menjdi stu bris (7 ting ). Ad berp mcm cr mengtur 7 bender itu gr bender negr A dn B terletk di ujung?!! 7! (! ) (! ) 0. MD-8- Ad lim orng dlm rungn yng belum sling mengenl. Apbil merek ingin berkenln dengn berjbt tngn sekli dengn setip orng, mk jbtn tngn yng kn terjdi sebnyk... kli 0 kli kli 0 kli kli 0. MD-0-7 Dlm bbk penyisihn sutu turnmen, pectur stu sm lin bertnding stu kli. Bnykny pertndingn yng terjdi dlh MD-8- Ali, Bgong, Cndr dn Ddng kn bekerj secr bergilir. Bnykny urutn bekerj yng dpt disusun dengn Ali sellu pd gilirn terkhir dlh 8 0. MD-0- Dri orng yng terdiri ts 8 pri dn wnit kn dibentuk kelompok kerj bernggotkn orng. Jik dlm kelompok kerj ini terdpt pling sedikit pri, mk bnykny cr membentukny d MD-0-7 Dri ngk-ngk,,,, 7 dn 9 dibut bilngn yng terdiri ts tig ngk yng berlinn. Bnykny bilngn yng dpt dibut yng lebih kecil dri 00 dlh MD-00-9 Bilngn terdiri dri tig ngk disusun dri ngkngk,,,, 7 dn 9. Bnykny bilngn dengn ngk-ngk yng berlinn dn yng lebih kecil dri 00 dlh MD-97- Dri ngk,,, 7 dn 9 dibut bilngn yng terdiri ts tig ngk yng berbed. Di ntr bilngn-bilng n tersebut yng kurng dri 00, bnykny dlh MD-98-7 Seorng murid dimint mengerjkn 9 dri 0 sol ulngn, tetpi sol nomor smpi dengn nomor hrus dikerjkn. Bnykny pilihn yng dpt dimbil murid tersebut dlh 9 0

29 . MA-0-0 Setu sekolh membentuk tem delegsi yng terdiri dri nk kels I, nk kels II dn nk kels III. Kemudin kn ditentukn pimpinn yng terdiri dri Ketu, Wkil Ketu dn Skretris. Jik kels sl Ketu hrus lebih tinggi dri kels sl Wkil Ketu dn Sekretris, mk bnykny kemungkinn susunn pimpinn dlh MA-0- Tono besert 9 temnny bermksud membentuk tim bol volley terdiri orng. Apbil Tono hrus menjdi nggot tim tersebut mk tim yng mungkin dibentuk dlh 0. MA-0- Sutu delegsi terdiri ts pri dn wnit yng dipilih dri himpunn pri yng berbed usi dn wnit yng jug berbed usi. Delegsi itu boleh menckup pling pnyk hny stu nggot termud dri klngn wnit tu nggot termud dri klngn pri. Dengn persyrtn ini, bnyk cr menyusun kenggotn delegsi ini dlh 0 8. MA-0-0 Dri 0 orng sisw yng terdiri 7 orng putr dn orng putri kn dibentuk tim yng bernggotkn orng. Jik disyrtkn nggot tim tersebut pling bnyk orng putri, mk bnykny tim yng dibentuk dlh Pelung 0. MD-8- Jik tig mt ung dilempr bersm-sm mk pelung untuk memperoleh du sisi muk dn stu sisi belkng dlh MD-8-7 Sebuh kotk berisi lim bol merh dn tig bol putih. Kit mbil du bol sekligus dri kotk itu. Berp pelung (probbilits) bhw bol yng termbil bol merh dn putih? MD-8- Sebuh kotk berisi buh kelereng putih dn buh kelereng hitm. Pd pengmbiln du kli berurutn, pelung untuk mendptkn sebuh kelereng hitm pd pengmbiln pertm dn sebuh kelereng hitm lgi pd pengmbiln yng kedu dlh : 0,08 0,0 0, 0,0 0,0

30 Sttistik 0. MA-8- Dri sepotong pip perlon yng pnjngny (0,0 + 0,) dm diperlukn potongn dengn pnjng msing-msing (,0 + 0,) dm. Dengn demikin pnjng pip yng tersis () ntr, dm dn, dm () mempunyi tolernsi,8 dm () mempunyi tolernsi 0, dm () ntr, dm dn,9 dm 0. MA-8- Jik jngkun btng msing-msing ( + 0,) m dn ( + 0,) m mk slh stu mutlk selisihny dlh m m 0, m 0, m 0, m 0. MA-8-09 Pnjng stu blok bhn pkin sergm dlh (0 + ) m. Jik bhn tersebut dipotong menjdi potong-npotongn yng berukurn, m dengn slh mutlk 0,0 m, mk bnykny potongn bhn p-kin sergm yng diperoleh berd di ntr dn dn 7 dn 8 dn 8 dn 9 0. MA-8- Sutu kelurg mempunyi persedin bers sebnyk 000,0 grm. Jik setip hri kelurg itu menggunkn 7, grm, mk dlm seminggu sisny dlh nt-r 7, grm dn 7, grm, grm dn 8, grm 7, grm dn 8, grm, grm dn 7, grm 7,0 grm dn 7,90 grm 0. MD-9-0 Nili rt-rt ujin dri 9 orng sisw dlh. Jik d Upik, seorng sisw linny, digbungkn dengn kelompok tersebut mk nili rt-rt ke-0 orng sisw menjdi. Ini berrti nili ujin Upik dlh MD-9-8 Jik ung lelh 0 rupih diberikn kepd orng tukng kebun dn orng pembersih rungn, dn 0 rupih diberikn kepd orng tukng kebun dn seorng pembersih rungn, mk msing-msing tukng kebun dn pembersih rungn berturut-turut menerim ung lelh sebesr Rp. 0,- dn Rp. 0,- Rp. 0,- dn Rp. 0,- Rp. 0,- dn Rp. 0,- Rp. 0,- dn Rp. 0,- Rp. 0,- dn Rp. 70,- 07. MD-8-0 Sejumlh murid di sutu sekolh mengumpulkn ung sebnyk Rp. 90,00. Setip murid hrus memberi iurn yng sm. Kemudin ternyt bhw orng tidk membyr iurnny. Untuk menutup kekurngnny, murid-murid linny hrus menmbh iurnny msing-msing Rp. 0,00. Jdi jumlh murid yng membyr d 8 orng orng orng orng orng 08. MA-80-0 Ali, Bdu dn Crli memncing ikn. Ternyt bhw jumlh ikn Ali dn ikn Bdu lebih bnyk dri pd du kli ikn Crli, sedngkn ikn Bdu lebih sedikit dri pd ikn Crli. Yng memiliki ikn terbnyk ilh Crli Bdu Ali Ali dn Bdu Ali dn Crli 09. MA-8- Dlm sutu kels terdpt sisw sebnyk orng. Nili rt-rt mtemtikny dlh. Bil seorng sisw yng pling rendh niliny tidk diikut sertkn, mk nili rt-rtny berubh menjdi,. Dengn demikin, nili sisw yng pling rendh itu 0 0. MA-8-0 Nili rt-rt buh bilngn sm dengn. Nili rt-rt bilngn yng lin sm dengn. Dengn demikin nili rt-rt bilngn tersebut sm dengn

31 . MA-8-0 Nili rt-rt ujin sekelompok sisw yng berjumlh 0 orng dlh. Jik seorng sisw dri kelompok ini yng mendpt nili 90 tidk dimsukkn dlm perhitungn rt-rt tersebut, mk nili rt-rt ujin kn menjdi MA-79-0 Nili rt-rt ujin mtemtik dri 9 orng sisw dlh. Jik nili dri seorng sisw linny yng bernm Ksdi digbungkn dengn kelompok itu, mk nili rt-rt ujin mtemtik dri 0 orng sisw sekrng menjdi. Ini berrti bhw dlm ujin tersebut Ksdi mendpt nili MA-8-08 Untuk dpt diterim di sutu pendidikn, hrus lulus test mtemtik dengn nili tidk kurng dri 7, dn test biologi dengn nili tidk kurng dri, sedngkn jumlh nili mtemtik dn biologi tidk boleh kurng dri. Seorng clon dengn jumlh du kli nili m temtik dn kli nili biologiny sm dengn 0 psti ditolk psti diterim diterim sl nili mtemtik tidk lebih dri 9 diterim sl nili biologi tidk kurng dri diterim hny bil nili biologi. MD-0- Bert rt-rt 0 sisw dlh 0 kg. Slh seorng di ntrny dignti oleh Andi sehingg bert rt-rtny menjdi 0, kg. Jik bert Andi kg, mk bert sisw yng digntikn dlh 7. MD-0- Nili rt-rt dri 9 bilngn dlh dn nili rtrt bilngn yng lin dlh 0. Nili rt-rt dri 0 bilngn tersebut dlh. MD-9-9 Tes mtemtik diberikn kepd tig kels sisw berjumlh 00 orng. Nili rt-rt kels pertm, kedu dn ketig dlh 7, 8, 7. Jik bnykny sisw kels pertm orng dn kels ketig orng lebih bnyk dri kels kedu, mk nili rt-rt seluruh sisw tersebut dlh 7,0 7, 7,0 7, 7,0 7. MD-90- Nili rt-rt pd tes mtemtik dri 0 sisw dlh dn jik digbung lgi dengn sisw, nili rt-rt menjdi. Nili rt-rt dri sisw tersebut dlh MD-97- Jik 0 sisw kels IIIA mempunyi nili rt-rt,; sisw kels IIIA mempunyi nili rt-rt 7 dn 0 sisw kels IIIA mempunyi nili rt-rt 8, mk nili rt-rt ke 7 sisw kels III tersebut dlh 7, 7,0 7,07 7,0 7,0 9. MD-9-8 Kels A terdiri ts murid sedngkn kels B terdiri ts 0 murid. Nili sttistik rt-rt kels B dlh lebih bik dri nili-rt-rt kels Apbil nili rt-rt gbungn kels A dn kels B dlh 7 mk nili sttistik rt-rt untuk kels A dlh MD-9- Empt kelompok sisw yng msing-msing terdiri dri, 8, 0 dn 7 orng menyumbng korbn bencn lm. Rt-rt sumbngn msing-msing kelompok dlh Rp..000,-, Rp..00,-, Rp..000,-, Rp..000,-Mk rt-rt sumbngn tip sisw seluruh kelompok dlh Rp..00,- Rp..,- Rp..9,- Rp..0,- Rp..7,-

32 . MD-8-9 Empt kelompok sisw yng msing-msing terdiri dri, 0, dn 0 orng rt-rt menyumbng ung ke yysn penderit nk stu ccd sebesr Rp..000,00, Rp..000,00, Rp..000,00, Rp..000,00. Tip sisw rt-rt menyumbng sebesr... Rp. 87,0 Rp..0,00 Rp..00,00 Rp..87,00 Rp..000,00. MD-8- Empt kelompok sisw yng msing-msing terdiri ts 0, 0, 0 dn 0 orng rt-rt menyumbngkn ung ke sutu yysn penderit nk ccd msingmsing sebesr Rp..000,00; Rp ,00; Rp..000,00 dn Rp..000,00. Secr keseluruhn tip sisw rt-rt menyumbng ung sebesr Rp. 7,00 Rp..00,00 Rp..000,00 Rp..70,00 Rp..000,00. MD-0- Nili rt-rt ulngn dlh,9. Empt nk dri kels lin mempunyi nili rt-rt 7. Jik nili rtrt merek setelh digbung menjdi, mk bnykny nk sebelum digbung dengn empt nk tdi dlh 0 0. MD-0- Nili rt-rt tes mtemtik dri kelompok sisw dn kelompok siswi di sutu kels berturut-turut dlh dn 7. Jik nili rt-rt di kels tersebut dlh,, mk perbndingn bnykny sisw dn siswi dlh,,, : : : : :. MD-00-0 Pendptn rt-rt krywn sutu perushn Rp per buln. Jik pendptn rt-rt krywn pri Rp dn krywn wnit Rp mk perbndingn jumlh krywn pri dengn krywn wnit dlh : : : : :. MD-0- Nili rt-rt ulngn kels A dlh A dn kels B dlh B. Setelh kedu kels digbung nili rtrtny dlh. Jik A : B = 0 : 9 dn : B = 8 : 8, mk perbndingn bnykny sisw di kels A dn B dlh 8 : 9 : : : 9 : 0 7. MD Umur rt-rt (rt-rt hitung) dri sutu kelompok yng terdiri dri dokter dn jks dlh 0. Jik umur rt-rt pr dokter dlh thun dn umur rtrt pr jks dlh 0 thun, mk perbndingn bnyk ny dokter dn bnykny jks dlh... : : : : : 8. MD-99-7 Lim orng krywn A, B, C, D dn E mempunyi pendptn sebgi berikut : Pendptn A sebesr pendptn E Pendptn B lebih Rp dri A Pendptn C lebih Rp dri A Pendptn D Kurng Rp dri pendptn Bil rt-rt pendptn kelim krywn Rp..000, mk pendptn krywn D Rp..000 Rp Rp..000 Rp Rp MD-8-9 Tinggi rt-rt seluruh mhsisw ITB dlh cm. Jik dimbil seorng mhsisw ITB yng sebrng, mk tinggi mhsisw itu kurng dri cm lebih dri cm mungkin cm tept cm, b, c dn d tk d yng benr 0. MD-8-0 Dri dt :,,,,,,, dpt ditentukn bhw () rt-rt = medin () jngkun = () modus = () simpngn kurtil =

33 . MD-8-7 Hsil ulngn mtemtik sekelompok sisw dlh, 8, 7,,,,, 7 Dt tersebut mempunyi medin,8,,,,. MD-0- Jik modus dri dt,,,,,,,,, dlh, mk medin dt tersebut dlh. MA-8-9 Nili bhs Indonesi dri 0 orng sisw yng dimbil secr ck dlh,,,,, 7, 7, 7, 8, 9. Pernytn berikut yng benr ilh () rt-rtny = () medinny =, () modusny = 7 () jngkunny =. MA-8-0 Dikethui dt berikut :,,, 8, 0,, 0, Medin =, modus = Medin =, rt-rt = Medin =, jngkun Medin =, modus = Jngkun =, rt-rt = 8. MA-8-08 Hsil dri sutu pengmtn dlh sebgi berikut :,, 9, 8, 9, 0, 9,. Mk medin dri pengmtn tersebut dlh 0 9, 9 8, 8. MA-8-7 Untuk kelompok bilngn,, 7, 7, 8, 8, 8, 9, () modus lebih besr dri rt-rt () medin lebih kecil dri rt-rt () modus = medin () modus = rt-rt 7. MA-80-9 Himpunn bilngn-bilngn,,,,,, 0 () mepunyi selisih ntr bilngn terbesr dn bilngn terkecil sebesr () tidk mempunyi modus () mempunyi medin 0 () mempunyi rt-rt sebesr 9,7 8. MA-8-0 Hsil sutu pengmtn dlh sebgi berikut : 7,,, 0,,, 0, 8, () jngkun = 9 () kurtil bwh =, () medin () kurtil ts = 9 9. MD-0-0 Tinggi dri orng sisw dlm cm dlh Kurtil bwh dt tersebut dlh 7, 8 8, 9 9, 0. MD-87-7 Jik nili rpor A : 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 nili rpor B :,,, 7, 8, 9, 0 nili rpor C :, 7, 7, 7, 7, 7, 0 mk () rt-rt hitung nili ketig rpor sm () medin ketig rpor sm () simpngn kurtil nili rpor A dn C sm () jngkun nili ketig rpor sm. MD-8-8 Dri cttn sutu perushn kermik dlm thun 980 berturut-turut setip bulnny terjul hbis : 70 buh, 0 buh, 00 buh, 70 buh, 000 buh, 0 buh, 00 buh, 0 buh, 000 buh, 000 buh, 00 buh, 70 buh. Modus dri dt tersebut ilh dn 000. MD-9-0 Dikethui dt,,,, 0 Jik tip nili dt ditmbh 0, mk () rt-rt kn bertmbh 0 () jngkun bertmbh 0 () medin bertmbh 0 () simpngn kurtil bertmbh 0. MD-9-0 dlh rt-rt dri dt,,, 0. Jik dt berubh mengikuti pol +, +, + dn seterusny, mk nili rt-rt menjdi

34 . MD-88-7 Pd sutu ujin yng diikuti 0 sisw diperoleh rtrt nili ujin dlh dengn medin 0 dn simpngn bku 0. Kren rt-rt nili terllu rendh, mk semu nili diklikn, kemudin dikurngi. Akibtny rt-rt nili menjdi 70 rt-rt nili menjdi simpngn bku menjdi 0 simpngn bku menjdi medin menjdi 80. MD-8- Andikn uph 00 orng buruh sutu pbrik mempunyi rt-rt rupih, jngkun b rupih, sedng kurtil bwh dn kurtil ts msing-msing c dn d rupih. Jik sekrng uph msing-msing buruh ditmbh Rp.000,-mk uph buruh sekrng mempunyi () rt-rt = ( + 000) rupih () jngkun = (b + 000) rupih () kurtil bwh = (c + 000) rupih () simpngn kurtil = ( d c + 00) rupih. MD-98- Dikethui =,, =,0, =,0, = 7, dn n n = 8,0. Jik rumus i i dengn = n, n i= i= mk devisi rt-rt nili di ts dlh 0 0,9,0, 7. MA-8-0 Dikethui tig kelompok dt : kelompok pertm terdiri dri n dt dengn rt-rt dn kelompok kedu n dengn kelompok ketig n dengn. Hrg rt-rt dri jumlh seluruh dt dri ketig kelompok itu ilh + + n + n + n n + n + n + + n n n n + n + n n n n + + n + n + n 8. MD-0- Nili ujin kemmpun bhs dri pesert seleksi pegwi di sutu instnsi diperlihtkn pd tbel berikut: Nili Ujin Frekuensi 9 Seorng pesert seleksi dinytkn lulus jik nili ujinny lebih tinggi tu sm dengn nili rt-rt ujin tersebut. Bnykny pesert yng tidk lulus dlh MD-8- Dikethui dt tinggi murid sebgi berikut: Tinggi Bnyk murid 7 Mn dri pernytn di bwh ini yng benr? () Rt-rt 0,0 () Medin () Modus () Medin = modus 0. MA-8-0 Nili ujin mtemtik 8 0 Frekuensi Dlm tbel di ts, nili rt-rt ujin mtemtik itu dlh. Kren itu dlh MA-8- Perhtikn tbel berikut : Nili ujin Frekwensi 7 Seorng sisw dinytkn lulus jik nili ujinny lebih tinggi dri nili rt-rt dikurngi. Dri tbel di ts, yng lulus dlh

35 . MD-8- Dikethui dt tinggi murid di sutu kels sbb. No. Urut Tinggi murid (cm) f f y i yi fi Jumlh 0-0 Tinggi rt-rt murid dikels itu dlh 7 cm 7, cm 7,0 cm 8 cm bukn slh stu jwbn di ts. MD-8- D t Frekuensi MD NILAI Dengn memperhtikn dt yng terter di ts dpt ditrik kesimpuln bhw () sisw yng memperoleh nili sebnyk orng () sisw yng memperoleh nili tu 7 sebnyk orng () sisw yng memperoleh nili kurng dri sebnyk orng () sisw yng memperoleh nili ke ts sebnyk 8 orng. MD Dri dftr distribusi frekuensi didpt bhw () Medin terletk pd kels ke III () Bnykny dt seluruhny 0 () Jngkun () Modus terletk pd kels ke II 0 7. MD-8- Tbel dri sutu distribusi frekwensiny bergolong dlh sebgi berikut : intervl f Rt-rt distribusi itu dlh 7,0 7,0,7,0 Diberikn poligon kumultif untuk distribusi kels dt Dri gmbr disimpulkn bhw : () kels modus dlh kels ke- () kels modus dlh kels ke- () kels medin dlh kels ke- () kels medin dlh kels ke- 7. MA-8- Sutu kurv frekuensi kumultif diberikn seperti gmbr di bwh ini ,0,,0,,0,,0 Gmbr ini menunjukkn () medin =,0 () simpngn kwrtil = () kurtil ts =, () rt-rt (men) = 0 8

36 Trigonometri 0. MA-8-0 Seorng mencob menentukn tinggi nyl pi di punck tugu Mons di Jkrt dengn cr mengukur sudut liht dri sutu tempt sejuh dri kki tugu itu α dn β seperti dlm gmbr. Jik tinggi nyl pi itu, mk sm dengn 0. MA-8-9 Bil sin 7 α = + ilh mk hrg yng memenuhi α sin (α β) tn (α β) cot (α β) sin α β sin α sin β ( ) ( α β) sin cosαcosβ β 0. MD-8-0 Jik tn ( + 0 o ) = cot ( o ) mk nili yng memenuhi di ntrny dlh... o 9 o o o o 0. MA-78- Jik A + B + C = 80 0 mk sin (B + C) =... cos A sin B tn (B + C) cos A sin A 0. MA-80- Bil dikethui + y = 70 0, mk cos + sin y = 0 cos sin y = 0 cos + cos y = 0 sin sin y = 0 sin + sin y = 0. MD-9- Jik dikethui = sin = cos sin + cos = 0 sin cos = sin + cos = sin < cos, mk 07. MD-9- Jik tn = mk cos sm dengn 08. MD-9- cos sin MD-8-0 tn 0 sin 0 + tn 0 cos 0 0 sin 0 cos cot ( 0 0 )

37 0. MD-00- cos sin. MD-90- sin 70 o cos sin 0 cos o + 8 sin cos o tn o o. MD-9- tn ( 0 ) + sin cos 0 cos MD-9- Jik cos β = dn sudut β terletk pd kudrn II, mk tn β 9. MD-9- Jik dikudrn II dn tn =, mk sin + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ). MD-0-08 Jik sudut θ di kudrn IV dn cos θ =, mk sin θ 7. MD-0- Jik tn =, mk sin + cos cos sin. MD-0- Jik sudut lncip α memenuhi sin α = tn ( α) + cos α + + +, mk 8. MD-88- Dikethui tn =, dengn dlm selng (, ), mk cos 0

38 9. MD-9- Jik tn =, mk sin + sin ( + ) + cos ( ) 0 0. MD-98- Jik < < dn tn = mk (sin + cos ) sm dengn MD-0-0 Jik ABC siku-siku di C dn memenuhi tn A = sin B, mk sin A. MD-9- Dikethui sin α =, α sudut tumpul, tn α +. MD sin cos sm dengn... tn sin sin cos cos sin. MD-99- tn Jik + sec =, 0 0 < < 90 0 mk sudut dlh. MD-8-0 Jik segitig ABC siku-siku di B dn A = 0 0, mk () sin C = () cos B = 0 () tg A = () cos C =. MD-9- Jik p q = cos A dn p + q 0 ½ pq = sin A, mk 7. MD-97- Jik cos = mk cot ( ) 8. MA-80-0 Bil tn =, mk sin dlh t ( + t t ( + t t ( + t t ( + t t ( + t ) ) ) ) )

39 9. MA-7- Jik tn o = p, mk tn 8 o dlh ( p) ( p ) ( p) ( p ( p ) ( p) ( p ) ( p) 0. MA-7- Jik sin α = 0, mk hrg sin α dlh (perhitungn tnp dftr),8 0,9 0,00 0,9. MD-0- Jik dri segitig ABC dikethui AC = 0 cm, BC = 0 cm dn sudut A = 0 o, mk sudut C dlh... 0 o 90 o 7 o o o. MD-99- Sebuh ting bender tingginy m mempunyi byngn di tnh sepnjng m. Pd st yng sm pohon cemr mempunyi byngn di tnh sepnjng 0 m. Mk tinggi pohon cemr tersebut dlh m m 0 m m 0 m. MD-0- Titik-titik sudut segitig smkki ABC terletk pd lingkrn berjri-jri 7 cm. Jik ls AB 7 cm, mk tn A ( + 7) 7 ( + 7) ( + 7) ( + 7) ( + 7). MA-9-0 P dlh titik pust lingkrn lur segitig AB Jik sin C =, mk sin APB = ( ) ( ) ( ). MD-0- A 0 o B C Jik pnjng lintsn lngsung dri A ke C dlh 7 dn dri A ke B dlh, mk pnjng jln dri A ke C mellui B dlh. MD-0-08 Pd ABC dikethui D dlh titik tengh A Jik BC =, AC = b,ab = c,dn BD = d,mk d + b c b c b c + b + c b c MD-00- Dikethui segitig AB Pnjng sisi AC = b m, sisi BC = cm dn + b = 0 cm. Jik A = 0 o dn B = 0 o, mk pnjng sisi AB 0 + cm 0 cm 0 0 cm + cm + cm 8. MD-98- Diberikn segitig ABC siku-siku di Jik cos (A+C) = k mk sin A + cos B k k k k k

40 9. MD-98- Dikethui segitig ABC dengn sudut B = 0 dn CT gris tinggi dri titik Jik BC = dn AT =, mk AC 7 0. MD-0-08 B C D Jik BC = CD, mk sin β + tn tn + tn tn + + tn tn + tn.. MA-0-08 Dikethui empt titik A, B, C dn D yng berd pd lingkrn dengn pnjng AB = cm, BC = cm, CD = cm dn AD = cm. Kosinus sudut BAD dlh A. MA Sebuh tlng ir kn dibut dri lembrn seng yng lebrny 0 cm dengn melipt lebrny ts tig bgin yng sm seperti pd gmbr 0 cm 0 cm θ 0 cm θ Jik θ menytkn besr sudut dinding tlng tersebut dengn bidng lsny (0 < θ < ), mk volume ir yng tertmpung pling bnyk bil θ , 0. MA-8-08 Dlm segitig ABC, BB dn CC gris tinggi, Jdi C pd AB dn B pd A Jik dikethui BB`: AB = dn CC : BC =, mk sudut ABC sm dengn MA-79- Segitig ABC siku-siku di Jik BC = p, AD tegk lurus BC, DE tegk lurus AC, sudut B = β, mk pnjng DE ilh C p sin β cos β p sin β p p sin β cos β D E p sin β tn β p sin β cos β B β A. MA U, W, R terletk pd sutu gris lurus. Dlm SRW, RS = RW, dlm STW, ST = SW ; dlm TUW, WT = WU. Jik WRS = TSW = 0, mk TWS = TWU WTU = 0 U TWU = 0 W TUW = 0 R SWR = 0 T 0 S

41 . MA-80-8 A dn B titik-titik ujung sebuh terowongn yng diliht dri C dengn sudut liht ACB = 0. B p 0 C p A 9. MA-7-9 Seorng penginti pd sutu blon yng tingginy h dri permukn medn yng dtr meliht prit perthnn P dengn sudut α dengn gris mendtr dn meliht senpn mesin S dengn sudut β dengn gris mendtr. Jrk senpn mesin S dengn prit perthnn P dlh Jik jrk CB = p dn CA = p, pnjng terowongn itu... p p 7 p p p 7. MD-0-09 C D E A B Jik ABC siku-siku sm kki, AC = BC =, dn AD = CE, mk lus minimum dri segiempt ABED dlh 7,00 8,7 9,70 0,7, MA-78- Segi empt ABCD siku-siku di A dn di C, ABD = α DBC = β. Jik AD = p, mk BC p cos α cos β D p sin α cos β p cos β C sin α p sin β p sin α β p sin β α A B cos α h (tn α tn β) h (cot β cot α) h tn α tn β h cot β cot α 0. MA-8- Jik dlm segitig ABC, α, β, dn γ menytkn besr sudut-sudutny, dn sin α + sin β = sin γ, mk γ dlh MA-8-0 Du orng muli berjln C msing-msing dri titik A dn titik B pd st yng sm. Supy keduny A B smpi di titik C pd st yng sm, mk keceptn berjln orng yng dri titik A hrus kli keceptn orng dri B kli keceptn orng di B kli keceptn orng di B kli keceptn orng di B kli keceptn orng di B

42 . MA-97-0 Pd sutu segitig ABC yng siku-siku di C, dikethui bhw sin A sin B = dn sin (A B) =. Nili dlh. MA-0- Dikethui segi empt ABCD; A = C = 0 o, AB =, AD = dn DC = BC, mk BC MA-90-0 A, B, C terletk pd busur sebuh lingkrn ABC = dn AB : BC = :. Jik busur AB dlh, mk keliling segitig itu ( + ) ( + ). MA-9-0 Dlm segitig ABC,, b dn c dlh sudut-sudutny. Jik tn = dn tn b = mk sin c 7. MA-0-0 Jik untuk segi tig ABC dikethui : cos A cos B = sin A sin B sin A cos B = cos A sin B mk segi tig ABC dlh segi tig tumpul sm sisi siku-siku tk sm kki sm kki tk siku-siku siku-siku dn sm kki dn 7. ITB-7- Jik sudut-sudut segitig ABC memenuhi persmn tn γ = tn α + tn β, mk segitig ABC lncip segitig ABC siku-siku segitig ABC tumpul tidk/belum dpt disimpulkn p-p 8. MD-87- Bil + y =, mk tn sm dengn tn y + tn y tn y + tn y + tn y tn y + tn y tn y tn y - tn y 9. MD-0-09 Pd sebrng segitig ABC berlku sin A + sin B sin ( A + B) sin B A + tn B + sin Asin B sin Asin B cos ( A + B) cos B 0. MA-8- sin( b) tn tn b cos cos b sin sin b cos cos b sin sin b cos ( b). MD-9- Jik < + b b dn memenuhi persmn sin sin = 0, mk cos dn dn dn dn dn

43 . MD-88- Bil memenuhi (sin ) + sin = 0 dn < <, mk cos dlh. MD-89-9 Persmn sin + sin = 0 dipenuhi oleh =... () 7 () () (). MD-0- Jik memenuhi sin 7sin + = 0 dn < <, mk cos =.... MD-9- Jik sin + cos = 0 dn mk = MA-78- Akr-kr dri persmn sin + cos = 0 di dlm selng (intervl) dlh dn dn dn dn dn 7. MA-0-0 Jik cos + sin = 0, mk cos 0 dn dn 0 dn 8. MA-9-08 Nili mksimum dri : f() = cos + sin untuk 0 < <, dlh 9. MD-9- Jik 0 < < dn memenuhi persmn tn tn = 0 mk himpunn nili sin dlh 0, ( ) 0 ( 0, ) 0 ( 0, ) 0 ( 0, ) 0 ( 0, ) MD-8-7 Grfik fungsi y = + sin kn : () sellu di ts sumbu () memotong sumbu di (, 0) () memotong sumbu y di (0, ) () memotong sumbu secr periodik 7. MD-9-0 Fungsi y = cos + merupkn fungsi () periodik dengn periode () mempunyi nili minimum () mempunyi nili mksimum () memotong sumbu di = 7. MD-8- Ciri dri grfik y = tn ilh () memotong sumbu di = k, k = 0, +, +,. () mempunyi simtot tegk di =, + k, k =,,, () sellu berd di ts sumbu dlm derh 0 < < () terletk dlm derh y

44 7. MD-8-8 Jik 0 0 < < y < 0, mk () sin < sin y () cos > sin y () tn < tn y () cot > cot y 7. MA-8- Bil terletk dlm intervl < <, mk berlku cos cos cos > cos cos cos cos < cos cos = cos 7. MD-8- Dengn skl dn kerts gmbr yng sm, pd intervl kn terliht bhw () mksimum sin = mksimum cos () mksimum tn > mksimum cos () mksimum sin > mksimum sin () mksimum sin > mksimum cos MD-8- Periode sutu fungsi trigonometri 0 o, mk fungsi ini dlh () sin () cos () sin ( + 80 o ) () tn 7. MD-8-8 Untuk 0 < < 0, grfik y = sin 0 dn y = cos 0 berpotongn pd 0 0 dn 0 dn 0 0 dn MD-8- Gmbr di bwh ini dlh grfik fungsi y 0 / / y = sin y = cos y = + sin y = sin y = cos 78. MD-90-0 Grfik di bwh menggmbrkn fungsi y = cos y = cos y = cos y = cos y = cos 79. MD-9- Persmn grfik di smping ini dlh y = sin y = sin y = cos y = cos y = cos 80. MD-9-0 Fungsi yng sesui dengn grfik di ts dlh y = sin ( ) y = sin ( + ) y = sin ( + ) y = sin ( ) y = sin ( + ) 7

45 8. MD-87- Jik grfik dengn gris terputus-putus itu pers- mnny y = cos mk grfik gris penuh pers- - 0 mnny dlh - - y = cos y = cos y = cos y = cos y = cos 8. MA Persmn untuk kurv di bwh ilh y = sin ( + ) y = sin ( + ) y = sin ( ) y = cos ( + ) y = cos ( + ) 8. MA Gmbr ini dlh grfik fungsi y = sin y = sin y = sin y = sin + y = sin 8. MA-77-0 Grfik berikut dpt dinytkn oleh persmn 0 y = sin ( + ) y = sin + y = sin y = sin ( ) y = sin ( + ) 8. ITB-7-9 y 0 Grfik di ts ini dlh grfik fungsi y = sin y = sin y = sin y = sin y = 8. ITB-7-7 Grfik di sebelh dinytkn oleh persmn / / y = cos + y = cos y = cos ( + ) y = cos ( ) 87. MA-78- Grfik fungsi y = + sin memotong sumbu di bnyk titik memotong sumbu di tig titik tidk memotong sumbu memotong sumbu y dibnyk titik tidk memotong sumbu y 0 X 88. MA-8- Grfik fungsi y = sin berd di ntr sumbu dn gris y = sumbu dn gris y = gris y = dn gris y = gris y = dn gris y = gris y = dn gris y = 8

46 89. MA-0-0 Untuk 0 < < f() = sin + sin merupkn fungsi nik merupkn fungsi turun mempunyi mksimum sj mempunyi minimum sj mempunyi mksimum dn minimum 90. MA-88-0 sin + Dlm selng 0 < <, grfik fungsi y = sin - terletk di bwh sumbu hny untuk < < < < 0 < < semu semu dn 9. MA-77- Jik 0 0 < <, mk () sin < sin y () cos > cos y () tn < tn y () ctg > ctg y 9. MA-77-0 Bil sin A cos A < 0, mk A dikudrn () pertm () kedu () ketig () keempt 9. MA-77- Bil sin z = sin α, mk z () (80 0 α) + k. 0 () α + k. 0 () α + k. 0 () α + k MA-8-9 Nili terkecil yng dpt dicpi oleh sin cos ilh 0 9. MA-0-0 Dikethui F() = cos +. Jik nili mksimum F() dlh dn nili minimum F() dlh b, mk + b 8 9. MD-9-0 Persmn gris yng tegk lurus pd gris singgung kurv y = tn (tn lmbng dri tngens) di titik, dlh y = MA-9-09 Untuk 0 0 0, himpunn penyelesin sin dlh { } { = 0 } { = } { } { } { } { } 98. MA-80- Bil sin cos = p, mk hrg dri sin dlh p p + p p - p 99. MA-8-0 sin θ sm dengn pq p + q pq p + q q p + q pq p + q pq p + q 00. ITB-7- Dikethui bhw sin φ = kesimpulnny dlh α dlh dlm kudrn I tu II α dlh dlm kudrn I tu IV α dlh dlm kudrn II tu III α dlh dlm kudrn II tu IV q θ p dn α = φ. Mk 9

47 0. ITB-7- t Jik tn θ = t sm dengn + t t + t t (θ sudut lncip), mk cos θ 0. MA-78-0 Jik tn =, mk sin sm dengn MA-79- sin p + sin p sin p cos p sin p cos p sin p cos p sin p cos p sin p 0. MA-87-0 Jik cos ( + ) = cos ( ) mk tn 0. MD-0- Nili minimum dn mksimum dri fungsi y = sin + cos + berturut-turut dlh dn dn dn + dn + + dn + 0. ITB-7-0 Fungsi sin ( o + 0 o ) dpt jug dituliskn dlm bentuk : sin o + b cos o tu sin o b cos o untuk setip. mk =, b = =, b = =, b = =, b = 07. MA-79- Fungsi sin ( + 0) dpt jug ditulis dlm bentuk : sin + b cos untuk setip hrg, pbil = dn b = = dn b = = dn b = = dn b = = dn b = 08. MA-8- Nili mksimum dri fungsi : f() = sin + cos, (0 ) dlh MA-90-0 Nili-nili yng memenuhi persmn cos + sin = dpt dihitung dengn mengubhny ke persmn yng berbentuk cos ( α) = Dintr nili-nili tersebut dlh 8 0