BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Graf Defenisi Graf Graf G adalah pasangan (V(G),E(G)) dengan (V(G)) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, (E(G)) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik- titik berbeda di (V(G)) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(g), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan q disebut graf-(p,q) (Abdusakir, 2009). Nama Graf diberikan karena graf dapat disajikan secara grafik atau gambar, dan justru dengan bentuk gambar inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail. Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik (Abdusakir, 2009). Gambar 2.1 Graf G (Sanjaya, 2014)

2 6 Pada gambar 2.1 graf G yang memuat himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G) seperti berikut ini. V(G) = {a,b,c,d,e} E(G) = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (b, c), (d, e)} Graf G mempunyai 5 titik sehingga order G adalah p = 5. Graf G mempunyai 6 sisi sehingga ukuran graf G adalah 6. Graf G dengan himpunan titik dan sisi masingmasing : V(G) = {a, b, c, d, e} E(G) = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (b, c), (d, e)} Dapat juga ditulis dengan V(G) = {a, b, c, d, e} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} Dengan e1 = (a, b) e2 = (a, c) e3 = (a, d) e4 = (b, d) e5 = (b, c) e6 = (d, e) Sisi e = (a, b) dikatakan menghubungkan titik a dan b. Jika e = (a, b) adalah sisi graf G, maka a dan b disebut terhubung langsung (adjacent), a dan e serta b dan e disebut terkait langsung (incident), dan titik a dan b disebut ujung dari e. Dua sisi berbeda e1 dan e2 disebut terhubung langsung (adjacent), jika terkait langsung pada satu titik yang sama. Untuk selanjutnya, sisi e = (a, b) akan ditulis e = ab.

3 Graf Berbobot Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah nilai atau bobot. Bobot pada setiap sisi graf dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan. Bobot dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan antara dua buah kota, waktu tempuh antara dua buah kota, waktu tempuh pesan antara simpul komunikasi dengan simpul komunikasi lainya, ongkos produksi dan sebagainya. Graf berbobot juga sering dikaitkan dengan istilah graf berlabel (Munir, 2012). Untuk membuat label, masing-masing vertex diberi sebuah label dan setiap edge diberikan sebuah nilai atau bobot. Tampilan graf berlabel dapat dilihat pada Gambar 2.2. Gambar 2.2 Graf Berbobot (Sanjaya, 2014) Representasi Graf Pada Komputer Meskipun menggambar merupakan cara yang mudah untuk menjelaskan suatu graf, cara ini tentunya mempunyai kelemahan ketika akan menyimpan data tentang graf dalam komputer, atau ketika akan mengkaji sifat-sifat sutau graf melalui hitungan matematis. Merepresentasikan graf dalam bentuk matriks akan memberikan kemudahan bagi sesorang yang senang menggunakan komputer ketika mengkaji informasi atau menyelesaikan permasalahan yang melibatkan graf (Abdusakir, 2009). Matriks keterhubungan suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur 0 dan 1 dan memuat nilai 0 pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf tidak memuat lup dan tidak memuat sisi parallel.

4 8 Misalkan graf G dengan himpunan titik V(G) = {v1, v2, v3, v4} Dan himpunan sisi E(G) = {v1v2, v1v4, v2v3, v2v4, v3v4 } Maka, diagram dan matriks keterhubungan graf G yang terdapat pada gambar 2.3. Gambar 2.3 Diagram dan Matriks Keterhubungan Graf G (Sanjaya 2014) Derajat suatu simpul deg(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungkan suatu simpul. Secara umum, jika graf G dengan order p (p 1) dengan himpunan titik V(G) = {v1,v2, vp} dan A (G) = [aij], 1 i, j p adalah matriks keterhubungan dari G, maka: deg(v i ) = p a ij j=1 Hal yang sama juga berlaku jika menghitung derajat titik melalui kolom, yaitu deg(v i ) = p a ji j=1 Dengan melihat matriks keterhubungan dari graf G dapat diperoleh bahwa a11 + a12 + a13 + a14 = = 2 = deg(v1), a21 + a22 + a23 + a24 = = 3 = deg(v2), a31 + a32 + a33 + a34 = = 2 = deg(v3), dan a41 + a42 + a43 + a44 = = 3 = deg(v4).

5 9 Dari diagram terlihat bahwa deg(v1) = 2, deg(v2) = 3, deg(v3) = 2, dan deg(v4) = Travelling Salesman Problem Permasalahan Travelling Salesman Problem (TSP) adalah permasalahan dimana seorang salesman harus mengunjungi semua kota dimana tiap kota hanya dikunjungi sekali, dan dia harus mulai dari dan kembali ke kota asal. Tujuannya adalah menentukan urutan titik yang akan dikunjungi dengan jarak total atau biaya yang paling minimum. Permasalahan TSP merupakan permasalahan yang memang mudah untuk diselesaikan dengan algoritma Brute Force, tetapi hal itu hanya dapat dilakukan dengan jumlah kota atau simpul yang tidak banyak. Kompleksitas algoritma untuk permasalahan TSP dengan algoritma Brute Force adalah O(n-1!) dengan catatan n adalah jumlah kota atau simpul dan setiap kota atau simpul terhubung dengan semua kota atau simpul lainnya. Dengan jumlah sebanyak 20 kota, maka banyak sirkuit Hamilton yang mungkin adalah sebanyak 6 x (Rahma et al). Gambar 2.4 Gambar Ilustrasi TSP (Simha, 2015) Keterangan: Nilai masukan = list titik, misalnya : (x0, y0), (x1, y1),..., (xn-1, yn-1). Solusi = semua kemungkinan rute Nilai total perjalanan = jumlah perhitungan perjalanan

6 10 Tujuan = menemukan rute optimal TSP Hingga kini kompleksitas algoritma permasalahan TSP masih tidak dapat diketahui pasti, bahkan setelah 50 tahun lebih pencarian. Hal tersebut menjadikan TSP menjadi salah satu permasalahan yang hingga kini belum terselesaikan dalam banyak permasalahan optimasi matematis Sejarah Travelling Salesman Problem (Rahma et al) Permasalahan matematika tentang Traveling Salesman Problem dikemukakan pada tahun 1800 oleh matematikawan Irlandia William Rowan Hamilton dan matematikawan Inggris Thomas Penyngton. Diskusi mengenai awal studi dari Hamilton dan Kirkman dapat ditemukan di Graph Theory oleh N. L. Biggs, E. K. LLoyd, dan R. J. Wilson, Clarendon Press, Oxford, (Rahma et al) Bentuk umum dari TSP pertama dipelajari oleh para matematikawan mulai tahun Diawali oleh Karl Menger di Vienna dan Harvard. Setelah itu permasalahan TSP dipublikasikan oleh Hassler Whitney5 dan Merrill Flood di Princeton. Penelitian secara detail dari hubungan antara Menger dan Whitney, dan perkembangan TSP sebagai sebuah topik studi dapat ditemukan di makalah Alexander Schrijver s7 On the history of combinatorial optimization (till 1960) Perkembangan Travelling Salesman Problem Untuk menilai perkembangan dalam pemecahan masalah Travelling Salesman Problem (TSP), perlu membandingkan kecepatan penyelesaian yang semakin tinggi. Tetapi masalah perangkingan untuk metode pemecahan TSP akan sangat sulit dilakukan, karena metode-metode yang sangat berkaitan erat satu sama lain tidak dapat dinilai

7 11 hanya melalui perbandingan yang sederhana (permasalahan-permasalahan TSP yang ringan). Oleh karena itu, untuk memutuskan apakah metode A lebih baik dibandingkan metode B, harus mengesampingkan hasil dari contoh-contoh kasus yang sederhana dan dapat diselesaikan oleh hampir semua metode pemecahan permasalahan TSP. Saat ini kita seharusnya berkonsentrasi pada permasalahan-permasalahan yang benar-benar sulit yang sangat sulit terpecahkan sampai saat ini. Dari permasalahan-permasalahan yang sangat sulit ini. Agar perbandingan metode-metode TSP ini dapat diaplikasikan, kita dapat menganalisis solusi-solusi dari sebuah metode dan menjamin bahwa setiap n akan memakan sejumlah waktu f(n). Jadi f(n) fungsi waktu dari sebuah metode terhadap jumlah kota (n). Untuk membandingkan dua buah metode, cukup membandingkan fungsi f(n) dari masing-masing metode. Hal ini tentu saja dapat menghasilkan perhitungan yang salah ketika ada metode yang baik tapi dianalisis dengan buruk sehingga menghasilkan f(n) yang buruk. Dalam banyak permasalahan komputasional, studi tentang algoritma+fungsi telah menghasilkan solusi matematika yang sangat bagus, yang penting dalam pengembangan untuk penyelesaian permasalahan praktis. Hal ini telah menjadi subjek studi yang utama dalam sains komputer. (Rahma et al) Untuk setiap permasalahan TSP akan sangat mudah kita katakan bahwa fungsi f(n)-nya adalah (n-1)!=n-1 x n-2 x n-3 x...x 3 x 2 x 1 dan jumlah jalur yang mungkin terjadi adalah (n-1)!/2. Hasil yang lebih baik ditemukan pada tahun 1962 oleh Michael Held dan Richard Karp, yang menemukan algoritma dan fungsi yang mempunyai proporsi n 2 2 n, yaitu n x n x2 x 2 x x 2, dimana ada sebanyak n perkalian dua. Untuk setiap n bernilai besar, fungsi f(n) Held-Karp akan selalu lebih kecil dibandingkan (n-1)!. Untuk setiap orang yang tertarik untuk menyelesaikan permasalahan TSP dalam jumlah besar, ada sebuah berita buruk bahwa selama 43 tahun sejak Held dan Karp menemukan fungsi f(n)= n 2 2 n ternyata tidak ditemukan fungsi f(n) yang lebih baik lagi. Hal ini tentu saja sangat mengecewakan karena dengan n=30 fungsi f(n) Held-Karp

8 12 menghasilkan nilai yang sangat besar, dan untuk n=100 merupakan sesuatu yang mustahil untuk diselesaikan oleh kemampuan komputer saat ini. Perkembangan fungsi f(n) dalam TSP yang sangat lambat ini mungkin memang tidak dapat kita hindari dengan komputer saat ini bisa jadi memang tidak ada metode yang menghasilkan f(n) yang mempunyai performansi yang baik, misal n c dimana c adalah sebuah angka konstanta, oleh karena itu, n x n x n x x n dimana n muncul sebanyak c kali. (Rahma et al) Perkembangan pemecahan Travelling Salesman Problem (TSP) antara lain: a. 49Kota - DANTZIG49 DANTZIG49 adalah permasalahan yang diteliti oleh Dantzig, Fulkerson, dan Johnson yang dapat kita lihat dalam makalah mereka tahun 1954 tentang solusi dari permasalahan TSP yang terdiri dari satu kota tiap 48 negara bagian di Amerika Serikat ditambah kota Washington, D. C. Para penulis bekerja dengan 49 kota tersebut. Jalur optimal dari 49 kota ini, menggunakan jalan pintas yang terdapat pada 7 kota selain 49 kota tersebut. Jalur yang dibuat berdasarkan jarak pada setiap jalur dalam kota diantara 49 kota tersebut. Para penulis mengatakan bahwa mereka mendapat tabel jarak dari Bernice Brown karyawan Perusahaan Rand. b. 120 Kota - GR120 GR120 telah menjadi pengujian standar bagi permasalahan TSP sejak tahun GR120 ini mempunyai 120 titik yang terdiri dari jarak tempuh antara 120 kota yang terdapat di sekitar Jerman. Daftar kota-kota ini terdapat pada Atlas Umum Negara Jerman tahun 1967/68. c. 318 Kota - LIN318 LIN318 muncul pada tahun 1973 dalam makalah yang ditulis oleh S.Lin dan B.W. Kernighan. Data dari LIN318 terdiri dari 318 yang muncul dari hasil pengeboran, dimana bornya adalah sebuah sinar laser. Lin dan Kernighan menulis bahwa mereka

9 13 mendapatkan datanya dari R.Haberman. Permasalahan ini pertama diselesaikan oleh H.Crowder dan M. W. Padberg pada tahun d. 532 Kota - ATT532 ATT532 muncul pada tahun 1987 didalam makalah yang ditulis oleh M. Padberg dan G. Rinaldi. Dalam ATT532 terdapat data mengenai 532 kota yang berlokasi di Benua Amerika Serikat, dan Padberg serta Rinaldi menulis bahwa mereka mendapatkan permasalahannya dari Shen Lin karyawan dari laboratorium AT&T Bell. e. 666 Kota - GR666 GR666 pertama kali diselesaikan oleh O. Holland dan M. Groetschel, yang muncul dalam Tesis PhD Olaf Holland's pada tahun Data terdiri dari 666 kota menarik yang tersebar di seluruh dunia. f Kota - PR2392 PR2392 memiliki data sebanyak 2,392 titik, hasil kontribusi dari M. Padberg dan G. Rinaldi. Layout dari titik-titik tersebut dibuat oleh Perusahaan Tektronics. g Kota - PLA7397 PLA7397 adalah sebuah programmed logic array application, yang terdiri dari 7,397 kota. h Kota - D15112 D15112.ini mempunyai data mengenai 15,112 kota-kota yang terdapat di Negara Jerman. i Kota Sweded ,978 kota di Swedia, didapat datanya dari National Imagery and Mapping Agency database nama-nama fitur geografi. Untuk grafik perkembangan TSP dapat dilihat pada gambar 2.5.

10 14 Gambar 2.5 Grafik Pemecahan permasalahan TSP dengan n-kota terhadap tahun diselesaikannya (Rahma et al) Prosedur Sederhana Pemecahan TSP Dalam penyelesaian masalah TSP kita dapat membagi kedalam 2 metode, yaitu metode optimal dan metode aproksimasi. Metode optimal akan menghasilkan hasil yang optimal (minimum) sedangkan metode aproksimasi akan menghasilkan hasil yang mendekati optimal. a. Metode Optimal Sejak permasalahan TSP ditemukan pada tahun 1800 oleh matematikawan Irlandia Sir William Rowan Hamilton dan matematikawan Inggris Thomas Penyngton Kirkman, pusat perhatian studi ini adalah menemukan secara pasti nilai minimum dari persoalan TSP dengan konsekuensi dibutuhkan waktu yang cukup lama untuk menyelesaikannya. Contoh metode penyelesaian TSP adalah : Complete Enumeration, Branch and Bound, dan Dynamic Programming. b. Metode Aproksimasi Pemecahan masalah TSP dengan metode aproksimasi dapat memakai waktu yang lebih cepat, tetapi terkadang mendapatkan hasil yang sub-optimum (local optimum). Contoh dengan menggunakan metode Greedy Heuristik yang mencari titik yang dilalui yang lebih dekat terlebih dahulu dan belum dikunjungi.

11 15 Kompleksitas algoritma ini memang sangat mengagumkan yaitu O(n), tetapi hasil yang kita dapat bisa sangat jauh dari hasil yang optimal, semakin banyak kota semakin besar pula perbedaan hasil yang dicapai. Misalnya untuk contoh kasus yang sama dengan algoritma Branch and Bound sebelumnya yang menghasilkan nilai 15, maka algoritma ini menghasilkan nilai 18 berbeda sebesar 20% dari hasil sebelumnya padahal jumlah kota hanya 5 buah. Contoh lain adalah teknik heuristik digunakan untuk mencari jawaban dari masalah kombinatorial dengan secepat mungkin. Algoritma tradisional akan gagal ketika menghadapi permasalahan yang sangat rumit, seperti permasalahan TSP dengan jumlah kota (n) yang sangat besar. Metode Heuristic memberikan pendekatan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi kombinatorial. Combinatorial search akan memberi kita hasil yang mungkin dan mencari yang hasil yang mendekati optimal dari hasilhasil tersebut. Tetapi mungkin memang tidak ada metode Heuristik yang menghasilkan solusi yang merupakan solusi optimal. Metode Heuristik seperti tabu search, local search, simulated annealing, genetic algoritm, Christofides, ant colony, neural network dan lain sebagainya, mengusahakan suatu cara untuk mencari hasil yang baik tapi bukan yang terbaik. 2.3 Algoritma Simulated Annealing Pengertian umum simulated dalam bahasa Indonesia simulasi adalah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model atau algoritma dari suatu sistem nyata. Konsep dasarnya adalah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru sistem nyata guna mempelajari dan memahami sifat-sifat, perangai atau tingkah laku dan karakteristik operasinya. Simulasi juga merupakan alat percobaan untuk mengetahui data sampel serta taksiran statistik dari suatu model atau algoritma. Oleh karena itu, simulasi sangat berkaitan dengan percobaan untuk menaksir karakteristik dari sistem nyata tersebut dengan tujuan untuk merancang, menyusun dan mengembangkan sistem atau mengubahnya (Larasati, 2011).

12 16 Simulasi yang baik membutuhkan perencanaan dan organisir yang bagus, namun bentuk simulasi tersebut tidak selalu tetap dan selamanya akan terus berubahubah sesuai dengan permasalahan dan kendala yang muncul. (Larasati, 2011) Pada umumnya terdapat lima langkah utama yang diperlukan dalam menggunakan simulasi sebagai metode penyelesaian suatu permasalahan, yaitu : 3. Tentukan sistem atau persoalan yang ingin disimulasikan. 4. Kembangkan model atau algoritma simulasi yang ingin digunakan. 5. Menguji model atau algoritma tersebut dan bandingkan karakteristiknya dengan karakteristik sistem nyata yang diadopsi, kemudian berlakukan model simulasinya. 6. Rancang percobaan-percobaan simulasi. 7. Jalankan simulasi dan analisis outputnya. Pada awal tahun 1980 Kirkpatrick, Gellat dan Vecchi (1982; 1983) dan secara terpisah Cerny (1985) memperkenalkan konsep simulasi annealing untuk menyelesaikan permasalahan optimasi kombinatorial. Permasalahan optimasi kombinatorial adalah permasalahan minimum dan maksimum yang dirincikan dengan himpunan beserta beberapa kendala didalamnya (Larasati, 2011). Penyelesaian suatu permasalahan optimasi kombinatorial bertujuan untuk menemukan solusi terbaik atau solusi optimal serta dapat dihitung yang nilainya terbatas ataupun tidak dari solusi-solusi alternatif yang ada. Suatu contoh permasalahan optimasi kombinatorial dapat diformulasikan sebagai pasangan, di mana ruang solusi S sebagai himpunan terbatas dari seluruh kemungkinan solusi dan fungsi biaya f merupakan pemetaan yang didefinisikan sebagai berikut. f S R Dalam kasus minimum, permasalahannya adalah menemukan solusi yang harus memenuhi: f(i opt ) f(i) untuk semua i ε S Sedangkan dalam kasus maksimum, i ε S harus memenuhi kondisi: f(i opt ) f(i) untuk semua i ε S

13 17 yang mana i opt adalah global optimal solusi, baik itu minimum maupun maksimum, f(i opt ) = f opt merupakan nilai optimal dan S opt adalah himpunan dari seluruh solusi optimal. Penyelesaian suatu permasalahan optimasi dengan menggunakan simulated annealing terinspirasi dari proses fisika yakni pendinginan bahan logam yang disebut dengan annealing. Dalam proses pendinginan suatu benda, annealing diketahui sebagai proses penurunan suhu secara bertahap untuk mendapatkan tingkat energi yang rendah pada benda (dalam hal ini adalah logam) pada suhu ruang tertentu. Proses tersebut terdiri atas dua langkah (Larasati, 2011) sebagai berikut. a. Menaikkan temperatur ruang panas hingga mencapai nilai maksimum pada tiaptiap lelehan benda tersebut. b. Menurunkan temperatur secara perlahan hingga partikel-partikel benda tersebut menyusun diri mereka sendiri dalam bentuk yang stabil hingga akhirnya menjadi benda padat, yang dalam bentuk cair partikel-partikel benda tersebut mampu menyusun diri mereka sendiri secara acak. Tabel 2.1 analogi antara annealing dalam permasalahan proses pendinginan logam Proses Annealing pada Logam Permasalahan Optimasi State Solusi layak Energi Fungsi evaluasi Keadaan stabil Solusi optimal Rapid quenching Local search Suhu Parameter kontrol T Pendinginan bertahap Simulasi annealing Berdasarkan analogi antara annealing dalam permasalahan proses pendinginan logam dan annealing dalam permasalahan optimasi ada beberapa pertanyaan tambahan untuk menentukan algoritma yang cocok dalam permasalahan yaitu sebagai berikut (Larasati, 2011). 1. Bagaimana menentukan temperatur awal T? 2. Bagaimana menentukan rasio penurunan pendinginan pada cooling scheduling?

14 18 3. Bagaimana menentukan keadaan akhirnya? 4. Bagaimana menentukan kriteria penghentian iterasinya? Dari beberapa pertanyaan tersebut, implementasi algoritma simulasi annealing harus memenuhi tiga rincian berikut: 1. Representasi dari permasalahan Representasi dari permasalahan mengandung representasi ruang solusi dan fungsi nilai. Fungsi nilai harus ditetapkan sebagai nilai efektif dari solusi yang berkaitan dengan objektif optimasi. 2. Mekanisme transisi Membangkitkan trail untuk mengubah solusi awal menjadi solusi berikutnya memiliki tiga langkah. Pertama, solusi awal yang baru dibangkitkan dari salah satu solusi current dengan menerapkan mekanisme pembangkitan. Kedua, perubahan nilai diantara dua solusi dihitung dan yang ketiga, tentukan keputusan diterima atau tidaknya solusi yang baru dan mengganti solusi current dengan solusi terbaru jika solusi yang baru tersebut diterima. Evaluasi trail merupakan bagian yang menghabiskan waktu yang cukup banyak dalam algoritma simulasi annealing dan harus dilakukan dengan waktu yang seefisien mungkin. Mekanisme pembangkitan biasanya memilih solusi baru yang terkandung dalam salah satu solusi current dengan penyusunan ulang sederhana. Keputusan untuk menerima solusi baru tersebut berdasarkan atas kriteria penerimaan yaitu kriteria Metropolis berikut. Di mana c adalah parameter kontrol yaitu k b T dengan adalah k b konstanta Boltzmann dan T adalah temperatur serta fadalah perubahan biaya antara solusi baru dan solusi terakhir dalam kasus permasalahan minimasi.

15 19 Dalam mekanisme transisi terdapat proses modifikasi, langkah acak atau perubahan apa yang harus dilakukan terhadap elemen-elemen konfigurasi untuk menghasilkan konfigurasi berikutnya serta fungsi evaluasi atau fungsi objektif yang dapat menyatakan baik-buruknya suatu solusi terhadap permasalahan. 3. Jadwal pendinginan Simulasi annealing bekerja dengan menjalankan algoritma Metropolis yang secara perlahan menurunkan nilai T hingga akhir proses penurunan T yang diperbaharui tersebut disebut sebagai jadwal pendinginan. Secara resmi, Jadwal pendinginan adalah suatu fungsi Tn dari {1,2,3, } yang merupakan bilangan real positif dalam iterasi i dari algoritma Metropolis dan digunakan temperature T = Tn(i) sebagai definisi dari probabilitas. Algoritma Metode Simulated Annealing adalah sebagai berikut (Kusumadewi et al, 2005, Hal: 177): 1. Evaluasi keadaan awal. Jika keadaan awal merupakan tujuan, maka pencarian berhasil dan KELUAR. Jika tidak demikian, lanjutkan dengan menetapkan keadaan awal sebagai kondisi sekarang. 2. Inisialisasi BEST_SO_FAR untuk keadaan sekarang. 3. Inisialisasi T sesuai dengan annealing schedule. 4. Kerjakan hingga solusi ditemukan atau sudah tidak ada operator baru lagi diaplikasikan ke kondisi sekarang. a. Gunakan operator yang belum pernah digunakan tersebut untuk menghasilkan kondisi baru. b. Evaluasi kondisi baru dengan menghitung: E = nilai sekarang nilai keadaan baru i. Jika kondisi baru merupakan tujuan, maka pencarian berhasil dan KELUAR. ii. Jika bukan tujuan, namun memiliki nilai yang lebih baik dari pada kondisi sekarang, maka tetapkan kondisi baru sebagai kondisi sekarang. Demikian pula tetapkan BEST_SO_FAR untuk kondisi yang baru tadi.

16 20 iii. Jika nilai kondisi baru tidak lebih baik dari kondisi sekarang, maka tetapkan kondisi baru sebagai kondisi sekarang dengan probabilitas: p = e E/T c. Perbaikan T sesuai dengan annealing scheduling. 5. BEST_SO_FAR adalah jawaban yang dimaksudkan. Flowchart simulasi annealing dapat dilihat pada gambar 2.6. MULAI T Penelusuran dihentikan? Y Parameter awal Evaluasi Solusi Bangkitkan Solusi Baru Output T Diterima? BERHENTI Y Update state terbaru Turunkan temperatur Ubah Temperatur? T Y Gambar 2.6 Flowchart algoritma Simulated Annealing 2.4 Simulated Annealing untuk Penyelesaian TSP Simulated Annealing (SA) telah berhasil disesuaikan untuk menyelesaikan solusi aproksimasi untuk TSP. SA pada dasarnya algoritma pencarian lokal acak yang memungkinkan bergerak dengan gain negatif. Dengan menggunakan metode 2-opt,

17 21 proses dimulai dengan bergerak untuk menemukan tetangga solusi. Tidak mengherankan rute dihasilkan sebanding dengan algoritma 2-opt normal. Hasil yang lebih baik dapat diperoleh dengan meningkatkan waktu proses algoritma SA, menunjukkan hasil yang sebanding dengan Algoritma Lucas Kanade (LK). Beberapa peningkatan kecepatan yang diperlukan untuk membuat contoh yang lebih besar layak untuk dijalankan, dan juga untuk membuat kompetitif untuk algoritma pendekatan lain yang sudah ada. Pseudocode algoritma simulated annealing (Kusumadewi et al, 2005, Hal: 180) adalah sebagai berikut: 1. Function PjgJalur(L,X,Y): real; 1. Panjang = 0; 2. For i=1 to (NC-1) do 3. Pajang = Panjang + ((X L(1+1) X L(1) ) 2 + (Y L(1+1) Y L(1) ) 2 ) 4. PjgJalur 2. Function T0(MTemp:integer): real; 1. LMax = 0; 2. For i=1 to MTemp do 3. LA = ambil jalur sembarang 4. Len = PjgJalur(LA) 5. If Len > LMax then LMax = Len 6. T0 = 2*LMax 3. Function JalurBaru(L): arraync; 1. Bangkitkan 2 bilangan random N1 dan N2 antara 1 sampai NC dengan N1 < N2 2. Depan = L(1) sampai L(N2-1); 3. Tengah = L(N1) sampai L(N2); 4. Belakang = L(N2+1) sampai L(NC); 5. Bangkitkan bilangan random r. 6. If r < 0,5 then 7. DepanBaru = Depan 8. TengahBaru(1..NT) = Tengah(NT..1) dengan NT=N2-N1+1

18 22 9. BelakangBaru = Belakang 10. Lbaru = [DepanBaru TengahBaru BelakangBaru] 11. Else 12. Sementara = [Depan Belakang]; dengan M elemen 13. Bangkitkan bilangan random r dengan dengan nilai antara 1 sampai M. 14. DepanBaru = Sementara(1 r) 15. TengahBaru = Tengah 16. BelakangBaru = Sementara(r+1 M) 17. Lbaru = [DepanBaru TengahBaru BelakangBaru] 18. JalurBaru = LBaru 4. Procedure SimulatedAnneal (MTemp:integer; NC:integer; X,Y:real; MItr:integer; MSukses:integer; dect:real); 1. T=T0(MTemp); 2. L=[1 2 3 NC] 3. MaxIterasi = MItr*NC; 4. MaxSukses = MSukses*NC; 5. JalurTerpendek = L; 6. PjgJalurTerpendek = PjgJalur(L); 7. Sukses = 1; 8. While Sukses > 0 9. Sukses = 0; 10. MinPjgJalur = PjgJalur(L) 11. For i=1 to MaxIterasi do 12. Jalur = JalurBaru(L); 13. Pjg = PjgJalur(Jalur); 14. If Pjg < MinPjgJalur then 15. MinPjgJalur = Pjg; 16. Lbaru = Jalur; 17. Sukses + 1; 18. If MinPjgJalur < PjgJalurTerpendek then 19. PjgJalurTerpendek = MinPjgJalur; 20. JalurTerpendek = Lbaru; 21. If Sukses = MaxSukses then BREAK; 22. Else

19 Bangkitkan bilangan random r; 24. If r < e (Pjg MinPjgJalur)/T then Lbaru = jalur; 25. L =LBaru; 26. T=decT*T; 2.5 Sistem Informasi Geografis Sistem Informasi Geografis (Geographic Information Systems) disingkat SIG merupakan sistem informasi berbasis komputer digunakan untuk menyajikan secara digital dan menganalisa penampakan geografis yang ada dan kejadian di permukaan bumi. Penyajian secara digital berarti mengubah keadaan menjadi bentuk digital. Setiap objek yang ada di permukaan bumi merupakan geo-referenced, yang merupakan kerangka hubungan database ke SIG. Databases merupakan sekumpulan informasi tentang sesuatu dan hubungannya antar satu dengan lainnya, sedangkan geo-referenced menunjukkan lokasi suatu objek diruang yang ditentukan oleh sistem koordinat. (Supriadi, 2007). (Marzuki 2015) Saat ini SIG termasuk salah satu teknologi yang berkembang pesat. Teknologi ini terdiri dari perangkat lunak dan perangkat keras yang didesain untuk mengorganisir data yang berkaitan dangan bumi untuk menganalisis, memperkirakan dan gambaran kartografi. Informasi ruangan mengenai bumi sangat kompleks, tetapi pada umumnya data geografis mengandung 4 aspek penting, yaitu: 1. Lokasi-lokasi yang berkenaan dengan ruang, merupakan objek-objek ruang yang khas pada sistem koordinat (projeksi sebuah peta). 2. Attribut, informasi yang menerangkan mengenai objek-objek ruang yang diperlukan. 3. Hubungan ruang, hubungan lojik atau kuantitatif diantara objek-objek ruang. 4. Waktu, merupakan waktu untuk memperoleh data, data atribut dan ruang. SIG merupakan suatu rancangan sistem informasi untuk mengerjakan data berunsur ruang atau koordinat geografis. Teknologi SIG menyatu dengan operasi database seperti pencarian data dan analisa statistik dan analisis geografis yang

20 24 disajikan dalam bentuk peta. Kemampuan SIG yang unik ini membuatnya banyak digunakan secara luas misalnya untuk menjelaskan kejadian, memperkirakan hasil dan perencanaan strategis. Secara sederhana SIG merupakan: 1. Alat berbasis Komputer untuk pemetaan dan analisis tentang sesuatu yang terdapat dan peristiwa yang terjadi di bumi. 2. Seperangkat alat untuk mengumpulkan, menyimpan, memperbaiki, mengubah dan menampilkan data ruang permukaan bumi sebenarnya untuk tujuan tertentu. 3. Sistem berbasis komputer yang dilengkapi dengan 4 kemampuan untuk menangani data keruangan, yaitu: a. Memasukkan data (data input). b. Menyimpan dan memperbaiki data (data store and retrive). c. Memanipulasi dan analisis (manipulation and analysis). d. Menghasilkan data (data output). 2.6 Google Maps Google Maps adalah layanan aplikasi peta online yang disediakan oleh Google secara gratis. Layanan peta Google Maps secara resmi dapat diakses melalui situs Pada situs tersebut dapat dilihat informasi geografis pada hampir semua permukaan di bumi kecuali daerah kutub utara dan selatan. Layanan ini dibuat sangat interaktif, karena di dalamnya peta dapat digeser sesuai keinginan pengguna, mengubah level zoom, serta mengubah tampilan jenis peta. Google Maps mempunyai banyak fasilitas yang dapat dipergunakan misalnya pencarian lokasi dengan memasukkan kata kunci, kata kunci yang di maksud seperti nama tempat, kota, atau jalan, fasilitas lainnya yaitu perhitungan rute perjalanan dari satu tempat ke tempat lainnya (Syaiful, 2012).

21 25 Untuk mengakses data dari google maps perlu layanan pemetaan berbasis web service yang disediakan oleh Google dan bersifat gratis, yang memiliki kemampuan terhadap banyak layanan pemetaan berbasis web. Google Maps juga memiliki sifat server side, yaitu peta yang tersimpan pada server Google dapat dimanfaatkan oleh pengguna (Ichtiara, 2008). Application Programming Interface (API) merupakan suatu dokumentasi yang terdiri dari interface, fungsi, kelas, struktur dan sebagainya untuk membangun sebuah perangkat lunak. Dengan adanya API ini, maka memudahkan programmer untuk membongkar suatu software untuk kemudian dapat dikembangkan atau diintegrasikan dengan perangkat lunak yang lain. API dapat dikatakan sebagai penghubung suatu aplikasi dengan aplikasi lainnya yang memungkinkan programmer menggunakan sistem function. Proses ini dikelola melalui sistem operasi. Keunggulan dari API ini adalah memungkinkan suatu aplikasi dengan aplikasi lainnya dapat saling berhubungan dan berinteraksi. Bahasa pemrograman yang digunakan oleh Google Maps yang terdiri dari HTML, Javascript dan AJAX serta XML, memungkinkan untuk menampilkan peta Google Maps di website lain (Syaiful, 2012). MULAI Developer merumuskan sebuat request URL menggunakan PHP di remote server Aplikasi PHP membuat request ke Google Maps Permintaan Valid? T Google Maps mengirimkan error atau hasil kosong Y Google Maps mengirimkan data ke user menggunakan format data JSON PHP dapat menggunkanan fungsi curl untuk mengambil dan melakukan pengelolahan data JSON BERHENTI Gambar 2.7. Flowchart Request URL Google Maps

22 Global Positioning System Global Positioning System (GPS) adalah sistem satelit navigasi dan penentuan posisi yang dimiliki dan dikelola oleh Amerika Serikat. Sistem ini didesain untuk memberikan posisi dan kecepatan tiga-dimensi serta informasi mengenai waktu, secara kontinyu di seluruh dunia tanpa bergantung waktu dan cuaca, kepada banyak orang secara simultan. Pada saat ini sistem GPS sudah banyak digunakan orang di seluruh dunia. Di Indonesia pun, GPS sudah banyak diaplikasikan, terutama yang terkait dengan aplikasi-aplikasi yang menuntut informasi tentang posisi (Hasanuddin. 2000) Kemampuan GPS GPS dapat memberikan informasi mengenai posisi, kecepatan, dan waktu secara cepat, teliti, dan murah dimana saja di bumi ini pada setiap waktu, siang maupun malam tanpa bergantung pada kondisi cuaca. Sampai saat ini, GPS adalah satu-satunya sistem navigasi atau sistem penentuan posisi yang mempunyai karakteristik prima seperti itu. Disamping produk dasar tersebut (posisi, kecepatan, dan waktu), sebenarnya ada beberapa parameter lainnya yang dapat ditentukan dengan tekonolgi GPS. Pada parameter-parameter tersebut ditunjukkan pada gambar 2.8. Gambar 2.8 Parameter GPS (Sumber: Hasanuddin, 2000).

23 27 Dalam hal penentuan posisi, GPS dapat memberikan ketelitian posisi yang spektrumnya cukup luas. Dari yang sangat teliti (orde milimeter, relatif) sampai yang biasa-biasa saja (orde puluhan meter, absolut). Ketelitian posisi yang diperoleh secara umum akan bergantung pada empat faktor yaitu: metode penentuan posisi yang digunakan, geometri dan distribusi dari satelit-satelit yang diamati, ketelitian data yang digunakan, dan stategi/metode pengolahan data yang diterapkan Waypoint Waypoint adalah titik referensi dalam ruang fisik yang digunakan untuk tujuan navigasi. Waypoint merupakan koordinat yang mengidentifikasi titik dalam ruang fisik. Koordinat yang digunakan dapat bervariasi tergantung pada aplikasi. Untuk navigasi darat koordinat berupa bujur dan lintang, sedangkan untuk navigasi udara juga mencakup ketinggian. Waypoint biasanya digunakan untuk sistem navigasi pada GPS dan jenis-jenis tertentu dari radio navigasi. Waypoint yang terletak di permukaan bumi biasanya didefinisikan dalam dua dimensi (misalnya, bujur dan lintang), sedangkan yang digunakan dalam atmosfer bumi atau di luar angkasa didefinisikan dalam setidaknya tiga dimensi atau empat jika waktu merupakan salah satu koordinat untuk beberapa titik yang berada di luar bumi. Waypoint ini digunakan untuk membantu menentukan jalur routing yang tak terlihat untuk navigasi. Misalnya, artificial airways "highways in the sky" yang diciptakan khusus untuk keperluan navigasi udara dan hanya terdiri dari serangkaian waypoint abstrak di langit dimana pilot menavigasi airways ini dirancang untuk memudahkan kontrol lalu lintas udara dan routing lalu lintas antara lokasi pada saat bepergian. Waypoints abstrak semacam ini telah dibuat praktis dengan teknologi navigasi modern, seperti land-based radio beacons dan satelit berbasis GPS (Sanjaya, 2014) Perhitungan Jarak Antara Dua Waypoints Untuk melakukan perhitungan jarak antara dua waypoints pada Google Maps menggunakan persamaan hukum kosinus koordinat bola (spherical law of cosines).

24 28 D = A cos (sin(λ 1 ). sin(λ 2 ) + cos(λ 21 ). cos(λ 2 ). cos(φ 2 φ 1 )). R Dimana : D : Jarak antar dua titik (km) λ 1 : Posisi titik i(1,2, n) pada garis lintang dalam derajat φ 1 : Posisi titik i(1,2, n) pada garis bujur dalam derajat R : Jari-jari bumi (6371 km) Karena untuk menggunakan persamaan ini nilai lintang dan bujur harus dalam radian, sedangkan data masukan dari pengguna dalam derajat, maka terlebih dahulu mengubah nilai derajat menjadi radian dengan membagi dengan 180 / π. π adalah konstanta matematika yaitu 3,14. (Sanjaya, 2014)