DAFTAR ISI Keterbagian Faktor Persekutuan Terbesar Kelipatan Persekutuan Terkecil Kongruensi Induksi Matematika Latihan

Transkripsi

1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I TEORI BILANGAN... A. Keterbgin... B. Fktor Persekutun Terbesr... 3 C. Keliptn Persekutun Terkecil... 5 D. Kongruensi... 6 E. Induksi Mtemtik... 7 F. Ltihn... 8 BAB II KOMBINATORIKA... A. Kombinsi dn Permutsi... B. Prinsip Inklusi Eksklusi... 5 C. Pigeon Hole Principle... 6 D. Prits... 8 E. Ltihn... 9 BAB III GEOMETRI... 4 A. Segitig Lus Segitig... 4 b. Teorem Cev... 6 c. Teorem Menelus... 9 d. Teorem Stewrt e. Gris Tinggi... 3 f. Gris Bert g. Gris Bgi B. Lingkrn Sudut-sudut pd lingkrn b. Lingkrn Dlm Segitig c. Lingkrn Lur Segitig d. Segiempt Tlibusur... 4 e. Teorem Ptolemy C. Geometri Anlit D. Ltihn BAB IV ALJABAR A. Sistem Bilngn Rel B. Polinom... 5 C. Pertidksmn QM - AM - GM - HM D. Ltihn i

2 BAB I TEORI BILANGAN A. Keterbgin Jik dn b bilngn bult dn b 0, mk kn terdpt bilngn bult q dn r sehingg : bq r dn 0 r b q disebut sebgi hsil bgi sedngkn r disebut sis pembgin. Sebgi contoh mislkn = 57 dn b = 5, mk 57 = 5. + diperoleh q = dn r =. Nili q dn r tunggl. Untuk membuktikn bhw nili q dn r tunggl kit gunkn kontrdiksi dengn mengndikn seblikny. Mk mislkn untuk sutu dn b bilngn bult dn b 0: = q b + r = q b + r, (q, r, q, r bilngn bult, 0 r b dn 0 r b ) dpt diperoleh : (q q ) b = (r r ) 0 r b b r 0 b r r b b q q ) b ( b kren b 0, kibtny (q q ) b = 0 q q = 0 q = q

3 r r = 0 r = r Dengn demikin, terbukti bhw q dn r tunggl. Jik r = 0, mk b yng berrti b hbis membgi. Sift-sift keterbgin :. Jik b dn b c mk c. Jik b dn c d mk c bd 3. Jik c dn c b mk c x + by, untuk setip bilngn bult x dn y 4. b dn b jik dn hny jik = b Bukti :. Mislkn b = u dn c = bv untuk sutu u dn v bilngn bult. Mk diperoleh c = (uv) yng berrti hbis membgi c.. Mislkn b = u dn d = cv untuk sutu u dn v bilngn bult. Perklin b dengn d kn menghsilkn bd = u. cv = (c)(uv) Sehingg terbukti bhw c hbis membgi bd. 3. Jik c membgi mk = pc dn jik c membgi b mk b = qc, untuk sutu p, q bilngn bult. Mk x + by = pcx + qcy = c (px + qy). Dengn demikin c hbis membgi x + by Pembuktin untuk jik = b mk b dn b : Jik = b mk = bx dn b = y dimn x = y =. Dengn demikin b dn b. - Pembuktin untuk jik b dn b mk = b : Mislkn b = u dn = bv untuk sutu bilngn bult u dn v. Mk diperoleh : b = buv b buv = 0 b( uv) = 0

4 Jik b = 0, mk diperoleh = 0.v = 0 sehingg = b = 0. Jik b 0, mk uv = 0 uv = sehingg u, v = dn = bv =. B. Fktor Persekutun Terbesr Sutu bilngn bult tk nol d diktkn pembgi sekutu(fktor persekutun) dri sutu bilngn bult dn b jik d dn d b. Dri semu pembgi sekutu dri du bilngn tersebut terdpt stu bilngn yng unik (tunggl) yng merupkn pembgi (fktor) sekutu terbesr (fpb). Mislkn = dn b = 8. Bilngn yng merupkn pembgi sekutu dn b dlh,, 3, 6. Sehingg fpb(, 8) = 6. Definisi : Mislkn dn b sutu bilngn bult yng tidk keduny nol. Fktor sekutu terbesr dri dn b dlh sutu bilngn bult d yng memenuhi : i. d dn d b ii. untuk sutu bilngn bult c, jik c dn c b mk c d Slh stu cr untuk mencri fktor persekutun terbesr dlh dengn menulis semu fktor dri dn b seperti yng telh dicontohkn sebelumny. Cr yng lebih efisien dlh dengn menggunkn Algoritm Euclid. = q b + r 0 r < b b = q r + r 0 r < r... r n-3 = q n- r n- + r n- 0 r n- < r n- 3

5 r n- = q n r n- + r n r n = 0 Setelh diperoleh r n = 0, fktor persekutun terbesr dri dn b dlh r n-. Contoh : Hitung fpb(06, 048) 048 = = = =. + 0 Sehingg diperoleh fpb(06, 048) =. Jik kit bekerj secr mundur mk dpt diperoleh : fpb(06, 048) = = = (06. 0) = = 56. ( ) = Sehingg persmn 048x + 06y = fpb(048, 06) mempunyi solusi x = 56 dn y = 5. Secr umum untuk setip bilngn bult dn b, x + by = fpb(, b) memiliki solusi bult x dn y. Persmn tersebut dikenl dengn sebutn Bezout s identity. Persmn tersebut tidk hny memiliki stu solusi, tetpi tk hingg bnykny solusi. Secr umum solusi dri persmn tersebut dlh x = x 0 + y = y 0 - bn fpb(, b) n fpb(, b) dengn n himpunn bilngn bult dn x 0, y 0 slh stu solusi dri persmn tersebut. 4

6 C. Keliptn Persekutun Terkecil Mislkn dn b dlh sutu bilngn bult. Bilngn bult c disebut keliptn persekutun dri dn b jik c dn b c. Jik dn b tidk nol mk kedu bilngn tersebut kn mempunyi keliptn persekutun yng bernili positif. Sutu bilngn bult l > 0 diktkn keliptn persekutun terkecil (kpk) dri bilngn bult dn b jik memenuhi : i. l dn b l, ii. Jik c dn b c dengn c > 0, mk l c. Teorem : Mislkn dn b dlh sutu bilngn bult, d dlh fpb(, b), dn l dlh kpk(, b). Mk b = fpb(, b). kpk(, b) Bukti : Mislkn p = dn q = d b d. Mk b pd. qd d pqd pqd = (pd)q = q dn pqd = (qd)p = bp sehingg dpq dn b dpq (turn (i) terpenuhi). Mislkn terdpt sutu c sehingg c dn b c. Untuk membuktikn teorem ini hrus dibuktikn bhw pqd c. Untuk sutu d = fpb(, b) terdpt bilngn bult x, y sehingg x + by = d, sehingg c dpq cd ( dp)( dq) cd b c( x by) b c b x c y c Kren c dn b mk dpq dlh sutu bilngn bult, sehingg dpq c. Dengn demikin terbukti bhw dpq c. 5

7 D. Kongruensi Mislkn n,, dn b dlh sutu bilngn bult. Bilngn diktkn kongruen dengn b mod (n) pbil bersis b jik dibgi n. Ditulis sebgi bmod(n) Contoh : Tentukn bilngn bult x jik dikethui Jwb : Pernytn di ts dpt ditulis sebgi 0x 6mod(4) 0x = 4q + 6, untuk sutu q bilngn bult 5x = 7q + 3 5x 3mod(7) 5x 0mod(7) x mod(7) yitu x = 7k +, k bilngn bult. Jik k = 0, mk nili x yng memenuhi 0x 6 mod(4) dlh. Jik k =, mk solusi = 9, dn seterusny. Contoh 3 : Mislkn A = Tentukn sis jik A dibgi. Jwb : 3 3 = 7 5 mod mod mod 3 05 (3 5 ) () mod 4 5 mod 4 05 mod mod 6

8 E. Induksi Mtemtik Prinsip induksi mtemtik digunkn untuk membuktikn bhw sutu pernytn benr untuk setip bilngn sli. Mislkn P(n) dlh sutu pernytn yng bergntung pd n dengn n = n 0, n,. Mk pembuktin pernytn P(n) dengn prinsip induksi mtemtik dlh dengn :. Membuktikn bhw P(n 0 ) benr. Bgin ini disebut bgin inisilissi tu bsis.. Membuktikn impliksi P(k) benr P(k + ) benr, k n 0 Atu buktikn impliksi P(n 0 ), P(n 0 + ),, P(k) benr P(k + ) benr, k n 0 Bgin ini disebut sebgi bgin induksi. Contoh : Buktikn bhw Jwb : Untuk n = = ( ) Untuk n = + = 3 = n( n ) n = (benr). ( ) (benr) Anggp pernytn di ts benr untuk n =,,, k, untuk sutu k bilngn sli. Akn dibuktikn benr untuk n = k + k( k ) k + k + = ( k) + k + = ( k ) k( k ) ( k ) = = ( k )( k ) Mk pernytn di ts benr untuk n = k +. Dengn demikin pernytn benr untuk semu bilngn sli n. 7

9 F. Ltihn. Tentukn semu bilngn bult n sehingg 7n + hbis dibgi 3n + 4. Hitung fpb(36, 4, 98, 4). 3. Hitung kpk(8, 46, 306). 4. Apkh bilngn prim? 5. Buktikn jik c b + cd mk c d + bc. 6. Buktikn bhw 3n, 5n +, 7n, 7n, 7n + 3 bukn bilngn kudrt. 7. Tentukn semu bilngn prim p dn q sehingg p q =. 8. Buktikn bhw jik 6 + b + c mk 6 + b + c. 9. Buktikn bhw jik n + dn 3n + dlh bilngn kudrt, mk 5n + 3 bukn merupkn bilngn prim. 0. Buktikn bhw n 30n dn n 4 4n 3 tidk dpt disederhnkn.. Tentukn nili p jik p, p + 0, dn p + 4 dlh bilngn prim. Tentukn semu solusi bult dri x + y = xy 8

10 3. Tentukn bilngn bult terkecil n sehingg n = 4. Tentukn semu solusi bult dri x 3y = Buktikn bhw : () Jik 3 + 4b mk b (b) Jik 9 3x + 7y mk 9 43x + 75y (c) Jik b mk b 6. Buktikn jik x + y dlh bilngn prim gnjil, mk sis jik dibgi 8 dlh tu Ad berp bnyk bilngn di ntr 00 dn 000 yng hbis dibgi? 8. Buktikn bhw untuk setip bilngn bult n, () Jik n gnjil mk 8 n (b) 8 3 n. (c) 9 4 n + 5n. 9. Tentukn tig bilngn bult dimn ketigny reltif prim nmun setip du dintrny tidk reltif prim. 0. Jik n dlh bilngn bult, tentukn kpk(n, n + ).. Mislkn m dn n dlh bilngn bult sehingg fpb(m, n) = kpk(m, n). Buktikn bhw m = n.. Tentukn semu psngn bilngn bult m dn n dimn fpb(m, n) = 0 dn kpk(m, n) = 00. 9

11 3. Buktikn bhw untuk setip bilngn bult n, kpk(,,, n) = kpk (n +, n +,, n). 4. Untuk setip kekongruenn berikut, tentukn pkh terdpt solusi tu tidk, jik terdpt solusi tentukn solusi umum. () 3x 5 mod 7. (b) x 5 mod (c) 9x 4 mod 50 (d) 8x 4 mod Buktikn untuk setip bilngn bult n, 5 n + 3 n + 5n 4. 0

12 BAB II KOMBINATORIKA A. Kombinsi dn Permutsi Terdpt 0 orng pesert kompetisi pencrin nggot bnd. Julin sng juri kn menentukn 4 dri 0 orng tersebut untuk menjdi nggot bnd The WellKnown. Msing-msing dri 4 orng tersebut kn diberi posisi sebgi drummer, bssist, gitris, voklis. Berp bnykkh kemungkinn bnd yng dpt terbentuk? Untuk menyelesikn persoln di ts perhtikn ilustrsi berikut. D B G V Anggp kelim kotk di ts dlh nggot dri bnd The WellKnown. Mislkn D dlh posisi drummer, B dlh bssist, G dlh gitris, V dlh voklis. Bnykny cr untuk memilih orng pd posisi D dlh 0. Kemudin bnykny cr untuk memilih orng pd posisi B dlh 9 kren orng telh terpilih pd posisi pertm. Bnykny cr memilih orng pd posisi G dlh 8 kren orng telh terpilih dn bnykny cr memilih orng pd posisi V dlh 7. Sehingg bnykny kemungkinn bnd yng dpt terbentuk dlh 0x9x8x7 = 680 kemungkinn. Secr umum, jik terdpt n buh objek mk bnykny cr untuk memilih k objek dri n objek tersebut dlh n. (n ). (n ) (n k + ). (n k + )

13 Dlm ksus di ts, urutn dri pemilihn nggot diperhtikn. Mislkn dlm pemilihn nggot bnd, Julin hny kn memilih 4 orng tnp memperhtikn posisi dri setip orng. Mislkn pul dlm himpunn kemungkinn bnd terdpt himpunn dengn nggot {Alex, Brndon, Chris, Dmin}. Mk himpunn tersebut kn muncul sebnyk 4! kli kren keempt orng nggot terpilih dengn posisi yng berbed. Misl terdpt himpunn dengn Alex pd posisi D, Brndon pd posisi B, Chris pd posisi G, dn Dmin pd posisi V. Nmun terdpt pul himpunn dengn Alex pd posisi B, Brndon pd posisi D, Chris pd posisi V, dn Dmin pd posisi G. Anggot dri himpunn tersebut sm, hny sj posisi dri setip nggot berbed-bed dn bnykny pengulngn terjdi sebnyk 4! kli. Mk bnykny pemilihn tnp memperhtikn urutn dlh Secr umum untuk n buh objek 4! dn k buh yng kn dipilih, bnykny cr untuk memilih k objek tersebut dlh n.( n )...( n k ).( n k ) k! tu dpt ditulis dengn notsi n n! k ( n k)! k! Contoh : Buktikn bhw n n n n... 0 n n Jwb : Rus knn menytkn bnykny himpunn bgin dri himpunn dengn n nggot mislkn himpunn {,, 3,., n}. n = Bnykny himpunn bgin dri {,, 3,, n} = Bnykny himpunn bgin dengn 0 nggot n

14 + Bnykny himpunn bgin dengn nggot +. + Bnykny himpunn bgin dengn n - nggot + Bnykny himpunn bgin dengn n nggot n n n n =... 0 n n Contoh : Sebnyk n orng sisw membentuk sebuh brisn (urutn dlm brisn telh ditentukn). Sisw-sisw tersebut kn dibgi dlm k buh kelompok. Tentukn bnykny cr untuk memilih k kelompok ini. Jwb : n- n Anggp kotk-kotk di ts dlh sisw yng telh terurut brisnny. Terdpt n buh celh di ntr n sisw tersebut. Untuk membgi sisw menjdi k buh kelompok mk dpt diletkkn k sekt di ntr n buh celh di ts. n Sehingg bnykny cr untuk memilih k kelompok ini dlh. k Contoh 3 : Terdpt deret kursi yng terdiri dri n buh kursi. Sebnyk k orng duduk di deretn kursi tersebut sehingg tidk terdpt orng yng duduk bersebelhn. Tentukn bnykny cr untuk memilih kursi untuk k orng tersebut. Jwb : Pndng n k buh kursi kosong yng diletkkn pd stu deretn. Pd setip celh di ntr du buh kursi kn diletkkn k kursi berisi sehingg dijmin tidk d du kursi berisi yng bersebelhn. Bnykny celh yng kn diisi dlh n k + 3

15 (termsuk celh di wl dn ujung deretn). Sehingg bnykny cr memilih kursi dlh n k. k Contoh 4 : Hitung bnykny cr terpendek untuk pindh dri titik A ke titik B. B A Jwb : Bnykny lngkh yng dibutuhkn dlh. Dri lngkh tersebut 6 lngkh ke ts dn 6 lngkh ke bwh. Sehingg bnykny cr terpendek untuk pindh dri titik A ke titik B dlh. 6 Secr umum, jik terdpt n lngkh yng dibutuhkn untuk mencpi titik B dri titik A dn terdpt k lngkh ke knn tu ke ts mk bnykny cr untuk mencpi titik B tersebut dlh n. k Contoh 5 : Tentukn bnykny solusi bilngn bult tk negtif dri persmn Jwb : x + x + x 3 + x 4 = 7 4

16 X4 X X X Bnykny solusi bilngn bult tk negtif dri persmn di ts sm dengn bnykny cr terpendek untuk mencpi ujung knn ts grid dri ujung kiri bwh grid yitu 0. 3 Contoh 6 : Tentukn bnykny solusi bilngn bult positif dri persmn x + x + x 3 + x 4 = 7 Jwb : Untuk menyelesikn persoln ini tidk dpt menggunkn grid seperti pd persoln sebelumny. Pndng persoln ini seperti persoln pembgin k kelompok pd Contoh. Yng menjdi nili k dlh bnykny vribel pd 6 persmn yitu 4 dn nili n dlh 7. Sehingg bnykny solusi dlh. 3 B. Prinsip Inklusi Eksklusi Mislkn diberikn sebuh himpunn dimn setip elemenny dpt memenuhi sift,,, n. Mislkn pul N dlh bnykny elemen yng memenuhi sedikitny stu dri,, 3,, n. Mk N = N() + N() +. + N(n) - N(, ) - N(,3) - - N(n, n) + N(,, 3) + N(,, 4) + + N(n, n, n) - 5

17 + (-) n N(,, 3,., n) dimn N(i, i,, i r ) dlh bnykny elemen yng memenuhi sift i, i,, i r. Contoh 7 : Tentukn bnykny permutsi dri {,,, n} dimn tidk pd posisi ke-, tidk pd posisi ke-,., n tidk pd posisi ke n. Jwb : Mislkn N dlh himpunn permutsi dengn sift terdpt sedikitny stu i yng terletk pd posisi ke-i. Mk bnykny permutsi = n! N. n n n n n N = ( n )! ( n )!... 0! Contoh 8 : Dimbil 5 krtu dri 5 krtu. Berp bnykny cr memilih kelim krtu ini gr memut sedikitny As, King, Queen, Jck. Jwb : Mislkn N dlh bnykny cr memilih 5 yng tidk memut As, tidk memut King, tidk memut Queen, dn tidk memut Jck. Mk bnykny cr memilih kelim krtu ini gr memut sedikitny As, King, Queen, Jck dlh 5 N N = C. Pigeon Hole Principle Wherever dlh sebuh kot kecil dengn jumlh penduduk sebnyk 370 orng. Pd sutu ketik slh stu penduduk bernm Jons berkt bhw terdpt du orng penduduk yng berulng thun pd hri yng sm. Bnykny hri dlm stu thun dlh 365 hri pd thun non kbist dn 366 hri pd thun 6

18 kbist. Kren jumlh penduduk kot Wherever lebih besr dri bnykny hri pd stu thun, mk Jons mengmbil kesimpuln seperti itu. Kesimpuln Jons tersebut sesui dengn Pigeon Hole Principle. Jik terdpt lebih dri n buh brng yng didistribusikn pd n buh kotk, mk terdpt sebuh kotk yng menerim lebih dri stu brng. Contoh 9 : Sutu pertemun dihdiri oleh n pesert. Sejumlh pesert sling berjbt tngn. Tidk d pesert yng berjbtn tngn dengn diriny sendiri. Setip du orng pesert berjbt tngn pling bnyk stu kli. Buktikn bhw terdpt du pesert yng bnyk jbt tngn yng dilkuknny dlh sm. Jwb : Lbeli setip pesert dengn bnykny jbt tngn yng dilkuknny. Perhtikn gmbr berikut. 0 n- Angk dlm kotk merepresentsikn jumlh jbt tngn yng dilkukn. Lbel pesert kn dimsukkn ke dlm kotk yng merepresentsikn bnyk jbt tngn yng dilkukn pesert tersebut. Ksus I : Semu pesert melkukn jbt tngn. Dengn demikin kotk yng berisi ngk 0 kn kosong sehingg bnykny kotk yng dpt terisi dlh n dn bnykny lbel yng kn dimsukkn ke dlm kotk dlh n. Berdsrkn Pigeon Hole Principle mk terdpt kotk yng berisi lebih dri stu lbel yng berrti terdpt du pesert yng melkukn jbt tngn dengn jumlh yng sm. Ksus II : Tidk d pesert yng berjbt dengn n pesert linny. 7

19 Dengn demikin kotk dengn bertuliskn n kosong. Seperti pd ksus yng sebelumny, bnyk kotk yng dpt terisi dlh n dn bnyk lbel dlh n. Contoh 0 : Diberikn 5 bilngn bult positif. Tunjukkn bhw kit dpt memilih du di ntr bilngn-bilngn ini sehingg jumlh tu selisihny hbis dibgi 00. Jwb : Perhtikn gmbr berikut Angk dlm kotk merepresentsikn sis bgi sutu bilngn dengn 00. Terdpt 5 kotk dn terdpt 5 bilngn yng kn dimsukkn ke dlm kotk. Berdsrkn Pigeon Hole Principle mk kn terdpt kotk yng berisi lebih dri stu bend. Mislkn kotk ke-i berisi lebih dri stu bilngn. Mk jik du bilngn pd kotk tersebut memiliki sis bgi yng sm, selisih dri kedu bilngn tersebut kn hbis dibgi 00. Sedngkn jik sis bginy berbed mk jumlh dri kedu bilngn tersebut kn hbis dibgi D. Prits Prinsip ini digunkn untuk mengeliminsi kemungkinn-kemungkinn dengn memperhtikn permslhn genp/gnjil. Contoh : Buktikn bhw jumlh dri du buh kudrt sempurn gnjil tidk mungkin merupkn kudrt sempurn. Jwb : Mislkn du bilngn gnjil tersebut dlh b dn c. Mk b dn c mod 4. Dengn demikin b + c mod 4. Kedu bilngn gnjil tersebut jik dijumlhkn 8

20 menghsilkn bilngn genp. Sutu bilngn genp jik dikudrtkn kn hbis dibgi 4. (kontrdiksi) Contoh : Misl,,, n dlh sebrng permutsi dri,,, n. Jik n dlh gnjil, buktikn bhw ( - )( - ) ( - n) dlh genp. Jwb : Andikn seblikny. Mk setip fktor ( i - i) dlh gnjil. Mislkn n = k + untuk sutu k bilngn bult. Mk bnyk i dengn prits genp dlh k dn bnyk i dengn prits gnjil dlh k +. Agr ( i - i) gnjil mk i dn i hrus berbed prits. (kontrdiksi) E. Ltihn. Tentukn bnykny permutsi dri msing-msing himpunn berikut : () {0,,,, 9} (b) {A, B, C,., Z}. Berp bnyk kt yng dpt disusun oleh kt MALADROIT? 3. Tentukn bnykny kt yng terdiri dri lim huruf yng dpt dibentuk dri { A, B, C,., Z } dimn huruf A muncul pling sedikit stu kli. 4. Tentukn bnykny kt yng terdiri dri lim huruf yng menggunkn huruf {A, B, C} dimn setip huruf muncul pling sedikit stu kli. 5. Sils mengmbil empt buh krtu secr rndom dri 5 buh krtu yng d. Tentukn pelung bhw () Semu krtu yng dimbil Sils dlh As (b) Semu krtu yng dimbil berbed jenis 9

21 0 6. Tentukn bnykny bilngn yng lebih kecil dri yng memut pling sedikit stu buh ngk Buktikn bhw bnykny subhimpunn dri sutu himpunn yng memiliki n nggot dlh n. 8. Tentukn bnykny permutsi dri digit 0,,,, 9 dengn digit gnjil dn genp muncul bergntin. 9. Tentukn bnykny kt yng terdiri dri tujuh huruf yng dpt dibentuk dri himpunn {A, B} dimn huruf A muncul sebnyk 3 kli. 0. Tentukn koefisien dri X k Y n-k dri (X + Y) n untuk sutu X, Y, n, k bilngn bult non negtive dn k n.. Tentukn bnykny kombinsi 50-digit yng dibentuk dri {0,,,., 9} dimn setip digit muncul pling sedikit du kli.. Tentukn bnykny kombinsi 0-huruf dri himpunn {A, B, C} yng terdiri dri pling sedikit stu A, pling sedikit du B, dn pling sedikit tig C. 3. Sederhnkn bentuk berikut : () k n k n (b) k n k n (c) k n k n 4. Tentukn x dn y sedemikin sehingg y x n n n n n... 0

22 5. Tentukn x dn y sedemikin sehingg y x 6. Dri 5 buh krtu, Albert memilih 3 krtu. Tentukn pelung krtu yng termbil terdiri dri pling sedikit tig buh krtu dri setip jenis. 7. Sebnyk n orng menghdiri rpt pemilihn ketu Himpunn. Ke-n orng tersebut duduk pd n buh kursi yng terletk pd sutu mej yng berbentuk bundr. Tentukn bnykny kemungkinn tempt duduk dri setip pesert. 8. Tentukn bnykny cr menemptkn tujuh buh bol berwrn merh dn delpn bol berwrn biru ke dlm tig buh kotk jik () Setip kotk terdiri dri pling sedikit stu bol dri setip wrn. (b) Setip kotk terdiri dri pling sedikit du bol dri setip wrn. 9. Tentukn bnykny permutsi dri AABBCCDDEE jik () Kedu huruf A muncul bersebelhn (b) Kedu huruf A terletk terpish (c) Huruf A dn E terpish. 0. Tentukn bnykny cr mendistribusikn tujuh buh bol yng berbed ke dlm empt kotk yng identik jik () Tidk d kotk yng kosong (b) Pling bnyk stu kotk kosong. Tentukn bnykny bilngn bult positif yng lebih kecil tu sm dengn 000 yng tidk hbis dibgi, 3, dn 5.

23 . Bilngn 3344 kn disusun sehingg tidk terdpt du digit yng sm bersebelhn. Berpkh bnykny cr untuk menyusun bilngn tersebut? 3. Tentukn bnykny kombinsi enm digit dri himpunn {,, 3, 4, 5, 6} dimn tidk d digit yng muncul lebih dri du kli. 4. Tentukn bnykny penyusunn bilngn 345 dimn tidk muncul deret, 3, 34, 45, dn Niko memiliki sembiln bol berwrn yng terdiri dri tig bol merh, du bol biru, du bol hiju, stu bol putih, dn stu bol kuning. () Berp bnyk cr memilih empt dintr bol-bol tersebut? (b) Berp bnyk cr memilih lim dintr bol-bol tersebut? 6. Tentukn bnykny bilngn bult positif yng kurng dri yng hbis dibgi tept du dintr, 3, 5, Buktikn bhw dintr 7 buh bilngn sli terdpt du bilngn yng selisihny hbis dibgi Fb menyelesikn persoln mtemtik sebnyk pling sedikit sol setip mingguny. Buktikn terdpt beberp hri berturut-turut dlm stu thun dimn i menyelesikn 0 sol. 9. Terdpt 6 orng pd sebuh pest. Buktikn bhw 3 orng dintrny sling mengenl tu 3 dintrny tidk sling mengenl.

24 30. Terdpt 33 orng murid dlm stu kels dn jumlh dri usi merek dlh 430. Apkh benr bhw terdpt 0 orng murid yng jumlh usiny lebih dri 60? 3. Buktikn bhw terdpt bilngn sli yng berbentuk yng hbis dibgi Terdpt 0 bilngn bult positif dn semuny lebih kecil dri 70. Buktikn terdpt dintr selisih dri bilngn-tersebut terdpt bilngn yng sm. 33. Mislkn n dlh bilngn bult positif yng tidk hbis dibgi tu 5. Buktikn bhw terdpt keliptn dri n yng semu digitny dlh ngk. 34. Stu dintr bilngn rel positif,,, (n ) memiliki jrk pling besr /n dri bilngn bult positif. 35. Buktikn dintr n + bilngn bult dri {,,, n} terdpt du dintrny yng sling prim. 3

25 BAB III GEOMETRI A. Segitig. Lus Segitig Gmbr Mislkn [ABC] menytkn lus dri ABC dn titik E terletk pd sisi BC sedemikin sehingg AE tegk lurus dengn BC mk ABC. BC. AE Selin itu [ABC] jug dpt dinytkn dlm ABC AC. BC. sin C kren AE = AC. sin C. Dengn cr yng sm diperoleh ABC AB AC.sin A AB. BC. sin B. 4

26 5 Heron s Formul. Mislkn, b, c dlh sisi BC, AC, AB berturut-turut pd ABC dn s = c b mk ) )( )( ( c s b s s s ABC Bukti : Mislkn AE = t dn BE = x. Mk diperoleh EC = x. Dengn menggunkn teorem Phythgors diperoleh ) ( x x b x b t () x c t () Dri persmn () dn () diperoleh x x b x c b c x b c x Subtitusikn x ke persmn () t b c c 4 4 b c c 4 ) )( ( b c c b c c 4 ) ) )(( ) ( ( b c c b 4 ) )( )( )( ( c b b c c b c b 4 ) )( )( ( s b s c s s

27 4s( s )( s b)( s c) t s( s )( s b)( s c) Mk. (terbukti) ABC. t.. s( s )( s b)( s c) s( s )( s b)( s c ) b. Teorem Cev Gmbr Perhtikn ABC di ts. ABD dn ADC memiliki gris tinggi yng sm yitu gris AE sehingg untuk sebrng titik D di sisi BC BD DC ABD ADC Dengn XYZ menytkn Lus dri XYZ. 6

28 Gmbr 3 Teorem : Tig segmen gris AD, BE, CF berpotongn di stu titik (konkuren) di titik P (Gmbr 3) jik dn hny jik Bukti :. AD, BE, CF konkuren di titik P. AF FB AFC FBC AF BD CE.. FB DC EA AFP FBP Dengn cr yng sm diperoleh sehingg AF FB AF BD CE b.... FB DC EA BD DC CE EA. AFC AFP FBC FBP BPA APC BPC BPA. APC BPC BD CE APC BPA BPC.. (terbukti) DC EA BPC APC BPA 7

29 Gmbr 4 Andikn ketig gris AD, BE, CF tidk konkuren. Mislkn terdpt F sehingg AD, BE, CF berpotongn di titik P. Berdsrkn () mk Ksus I : AF < AF. BF < BF BF BF '. AF '. F' B BD DC AF AF ' (kontrdiksi) BF BF ' Ksus II : AF > AF. BF > BF BF BF '. AF '. F' B BD DC CE. EA AF ' F' B CE. EA AF FB AF FB. BD CE. DC EA 8

30 AF AF ' (kontrdiksi) BF BF ' Untuk kedu ksus terjdi kontrdiksi. Dengn demikin hruslh AF = AF. Sehingg ketig gris tersebut berpotongn di stu titik. c. Teorem Menelus Gmbr 5 Titik X, Y, Z pd sisi BC, CA, AB dri gris) jik dn hny jik Bukti : BX CY AZ.. CX AY BZ ABC kolinier (terletk pd stu Mislkn h, h, h merupkn pnjng gris yng ditrik dri titik A, B, C dn tegk lurus dengn gris XY. Mk BX CX CY AY h h h h 3 3 9

31 Sehingg BX CX CY.. AY AZ BZ AZ BZ h h h h 3 h. h 3 h. h sehingg Untuk pembuktin seblikny, jik terdpt titik-titik X, Y, Z sedemikin BX CY AZ.. CX AY BZ Mislkn gris AB dn XY berpotongn di titik Z. Mk Dengn demikin BX CY AZ '.. CX AY BZ ' AZ BZ AZ ' BZ ' yng berrti titik Z dn titik Z berimpit dn kit telh membuktikn bhw titik-titik X, Y, Z kolinier. d. Teorem Stewrt Mislkn pd sutu ABC, titik X terdpt pd sisi AC sehingg pnjng BX = m, pnjng CX = n, dn pnjng AC = p mk ( p mn) b m c n 30

32 Gmbr 6 Bukti : Dengn menggunkn turn cosinus diperoleh p n b cos ADC.. () pn p m c cos ADB cos(80 ADC) cos ADC () pm Dri persmn () dn () diperoleh p n b pn = - p m c pm m( p n b ) n( c p m ) p ( m n) mn( m n) b m c n ( m n)( p mn) b m c n ( p mn) b m c n (terbukti) e. Gris Tinggi 3

33 Gmbr 7 Gris tinggi dri sutu segitig dlh gris yng ditrik dri stu titik yng tegk lurus dengn sisi yng berhdpn dengn titik tersebut. Pd Gmbr 7 di ts gris tinggi AD, BE, CF berpotongn di titik P. Hl ini dpt dibuktikn dengn teorem Cev. BD DC BAD. AB. AD.sin BAD AB.sin(90 ABD) AB.cos ABC CAD AC.sin(90 ACD) AC.cos ACB. AC. AD.sin CAD Dengn cr yng sm diperoleh : sehingg CE EA AF FB BC.cos ACB AB.cos BAC AC.cos BAC BC.cos ABC AF BD CE AC.cos BAC AB.cos ABC BC.cos ACB.... FB DC EA BC.cos ABC AC.cos ACB AB.cos BAC Mk berdsrkn teorem Cev ketig gris tersebut konkuren. (terbukti) 3

34 f. Gris Bert Gmbr 8 Gris bert dri sutu segitig dlh gris yng membgi sisi segitig menjdi du bgin sm besr. Ketig gris bert dri sebrng segitig berpotongn di stu titik. Bukti : AF BD CE AF BD CE.... FB DC EA AF BD CE Sehingg terbukti bhw ketig gris tersebut konkuren. Keenm derh pd segitig di ts memiliki lus yng sm. Gmbr 9 33

35 Mislkn lus DPC BPD x kren BD = CD. x seperti tmpk pd Gmbr 9 di ts. Lus Gmbr 0 Sekrng mislkn lus EPC y dn lus PFB z. Mk EPA y kren CE = EA dn PFA z kren AF = FB. Gmbr Kren AE = CE mk lus ABE = lus BCE yitu x + y = z + y. Sehingg x = z. Dengn cr yng sm perhtikn bhw AF = BF. Mk kn 34

36 diperoleh x = y. Sehingg x = y = z yng berrti lus keenm derh pd segitig di ts sm. Gmbr Dri gmbr di ts dpt diperoleh AP : PD = : kren perbndingn lus APB : lus BPD = :. Dengn cr yng sm dpt diperoleh BP : PE = : dn CP : PE = :. g. Gris Bgi Gmbr 3 35

37 Gris bgi dri sutu segitig dlh gris yng membgi sudut segitig menjdi du bgin sm besr. Ketig gris bgi dri sutu segitig berpotongn di stu titik. Dpt dibuktikn sebgi berikut. BD DC Dengn cr yng sm dpt diperoleh Sehingg ABD. AB. AD.sin x AB ADC. AC. AD.sin x AC CE EA AF FB BC AB AC BC AF BD CE AC AB BC.... FB DC EA BC AC AB Dengn demikin ketig gris bgi dri sutu segitig berpotongn di stu titik. B. Lingkrn. Sudut-sudut pd lingkrn (i) Sudut-sudut keliling yng menghdp busur yng sm memiliki besr yng sm. Gmbr 4 36

38 Pd gmbr dits sudut APB dn sudut AQB menghdp busur yng sm yitu busur AB sehingg APB AQB. (ii) Besr sudut pust dlh du kli besr sudut keliling yng menghdp busur yng sm. Gmbr 5 Mislkn titik O dlh titik pust lingkrn dn sudut AOB sert sudut APB menghdp pd busur yng sm. Mislkn pul besr sudut APB dlh x, mk besr sudut AOB dlh x. (iii) Besr sudut keliling yng menghdp dimeter lingkrn dlh 90. Gmbr 6 37

39 Mislkn AB dlh dimeter lingkrn. Mk untuk sebrng titik C di lingkrn dengn C A dn C B, besr sudut ACB dlh 90. b. Lingkrn Dlm Segitig Gmbr 7 Lingkrn dlm dri sutu segitig dlh lingkrn yng terdpt di dlm segitig dn bersinggungn dengn ketig sisi dri segitig tersebut. Titik pust dri lingkrn dlm segitig diperoleh dri perpotongn ketig gris bgi dri segitig tersebut. Besr jri jri dri lingkrn dlm segitig dlh ABC AB AC BC. Dpt dibuktikn sebgi berikut. ) ( Mislkn lingkrn tersebut menyinggung sisi BC, CA, AB di titik P, Q, R berturut-turut dn I dlh titik pust lingkrn. Mislkn pul besr jri-jri dri lingkrn dlm segitig ABC dlh r, sehingg IP = IQ = IR = r. [ABC] = [IBC] + [IAB] + [IAC] 38

40 = BC. IP. AB. IR. AC. IQ. = BC. r. AB. r. AC. r. Sehingg diperoleh r = r( BC AB AC ). [ ABC] ( AB AC BC ) Pd segitig tersebut berlku AR = AQ, BR = BP, dn CQ = CP. c. Lingkrn Lur Segitig Selin lingkrn dlm, pd sutu segitig dpt dibut lingkrn lur yitu lingkrn yng mellui ketig titik sudut dri segitig tersebut. Gmbr 8 Titik O pd gmbr di ts merupkn jri-jri lingkrn lur dri ABC. Titik tersebut diperoleh dri perpotongn gris yng tegk lurus dengn pertenghn sisi-sisi segitig. Mislkn pd Gmbr 3, titik D merupkn 39

41 titik tengh dri sisi BC. Kemudin but gris yng tegk lurus dengn sisi BC dn mellui titik D. Gmbr 9 Kemudin butlh gris yng tegk lurus sisi AC dn mellui titik E sebgi titik tengh sisi AC sert gris tegk lurus sisi BC yng mellui titik F sebgi titik tengh sisi AB. Mislkn ketig gris tersebut merupkn titik O. Mk titik O tersebut dlh titik pust lingkrn lur ABC. Mislkn, b, c dlh pnjng sisi BC, AC, AB dn R dlh jri-jri lingkrn lur ABC mk Bukti : sin A b sin B c sin C R But sebuh gris yng mellui titik C dn titik pust lingkrn lur ABC. Titik D diperoleh dri perpotongn gris tersebut dengn lingkrn lur ABC. 40

42 Gmbr 0 sin D CD R A D, kren menghdp busur yng sm yitu busur BC. sin A = sin D = R = sin A R. Lkukn cr yng sm pd titik A dn B sehingg diperoleh Mk terbukti bhw sin A R = R = b sin B b sin B c sin C c sin C R Besr jri-jri dri lingkrn lur ABC di ts dlh 4

43 bc 4.[ ABC ] dengn [XYZ] dlh lus XYZ. Pembuktinny dlh sebgi berikut. [ABC] =.. b. sin C =. b. c R bc = 4 R R bc 4R d. Segiempt Tlibusur Segiempt tlibusur dibentuk oleh 4 titik berbed pd sutu lingkrn. Pd segiempt tlibusur berlku jumlh dri sudut yng sling berhdpn dlh 80. Gmbr Mislkn pd gmbr di ts besr DAB, ABC b, BCD c, CDA d, mk + c = b + d = 80. 4

44 e. Teorem Ptolemy Gmbr ts. Mk Mislkn ABCD dlh segiempt tlibusur seperti pd Gmbr di AB. CD + AD. BC = AC. BD Bukti : Mislkn E dlh sutu titik yng terletk pd gris BD sehingg DAE = CAB. Mk segitig ADE sebngun dengn segitig ABC dn segitig AEB sebngun dengn segitig ADC. Gmbr 3 43

45 Dengn demikin dpt diperoleh AD DE AB AE dn AC BC AC AD sehingg AD. BC = DE. AC..() AB. AD = AE. AC () Dengn menjumlhkn kedu persmn diperoleh AD. BC + AB. AD = DE. AC + AE. AC AD. BC + AB. AD = AC. (DE + AE) AD. BC + AB. AD = AC. BD (terbukti) C. Geometri Anlit Geometri nlit tu disebut jug sebgi geometri Crtesin merupkn geometri dengn menggunkn prinsip ljbr. Dlm memnipulsi sutu bidng dtr, gris, kurv, tupun lingkrn digunkn sistem koordint Crtesin dlm dimensi du bhkn terkdng dlm dimensi tig. C(c, d) y A(, 0) B(b, 0) x Gmbr 4 44

46 Mislkn pd Gmbr 4 di ts, segitig ABC dipindhkn ke dlm koordint Crtesin dengn memislkn titik A terletk pd (, 0), titik B terletk pd (b, 0) dn titik C pd (c, d). Contoh : Gris tengh sebuh lingkrn berimpit dengn ls AB dri ABC. Titik sudut C bergerk sedemikin rup, sehingg titik tengh sisi AC sellu terletk pd setengh lingkrn. Berup pkh lengkungn tempt kedudukn titik C? Jwb : Gmbr 5 Mislkn perpotongn gris AB dengn lingkrn dlh titik D. Lingkrn di ts memiliki jri-jri sehingg persmn lingkrnny dlh x + y = 45

47 sehingg mislkn bsis dri titik D dlh b, mk koordint titik D dlh (b, b ). Kren jrk BD dn CD sm, mk koordint titik C dlh (b +, b ). Perhtikn titik C. x = b + dn y = x = b b. (x ) + y = (b) + ( b ) = (). Dri persmn di ts dpt dikethui bhw tempt kedudukn titik P dlh setengh lingkrn (mengp?) dengn titik pust (, 0) dn jri-jri. D. Ltihn. Mislkn p dn q dlh jri-jri lingkrn yng mellui titik A dn menyinggung sisi BC di titik B dn C. Mislkn pul R dlh jri-jri lingkrn lur segitig ABC. Buktikn pq = R.. Jik s dlh ½ keliling segitig ABC, r jri-jri lingkrn dlm, R jri-jri lingkrn lur, dn, b, c sisi-sisi dri segitig tersebut, buktikn bhw bc = 4srR. 3. Perhtikn gmbr di smping. P A' A B' T Buktikn bhw : PA x PA = PB x PB = PT B 46

48 4. Jik dlm segitig ABC yng pnjng sisiny, b, c dn pnjng gris bert yng mellui titik sudut A, B, C berturut-turut dlh m, m b, m c, buktikn m m b m c ( b ( ( c ) 4 c ) b 4 b ) c 4 5. Mislkn sisi-sisi pd sutu segitig ABC dlh, b, dn c tentukn pnjng msing-msing dri gris bgi segitig tersebut. 6. Dikethui segitig ABC, titik P terletk dlm segitig tersebut. Jik d, d, d 3 merupkn jrk dri titik P ke sisi BC, CA, AB dn h, h, h 3 dlh gris tinggi yng ditrik dri titik A, B, C, buktikn d h d h d h Pd segitig ABC, BM dn CN dlh du gris bert yng sling tegk lurus. Buktikn bhw b + c = 5, jik BC =, AC = b dn AB = c. 8. Dikethui segitg ABC, titik D, E, F titik-titik pd sisi BC, CA, dn AB sehingg AD, BE, dn CF berpotongn di titik O. Buktikn OD OE OF () AD BE CF (b) AO OD AF FB AE EC 47

49 9. Sutu gris trnsversl memotong sisi AB, BC, CD, DA dri segiempt ABCD msing-msing di titik P, Q, R, S. Buktikn bhw AP BQ CR DS... PB QC RD SA 0. Dikethui bujur sngkr ABCD, titik E dn F msing-msing pd sisi AB dn AD. Mislkn titik P dlh perpotongn gris EF dn AC. Buktikn bhw () AE AF (b) AP AP AE.AF. Dikethui segitig ABC dengn sisi, b, dn c. Jik BAC = 60 dn =, buktikn bhw b + c.. Mislkn CH dn CM msing-msing gris tinggi dn gris bert dlm segitig ABC. Gris bgi BAC memotong CH dn CM msing-msing di P dn Q. Jik ABP = PBQ = QBC, buktikn () Segitig ABC siku-siku (b) BP = CH. 3. Andikn E titik potong ntr digonl AC dn BD dri segiempt tlibusur ABCD. Buktikn bhw jik BAD = 60 dn AE = 3CE, mk jumlh dri du sisi dri segiempt tersebut sm dengn jumlh du sisi linny. 4. Dlm segitig ABC, A = 60, dn gris tinggi BD dn CE berpotongn di titik H. Jik O dlh titik pust lingkrn lur, buktikn bhw HO dlh bisektor dri EHB. 48

50 5. Diberikn ABCD segiempt tlibusur dn R jri-jri lingkrn lurny. Jik, b, c, d menytkn pnjng sisi-sisiny dn S lusny, buktikn bhw R ( b cd )( c bd)( d bc) 6S 6. Mislkn ABCD sebuh bujursngkr dengn pnjng sisi. Titik M terletk pd sisi BC dn N pd sisi CD sedemikin sehingg keliling segitig MCN dlh. () Tentukn MAN. (b) Jik P dlh kki tegk lurus dri A ke MN, tentukn tempt kedudukn titik P selm M dn N bervrisi. 7. Mislkn ABC segitig, M titik tengh BC, N titik tengh AM dn O titik pust lingkrn lur segitig ABC. Buktikn bhw BN tegk lurus ON jik dn hny jik AB = AM. 8. Lingkrn dlm sebuh segitig ABC berpust di I dn menyinggung AB di D. H terletk pd sinr ID sedemikin sehingg DH sm pnjng dengn setengh keliling segitig ABC. Buktikn bhw AHBI segiempt tlibusur jik dn hny jik = Mislkn ABCD dlh segiempt konveks sedemikin sehingg Buktikn bhw AD = CD. ADB = ACB dn BDC = BAC 0. Lingkrn dlm sebuh segitig ABC menyinggung sisi AB dn BC msingmsing di titik P dn Q. Gris PQ memotong gris bgi BAC di titik S. Buktikn bhw gris bgi tersebut tegk lurus terhdp gris SC. 49

51 BAB IV ALJABAR A. Sistem Bilngn Rel Notsi yng kn digunkn dlm menytkn himpunn bilngn dlh R untuk himpunn bilngn rel, Q untuk himpunn bilngn rsionl, Z untuk himpunn bilngn bult, dn N untuk himpunn bilngn sli. Msing-msing dri himpunn ini dilengkpi dengn opersi tmbh dn opersi kli dn disebut sistem bilngn. Berikut ini dlh du ksiom yng berkitn dengn sistem bilngn rel.. Aksiom Lpngn. Sift sositif (i) ( + b) + c = + (b + c) (ii) (b)c = (bc). Sift komuttif (i) + b = b + (ii) b = b 3. Identits (i) Terdpt 0 di R yng memenuhi + 0 = untuk semu di R. (ii) Terdpt di R yng memenuhi = 50

52 untuk semu di R. 4. Invers (i) Untuk setip di R terdpt di R sehingg + (-) = 0 (ii) Untuk setip di R yng tk nol terdpt - di R sehingg = 5. Distributif (b + c) = b + c b. Aksiom Urutn. Untuk setip dn b sutu bilngn rel berlku slh stu dri < b, = b, tu > b.. Jik < b dn b < c mk < c 3. Jik < b mk + c < b + c 4. Jik < b dn c > 0 mk c < bc. B. Polinom Sut polinom tu suku bnyk f(x) berderjt n memiliki bentuk umum f(x) = n x n + n- x n x + x + 0 dengn 0,,, n merupkn sutu konstnt rel. Sehingg x + x + merupkn polinom, sedngkn (x + ) y dn x bukn merupkn polinom. Pd sutu polinom berderjt n terdpt sutu g(x) 0, h(x) dn r(x) yng tunggl sehingg f(x) = g(x) h(x) + r(x) 5

53 dengn g(x) merupkn pembgi, h(x) hsil bgi, dn r(x) sis bgi dn derjt r(x) lebih kecil dri derjt g(x). Teorem Sis Mislkn f(x) dlh sutu polinom. Mk nili r sebgi sis pembgin dpt dihsilkn dri pembgi linier x, untuk sutu konstnt rel. f(x) = (x ) h(x) + r(x) kren derjt r(x) lebih kecil dri derjt (x ) mk r(x) memiliki derjt 0. Mislkn r(x) = r dengn r dlh sutu bilngn rel. Dengn menggnti nili x dengn mk diperoleh f() = r Contoh : Mislkn f(x) sutu polinom ts R. Jik f(x) dibgi x bersis dn jik dibgi x + bersis 3. Tentukn sis f(x) jik dibgi x. Jwb : Derjt sis bgi lebih kecil dri derjt pembgi. Mislkn sis bgi f(x) dengn x dlh x + b. f(x) = (x - ) h(x) + (x + b) = (x ) (x + ) h(x) + (x + b) f() = + b = () f(-) = - + b = 3..() Dengn melkukn eliminsi dn substitusi persmn () dengn () diperoleh = dn b = 5. Sehingg sis bginy dlh x + 5. Teorem Fktor 5

54 Teorem fktor merupkn teorem untuk mencri fktor dri sutu polinom. Sutu pembgi linier x disebut fktor dri sutu polinom f(x) pbil sis pembgin f(x) dengn x dlh nol, yitu : f(x) = (x ) g(x) + r(x) r(x) = 0 sehingg f(x) = (x ) g(x) f ( ) 0 Dlm hl ini disebut kr dri f(x). Contoh. Periks pkh x + 4 merupkn fktor dri f (x) = 5x 4 + 6x 3 5x + 8x + 6 Jwb : x + 4 merupkn fktor dri f (x) jik dn hny jik f(-4) = 0. f(-4) = 5(-4) 4 + 6(-4) 3 5(-4) + 8(-4) + 6 = 0. Teorem Viet Mislkn f(x) dlh sutu polinom berderjt n yitu f(x) = n x n + n- x n x + x + 0 Mislkn pul x, x,, x n dlh kr-kr dri f(x) mk 53

55 Contoh : Mislkn x, x, dn x 3 dlh kr-kr dri x 3 + 3x - 7x +. Tentukn x + x + x 3. Jwb : x + x + x 3 = -3 x x + x x 3 + x x 3 = -7 x + x + x 3 = (x + x + x 3 ) (x x + x x 3 + x x 3 ) = (-3) (-7) = = 3. C. Pertidksmn. QM - AM - GM - HM Mislkn 0,,, n dlh bilngn rel positif. Arithmetic Men (AM), Geometric Men(GM), Hrmonic Men(HM), dn Qudrtic Men(QM) dri ke-n bilngn tersebut berturut-turut dlh AM =... n n GM = n... n HM = n... n QM = Mk berlku... n QM AM GM HM Kesmn terjdi jik dn hny jik 0 = = = n. n Contoh. Mislkn, b, c bilngn rel positif yng memenuhi\ ( + )( + b)( + c) = 8 Buktikn bhw bc. Kpn kesmn terjdi? 54

56 Jwb : AM GM..() dengn cr yng sm diperoleh b b.() b b.(3) Dengn menglikn ketig persmn di ts diperoleh 8 ( )( b)( c) 8 bc. bc. sehingg bc. Kesmn terjdi jik dn hny jik = b = c =. D. Ltihn yz zx xy. Tentukn x y 3z jik x y y 3z 3z x Tentukn nili x, y, z rel yng memenuhi xy x y yz y z xz x z Tentukn hsil dri 55

57 Tentukn jumlh dri Tentukn jumlh dri Tentukn jumlh dri Tentukn jumlh dri n 8. Hitung k! ( k k ). k 9. Tentukn jumlh dri Tentukn nili dri jik dikethui x y 56

58 x y xy x y ( x y) 6x y. Tentukn x, y, z rel yng memenuhi x + yz = x y + xz = y z + xy = z. Jik dikethui x, y, z, t dlh bilngn rel yng tidk sm dengn nol dn x + y + z = t x y z t x 3 + y 3 + z 3 = Tentukn x + y + z + t. 3. Tentukn nili x, y rel yng memenuhi y = x 3 3x + x x = y 3 3y + y 4. Tig bilngn x, y, z memenuhi x xy 3 y 3 5 y 3 z 9 z zx x Tentukn nili dri xy + yz + 3xz Jik dn b dlh kr persmn x x + = 0, buktikn bhw b dlh kr dri persmn x 3 + x = 0. 57

59 6. Jik x x dlh kr dri px 7 + qx 6 + = 0 tentukn nili p. 7. Buktikn bhw jik, b, c rel dn + b + c = mk b bc c n n 8. Buktikn bhw. n n 9. Buktikn bhw Mislkn,,, n dn b, b,, b n dlh bilngn rel positif yng memenuhi n = b b b n. Buktikn bhw b b b n b b b n n n 58

60 59