PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON-LINEAR BLACK-SCHOLES

Transkripsi

1 E-Jurnal Matemati Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: DUL PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON-LINEAR BLACK-SCHOLES Putu Ayu Deni 1, Komang Dharmawan 2, G. K. Gandhiadi 3 1 Jurusan Matemati, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [ ayudennni@gmail.com] 2 Jurusan Matemati, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [ dharmawan.komang@gmail.com] 3 Jurusan Matemati, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [ gandhiadigk@gmail.com] Corresponding Author ABSTRACT Option are contracts that give the right to sell and buy the asset at a price and a certain period of time. In addition investors use option as a means of hedge against asset owned. Many methods are used to determine the price of option, one of them by using the Black-Scholes equation. But its use these in the assumption that the value for the constant volatility. On market assumption are not appropriates, so many researchers proposed using a volatility calculation option that is non-constant Black-Scholes equation modelled using the volatility is not constant in the range so as to produce a non-linear equation of Black-Scholes. In addition to determine the value of hedge ratio. On completions of this study, for the numerical solution of non-linear Black-Scholes equation using method of explicit finite difference scheme. Option use in research us a stock YAHOO!inc. as the underlying asset. The result showed that the price of the option is calculated using non-linear Black- Scholes equation price close on the market. Therefore, it can produce hedge ration for a risk-free portfolio containing of the option and stock. Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility, non-linear Black-Scholes, hedge ration, finite difference methods, explicit scheme 1. PENDAHULUAN Perkembangan investasi ditunjun munculnya berbagai macam alternatif instrumen investasi salah satunya adalah opsi. Opsi merupan kontrak yang memberin hak untuk membeli atau menjual aset pada harga jang waktu tertentu. Opsi kerap digunan oleh investor sebagai sarana untuk melakun lindung nilai (hedging) terhadap aset yang dimiliki. Terdapat berbagai cara yang dapat dilakun dalam menghitung harga opsi, salah satu cara yang sering digunan dalam dunia keuangan adalah model Black-Scholes. Dengan asumsi nilai volatilitas yang konstan, penerapan persamaan Black-Scholes ini dianggap belum sesuai keadaan nyata dalam pasar keuangan. Pada pasar, nilai volatilitas memiliki kecenderungan tidak konstan. Sehingga model diturunn menggunan persamaan diferensial stostik yang mengasumsin diketahui aya rentang dalam nilai volatilitas. Model tersebut mengubah asumsi bahwa volatilitas yang dianggap konstan diubah menjadi tidak konstan sehingga dapat ditentun nilai opsinya. Selanjutnya an ditentun nilai hedge ratio menggunan model Non-Linear Black-Scholes. 2. TINJAUAN PUSTAKA A. Persamaan Klasik Black-Scholes Dalam sebuah opsi terdapat nilai yang merupan fungsi dari berbagai macam parameter, ditulis. Dengan, merupan harga dari underlying asset; adalah waktu ; adalah drift dari ; merupan strike price; adalah batas waktu akhir opsi; bunga bebas risiko (Qiu & Lorenz [3]). Asumsi dasar dari model klasik 27

2 Deni, P.A., Dharmawan, K., Gandhiadi, G.K. Penentuan Harga Opsi Dan Nilai Hedge Menggunan Black-Scholes mengikuti: 1. Tingt suku bunga bebas risiko diketahui konstan, harga dari underlying asset mengikuti log-normal random walk 2. Drift volatilitas diketahui konstan 3. Saham tidak membayarn dividen 4. Tipe opsi adalah opsi Eropa Diberin merupan portofolio dari nilai opsi sebagai ukuran dari underlying asset (1) Dengan mengikuti asumsi bahwa harga dari underlying asset mengikuti log-normal random walk (2) Perubahan harga saham dapat dimodeln menggunan lemma Ito. Dimisaln, suatu peubah yang bergantung pada perubahan harga saham waktu. Apabila harga saham mengikuti persamaan (2) ma diperoleh Sehingga portofolio berubah menjadi (3) (4) Pada persamaan (4) an mengeleminasi risiko menggunan delta hedging, sehingga dipilih (5) Dengan menggunan persamaan (5) ma perubahan nilai portofolio menjadi (6) Dengan asumsi dari arbitrage-free market, perubahan an sama pertumbuhan dari dalam asset yang mendapat bunga bebas risiko sehingga (8) Selanjutnya kedua ruas dibagi sehingga dapat ditulis kembali B. Persamaan Non-Linear Black-Scholes (9) Dalam perkembangannya model dari volatilitas yang tidak pasti sangat populer menarik (Zhang & Wang [5]). Asumsi yang mendasari model Black- Scholes an dimodifisi dalam parameter volatilitas, dalam hal ini an difokusn pada asumsi volatilitas yang konstan. Pada volatilitas yang tidak konstan merupan variabel stostik yang tidak pasti. Terdapat dua cara untuk mencari nilai volatilitas yaitu cara implied historical (Qiu & Lorenz [3]). Misaln volatilitas terletak dalam rentang (10) An diasumsin bahwa volatilitas terdapat pada selang waktu tertentu yang an memberin keuntungan atau kerugian pada batas waktu jatuh tempo. Selanjutnya diperoleh Serang an diamati bahwa volatilitas an dilin gamma opsi tersebut. Oleh rena itu nilai an memberin nilai minimum atau maksimum tergantung pada nilai gamma. Keti gamma positif dipilih menjadi nilai terendah keti gamma bernilai negatif dipilih menjadi nilai terbesar. Diperoleh untuk sus terburuk fungsi memenuhi (7) Dengan mensubstitusi persamaan (6) ke dalam (7), didapat persamaan diferensial Black- Scholes sebagai berikut 28

3 E-Jurnal Matemati Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: { Untuk selanjutnya dapat diperoleh opsi terbaik fungsi range yang yang diperoleh memenuhi { C. Solusi Numerik Metode Beda Hingga Pada sus satu aset an dicari solusi numerik menggunan metode beda hingga. Dalam penelitian ini digunan skema eksplisit pendetan pada persamaan diferensial Black-Scholes. Selanjutnya dapat ditulis persamaan Black- Scholes sebagai berikut untuk syarat awal syarat batas (11) Selanjutnya persamaan (11) dapat ditulis sebagai kondisi awal (12) Selanjutnya didefinisin titik grid sepajang jarak pada sumbu waktu un uk un uk Persamaan (12) dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut Dari persamaan (13), diperoleh ) ( (13) Untuk mencegah terjadinya osilasi, kondisi tersebut harus memenuhi 3. METODE PENELITIAN Jenis data yang digunan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data harga opsi dari Yahoo! Inc (YHOO) periode pada waktu jatuh tempo pada bulan September Dalam penelitian ini mengambil data harga opsi dari Metode pengumpulan data yang dilakun dalam penelitian tugas akhir ini adalah observasi data sekunder harga opsi. Disamping itu, studi literatur juga dilakun yaitu membaca mencatat data serta informasi dari buku, jurnal, skripsi guna mendapatn pengetahuan tambahan mengenai hal-hal yang terit dalam penyusunan tugas akhir ini. Langh-langh penentuan harga opsi dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari menentun data opsi Data yang digunan adalah data harga opsi put call dalam periode Juli-Setember Data opsi tersebut dapat ditemun dalam alamat web ptions. 2. Menentun parameter variabel. Pada penelitian ini an digunan implied volatilitas sebagai parameter volatilitas, yang terdapat pada daftar harga opsi. Langh selanjutnya mencari variabel- 29

4 Deni, P.A., Dharmawan, K., Gandhiadi, G.K. Penentuan Harga Opsi Dan Nilai Hedge Menggunan variabel yang diperlun untuk menghitung opsi, yaitu (harga saham awal), T (waktu jatuh tempo opsi), K (harga eksekusi opsi), r (suku bunga bebas risiko), harga maksimum (S plus) minimum (S minus) yang diperoleh dari data opsi. 3. Solusi numerik untuk persamaan diferensial Black-Scholes tak linier. Dalam penelitian ini persamaan diferensial an diselesain menggunan skema eksplisit, kondisi yang bersyarat yaitu { gamma Skema ini an diselesain algoritma dari solusi numerik pada persamaan (11) (12) (Dharmawan, K. [1]) Untuk (1) Masukn nilai awal { } (2) Definisin titik grid melakun langh-langh berikut untuk i. Masukn nilai ii. Lakun langh berikut untuk a a iii. Cari nilai Untuk menghitung nilai hedge ratio diselesain mengikuti langh berikut untuk i. Lakun langh berikut untuk ii. Lakun langh diatas untuk a a engan 4. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Implementasi Persamaan Non-linear Black-Scholes Pada penelitian ini digunan volatilitas yang tidak konstan. Pada persamaan klasik Black-Scholes dimodeln kedalam bentuk persamaan non-linear Black-Scholes menggunan pendetan solusi numerik. Solusi numerik diselesain menggunan metode beda hingga skema eksplisit. Hasil implementasi berikut menggunan input yaitu,,,,,,,,,. Dengan menggunan algoritma, diperoleh grafik sbagai berikut iv. Ji ma dipilih nilai, ji tidak ma dipilih nilai nilai v. Selanjutnya hitung nilai (3) Lakun langh yang sama seperti langh no 2 sampai 4. Mencari hedge ratio Dalam mencari hedge an digunan turunan kedua dari persamaan (5) mengikuti algoritma berikut. Pada gambar di atas harga tebus (K) sebesar 47,00, digunan nilai opsi volatilitas yang berada pada rentang nilai sebesar 6,032. Dari hasil diatas, harga saham yang ditawarn sebesar 52 para pemegang opsi menyepati harga tebus atau harga kesepatan sebesar 47,00 ma diperoleh harga opsi sebesar 6,032. Harga ini dipilih rena harga tersebut didapat 30

5 E-Jurnal Matemati Vol. 5 (1), Januari 2016, pp ISSN: menggunan volatilitas tidak konstan yang sesuai keadaan pasar. B. Implementasi dalam Penentuan Nilai Hedge Ratio Hedge ratio adalah tingt perubahan ratarata nilai opsi terhadap harga saham. Berdasarn definisi menggunan model Black-Scholes didapat rasio lindung nilai terdapat pada persamaan (5). Dengan nilai adalah total dari nilai opsi dalam portofolio, yaitu jumlah semua nilai opsi dalam portofolio. Hedge ratio menujukn bahwa ada kemungkinan membuat portofolio yang bebas resiko yang terdiri dari opsi saham. Nilai hedge ratio an hitung menggunan persamaan non-linear Black-Scholes,yang an diselesain algortima sehingga diperoleh grafik sebagai berikut 5. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Perhitungan opsi menggunan persamaan non-linear Black-Scholes menghasiln harga opsi yang ideal rena sesuai keadaan pasar yang bergerak volatilitas yang tidak konstan. Dengan menggunan volatilitas antara 20% 30% diperoleh harga opsi sebesar 6,032. Dari perhitungan untuk nilai hedge ratio diperoleh rasio untuk portofolio yaitu proporsi untuk underlying asset opsi sehingga diperoleh portofolio yang bebas risiko rasio sebesar 49,6% underlying asset 50,4% pada harga tebus sebesar 47. B. Saran Pada penelitian ini menggunan opsi tipe Eropa, untuk pengembangan penelitian diharapn dapat menggunan opsi tipe Ameri tipe Barier. Pada penghitungan harga opsi tipe Eropa dapat disertan deviden. DAFTAR PUSTAKA Dari gambar diatas menunjukn bahwa harga opsi delta hedging diperoleh sebesar 0,496 sehingga diperoleh besaran rasio hedge utuk opsi 49,6% segn untuk saham 50,4% sehingga terbentuk portofolio yang terdiri dari aset yang berisiko yang bebas risiko. [1] Dharmawan, K. (2005). Supperreplication Method for Multi-asset Barrier Options. Ph.D. Thesis. University of New South Wales Library, Sydney. [2] Husnan, S. (1998). Dasar-Dasar Teori Portofolio. Yogyarta: UPP AMP YKPM. [3] Qiu, Y., & Lorenz, J. (2009). A Non-Linier Black-Scholes Equation. Int. J. Business Perform and Supply Chain Modelling, vol.1, pp [4] Willmot, P. (1998). The Theory and Practice of Financial Engineering. New York: John Wiley & Sons. [5] Zhang, K., & Wang, S. (2009). A Computational Scheme for Uncertain Volatility Model in Option Pricing. IMACS,