MODEL PERSEDIAAN PROBABILISTIK MULTI ITEM DENGAN FAKTOR DISKON DAN KADALUARSA

Transkripsi

1 eranian No. III/LM/016-0/9- MOEL ESEIAAN OBABILISTIK MULTI ITEM ENGAN FAKTO ISKON AN KAALUASA isusun Oleh : r. J. harma Lesmono Tauik Limansyah, S.Si, MT. LEMBAGA ENELITIAN AN ENGABIAN KEAA MASYAAKAT UNIVESITAS KATOLIK AAHYANGAN BANUNG 016

2 ABSTAK MOEL ESEIAAN OBABILISTIK MULTI ITEM ENGAN FAKTO ISKON AN KAALUASA J. harma Lesmono dan Tauik Limansyah Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi Inormasi dan Sains Universitas Katolik arahyangan ersediaan merupakan suatu aktor yang penting bagi suatu perusahaan. engelolaan persediaan yang baik diperlukan bagi suatu perusahaan karena sebagian besar dana perusahaan tertanam di dalam persediaan. Selain itu, di dalam pengelolaan persediaan perlu diperhatikan adanya biaya-biaya yang terlibat seperti biaya pembelian, biaya pemesanan, biaya penyimpanan, dan biaya kekurangan. Beberapa aktor yang sering dihadapi perusahaan di dalam praktek adalah adanya penurunan kualitas dari barang (masa kadaluarsa), aktor diskon yang diberikan oleh pihak pemasok, permintaan yang tidak menentu dari pelanggan, serta beragamnya enis barang yang diual atau diproduksi oleh perusahaan. Model-model persediaan yang memperhatikan aktor-aktor di atas telah banyak dikembangkan orang, dengan asumsi dan cara pandang yang beragam. alam tiga atau empat tahun terakhir telah dikembangkan model-model persediaan baik itu deterministik maupun probabilistik yang mempertimbangkan masa kadaluarsa dan aktor diskon. i dalam penelitian ini akan dicoba dikembangkan model persediaan probabilistik untuk kasus multi item dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa dan diskon yang diberikan pihak pemasok kepada perusahaan. Model yang dikembangkan merupakan model periodic review untuk menentukan waktu pemesanan barang yang optimal untuk kasus multi item. Kebiakan ini disebut dengan kebiakan oint order. Kebiakan oint order ini nantinya akan dibandingkan dengan model persediaan perpetual untuk masing-masing barang, atau individual order. Kriteria pemilihan kebiakan adalah kebiakan yang memberikan biaya total yang paling minimum. Kata kunci : persediaan, probabilistik, multi item, all unit discount, kadaluarsa. ii

3 KATA ENGANTA ui dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas segala rahmat dan kasihnya penelitian dengan udul Model ersediaan robabilistik Multi Item engan Faktor iskon dan Kadaluarsa dapat diselesaikan. Makalah ini disusun sebagai laporan tertulis kegiatan penelitian yang dilakukan selama tahun 016. Hasil penelitian ini telah dipresentasikan pada East Asia Society o Industrial and Applied Mathematics (EASIAM) pada tanggal 0- Juni 016 di Macau, pada Asian Mathematical Conerence (AMC) pada tanggal 5-9 Juli 016 di Bali, dan pada Konerensi Nasional Matematika (KNM) ke-18 di iau pada tanggal -5 November 016. alam menyelesaikan penelitian ini, penulis telah menerima bantuan dan dukungan dari berbagai pihak yang keterlibatannya sangat berarti. enulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada ekan Fakultas Teknologi Inormasi dan Sains yang telah membantu kelancaran pemenuhan persyaratan administrati, serta Lembaga enelitian dan engabdian kepada Masyarakat (LM) Universitas Katolik arahyangan yang telah memberikan bantuan dana penelitian sehingga penelitian ini dapat beralan dengan lancar dan terselesaikan dengan baik. Seperti kata pepatah Tiada Gading yang Tak etak, demikian uga dengan penelitian ini. Oleh karena itu, dengan senang hati penulis akan menerima kritik dan saran yang siatnya membangun untuk penyempurnaan penelitian ini. Akhir kata penulis berharap semoga penelitian ini dapat memberikan manaat bagi yang memerlukannya. Bandung, November 016 enulis iii

4 AFTA ISI ABSTAK... ii KATA ENGANTA... iii AFTA ISI... iv AFTA GAMBA... vi BAB I ENAHULUAN Latar Belakang umusan Masalah Tuuan enelitian Sistematika enulisan... 5 BAB II TINJAUAN USTAKA ersediaan Barang Model robabilistik ersediaan Barang Economic Order uantity Formulasi Matematika Model robabilistik ersediaan Barang Economic Order uantity rosedur (Algoritma) encarian Jumlah emesanan Barang dan eorder oint yang Optimal Model ersediaan robabilistik Satu Jenis Barang engan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan All Unit iscount BAB III METOE ENELITIAN... 1 BAB IV JAWAL ELAKSANAAN... 4 BAB V HASIL AN EMBAHASAN... 5 iv

5 5.1. Formulasi Model ersediaan robabilistik Multi Item engan Faktor iskon dan Kadaluarsa rosedur encarian Jumlah emesanan Barang dan eorder oint yang Optimal BAB VI KESIMULAN AN SAAN AFTA USTAKA v

6 AFTA GAMBA Gambar.1. Model robabilistik ersediaan EO Gambar.. Model robabilistik ersediaan Barang EO engan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa Barang Gambar 3.1. Metodologi enelitian vi

7 vii

8 BAB I ENAHULUAN 1.1 Latar Belakang ersediaan berkaitan dengan ketersediaan bahan baku untuk industri manuaktur atau barang dagangan untuk suatu perusahaan. ersediaan merupakan salah satu aktor yang penting dalam menamin kelancaran suatu proses produksi. Faktor penting yang perlu dipertimbangkan dalam pengelolaan persediaan adalah adanya penurunan kualitas barang (kadaluarsa). Barang yang mendekati atau memasuki masa kadaluarsa akan memiliki nilai ual yang rendah, atau bahkan tidak memiliki nilai ual, sehingga hal ini perlu mendapat perhatian yang serius dari perusahaan. Secara analitis, untuk menangani masalah seperti ini, diperlukan suatu model matematika yang dapat mendeskripsikan hal ini dan menentukan kebiakan yang optimal yang harus diambil oleh perusahaan. Kompleksitas masalah akan semakin berkembang ketika perusahaan tersebut memiliki banyak barang (multi item) dengan waktu kadaluarsa yang berbeda-beda. Jika perusahaan memiliki barang yang akan atau sudah kadaluarsa dalam umlah yang banyak, maka biaya kadaluarsa akan menadi besar. erusahaan akan mengalami kerugian mengingat banyaknya barang yang memiliki nilai ual yang lebih rendah atau bahkan tidak memiliki nilai ual sama sekali ketika barang telah kadaluarsa. Sebaliknya, ika pengadaan persediaan barang yang memiliki waktu kadaluarsa dalam umlah yang sedikit akan mengakibatkan rekuensi pemesanan yang lebih sering sehingga biaya pemesanan menadi mahal. Faktor lain yang mempengaruhi model persediaan adalah adanya aktor diskon yang diberikan oleh pemasok (supplier) untuk masing-masing enis barang. iskon dapat diberikan dalam tiga kategori, yaitu diskon secara keseluruhan barang (all unit discount), diskon secara bertahap (incremental discount), atau diskon yang mengikuti suatu ngsi kontinu tertentu (walau hal ini arang ditemukan di dalam praktek). engan adanya aktor diskon, supplier mengharapkan perusahaan dapat membeli bahan baku lebih banyak. 1

9 Namun, selain aktor diskon yang dapat dimanaatkan untuk menurunkan biaya total persediaan, perusahaan tentunya akan mempertimbangkan resiko-resiko yang akan teradi ketika membeli barang yang lebih banyak, seperti biaya perawatan yang meningkat, biaya kerugian akibat kerusakan (kadaluarsa) barang yang akan ditanggung. enelitian ini bertuuan untuk menghasilkan model matematika persediaan probabilistik multi item dengan mempertimbangkan aktor diskon dan aktor kadaluarsa barang serta penentuan kebiakan perusahaan dalam pemesanan barang apakah dengan oint order atau indivual order sehingga diperoleh biaya total persediaan yang minimum. Telah banyak model-model matematika untuk persediaan barang yang ada pada berbagai buku dan literatur. Model persediaan barang yang paling sederhana adalah model persediaan barang Economic Order uantity (EO) (Tersine (1994)). Model EO ini menadi dasar untuk pengembangan model-model persediaan barang lain yang lebih kompleks dengan menambahkan aktor-aktor yang cukup relevan dengan permasalahan nyata. Faktor-aktor yang cukup penting untuk dipertimbangkan di dalam model-model persediaan barang antara lain adalah aktor masa batas waktu pakai (kadaluarsa) barang, aktor diskon yang diberikan oleh pihak pemasok, aktor distribusi permintaan barang dan aktor multi item. Bagi perusahaan yang memproduksi atau menual barang yang memiliki batas kadaluarsa (perishable) seperti pada perusahaan makanan atau minuman atau bahan kimia, masa kadaluarsa merupakan aktor penting yang perlu dipertimbangkan dalam perencanaan model persediaan. Barang akan mengalami penurunan nilai seiring dengan mendekatnya waktu kadaluarsa, bahkan tidak memiliki nilai sama sekali ketika barang tersebut telah kadaluarsa. Beberapa penelitian mengenai model persediaan untuk barang-barang dengan masa kadaluarsa telah melihat permasalahan ini dari sudut pandang yang berbeda-beda. Bukhari (011) mengembangkan sebuah model pengendalian sistem produksi untuk satu enis barang dengan lau penurunan nilai barang yang tidak pasti, sedangkan Ferguson et. al. (007) memperluas model EO untuk barang-barang perishable dengan mempertimbangkan biaya penyimpanan sebagai ungsi yang nonlinear dari waktu.

10 Muckstadt & Sapra (010) dan Zhang & Wang (011) telah mengembangkan suatu model persediaan multi item dengan masa kadaluarsa serta mempertimbangkan keterbatasan kapasitas gudang untuk menyimpan barang-barang tersebut, sedangkan Hariga et. al. (007) mengembangkan suatu model untuk menentukan penggantian barang-barang pada etalase, menentukan besarnya luas rak untuk masing-masing barang sehingga memaksimumkan keuntungan bagi perusahaan dengan adanya keterbatasan luas rak. Sementara itu Kasthuri et. al (010) mengembangkan model multi item dengan mempertimbangkan ruang penyimpanan dan biaya produksi dalam lingkungan yang uzzy. Zhang & u (010) mengembangkan suatu sistem multi product newsboy untuk mengatasi permintaan yang tidak pasti. Terkait dengan distribusi dari permintaan barang, Limansyah (011) telah mengembangkan model persediaan deterministik satu barang dengan aktor kadaluarsa dan all unit discount. ebora, et. al. (01) mempertimbangkan incremental discount pada model persediaan deterministik satu barang dengan aktor kadaluarsa. icardo, et.al (015) mengembangkan model persediaan deterministik dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa dan penurunan harga ual. Sementara itu, Limansyah dan Lesmono (01) telah mengembangkan suatu model persediaan probabilistik untuk single item dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa barang dan all unit discount dengan permintaan barang selama lead time mengikuti istribusi Gamma. Model persediaan single item dengan aktor kadaluarsa telah dikembangkan oleh Lesmono dan Limansyah (01) untuk kasus incremental discount dan untuk kasus ungsi diskon yang kontinu dapat dilihat pada Lesmono dan Limansyah (014). Sementara itu, Limansyah dan Lesmono (011) telah mengembangkan model persediaan multi item dengan permintaan bersiat deterministik dan mempertimbangkan aktor kadaluarsa dan aktor all unit discount. Terkait dengan model persediaan multi item, dalam kasus dimana teradi kenaikan harga barang, Koswara dan Lesmono (015a), (015b), telah mengembangkan model periodic review untuk persediaan dengan melakukan analisis sensitivitas terhadap waktu dan besaran kenaikan harga barang. alam penelitian ini akan dikembangkan model 3

11 persediaan probabilistik multi item dengan mempertimbangkan adanya aktor kadaluarsa dan diskon. enelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya. i dalam penelitian ini diasumsikan bahwa permintaan barang mengikuti suatu distribusi permintaan tertentu, dan akan dibuat model persediaan untuk menentukan kebiakan pemesanan yang optimal apakah melalui individual order ataupun oint order. Model dasar yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah model dari Limansyah dan Lesmono (01). 1. umusan Masalah enelitian ini lebih menekankan pada model persediaan probabilistik multi item dengan melibatkan aktor diskon yang diberikan supplier kepada perusahaan / industri dan masa pakai barang (kadaluarsa). Oleh karena itu, maka dalam penelitian ini dapat dirumuskan beberapa pokok bahasan sebagai berikut : 1. Bagaimana model matematika untuk sistem persediaan probabilistik dengan periodic review dengan mempertimbangkan aktor diskon dan penurunan kualitas barang?. Bagaimana menerapkan model yang diperoleh dengan beberapa contoh numerik untuk membandingkan kebiakan yang optimal, apakah kebiakan oint order atau individual order, dengan asumsi tertentu, seperti distribusi permintaan barang? 1.3 Tuuan enelitian Tuuan dari penelitian ini adalah : 1. Menghasilkan model matematika untuk sistem persediaan probabilistik dengan periodic review dengan mempertimbangkan aktor diskon dan penurunan kualitas barang. 4

12 . Menentukan kebiakan yang optimal, apakah kebiakan oint order atau individual order, dengan asumsi tertentu, seperti distribusi permintaan barang. 1.4 Sistematika enulisan enelitian ini terdiri dari empat bab yang ditulis menurut sistematika sebagai berikut : BAB I : ENAHULUAN Bab ini merupakan awal dari keseluruhan penelitian yang memberikan gambaran umum mengenai seluruh isi dari penelitian ini. Bab ini menelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, tuuan penelitian, batasan masalah, dan sistematika penulisan. BAB II : TINJAUAN USTAKA ada bab ini akan dibahas model probabilistik persediaan barang Economic Order uantity (EO) dan model persediaan probabilistik satu enis barang dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa dan aktor diskon. Semua penelasan pada bab ini merupakan teori-teori yang mendukung dalam pemecahan masalah yang akan dibahas pada Bab V. BAB III : METOE ENELITIAN ada bab ini akan dibahas metode penelitian yang digunakan di dalam penelitian ini. Secara umum metode penelitian diawali dengan studi literature, yang kemudian dilanutkan dengan pembuatan model dan penentuan algoritma untuk mencari solusi optimum dari model yang dibuat. BAB IV : JAWAL ELAKSANAAN Bab ini berisikan adwal pelaksanan dari penelitian ini yang dimulai dari bulan Februari 016 sampai dengan penyusunan laporan hasil penelitian di bulan November

13 BAB V : HASIL AN EMBAHASAN Bab ini akan membahas mengenai konstruksi model persediaan probabilistik multi item dengan aktor diskon dan kadaluarsa yang diturunkan dari model persediaan probabilistik satu enis barang. ada bab ini uga akan dibahas mengenai algoritma untuk pencarian umlah pemesanan, titik pemesanan kembali, dan waktu antar pemesanan yang optimal dari model persediaan barang tersebut sehingga diperoleh biaya total persediaan yang minimum. BAB VI : KESIMULAN AN SAAN Berisi kesimpulan yang dapat ditarik berdasarkan pembahasan yang diperoleh pada bab sebelumnya dan saran untuk penelitian lebih lanut. 6

14 BAB II TINJAUAN USTAKA.1 ersediaan Barang ersediaan merupakan sumber daya yang disimpan oleh perusahaan untuk menamin kelangsungan proses produksi. Masalah utama dalam model persediaan barang adalah penentuan kuantitas yang harus dipesan dan waktu pemesanan barang. Masalah pertama menyangkut umlah yang harus dipesan sehingga dapat meminimumkan biaya total persediaan dan masalah kedua menyangkut waktu optimal pemesanan barang agar mengurangi teradinya kekurangan bahan baku yang dapat berakibat hilangnya kepercayaan konsumen kepada perusahaan dan hilangnya pendapatan. Menurut Tersine (1994), secara umum biaya persediaan mencakup biaya pembelian (purchase cost), biaya pemesanan (setup/ordering cost), biaya penyimpanan (holding cost), dan biaya kekurangan (stockout cost), sehingga biaya total persediaan merupakan penumlahan dari biaya-biaya tersebut. Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli barang. Faktor biaya pembelian menadi penting ketika pihak pemasok (supplier) memberikan seumlah diskon untuk pembelian dalam umlah yang banyak. Hal ini dapat dimanaatkan oleh perusahaan untuk menurunkan total biaya persediaan. Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika melakukan suatu pemesanan. Biaya ini dapat mencakup ongkos kirim, biaya ui kualitas bahan baku, atau biaya kontrak pembelian. emesanan dalam umlah yang relati sedikit akan mengakibatkan rekuensi pemesanan (dalam satu periode tertentu, misalnya dalam satu tahun) semakin besar dan akan mengakibatkan biaya pemesanan menadi tinggi. Sebaliknya pemesanan dalam umlah yang besar akan menurunkan rekuensi pemesanan dan mengakibatkan biaya pemesanan menadi rendah. 7

15 Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk keperluan pemeliharaan, sewa tempat, atau asuransi atas barang bahan baku yang ada. Semakin banyak persediaan barang akan mengakibatkan biaya penyimpanan menadi besar. Biaya kekurangan adalah biaya yang timbul akibat kekurangan barang ketika pelanggan membutuhkannya. Kekurangan barang akan mengakibatkan hilangnya potensi pendapatan dan kepercayaan konsumen pada perusahaan.. Model robabilistik ersediaan Barang Economic Order uantity Model probabilistik persediaan barang EO merupakan model persediaan yang menggambarkan kondisi sebenarnya pada dunia nyata. Tingkat permintaan barang yang siatnya deterministik sangat arang teradi pada dunia nyata. alam kehidupan sehari-hari, tingkat permintaan akan suatu barang tentunya akan mengalami variasi dari waktu ke waktu. Model probabilistik persediaan barang dapat teradi dikarenakan tingkat permintaan barang yang berubah-ubah, aktor lead time (pengiriman barang) yang tidak menentu, atau tingkat permintaan barang dan aktor lead time yang berubah-ubah. engan adanya tingkat permintaan barang yang bervariasi dari waktu ke waktu tentunya sangat dimungkinkan untuk teradinya kekurangan barang pada saat masa lead time karena permintaan barang yang tidak diharapkan atau karena waktu pengiriman barang yang lebih lama dari yang diharapkan. engan demikian dalam model persediaan probabilistik yang menadi pusat perhatian adalah analisis perilaku persediaan barang selama lead time. Akibat dari hal tersebut, maka terdapat tiga kemungkinan yang dapat teradi pada model probabilistik persediaan barang, yaitu : 1. Tingkat permintaan barang selama lead time konstan, namun waktu pengiriman barang berubah-ubah.. Waktu pengiriman barang konstan, namun tingkat permintaan barang selama lead time berubah-ubah. 3. Tingkat permintaan barang selama lead time dan waktu pengiriman barang berubahubah. 8

16 Model probabilistik persediaan barang EO yang dibahas pada bagian ini merupakan model probabilistik dengan tingkat permintaan barang selama lead time berubah-ubah, namun waktu pengiriman barang konstan. Asumsi-asumsi model probabilistik persediaan barang EO adalah 1. Tingkat permintaan barang selama lead time mengikuti suatu distribusi kepadatan peluang tertentu dan distribusi kepadatan peluang tersebut bersiat kontinu.. Kapasitas gudang penyimpanan barang tidak terbatas. 3. Lead time diketahui dan konstan. 4. Kekurangan barang teradi ketika permintaan barang lebih besar daripada umlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time. 5. ermintaan yang tidak dipenuhi selama tenggang waktu (lead time) tersebut dipenuhi pada periode berikutnya. 6. Jumlah pemesanan yang dilakukan selalu sama untuk setiap pemesanan diaukan. 7. Biaya pembelian proporsional dengan banyaknya barang yang dibeli. 8. Biaya penyimpanan bergantung pada rata-rata umlah barang yang disimpan. Notasi-notasi yang digunakan dalam model probabilistik persediaan barang EO adalah C H = ata-rata besarnya permintaan barang per tahun. = Biaya pemesanan untuk setiap kali pemesanan diaukan. = Biaya penyimpanan per unit barang per tahun. = Biaya kekurangan per unit barang. = Harga beli barang per unit. = Jumlah pesanan barang yang optimal. = Titik pemesanan kembali (reorder point). TAC = Biaya total persediaan. = Fungsi kepadatan peluang dari permintaan barang pada masa lead time. 9

17 .3 Formulasi Matematika Untuk Model robabilistik ersediaan Barang EO Misalkan rata-rata permintaan akan suatu barang sebesar unit per tahun, biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diaukan adalah C, biaya penyimpanan per unit barang per tahun adalah H, harga beli per unit barang adalah, biaya kekurangan per unit barang adalah, tingkat permintaan barang pada masa lead time mengikuti suatu distribusi peluang yang kontinu yaitu, dan perusahaan perlu mengaukan pemesanan kembali barangnya sebesar unit ketika tingkat persediaan telah mencapai unit. Gambar.1. Model robabilistik ersediaan EO. [Hamdy A. Taha] Selanutnya untuk memudahkan model probabilistik persediaan barang EO, maka satu periode perencanaan dalam Gambar.1 dimisalkan satu tahun. Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku/barang, sehingga besarnya biaya pembelian selama setahun adalah Biaya pembelian = ata-rata umlah barang yang diminta Harga per unit barang (.1) 10

18 Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diaukan, sehingga besarnya biaya pemesanan selama setahun adalah Biaya pemesanan = Biaya sekali pemesanan Frekuensi pemesanan dalam setahun C C (.) Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk pemeliharaan barang selama barang tersebut disimpan, sehingga besarnya biaya penyimpanan selama setahun adalah Biaya penyimpanan = Biaya penyimpanan per unit barang ata-rata banyaknya barang yang disimpan E H E H E (.3) ada [Montgomery] dideinisikan bahwa rata-rata dari ungsi kepadatan peluang yang kontinu adalah dan ungsi kepadatan peluang X E d (*) memiliki siat d 1 (**) Karena X menyatakan variabel acak besarnya permintaan barang selama lead time yang mendeinisikan X 0, maka persamaan (*) dan (**) dapat ditulis menadi : E 0 X d 11

19 0 d 1 Akibatnya pada persamaan (.3), E E dapat diurai menadi : 0 d 0 0 E X d d 0 0 d d Jadi biaya penyimpanan selama setahun adalah Biaya penyimpanan = H E X (.4) Biaya kekurangan adalah biaya yang timbul akibat kehabisan bahan baku/barang. Kekurangan barang pada model probabilistik akan teradi ika tingkat permintaan barang lebih besar daripada umlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time. Besarnya biaya kekurangan selama setahun adalah Biaya kekurangan = Biaya kekurangan per unit barang ata-rata E kekurangan barang Frekuensi kekurangan dalam setahun d (.5) 1

20 engan demikian, maka diperoleh biaya total persediaan untuk model probabilistik persediaan barang EO adalah C TAC, H EX d (.6) Selanutnya untuk mencari nilai dan sehingga diperoleh biaya total persediaan yang TAC minimum, maka haruslah 0 diperoleh C H TAC TAC dan 0. erhatikan ika 0, maka d 0 C H d 0 C H d 0 H C d C H d C H d (.7) TAC erhatikan ika 0, maka diperoleh H d 0 13

21 H H d d 0 d 0 H d 0 d H (.8).4 rosedur (Algoritma) encarian Jumlah emesanan Barang dan eorder oint yang Optimal rosedur untuk memperoleh umlah pemesanan barang dan titik pemesanan kembali yang optimal untuk model probabilistik persediaan barang dengan tuuan meminimunkan biaya total persediaan dilakukan dengan menggunakan algoritma Hadley dan Whitin. 1. Hitung umlah dengan menggunakan model ekonomis Wilson, yaitu C. H. Masukkan nilai yang diperoleh langkah (1) pada mendapatkan nilai. d H untuk 3. Masukkan nilai yang diperoleh pada persamaan C H d untuk mendapatkan nilai. 4. Masukkan nilai yang diperoleh langkah (3) pada persamaan untuk mendapatkan nilai. d H 14

22 5. Ulangi langkah (3) dan (4) hingga diperoleh selisih untuk nilai dan selisih untuk nilai yang sangat kecil (tidak ada perubahan) dengan perhitungan sebelumnya..5 Model ersediaan robabilistik Satu Jenis Barang engan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan All Unit iscount. Asumsi-asumsi dalam model persediaan ini adalah 1. Tingkat permintaan barang selama lead time mengikuti istribusi Gamma.. Kapasitas gudang penyimpanan barang tidak terbatas. 3. Lead time diketahui dan konstan. 4. Kekurangan barang teradi ketika permintaan barang lebih besar daripada umlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time. 5. ermintaan yang tidak dipenuhi selama tenggang waktu (lead time) tersebut dipenuhi pada periode berikutnya. 6. Jumlah barang yang akan kadaluarsa diketahui dan dinyatakan dalam persentase/raksi dari umlah barang yang baik. 7. Seluruh barang yang akan kadaluarsa langsung terual dengan harga yang lebih murah pada waktu tertentu dan pada waktu yang sama perusahaan melakukan pembelian seumlah barang yang terual ke perusahaan lain dengan harga pembelian yang lebih mahal. 8. Tidak ada lead time ketika perusahaan melakukan pembelian barang ke perusahaan lain. 9. Jumlah pemesanan yang dilakukan selalu sama untuk setiap pemesanan diaukan. 10. Biaya penyimpanan bergantung pada rata-rata umlah barang yang disimpan. Notasi-notasi yang digunakan dalam model persediaan barang ini adalah i = ata-rata besarnya permintaan barang dalam satu periode perencanaan. = Harga beli barang per unit. = Jumlah pesanan yang optimum. 15

23 k S h = Jumlah barang yang akan kadaluarsa. = Biaya pemesanan untuk setiap kali pemesanan diaukan. = Fraksi biaya simpan barang per unit per periode perencanaan. = Biaya kekurangan yang harus dikeluarkan perusahaan ketika teradi kekurangan barang. J = Titik pemesanan kembali (reorder point). = Harga ual barang yang akan kadalurasa. A = Harga beli per unit barang dari perusahaan lain. = Fraksi barang baik = Fraksi barang yang akan kadaluarsa. = Fungsi kepadatan peluang dari permintaan barang pada masa lead time. TAC U = Biaya total persediaan. = Batas umlah barang yang dipesan dimana teradi perubahan harga beli. Gambar.. Model robabilistik ersediaan Barang EO engan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa Barang Gambar. menunukkan bahwa perusahaan melakukan pemesanan barang sebanyak unit setiap kali pemesanan diaukan ketika tingkat persediaan telah mencapai unit dan banyaknya barang yang akan kadaluarsa sebanyak k unit teradi pada akhir t i. 16

24 ada waktu t i perusahaan melakukan penualan semua barang yang akan kadaluarsa dengan harga yang lebih murah dan melakukan pembelian barang baru sebanyak umlah barang yang terual pada waktu t i ke perusahaan lain dengan harga yang lebih mahal. Selanutnya untuk memudahkan model persediaan barang ini, maka satu periode perencanaan dalam Gambar. dimisalkan satu tahun. Keempat komponen enis biaya yang mempengaruhi biaya total persediaan sebagaimana yang telah disinggung pada sub bab.1. tetap diperhitungkan dalam model persediaan ini. Namun selain keempat kompenen biaya tersebut, dalam model persediaan ini terdapat komponen biaya lain yaitu biaya kadaluarsa yang uga dapat mempengaruhi biaya total persediaan. 1. Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku/barang. Karena dalam model persediaan ini terdapat aktor diskon yang diberikan supplier, maka besarnya harga per unit barang dapat dideinisikan sebagai berikut : dimana 0 untuk U 0 U1 1 untuk U1 U i untuk U U, 0, 1,, 3, untuk tiap unit barang. 1 Jika dalam setahun terdapat rata-rata permintaan barang sebesar unit, maka besarnya biaya pembelian dalam setahun adalah i.. Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diaukan. Jika besarnya biaya yang dikeluarkan untuk setiap kali pesanan diaukan sebesar S, maka besarnya biaya pemesanan dalam setahun adalah S. 3. Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk keperluan pemeliharaan, sewa tempat, atau biaya asuransi atas barang/bahan baku yang ada. Jika besarnya biaya simpan barang per unit per tahun dinyatakan dalam raksi dari harga beli barang per unit yaitu sebesar i h, maka besarnya biaya penyimpanan dalam setahun adalah 1 17

25 i h E masa lead time. X, dengan X adalah variabel acak untuk permintaan barang pada 4. Biaya kekurangan (biaya pinalti) adalah biaya yang dikeluarkan karena kehabisan barang. Kekurangan barang teradi ketika umlah permintaan barang selama lead time lebih besar daripada umlah barang yang ada pada gudang. Jika besarnya biaya kekurangan yang dikeluarkan perusahaan sebesar untuk setiap teradi kekurangan barang, maka besarnya biaya kekurangan barang dalam setahun adalah d. 5. Biaya kadaluarsa adalah biaya yang dikeluarkan karena barang telah melewati masa pakai. engan perkataan lain, perusahaan akan melakukan penualan seluruh barang yang akan kadaluarsa dengan harga yang lebih murah pada saat t i dan melakukan pembelian barang baru sebanyak umlah barang yang terual pada waktu t i ke perusahaan lain dengan harga yang lebih mahal. Jika harga penualan per unit barang pada saat t i adalah J dan biaya pembelian per unit barang baru sebesar A, maka besarnya biaya kadaluarsa selama setahun adalah k i J A 1 i J A. engan demikian, biaya total persediaan selama 1 tahun yang terbentuk untuk model persediaan barang ini adalah TAC S, h EX d i i J A 1 (.9) Selanutnya untuk mencari biaya total persediaan yang minimum, haruslah dipenuhi TAC TAC TAC kondisi 0 dan 0. Kondisi 0 akan memberikan i 18

26 S h i d (.10) TAC dan dari kondisi 0, diperoleh d h i (.11) rosedur untuk memperoleh umlah pemesanan barang dan titik pemesanan kembali yang optimal untuk model probabilistik persediaan barang dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa barang dan all unit discount dilakukan dengan menggunakan algoritma berikut: Untuk masing-masing tingkatan harga (price break) yang diberikan oleh supplier, maka: S 1. Hitung umlah dengan menggunakan model ekonomis Wilson, yaitu. h. Masukkan nilai yang diperoleh langkah (1) pada mendapatkan nilai. h i d i untuk 3. Masukkan nilai yang diperoleh pada persamaan S h i d untuk mendapatkan nilai. 4. Masukkan nilai yang diperoleh langkah (3) pada persamaan untuk mendapatkan nilai. h i d 5. Ulangi langkah (3) dan (4) hingga diperoleh nilai dan yang tidak berubah lagi. 6. Bandingkan dengan U. Jika berada dalam interval U ( U U 1), maka valid. 7. Jika tidak valid, maka (i) Untuk yang lebih kecil dari interval U, gunakan U. (ii) Untuk yang lebih besar dari interval U, gunakan U 1. 19

27 8. Lakukan penyesuaian nilai pada persamaan diperoleh pada (7). 9. Hitung k, dimana k 1 d h i atas nilai yang 10. Hitung TAC untuk setiap yang valid dan semua U yang mungkin. 11. ilihlah umlah pesanan () yang memberikan nilai TAC paling minimum. 0

28 BAB III METOE ENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah diawali dari studi pustaka yang menadi konsep dasar mengenai model persediaan barang, yang selanutnya berkembang pada makalah-makalah yang relevan dengan penelitian ini baik yang terpublikasi secara nasional maupun internasional. engan adanya studi pustaka pada makalah-makalah yang relevan dengan penelitian ini diharapkan mampu menangkap sampai seauh mana penelitian mengenai model persediaan barang telah berkembang serta melihat kontribusi dari masing-masing peneliti dalam menyelesaikan persoalan mengenai model persediaan barang. Tuuan utama dari penelitian ini adalah menentukan suatu model matematika untuk sistem persediaan multi item periodic review dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa dan diskon yang diberikan pemasok. Metodologi penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini dapat diihat pada Gambar

29 Mulai Studi ustaka : Buku dan Makalah mengenai Model ersediaan Barang baik eterministik maupun robabilistik emilihan Obek enelitian erumusan Masalah dan Tuuan enelitian erancangan Model ersediaan robabilistik Multi Item dengan Faktor iskon dan Kadaluarsa encarian Solusi yang Optimal dari Model ersediaan Barang : Kebiakan Individual Order atau Joint Order Analisis Sensitivitas enentuan Kebiakan Kesimpulan dan Saran Selesai Gambar 3.1. Metodologi enelitian

30 Sistematika dari penelitian ini dibagi menadi beberapa tahap yaitu: Tahap 1: emodelan matematika model persediaan multi item dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa dan diskon. Tahap : Membuat contoh numerik yang dapat menelaskan model yang telah dibangun dan beberapa variasinya. Tahap 3: Analisis dari contoh numerik yang diberikan dengan membandingkan kebiakan pemesanan individual atau gabungan (oint order). Hasil yang diperoleh dari penelitian ini telah didiseminasikan pada suatu pertemuan ilmiah yaitu East Asia Society o Industrial and Applied Mathematics (EASIAM) di Macau, 0- Juni 016, The Asian Mathematical Conerence (AMC) di Bali tanggal 5-9 Juli 016, dan Konerensi Nasional Matematika ke-18 di ekanbaru, -5 November 016. Luaran berupa publikasi ilmiah yang telah dicapai sampai saat ini adalah penerimaan paper untuk dipublikasikan oleh IEEE berupa roceedings o tha AMC016 yang terindeks Scopus. 3

31 BAB IV JAWAL ELAKSANAAN KEGIATAN Studi literatur mengenai model-model persediaan Memodelkan masalah persediaan probabilistik multi item dan variasinya Memberikan contoh kasus perhitungan untuk modelmodel yang telah dikembangkan enyusunan laporan penelitian dan publikasi BULAN elaksanaan dalam penelitian ini dilaksanakan dengan beban kera dari masing-masing peneliti am per minggu. 4

32 BAB V HASIL AN EMBAHASAN ada bab ini selanutnya akan dikembangkan sebuah model probabilistik multi item dengan melibatkan aktor diskon dan kadaluarsa. Kompleksitas masalah akan semakin berkembang ketika perusahaan tersebut memiliki banyak barang (multi item) dengan waktu kadaluarsa yang berbeda-beda. Selain itu dalam suatu kondisi seringkali ditemukan bahwa supplier akan memberikan potongan harga (diskon) untuk pembelian barang/bahan baku dalam umlah yang banyak. Hal ini tentunya akan mempengaruhi besarnya biaya pembelian yang secara langsung uga berdampak pada biaya total persediaan. Biaya pembelian sudah tidak lagi menadi proporsional dengan banyaknya umlah barang yang dibeli. enelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian-penelitian yang telah dilakukan sebelumnya. i dalam penelitian ini diasumsikan bahwa permintaan barang selama lead time mengikuti suatu distribusi permintaan tertentu, diskon yang diberikan oleh supplier adalah all unit discount, dan akan dibuat model persediaan untuk menentukan kebiakan pemesanan yang optimal apakah melalui individual order ataupun oint order. Model dasar yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah model dari Limansyah dan Lesmono (01). 5.1 Formulasi Model ersediaan robabilistik Multi Item engan Faktor iskon dan Kadaluarsa Konsep dasar dari model persediaan barang ini berasal dari model probabilistik persediaan barang EO sebagaimana yang telah dielaskan pada bab sebelumnya. Banyaknya umlah barang yang dipesan dan kapan pemesanan harus dilakukan oleh 5

33 perusahaan sangat menentukan besarnya biaya total persediaan. erusahaan harus mampu menentukan berapa umlah barang yang harus dipesan dan kapan barang tersebut harus dipesan sehingga meminimunkan biaya total persediaan. Asumsi-asumsi dalam model persediaan barang ini adalah 1. Tingkat permintaan barang selama lead time mengikuti suatu distribusi tertentu.. Kapasitas gudang penyimpanan barang tidak terbatas. 3. Lead time diketahui dan konstan. 4. Kekurangan barang teradi ketika permintaan barang lebih besar daripada umlah barang yang ada di gudang pada waktu lead time. 5. ermintaan yang tidak dipenuhi selama tenggang waktu (lead time) tersebut dipenuhi pada periode berikutnya. 6. Jumlah pemesanan yang dilakukan selalu sama untuk setiap pemesanan diaukan. 7. Biaya penyimpanan bergantung pada rata-rata umlah barang yang disimpan. 8. Barang yang dipesan berasal dari satu supplier yang sama. 9. Fraksi barang kadaluarsa diketahui. Notasi-notasi yang digunakan dalam model persediaan barang ini adalah = ata-rata besarnya permintaan barang ke- dalam satu periode perencanaan. i S = Harga beli barang per unit. = Jumlah pesanan yang optimum untuk barang ke-. = Biaya pemesanan barang ke- untuk setiap kali pemesanan diaukan. S* = Biaya pemesanan barang secara bersamaan. h = Fraksi biaya simpan barang ke-. = Biaya kekurangan yang harus dikeluarkan perusahaan ketika teradi kekurangan barang ke-. = Titik pemesanan kembali (reorder point) untuk barang ke-. 6

34 k J = Jumlah barang ke- yang akan kadaluarsa. = Fraksi barang baik untuk barang ke-. = Harga ual barang ke- yang akan kadaluarsa. TAC = Biaya total persediaan untuk barang ke-. Keempat komponen enis biaya yang mempengaruhi biaya total persediaan sebagaimana yang telah disinggung pada bab sebelumnya tetap diperhitungkan dalam model persediaan ini. alam bab dikemukakan bahwa biaya total persediaan merupakan penumlahan dari biaya pembelian, biaya pemesanan, biaya penyimpanan, dan biaya kekurangan. Namun disamping keempat kompenen biaya tersebut, dalam model persediaan ini terdapat komponen biaya lain yaitu biaya kadaluarsa yang uga dapat mempengaruhi biaya total persediaan. Selain itu, perbedaan lain yang tampak pada model persediaan barang ini terletak pada biaya pembelian yang disebabkan karena adanya aktor diskon yang diberikan oleh supplier dan biaya pemesanan untuk kebiakan oint order. engan demikian, biaya total persediaan untuk kebiakan individual order dapat dinyatakan sebagai berikut : Biaya Total ersediaan = (Biaya embelian + Biaya emesanan + Biaya enyimpanan + Biaya Kekurangan + Biaya Kadaluarsa) (5.1) Sedangkan biaya total persediaan yang dikeluarkan ika perusahaan melakukan kebiakan oint order adalah : Biaya Total ersediaan = Biaya embelian + Biaya emesanan dengan oint order + Biaya enyimpana n + Biaya Kekurangan + Biaya Kadaluarsa (5.) 7

35 engertian dan besarnya kelima komponen enis biaya yang mempengaruhi biaya total persediaan dalam model persediaan ini lebih lanut dielaskan di bawah ini. 1. Biaya pembelian adalah biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku/barang. Karena dalam model persediaan ini terdapat aktor diskon yang diberikan supplier, maka besarnya harga per unit barang dapat dideinisikan sebagai berikut : 0 untuk U 0 U1 1 untuk U1 U i untuk U U dimana k, k 0, 1,, 3,, 1 untuk tiap unit barang. k 1 1 Jika dalam setahun terdapat rata-rata permintaan barang ke- sebesar unit, maka besarnya biaya pembelian barang ke- dalam setahun adalah Biaya pembelian = Harga per unit barang Jumlah permintaan (5.3) i. Biaya pemesanan adalah biaya yang dikeluarkan ketika sebuah pesanan diaukan. Jika besarnya biaya yang dikeluarkan untuk setiap kali pesanan diaukan untuk barang ke- sebesar S, maka besarnya biaya pemesanan dalam setahun adalah Biaya pemesanan = Biaya sekali pemesanan Frekuensi pemesanan dalam setahun S S (5.4) Namun, ika perusahaan melakukan pemesanan barang secara bersamaan (oint order), maka besarnya biaya pemesanan yang dikeluarkan adalah Biaya pemesanan bersama = Biaya pemesanan bersama Frekuensi pemesanan dalam setahun 8

36 S * (5.5) T 3. Biaya penyimpanan adalah biaya yang dikeluarkan untuk keperluan pemeliharaan, sewa tempat, atau biaya asuransi atas barang/bahan baku yang ada. Jika besarnya biaya simpan barang per unit per tahun untuk barang ke- dinyatakan dalam raksi dari harga beli barang per unit yaitu sebesar setahun adalah h i Biaya penyimpanan = Biaya simpan per unit barang h i E, maka besarnya biaya penyimpanan dalam ata-rata barang yang disimpan E h i E h i E X (5.6) 4. Biaya kekurangan (biaya pinalti) adalah biaya yang dikeluarkan karena kehabisan barang. Kekurangan barang teradi ketika umlah permintaan barang selama lead time lebih besar daripada umlah barang yang ada pada gudang. Jika besarnya biaya kekurangan untuk barang ke- yang dikeluarkan perusahaan sebesar untuk setiap teradi kekurangan barang, maka besarnya biaya kekurangan barang dalam setahun adalah Biaya kekurangan = Biaya kekurangan ata-rata kekurangan barang E Frekuensi kekurangan dalam setahun d (5.7) 9

37 5. Biaya kadaluarsa adalah biaya yang dikeluarkan karena barang akan melewati masa pakai. alam hal ini, biaya kadaluarsa merupakan selisih antara harga beli barang dengan harga ual barang yang akan kadaluarsa J barang ke- pada saat akan kadaluarsa adalah selama setahun adalah i. Jika harga penualan perunit J, maka besarnya biaya kadaluarsa Biaya kadaluarsa = Banyak barang kadaluarsa Selisih perbedaan harga beli dan harga ual barang kadaluarsa Banyak siklus dalam setahun k i J (5.8) engan menumlahkan persamaan (5.3), (5.4), (5.6) (5.7), dan (5.8), maka biaya total persediaan untuk sebuah barang dengan kebiakan individual order adalah TAC, h EX d i S i k i J Selanutnya untuk mencari nilai dan sehingga diperoleh biaya total persediaan yang TAC minimum, maka haruslah 0 TAC TAC dan 0. erhatikan ika 0, maka diperoleh S h J i k i d 0 S h i d k i J 0 30

38 31 0 i k i J d h S i i k h J d S i i k h J d S (5.9) erhatikan ika 0 TAC, maka diperoleh 0 i d h 0 i d d h 0 i d h 0 i d h i h d (5.10) engan demikian, biaya total persediaan untuk n buah barang adalah : n i i d X E h S TAC 1, i k J

39 3 erhatikan bahwa T, sehingga biaya total persediaan yang dikeluarkan oleh perusahaan ketika melakukan pemesanan dengan kebiakan oint order adalah : n n i n i d X E h T S TAC T * n i k J 1 n i i d T X E T h T S 1 * T J i k Selanutnya untuk mencari nilai T sehingga diperoleh biaya total persediaan yang minimum, maka haruslah 0 dt dtac, maka diperoleh 0 * 1 n i k i T J d T h T S 0 * 1 n i k i T J d T h T S n i n i k h J d S T 1 1 * 1 n i n i k h J d S T 1 1 *

40 T n S * 1 d k i J n 1 h i 5. rosedur encarian Jumlah emesanan Barang dan eorder oint yang Optimal Untuk mencari umlah pemesanan barang dan titik pemesanan kembali yang optimal sehingga meminimumkan biaya total persediaan dalam model persediaan barang ini diperlukan suatu algoritma. Hal ini dikarenakan pada persamaan (5.9) dan persamaan (5.10) terdapat variabel dan yang tidak dapat saling disubstitusikan atau saling bergantung satu sama lain pada kedua persamaan tersebut. rosedur untuk memperoleh umlah pemesanan barang, titik pemesanan kembali, dan waktu antar pemesanan yang optimal untuk model probabilistik persediaan n barang dengan melibatkan aktor all unit discount dan kadaluarsa dilakukan dengan langkah berikut : Untuk masing-masing tingkatan harga (price break) yang diberikan oleh supplier dan masing-masing barang, maka : 1. Hitung umlah dengan menggunakan model ekonomis Wilson, yaitu S. h. Hitung i 1. k 3. Masukkan nilai yang diperoleh untuk mencari nilai dengan menggunakan d ih. 33

41 4. Hitung nilai dengan menggunakan S d J i h k i dengan nilai dan k yang diperoleh pada langkah (3) dan langkah (). 5. Ulangi langkah (), (3), dan (4) hingga diperoleh selisih untuk nilai dan selisih untuk nilai yang sangat kecil dengan perhitungan sebelumnya. 6. Bandingkan dengan U. Jika berada dalam interval U ( U U 1), maka valid. 7. Jika tidak valid, maka (i) Untuk yang lebih kecil dari interval U, gunakan U. (ii) Untuk yang lebih besar dari interval U, gunakan U Lakukan penyesuaian nilai pada persamaan diperoleh pada (7). 9. Lakukan penyesuaian nilai k d ih atas nilai yang 1 atas nilai yang diperoleh pada (7). 10. Hitung TAC untuk setiap yang valid dan semua U yang mungkin. 11. ilih nilai TAC yang paling minimum. 1. Biaya total persediaan untuk kebiakan individual order adalah dengan menumlahkan TAC masing-masing barang yang paling minimum pada langkah (11). 13. Untuk masing-masing tingkatan harga, gunakan nilai dan k yang telah optimal (pada kebiakan individual order) untuk mencari nilai T dengan menggunakan T n S * 1 d k i J n 1 h i 14. ilihlah TAC yang paling minimum sebagai biaya total persediaan untuk kebiakan oint order. 34

42 15. Hitung T. 16. Bandingkan TAC untuk kebiakan individual order (langkah (1)) dan kebiakan oint order (langkah (14)). ilihlah TAC yang paling minimum dari kedua kebiakan tersebut. Sebagai contoh gambaran dari model persediaan ini, untuk kondisi semua barang dalam keadaan baik ( 1) dalam dilihat pada makalah yang telah disaikan dalam EASIAM (Lampiran A). Sementara untuk model persediaan probabilistik multi item dengan permintaan selama lead time berdistribusi Gamma dapat dilihat pada makalah yang telah disaikan dalam AMC (Lampiran B). 35

43 BAB VI KESIMULAN AN SAAN ada penelitian ini telah dikembangkan suatu model persediaan probabilistik multi item dengan aktor diskon dan kadaluarsa dimana diskon yang dikai bersiat all unit discount. ari hasil penelitian ini diperoleh bahwa kebiakan oint order tidak selalu memberikan total biaya persediaan yang lebih murah daripada kebiakan individual order. Biaya pemesanan secara bersamaan (S*) merupakan variabel yang sangat mempengaruhi besar biaya total persediaan secara kebiakan oint order. Arah pengembangan lebih lanut untuk model persediaan ini dapat dilakukan dengan mempertimbangkan aktor kadaluarsa barang yang bersiat probabilistik. 36

44 AFTA USTAKA [1]. Bukhari, F. (011), Adaptive Control o a roduction-inventory Model with Uncertain eterioration ate, Applied Mathematics,, []. ebora, M., Limansyah, T., dan Lesmono,. (01), Model ersediaan eterministik dengan Mempertimbangkan Waktu Kadaluarsa dan Faktor Incremental iscount, rosiding Seminar Nasional Matematika Unpar, 7, MS [3]. Ferguson, M., dan Jayaraman, V., dan Souza, G. C. (007), Note: An Application o the EO Model with Nonlinear Holding Cost to Inventory Management o erishables, European Journal o Operational esearch, 180(1), [4]. Hariga, M. A., dan Al-Ahmari, A., dan Mohamed, Abdel-ahman A. (007), A Joint Optimisation Model or Inventory eplenishment roduct Assortment, Shel Space, and isplay Area Allocation ecisions, European Journal o Operational esearch, 181, [5]. Kasthuri,., Vasanthi,., anganayaki, S. and Seshaiah, C. V. (011), Multi-Item Fuzzy Inventory Model Involving Three Constrains : A Karush-Kuhn-Tucker Conditions Approach, American Journal o Operations esearch, 1, [6]. Koswara, H. dan Lesmono,. (015a). Analisis Sensitivitas Model (,T) Multi Item dengan Adanya Kenaikan Harga. rosiding Seminar Nasional Sains dan Teknologi, Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jakarta. [7]. Koswara, H. dan Lesmono,. (015b). Analisis Sensitivitas Kenaikan Harga Model (,T) Multi Item. rosiding Seminar Nasional emodelan dan erancangan Sistem, Magister Teknik Industri Universitas Katolik arahyangan. [8]. Lesmono,. dan Limansyah, T. (01), engembangan Model ersediaan robabilistik dengan Faktor Kadaluarsa dan Incremental iscount, aper dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Terapan 01, Medan, 8-9 November

45 [9]. Lesmono,. dan Limansyah, T. (014), Model ersediaan robabilistik dengan Faktor Kadaluarsa dan Fungsi iskon Kontinu, aper dipresentasikan pada Konerensi Nasional Matematika XVII, ITS, Surabaya Juni 014. [10]. Limansyah, T. (011), Analisis Model ersediaan Barang EO engan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan Faktor All Unit iscount, Lembaga enelitian dan engabdian kepada Masyarakat, Universitas Katolik arahyangan. [11]. Limansyah, T. dan Lesmono,. (011). Model ersediaan Multi Item dengan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan Faktor All Unit iscount, Jurnal Teknik Industri, 13(), [1]. Limansyah, T., dan Lesmono,. (01), Model ersediaan robabilistik Satu Jenis Barang dengan Melibatkan Faktor All Unit iscount, aper dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Terapan 01, Medan, 8-9 November 01. [13]. Muckstadt, J. A., and Sapra, A. (010), rinciples o Inventory Management, Springer, New York. [14]. icardo, C., Limansyah, T. dan Lesmono,. (015). Model ersediaan eterministik dengan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa dan enurunan Harga Jual. rosiding Seminar Nasional Sains dan Teknologi, Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jakarta. [15]. Taha, Hamdy A., 007, Operations esearch : An Introduction, 8 th ed., earson rentice Hall, New Jersey. [16]. Tersine, ichard J. (1994), rinciples o Inventory and Material Management. 4 th ed. rentice Hall, New Jersey. [17]. Zhang, B., and u, S. (010), Multi-roduct Newsboy roblem with Limited Capacity and Outsourcing, European Journal o Operational esearch, 0, [18]. Zhang, B., and Wang, X. (011), Optimal olicy and Simple Algorithm or a eteriorated Multi-Item EO roblem, American Journal o Operations esearch, 1,