ANALISIS KESTABILAN MELALUI DINAMIKA NOL SISTEM OUTPUT TEGANGAN DAN ARUS SEARAH KONVERTER BUCK-BOOST

Transkripsi

1 Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 5, No. 03 (tahun), hal ANAISIS KESTABIAN MEAUI DINAMIKA NO SISTEM OUTPUT TEGANGAN DAN AUS SEAAH KONVETE BUK-BOOST Selviana, Helmi, Fransiskus Fran INTISAI Komponen utama dari sistem catu daya adalah konverter D-D yang berfungsi mengkonversikan daya elektrik bentuk D (arus searah) ke D lainnya. Dikatakan arus searah karena arus listrik mengalir terus menerus dari kutub positif ke kutub negatif. Sumber arus searah lainnya adalah akumulator atau aki. Konverter Buck-Boost (penurun-penaik tegangan) merupakan sistem pengubahan daya D atau konverter D-D. Masalah utama dari konverter Buck-Boost adalah menghasilkan riak arus yang tinggi baik di sisi masukan maupun di sisi keluaran. Secara geometri masalah tersebut dapat digambarkan ke dalam grafik solusi suatu sistem dinamik dari persamaan diferensialnya. Penelitian ini menganalisis model dari rangkaian konverter Buck-Boost dan menganalisis kestabilan dari dinamika internal pada sistem output tegangan dan arus searah. Dengan menggunakan tehnik pemodelan rata-rata ruang keadaan, dibangun sistem affine nonlinear dari konverter Buck-Boost. Selanjutnya melalui dinamika nol dianalisis kestabilan dinamika internal dengan output yang diwakili oleh rata-rata tegangan kapasitor dan rata-rata arus induktor. Hasilnya yaitu sistem dengan output yang diwakili oleh rata-rata tegangan kapasitor merupakan sistem yang dinamika nolnya tidak stabil dan berfase nonminimum dan sistem yang diwakili oleh rata-rata arus induktor merupakan sistem yang dinamika nolnya stabil dan berfase nonminimum. Kata Kunci: Konverter Buck-Boost, Nonlinear, Dinamika Nol, Stabilisasi PENDAHUUAN Kestabilan dari suatu sistem merupakan hal yang sangat penting untuk diketahui sehingga harus diperiksa secara teliti karena menyangkut masalah keselamatan terutama dalam bidang teknik. Ketika suatu sistem tidak stabil maka dapat menyebabkan situasi yang buruk. ontohnya adalah kecepatan mobil yang meningkat tanpa batas dan tidak terkendali dapat menyebabkan kecelakaan. ontoh lainnya adalah reaktor nuklir yang tidak stabil menyebabkan bencana yang besar, seperti bocornya reaktor nuklir yang dapat menyebabkan kanker. Penelitian ini melihat kestabilan sistem melalui dinamika nol. Konsep dari dinamika nol adalah dasar dari teori kontrol yang dapat digunakan sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut, seperti pengontrolan pada sistem tersebut dan penelitian lebih lanjut pada bagian yang tidak stabil. ara lain dalam melihat kestabilan yaitu dengan metode yapunov. Akan tetapi metode yapunov ini memiliki kekurangan yaitu sulitnya mencari suatu fungsi yapunov dari suatu sistem nonlinear yang memenuhi syarat-syarat dalam menentukan kestabilan tersebut []. Sistem catu daya nonlinear yang bekerja pada mode pensaklaran (switching) mempunyai efisiensi yang lebih tinggi dibanding sistem catu daya linear. Oleh karenanya, hampir semua catu daya modern bekerja dalam mode pensaklaran atau dikenal sebagai SMPS (Switched Mode Power Supply). Komponen utama dari sistem catu daya adalah konverter D-D yang berfungsi mengkonversikan daya elektrik bentuk D ke D lainnya. Konverter D-D adalah sistem switching tipe nonlinear []. Secara umum ada tiga rangkaian dasar konverter D-D yaitu Buck (penurun tegangan), Boost (penaik tegangan), dan Buck-Boost (penurun dan penaik tegangan). Masalah utama dari konverter Buck-Boost adalah menghasilkan riak arus yang tinggi disisi arus masuk dan arus keluar. Oleh karena itu perlu diteliti kestabilan dari konverter Buck-Boost melalui dinamika nol agar stabil dan dapat dikontrol. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model matematika dari rangkaian konverter Buck-Boost dan menganalisis kestabilan melalui dinamika nol pada sistem output tegangan dan arus searah dengan 3

2 3 SEVIANA, HEMI, F.FAN input tunggal dan output tunggal. angkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu diawali dengan mendefinisikan variabel. Selanjutnya yaitu menentukan derajat relatif. Setelah diperoleh derajat relatif, dilihat apakah derajat relatif tersebut sama dengan dimensi sistem. Jika tidak, maka harus menemukan a = n r fungsi agar n = a + r. Kemudian, melakukan perubahan koordinat dalam bentuk normal. Setelah itu, dibentuk matriks transformasi Jaccobi. Ketika entri dari matriks transformasi Jaccobi tidak bernilai konstan dengan koordinat η berdimensi a, maka turunkan η(x) agar dinamika internal sistem dapat ditentukan. Kemudian ditentukan dinamika nol sistem. Terakhir yaitu menganalisis kestabilan sistem. SISTEM SINGE-INPUT SINGE OUTPUT (SISO) AFFINE NONINEA Sistem nonlinear mempunyai bentuk persamaan keadaan sebagai berikut. x = f x,, x n + g x,, x n u + + g m x,, x n u m x = f x,, x n + g x,, x n u + + g m x,, x n u m x n = f n x,, x n + g n x,, x n u + + g mn x,, x n u m dan persamaan output y = x,, x n () y n = m x,, x n Persamaan dan dapat ditulis dalam bentuk berikut ini [3]: X t = f X t + g i X t. u i t i= Y t = h X t dengan X n adalah vektor keadaan, u i i =,, m adalah variabel input, sedangkan Y(t) adalah output, untuk Y(t) m, f(x) n, g i X n. f X dan g(x) adalah vektor fungsi. Sistem kontrol nonlinear pada Persamaan,, dan 3 mempunyai bagian vektor keadaan X(t) yang nonlinear, tetapi linear untuk variabel input u i i =,, m yang disebut sistem affine nonlinear. Diberikan sistem nonlinear dengan SISO [4]. x = f x + g x u (4) y = h x Jika fungsi y = h(x) diturunkan terhadap x, maka diperoleh y = x = f x + g x u = f x + g x u y = f h x + g h x u (5) dengan g h x 0 xε n dan f h x disebut sebagai turunan ie dari terhadap f atau turunan sepanjang f. Jika g h x = 0 pada Persamaan 5 maka turunannya terhadap x diperoleh dengan g f h x 0 xε n. m y = f h x + g f h x u (6) Sistem Persamaan 4 dikatakan mempunyai derajat relatif r di n jika [5]:. g f k h x = 0 k < r dan. g f r h x 0 xε n. (3)

3 Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol DINAMIKA NO Sistem dinamik dikelompokkan berdasarkan tingkah lakunya dibagi menjadi dinamika eksternal dan dinamika internal. Berdasarkan Persamaan 4 yang mempunyai derajat relatif r, ketika output sistem (y) diturunkan terhadap waktu untuk semua orde adalah nol diperoleh sebagai berikut: y t = 0, y t = 0,, y r t = 0, t 0. (7) Dalam bentuk koordinat normal, Persamaan 7 dapat ditulis sebagai berikut: () t yt ( ) 0 () t yt ( ) 0 t 0. ( ) () r r t y ( t) 0 Dinamika internal dari sistem Persamaan 7 dinyatakan oleh persamaan: η = q(ξ, η) agar output sistem selalu nol, maka ξ t = 0 t 0. Oleh karena itu, dinamika nol dari sistem Persamaan 7 berupa [4]: η = q(0, η). Jika η = q(0, η) stabil asimtotik, maka sistem Persamaan 7 dikatakan dalam fase minimum. Jika η = q(0, η) bukan stabil asimtotik, maka sistem Persamaan 7 dikatakan dalam fase nonminimum. ANAISIS KESTABIAN DAI KONVETE BUK-BOOST Konverter Buck-Boost merupakan gabungan dari konverter Buck dan konverter Boost. Dalam rangkaian konverter Buck-Boost, jika saklar ditutup maka arus induktor akan naik, jika saklar dibuka maka arus induktor akan turun dan mengalir menuju beban. Oleh karena itu, nilai rata-rata tegangan beban sebanding dengan rasio antara waktu pembukaan dan penutupan saklar. Akibatnya, nilai ratarata tegangan beban bisa lebih tinggi maupun lebih rendah dari tegangan sumbernya. angkaian dari konverter Buck-Boost ditunjukkan dalam Gambar berikut. E S u c i o Sumber: Shuai, 0 Gambar angkaian utama dari konverter Buck-Boost Model dari rangkaian konverter Buck-Boost dengan menggunakan teknik rata-rata ruang keadaan diberikan pada Persamaan 8 dan 9. di dt = u u c + ue 8 d u c dt = u i u c dengan adalah induktor, i adalah arus induktor, u adalah duty cycle dari saklar S, u adalah output (9)

4 34 SEVIANA, HEMI, F.FAN kapasitor, E adalah katub konstan sumber tegangan eksternal, adalah kapasitor, dan adalah resistor.,, 0 yang artinya rangkaian tersebut mempunyai nilai induktansi, kapasitansi dan resistansi. Berdasarkan Persamaan 8 dan 9 didefinisikan i = x dan u = x, sehingga diperoleh: x = u x + ue dan x = x x u + Eu (0) x = u x x x = x + x u. () dengan x = di, x dt = d uc. dt Berdasarkan Persamaan 8 dan 9 diperoleh nilai f(x) dan g(x) untuk Persamaan 4 sebagai berikut: f x = x x x dan (E x ) g x =. x ANAISIS KESTABIAN SISTEM OUTPUT TEGANGAN SEAAH Output tegangan yang dihasilkan harus selalu konstan agar peralatan listrik yang disuplai oleh generator tidak cepat rusak. Berdasarkan Persamaan 4, output kapasitor tegangan searah yaitu output yang diwakili oleh tegangan kapasitor sebagai berikut: h x = x U ref () dan ketika konverter Buck-Boost dioperasikan dalam M (ontinuous onduktor Mode), x 0, yang artinya arus tidak pernah jatuh ke nol selama pertukaran arus listrik. angkah-langkah dalam menganalisis kestabilan sistem melalui dinamika nol sebagai berikut. angkah pertama yang dilakukan adalah menurunkan y terhadap x sampai didapatkan derajat relatif r. f h x = h x f x = 0 g h x = h(x) g x = 0 x x x E x x = x x = x 0 Derajat relatif dari sistem Persamaan 3, adalah r = n =. Selanjutnya lakukan perubahan koordinat agar sistem Persamaan 3 berubah menjadi bentuk normal, yaitu: ξ = f h x = x x karena n = dan r = maka perlu koordinat η berdimensi n r = yang memenuhi g η x = η(x) g x = 0 dengan dinamika internal sistem Persamaan 4 adalah η = q(ξ, η), dan h x = y = ξ = x U ref. Akibatnya, η η E x x = 0 (3)

5 Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol dengan demikian diperoleh persamaan berikut: E x + x = 0. (4) Salah satu solusi dari Persamaan 4 yaitu η x = x + E x (5) diperoleh x = ± η x E x untuk x = ξ + U ref. Persamaan 4, 8, 9, dan 0 dapat ditulis kembali sebagai berikut: = x x E x x = x x + E + x x = x x x u + Eu + x E x + x u x = x x ux x + uex x x + x x u x = uex x + Ex = Ex + x E x Berdasarkan Persamaan 5, diperoleh nilai berikut ini: + Ex Ex u + Ex untuk x = η x E x dan x = η x E x. Untuk x = η x E x diperoleh dinamika internal sistem sebagai berikut. = E η x E (ξ + U ref ) + (ξ + U ref ) E ξ + U ref Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 4 dengan ξ = 0 dan mengakibatkan x = U ref, diperoleh hasil sebagai berikut:. = E η x E U ref Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut, = 3 μf; U ref = 0 V; E = ; = 75 μh; = U ref E U ref Untuk Persamaan 6 diperoleh grafik solusi pada Gambar berikut. (6) η(x) x Gambar Grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah η x E x x =

6 36 SEVIANA, HEMI, F.FAN. Untuk x = η x E x diperoleh dinamika internal sistem sebagai berikut. = E η x E ξ + U ref + (ξ + U ref ) E ξ + U ref. Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 5 dengan ξ = 0 dan mengakibatkan x = U ref, diperoleh hasil sebagai berikut: = E η x E U ref + U ref E U ref. (7) Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut, = 3 μf; U ref = 0 V; E = ; = 75 μh; = 38. Untuk Persamaan 7 diperoleh grafik solusi pada Gambar 3 berikut. η(x) x Gambar 3 Grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah x = η x E x Dari Gambar dapat dilihat bahwa grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah tidak stabil dan pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa grafik solusi dari dinamika nol terhadap tegangan searah stabil. Akibatnya, sistem nonlinear Persamaan 4 adalah sebuah sistem fase nonminimum. Jadi, konverter Buck-Boost dapat dikontrol melalui regulasi tegangan kapasitor dengan cara meminimumkan fase nonminimum tersebut. ANAISIS KESTABIAN MEAUI SISTEM OUTPUT AUS SEAAH Ketika konverter Buck-Boost mendapat tegangan, maka arus listrik mengalir. Berdasarkan Persamaan 4, output dari konverter Buck-Boost yang diwakili oleh arus induktor sebagai berikut: h x = x I d (8) dengan I d = ( U ref E )U ref angkah-langkah dalam menganalisis kestabilan sistem melalui dinamika nol sebagai berikut. angkah pertama yang dilakukan adalah turunkan y terhadap x sampai didapatkan derajat relatif.

7 Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol f h x = g h x = x f x = 0 x g x = 0 E x x x x x = E x = x Derajat relatif dari sistem Persamaan 9 dengan output diwakili oleh arus induktor adalah r = n =. Selanjutnya lakukan perubahan koordinat agar sistem Persamaan 9 berubah menjadi bentuk normal, yaitu: ξ = f h x = x karena n = dan r = maka perlu koordinat η berdimensi n r = sehingga memenuhi g η x = η g x = 0. Akibatnya, η η dengan demikian diperoleh persamaan berikut: E x E x x = 0 0 (9) + x = 0 0 sehingga diperoleh salah satu solusinya, yaitu: η x = x + E x () dan diperoleh x = E ± η x x untuk x = ξ + I d. Dari Persamaan 9, 0, dapat ditulis kembali sebagai berikut: = x x + E x x = x x x u + Eu = Ex + x E x Berdasarkan Persamaan 0, diperoleh nilai berikut ini + E x x + x u x untuk x = E + η x x dan x = E η x x. Untuk x = E + η x x diperoleh dinamika internal sistem sebagai berikut. = Ex + x E x E E + η x x = Ex + E + η x x = Ex + E + E η x x η x x 4E η x x E

8 38 SEVIANA, HEMI, F.FAN E η x x η x = E ξ + I d + x Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 4 dengan ξ = 0 dan mengakibatkan x = I d, diperoleh hasil sebagai berikut: = EI d η(x) + I E d Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut, = 3 μf; U ref = 0 V; E = ; = 75 μh; = 38; dan η(x) I d I d = U ref E U ref. Untuk Persamaan diperoleh grafik solusi pada Gambar 4 berikut.. () η(x). Untuk x = η x x + E diperoleh dinamika internal sistem sebagai berikut. = Ex + x Gambar 4 Grafik solusi dari dinamika nol terhadap arus searah E η x x + E E η x x = Ex + E x = E + η x x η x x + E η x x E η x x = Ex + E η x x E η x x = Ex + η x x E η x x + E E + 4E η x x E η x x = Ex η x + + I d Selanjutnya mencari dinamika nol dari sistem Persamaan 4 dengan ξ = 0 dan mengakibatkan x = I d, diperoleh hasil sebagai berikut:

9 Analisis Kestabilan Melalui Dinamika Nol = EI d η + I E d + Diperoleh output solusi dengan nilai sebagai berikut: η x I d = 3 μf; U ref = 0 V; E = ; = 75 μh; = 38; dan I d = U ref E U ref. Untuk Persamaan 3 diperoleh grafik solusi pada Gambar 5 berikut.. 3 η(x) Dari Gambar 4 dan 5 dapat dilihat bahwa grafik solusi dari dinamika nol terhadap arus searah stabil, akibatnya sistem nonlinear Persamaan 4 adalah sebuah sistem fase nonminimum. Jadi, konverter Buck- Boost dapat dikontrol melalui regulasi arus induktor dengan cara meminimumkan fase nonminimum tersebut. PENUTUP Berdasarkan pembahasan tersebut dapat ditarik kesimpulan, yaitu:. Menggunakan teknik rata-rata ruang keadaan, model dari rangkaian konverter Buck-Boost sebagai berikut: d i dt = u u c + ue d u c dt = u i u c. Sistem dengan output yang diwakili oleh rata-rata tegangan kapasitor merupakan sistem yang tidak stabil dan berfase nonminimum, dan sistem dengan output yang diwakili oleh rata-rata arus induktor merupakan sistem yang stabil dan berfase nonminimum. DAFTA PUSTAKA x Gambar 5 Grafik solusi dari dinamika nol terhadap arus searah x = E η x x []. Ginting, Iwan, 00, Teori Kestabilan yapunov, Institut Teknologi Bandung, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bandung, (Thesis). []. Shuai, Dingxing, 0, Input-Output inearization and Stabilization Analysis of Internal Dynamic of Buck-Boost onverters, Proceding of the 3 st hinese ontrol onference, 5-7 Juli, 0, Hefei, hina. [3]. u, et all, 993, Nonlinear ontrol System and Power System Dynamics, Springer Science+Business Media Dordrecht, Beijing.

10 330 SEVIANA, HEMI, F.FAN [4]. Khalil, K. Hassan, 00, Nonlinear System Third Edition, Prentice-Hall, Ic. [5]. Isidori, A.,985, Nonlinear ontrol System, Ed ke-, Springer, Verlag ondon. SEVIANA HEMI FANSISKUS FAN : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, selvianamtk98@gmail.com : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, helmi305@yahoo.co.id : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, frandly88@gmail.com