APLIKASI PROGARAM METODE ELEMEN HINGGA PADA RANGKA RUANG (SPACE TRUSS) DENGAN PROGRAM MATLAB TUGAS AKHIR

Transkripsi

1 APLIKASI PROGARAM METODE ELEMEN HINGGA PADA RANGKA RUANG (SPACE TRUSS) DENGAN PROGRAM MATLAB TUGAS AKHIR Diajukan untuk melengkapi tugastugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil Disusun oleh: ADE SATRIA BIDANG STUDI STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, USU Repository 2009

2 ABSTRAK Pada perencanaan bangunan sipil saat ini banyak dipakai konstruksi rangka ruang, seperti gedung pameran, hall dan lainlain. Untuk itu penulis berkeinginan untuk menganalisa struktur rangka tersebut. Ada beberapa metode untuk menghitung dan menganalisa struktur rangka, antara lain metode analitis dan metode numerik. Dalam tulisan ini, penulis akan manganalisa secara numeric. Adapun metode yang akan di pakai adalah Metode Elemen Hingga (M.E.H). Metode Elemen Hingga (M.E.H) adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk meyelesaikan problem dalam bidang engineering. Setelah dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat karena pada saat itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian masalah numeriknya. Pada tugas akhir ini akan dibuat suatu aplikasi program dengan menggunakan Matlab (Matrix Laboratory) dimana MATLAB adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks, di sini bentuk bangunan sipil yang dianalisis dimodelkan sebagai rangka ruang (space truss). Pada perhitungan dengan momen, lintang dan normal dengan metode Matlab dan SAP 2000 hasil yang diperoleh cukup akurat dengan perbedaan < %. Pada perhitungan deformasi dengan metode Matlab dan SAP 2000 hasil yang diperoleh cukup baik. i Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

3 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini, yang merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan sarjana S1 pada Bidang Studi Struktur Jurusan Sipil Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara, Medan. Adapun judul Tugas Akhir ini adalah : APLIKASI PROGRAM METODE ELEMEN HINGGA PADA RANGKA RUANG (SPACE TRUSS) DENGAN PROGRAM MATLAB Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada : 1. Bap ak Prof. DR. Ing. Johannes Tarigan dan Bapak Ir. Sanci Barus, MT sebagai Dosen Pembimbing yang telah memberi bimbingan dan saran kepada penulis untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. 2. Bap ak Prof. DR. Ing. Johannes Tarigan sebagai Ketua Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. 3. Bap ak Ir. Terunajaya, MSc sebagai Sekretaris Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. 4. Bapakbapak Dosen Pembanding dan penguji Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. ii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

4 5. Bap ak dan Ibu staf pengajar dan seluruh pegawai Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. 6. Ora ng tua dan saudarasaudara penulis yang telah memberikan dorongan semangat untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. 7. Tem anteman saya : Uus, Dani, Zul, Wira, Erwin dan Masana yang telah banyak membantu saya dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 8. Rek anrekan mahasiswa yang telah memberikan motivasi serta bantuan moril dan segala kekerabatan dan kerja sama selama pendidikan Fakultas Teknik Universitas Sumatera Medan. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari Bapak dan Ibu Staf pengajar serta rekanrekan mahasiswa demi penyempurnaan Tugas Akhir ini. Akhir kata, penulis berharap Tugas Akhit ini dapat memberikan manfaat besar bagi kita semua. Medan, Februari 2009 Penulis, Ade Satria iii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

5 DAFTAR ISI Abstrak... i Kata pengantar... ii Daftar isi... iv Daftar notasi... vii Daftar tabel... ix Daftar gambar... x BAB I. PENDAHULUAN Umum Latar Belakang Masalah Tujuan Pembatasan Masalah Metodologi Sistematika Pembahasan... 7 BAB II. METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR TRUSS... 8 II.1 Jenis Jenis Struktur dalam Elemen hingga... 8 iv Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

6 II.1.1 Truss (rangka)... 8 II.1.2 Beam... 8 II.1.3 Spring Element... 8 II.1.4. Grid... 9 II.1.5. Frame (portal)... 9 II.2 Metode Elemen Hingga... 9 II. 3 Finite Element Method dan Methode Ritz II.4 Penurunan matriks kekakuan batang II. 5 Transformasi Pada Sistem Koordinat BAB III. DASARDASAR PEMROGRAMAN DENGAN MATLAB III.1. Pendahuluan III.2. Lingkungan Kerja Matlab III.2.1 Beberapa Bagian dari Window Matlab III.2.2 Getting Help III.2.3 Interupting dan Terminating dalam Matlab III.3. Variabel Pada Matlab III.4. Operator III.5. Fungsi Matematika lainnya III.6. M File III.6.1 Fungsi III.6.2 Flow Control III.7 Langkahlangkah penyelesaian metode elemen hingga pada rangka ruang dengan Matlab III.8 Filefile Matlab yang dibentuk pada waktu pemrograman v Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

7 III.9 Perhitungan SAP BAB IV. APLIKASI IV.1 Aplikasi IV.1.1 Perhitungan Dengan Program MATLAB IV.1.2 Perhitungan dengan program SAP IV.2 Verifikasi Program BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN V.1 Kesimpulan V.2 Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN L ISTING PROGRAM MATLAB O UTPUT PROGRAM MATLAB vi Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

8 DAFTAR NOTASI A = Luas penampang Cx = Kosinus arah x suatu batang Cy = Kosinus arah y suatu batang Cz = Kosinus arah z suatu batang {d} = Vektor dari perpindahan (displacement) du = Perpindahan sejauh u dx = Perpindahan titik kumpul arah x dy = Perpindahan titik kumpul arah y vii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

9 dz = Perpindahan titik kumpul arah z E = Modulus elastis {f} = Vektor dari gayagaya luar pada titik simpul F = Gaya luar F x = Gaya sejajar sumbu x F y = Gaya sejajar sumbu y F z = Gaya sejajar sumbu z i j k = Vektor satuan dalam arah sumbu x = Vektor satuan dalam arah sumbu y = Vektor satuan dalam arah sumbu z [K] = Matrix kekakuan k k L = Koefisien kekakuan pegas = Vektor satuan dalam arah sumbu z = Panjang elemen M = Momen lentur P = Gaya batang Rx = Reaksi perletakan dalam arah sumbu x Ry = Reaksi perletakan dalam arah sumbu y Rz = Reaksi perletakan dalam arah sumbu z [T] = Matriks transformasi viii Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

10 T U V Π = Torsi pada batang = Energi = Potensial dari gaya luar = Energi potensial total φ i = suatu fungsi = Regangan = Tegangan DAFTAR TABEL Tabel II.1 : Penomoran Simpul Pada Elemen Tabel IV.1 : Perpindahan Titik MATLAB Tabel IV.2 : Reaksi Perletakan MATLAB Tabel IV.3 : Gaya Batang MATLAB Tabel IV.4 : Perpindahan Titik SAP Tabel IV.5 : Reaksi Tumpuan SAP Tabel IV.6 : Gaya Batang SAP Tabel IV.7 : Beda Absolut Perpindahan Titik TabelIV.8 : Beda Absolut Reaksi Tumpuan ix Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

11 Tabel IV.9 : Beda Absolut Gaya Batang DAFTAR GAMBAR Gambar I.1 : Contoh rangka batang ruang... 3 Gambar I.2 : Tumpuan sendi dan rol... 4 Gambar I.3 : Menara Air... 6 Gambar II.1 : Bentuk mesh pada metode elemen hingga Gambar II.2 : Pemodelan Ritz Gambar II.3 : Pemodelan FEM Gambar II.4 : Elemen Rangka dibawah Pengaruh Gaya Luar F pada node 1 dan Gambar II.5 : Elemen dalam Ruang x Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

12 Gambar II.6 : Transformasi Sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat Lokal Gambar II.7 : Penomoran untuk Nodal dan Batang Gambar II.8 : Tanda dan Arah Gaya Gambar III.1 : Tampilan Layar dari Matlab Gambar III.2 : Contoh Gambar MFILE Gambar IV.1 : Menara Air Gambar IV.2 : Pemodelan Gaya yang Bekerja Gambar IV.3 : Tampilan Layar Pada SAP xi Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

13 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Umum Seiring dengan perkembangan teknologi, maka perencanaan bangunan sipil juga semakin sulit. Ini dapat terlihat di kotakota besar. Selain bangunan sipil yang berupa bangunan gedung, terdapat juga bangunanbangunan sipil bukan gedung, misalnya jembatan, menara pemancar, atau rangkarangka bangunan baja yang lain, yang memerlukan perhitungan dan perencanaan yang lebih matang. Perkembangan teknologi komputer termasuk di dalamnya perkembangan software (perangkat lunak) yang sangat membantu guna memudahkan pekerjaan perhitungan dan perencanaan bangunanbangunan yang kompleks. Perhitungan dengan menggunakan teknologi komputer mampu melakukan perhitungan dengan cepat, tepat, akurat serta efisien di dalam waktu dan saat ini telah banyak berkembang perangkat lunak yang profesional untuk membantu perhitungan dan perencanaan di bidang teknik sipil seperti SAP 2000, ETABS, STAAD PRO dan masih banyak lagi perangkat lunak yang sejenis. Pada umumnya perangkat lunak yang dikembangkan ini berbasis pada Metode Elemen Hingga (M.E.H) untuk memecahkan masalah mekanikanya. Metode Elemen Hingga (M.E.H) adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk meyelesaikan problem dalam bidang engineering. Tipikal masalah yang timbul pada bidang engineering dan matematis fisik antara lain pada analisa struktur, heat transfer, fluida, transportasi massa dan elektromagnetik potensial. Setelah dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat, karena pada saat itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian masalah numeriknya. Jika tidak menggunakan 1 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

14 komputer, metode elemen hingga ini mungkin sampai sekarang tidak akan digunakan dalam perhitungan praktis, karena akan memerlukan waktu yang cukup lama dan keakuratan yang kurang baik. Kemudian setelah dikembangkan komputer maka metode ini menjadi maju sangat pesat dan menjadi alat yang handal bagi para praktisi teknik sipil untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang ada didalam perhitungan analisa struktur, pada awalnya banyak dikembangkan bahasa pemrograman yang low level language dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language seperti Fortran, C++, Basic, Pascal dan lainlain, hingga akhirakhir ini semakin berkembang bahasa script programming yang dijadikan alternatif karena kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah Matlab (Matrix Laboratory) dimana MATLAB adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks. Bentuk bangunan sipil dapat dimodelkan sebagai frame (portal) dan truss (rangka). Pada penulisan tugas akhir ini struktur yang ditinjau adalah space truss (rangka ruang), dimana definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batangbatang tarik dan batangbatang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan. 2 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

15 Gambar I.1. Contoh rangka batang ruang 1.2 Latar Belakang Masalah Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil dengan menggunakan perhitungan struktur space truss (rangka ruang) memerlukan waktu lama serta ketelitian yang cukup besar jika dilakukan secara manual. Oleh karena itu, diperlukan suatu alat bantu yang dapat mempermudah pekerjaan dalam menyelesaikan perhitungan tersebut dan oleh karena itu disusunlah suatu bahasa pemrograman yang cocok untuk itu, yaitu dengan suatu bahasa script programming sehingga kecepatan dalam pembuatan program dengan source code yang dibentuk lebih singkat dan cepat dibandingkan jika menggunakan bahasa pemrograman yang high level, sehingga dapat menciptakan suatu efisiensi dalam pekerjaan pembuatan program serta tingkat keakuratan yang cukup baik jika digunakan dalam perhitungan struktur. 3 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

16 1.3 Tujuan Untuk mengembangkan suatu program analisa struktur untuk truss yang berbasis metode elemen hingga dengan menggunakan bahasa script programming yaitu Matlab serta membandingkan hasil yang diperoleh dengan software profesional untuk teknik sipil seperti SAP Pembatasan Masalah Mengingat kompleksitas dari struktur, maka dalam kajian ini perlu adanya pembatasan permasalahan untuk menyederhanakan perhitungan dan mereduksi tingkat kesulitan, antara lain : 1. Struktur terdiri dari batang prismatis. Batang memiliki sumbu yang lurus dan penampang lintang yang seragam di seluruh panjangnya 2. Titik kumpul dari rangka batang ruang dianggap sebagai sendi. 3. Jenis titik tumpuan yang ada di rangka adalah Sendi dan Rol. Jenis tumpuan jepit tidak termasuk di rangka ruang, karena bisa menyebabkan momen, sehingga struktur tersebut harus di analisa sebagai portal. Gambar I.2.tumpuan sendi dan rol 4. Kenaikan dan penurunan suhu secara mendadak akan menyebabkan batangbatang mengalami perubahan bentuk tidak diperhitungakan. 4 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

17 5. Praregang tidak diperhitungkan. 6. Penurunan atau perpindahan tumpuan tidak diperhitungkan. 7. Jenis material adalah homogen elastis, linier, homogen dan isotropis, yaitu pada setiap dan segala arah mempunyai modulus elastisitas yang sama. 8. Hasil keluaran dari program MATLAB untuk rangka ruang (space truss) berupa perpindahan titik (joint displacement), reaksi tumpuan (joint reaction), gaya batang dan tidak termasuk grafik. 9. Bentuk dari konstruksi yang akan dihitung berupa menara air dengan tinggi 6 meter, penjang = 1.5 meter, dan lebar =1.5 meter. Volume air yang akan dibebankan sebesar 3. 5 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

18 d = m tangki air tair = 1.8 m H = 3 m H = 3 m L = 1.5 m P = 1.5 m Gambar I.3 Menara Air 6 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

19 1.5 Metodologi Metode yang dipakai dalam pembuatan program ini adalah berdasarkan metode Elemen Hingga (M.E.H) dengan menggunakan bahasa script programming dalam hal ini Matlab kemudian hasil yang diperoleh dibandingkan dengan program SAP Sistematika Pembahasan Penulisan tugas akhir ini dilakukan dengan sistematika pembahasan sebagai berikut: BAB I BAB II PENDAHULUAN METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR TRUSS BAB III DASARDASAR PEMROGRAMAN DENGAN MATLAB BAB IV APLIKASI BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 7 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

20 BAB II METODE ELEMEN HINGGA PADA STRUKTUR TRUSS II.1 Jenis Jenis Struktur dalam Elemen hingga II.1.1 Truss (rangka) Definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batangbatang tarik dan batangbatang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan, umumnya dapat menahan gaya aksial saja. Truss 2 dimensi : truss yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal. Truss 3 dimensi : himpunan batang yang dimana batangbatangnya berarah sembarang dalam ruang. yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal. II.1.2. Beam Beam dapat menerima beban lateral atau beban yang tegak lurus pada beam. II.1.3. Spring Element Spring elemen merupakan suatu struktur yang mempunyai nilai kekakuan yang telah ditentukan. Biasanya setiap elemen nilai kekakuannya mempunyai satuan perbandingan antara gaya dan panjang elemen. 8 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

21 II.1.4. Grid Grid adalah struktur data yang dipersiapkan untuk menerima beban yang tegak lurus pada bidang datar struktur. Setiap penyusun struktur dianggap disambung (conected) secara rigid. II.1.5. Frame (portal) Definisi frame (portal) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih bagian konstruksi yang disambungkan guna stabilitas, umumnya dapat menahan gaya momen, gaya geser dan aksial. Frame 2 dimensi : frame yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Frame 3 dimensi : frame yang dapat menahan beban pada semua arah saja (sumbu x, y dan z) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. II.2 Metode Elemen Hingga Bila suatu kontinum dibagi bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemenelemen hingga disebut proses diskretisasi (pembagian). Dinamakan elemenelemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya akan lebih sedehana. Misalnya suatu batang yang panjang, bentuk fisiknya tidak lurus dipotongpotong sependek mungkin sehingga terbentuk batangbatang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga. Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotongpotong berbentuk segi tiga atau bentuk segi enpat yang 9 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

22 beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga pasti mempunyai lebih kecil dari kontinumnya u FEA Exact 0 Batang bengkok menjadi batang pendek yang lurus Sumber : Robert D Cook., David S. Malkus, Michael E. Palesha, Robert J. Witt Konsep dan aplikasi metode elemen hingga, Hal. 5 x Elemen Hingga Kontinum Kontinum Elemen Hingga Bidang dengan dimensi tidak teratur menjadi bidangbidang segiempat beraturan Bidang dengan dimensi tidak teratur menjadi bidangbidang segitiga beraturan Gambar II.1 Bentuk mesh pada metode elemen hingga Sebaiknya pendekatan dengan metode elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya. 1 Tujuan utama analisis dengan metode elemen hingga adalah untuk memperoleh nilai pendekatan ( bukan eksak ) tegangan dan peralihan yang terjadi pada suatu struktur. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali 10 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

23 1 Sumber : William Weaver. JR, Paul R. Johnston. Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur. Hal. 3 dipakai, maka langkahlangkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut : 1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Subregion) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat. dan lain sebagainya). 2. Pada titiktitk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi. 3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilainilai titik nodalnya. 4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangantegangannya. 5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi. 6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi. 9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan. II. 3 Finite Element Method dan Methode Ritz Sebenarnya methode Finite Element adalah modifikasi dari methoda Ritz. Methode Ritz sudah lama dikenal, namun setelah lama baru diketahui bahwa methode Finite Element adalah modifikasi dari methode Ritz. Energi Potensial 11 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

24 π = U (v) + V (v) minimum... (2.1) π V = Energi Potensial Total = Potensial dari gaya luar (terjadi bila gaya luar benda mempunyai arah) U = Energi n Ritz V(x) = a i. φ i (x) = {φ} T {a}... (2.2) i=1 φ i = suatu fungsi V = lendutan π = minimum jika, π = 0 (i = 1, 2, 3,..,n) atau π = 0... (2.3) pada suatu balok yang harus berlaku ( d 2 V ) 2. dx μ = ½ E.I (l) dx ( dv ) j]} dx V = { q.v.dx + [Fj.vj + Mj. (l)... (2.4)... (2.5) π = ½ (Eэv 2 2qv) dx (Fj vj + Mj v j) minimum...(2.6) (l) (j) dari (2.6) dan (2.2) n n n π = ½ Eэ( ai. φi )2 dx q (( ai. φi) dx [Fj ai.φi (xj) (l) n i=1 i=1 (j) i=1 12 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

25 + μj. ai. φi (xj)] i=1 = ½ Eэ{a} T {φ }{φ } T {a} dx q{φ} T {a} dx (Fj{φj} T {a}+mj{φj} T {a}) (l) (l) (j) = ½ {a} T Eэ{φ }{φ } T dx {a} [ q{φ} dx + (Fj {φi} T + Mj {φj} T )]{a} (l) (l) (j) π = ½ {a} T [K] {a} {f} T {a} π {a} = [K] {a} {f} = 0.. (2.7) Pada FEM balok akan dibagi dalam beberapa elemen untuk setiap elemen berlaku persamaan ke (2) Ritz : X V Gambar II.2 Pemodelan V(x) Ritz = {φ}t {a} FEM : = X.... [K].. {a} V.... f V(x) = {q(x)} T {d} 13 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

26 Gambar II.3 Pemodelan F Pada FEM, Energi potensial dapat dijumlahkan dari sebuah elemen yang ada, dan menjadi =. [K] {d} {f} = 0... (2.8) II.4 Penurunan matriks kekakuan batang. Pandanglah suatu elemen rangka dengan penampang melintang yang konstan, elastik dan linier, seperti ditunjukan dalam gambar. y x 2 F2 y F1 1 d1x, f1x A, E, L d2x, f2x x Gambar II.4 Elemen Rangka dibawah Pengaruh Gaya Luar F pada Node 1 dan 2 Sumber : Ir. Yerri Susatio, MT DasarDasar Metode Elemen Hingga. Hal. 44 Sistem koordinat yang dipakai dalam gambar II.4 ada dua macam, yaitu : Sistem koordinat lokal (, ) yang berlaku hanya untuk elemen tersebut dan Sistem Global (x,y) yang berlaku untuk semua elemen yang ada (struktur). Dengan anggapan bahwa elemen rangka memiliki penampang melintang A yang konstan, modulus elastis E, dan panjang L. Derajat kebebasan dari nodal adalah displacement lokal kearah axial (searah elemen rangka) berturutturut adalah d 1x, d 2x masingmasing untuk node 1 dan node Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

27 Berikut ini adalah beberapa asumsi yang digunakan untuk menurunkan persamaan matriks kekakuan elemen rangka. 1. Truss hanya menerima gaya pada arah axial (searah elemen) dan tidak menerima gaya pada arah lateral (tegak lurus elemen). Oleh karena itu F 1y dan F 2y masingmasing sama dengan nol. 2. Semua perpindahan kearah selain arah penjang elemen diabaikan. 3. Elemen mengikuti hukum linier x = E x (pada arah axial) Gunakan temuan Hooke bahwa perpindahan itu du akibat pengaruh gaya luar F. 1...(2.9)...(2.10) Dimana :...(2.11) = koefisien kekakuan pegas E = Modulus elastis A = Luas penampang melintang L = Penjang elemen. Perhatikan kembali gambar 2.9 Persamaan yang berlaku untuk : Node 1 : 15 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

28 ......(2.12) 1 Sumber : Ir. Yerri Susatio, MT DasarDasar Metode Elemen Hingga. Hal. 44 Node 2 :...(2.13) Dalam bentuk matriks persamaan (2.12) dan (2.13) dapat dituliskan sebagai: Matriks kekakuan lokal adalah:...(2.14)...(2.15) II. 5 Transformasi Pada Sistem Koordinat. 16 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

29 Y Y X Ø z Ø y Ø x X Z Z Gambar II.5 Elemen Dalam Ruang Sumber : Ir. Yerri Susatio, MT DasarDasar Metode Elemen Hingga. Hal. 87 Dalam gambar II.5 node 1 terletak pada titik O berada pada Sistem Koordinat Global dan node 2 pada titik A pada koordinat. Sudut antara Koordinat Global dengan sumbu global x, y dan z berturutturut adalah. diambil pada arah longitudinal dari elemen rangka, dalam arah node 1 ke node 2. Akan ditentukan Matriks Transformasi T* yang akan menghubungkan antara Sistem Koordinat Global dengan sistem koordinat Lokal:...(2.16) persamaan awal yang digunakan adalah:...(2.17) Dalam tiga dimensi persamaan ditulis sebagai berikut: y z y z...(2.18) 17 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

30 dimana :,, : vektor satuan dalam arah sumbu lokal berturutturut pada arah sumbu lokal,, i, j, k : vektor satuan dalam arah sumbu global berturutturut pada arah sumbu lokal x, y, z. Kalikan secara skalar (dot product) persamaan dengan i, akan dihasilkan persamaan: y z...(2.19) dari definisi dot product :...(2.20) Dimana /2 Substitusikan hargaharga dari persamaan ke persamaan diperoleh: kedua persamaan ini dalam bentuk matriks ditulis : 18 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

31 ...(2.21) Dimana [ T* ] adalah matriks transformasi. Pada bagian ini akan diturunkan persamaan yang menghubungkan matriks kekakuan dalam koordinat global [ K ] dengan matriks kekakuan dalam koordinat lokal [ ]. Y A (x,y) X Y C D E O 0 B X GambarII.6 Transformasi sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat Lokal Sumber : Ir. Yerri Susatio, MT DasarDasar Metode Elemen Hingga. Hal. 69 Perhatikan sebuah titik A yang berada dalam Sistem Koordinat Global (x,y). Koordinat titik A akan dinyatakan dalam Sistem Koordinat Lokal. Untuk keperluan ini akan diturunkan terkebih dahulu persamaan Matriks Transformasi yang akan memindahkan sistem koordinat tersebut. 19 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

32 Pengembangan dari Matriks Transformasi yang diperoleh, akan dikembangkan untuk kasus dalam ruang tiga dimensi. Dalam Sistem Koordinat Global, koordinat A (x,y) Dalam Sistem Koordinat Lokal, koordinat A (OC,AC...(2.22)...(2.23) Kedua persamaan (2.22) dan (2.23) ditulis dalam bentuk matriks ditulis sebagai:...(2.24) Jika Cos = dan Sin = µ maka Matriks Transformasi Koordinat Global ke Koordinat Lokal adalah:...(2.25) 20 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

33 Satu titik (x 1,y 1 ) pada Koordinat Global dinyatakan dalam Koordinat Lokal yang memebentuk sudut dengan sumbu Koordinat Global adalah:...(2.26) Demikian juga titik (x 2,y 2 ) dalam Koordinat Global, jika dalam Koordinat Lokal menjadi:...(2.27) Sebuah elemen dibatasi oleh dua buah node (x 1,y 1 ) dan (x 2,y 2 ) pada Koordinat Global, maka elemen tersebut dalam Koordinat Lokal menjadi:...(2.28) [ T 2 ] adalah Matriks Transformasi elemen dengan dua node dari Koordinat Global ke Koordinat Lokal. Catatan: x,y tanpa garis diatasnya (bar) menandakan Sistem Koordinat Global, sedangkan, (memakai garis diatas huruf menandakan Sistem Koordinat Lokal) Matriks Transformasi Koordinat Lokal ke Koordinat Global adalah: 21 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

34 ...(2.29) Matriks Transformasi Koordinat Global ke Koordinat Lokal adalah:...(2.30) Seperti halnya dengan persamaan (2.28), maka Matriks Transformasi Koordinat Lokal ke Global adalah: Dapat ditulis:...(2.31) Persamaan (2.31) dapat ditulis dalam kaitannya dengan Displacement nodal sebagai:...(2.32) Dalam bentuk simbol ditulis sebagai:...(2.33) 2...(2.34) 22 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

35 Rumusrumus transformasi seperti diatas berlaku juga untuk mentransformasikan vektor gaya seperti dilakukan dibawah ini (lokal ke global). Untuk node 1 yang dikenai gaya Untuk node 2 yang dikenai gaya Transformasi dari sebuah elemen yang berbatas dari dua buah node 1 dan 2, yang masingmasing dikenai gaya F x1, F y1 dan F x2, F y2 diperoleh hubungan: Dalam bentuk simbol ditulis:...(2.35) 2...(2.36) (lokal ke global) yang diketahui adalah vektor kolom pada ruas kanan. Dalam Sistem Koordinat Lokal berlaku...(2.37) Dalam Sistem Koordinat Global berlaku (perhatikan x dan y memakai tanda garis diatas)...(2.38) 23 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

36 Substitusi {q} xy dari persamaan (2.37) ke persamaan (2.38) diperoleh...(2.39) Dari persamaan (2.34) maka;...(2.40) Karena matriks [T 2 ] bersifat orthogonal, maka; Persamaan terakhir menjadi Substitusikan kembali hasil ini kepersamaan (2.38) dihasilkan...(2.41) Dari persamaan...(2.42) Kedua persamaan (2.41) dan (2.42) equivalen, maka: Kalikan dari awal persamaan ini dengan [T 2 ], maka: 24 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

37 Lihat kembali persamaan (2.38) Jadi:......(2.43) Persamaan (2.43) ini mentransformasikan matriks kekakuan dalam Koordinat Lokal ke Koordinat Global. Sehingga dapat diturunkan persamaan matriks kekakuan dalam koordinat global sebagai berikut:...(2.43) 25 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

38 ...(2.44) Dimana: II. 6 Kompatibilitas, keseimbangan, penentuan dari matriks kekakuan. Diketahui konstruklsi seperti gambar II.7 Fy b 3 i h e 6 2 a c g 5 d Fx f y 1 4 x Gambar 2.7 Penomoran Untuk Nodal dan Batang z Tabel II. 1 Penomoran Simpul Pada Elemen Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir) a 1 2 b 2 3 c 1 3 d 4 5 e Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

39 f 4 6 g 2 5 h 2 6 i 3 5 Untuk elemen a (dibatasi oleh node 1 dan node 2), matriks kekakuan elemen a adalah: Untuk elemen b (dibatasi oleh node 2 dan node 3), matriks kekakuan elemen b adalah: 27 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

40 Untuk elemen c (dibatasi oleh node 1 dan node 3), matriks kekakuan elemen c adalah: Untuk elemen d (dibatasi oleh node 4 dan node 5), matriks kekakuan elemen d adalah: 28 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

41 Untuk elemen e (dibatasi oleh node 5 dan node 6), matriks kekakuan elemen e adalah: Untuk elemen f (dibatasi oleh node 4 dan node 6), matriks kekakuan elemen f adalah: 29 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

42 Untuk elemen g (dibatasi oleh node 2 dan node 5), matriks kekakuan elemen g adalah: Untuk elemen h (dibatasi oleh node 2 dan node 6), matriks kekakuan elemen h adalah: 30 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

43 Untuk elemen i (dibatasi oleh node 3 dan node 5), matriks kekakuan elemen i adalah: 31 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

44 Sebagai syarat kompatibilitas maka, ditetapkan: Dan dalam titik simpul harus memnuhi syarat keseimbangan. Pada titik simpul 1 berlaku: Tanda dan arah gaya: 32 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

45 Fy Fz Fx + Fx Fz Fy G ambar II.8 Tanda dan Arah Gaya 33 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

46 Dengan demikian didapat: Diubah kedalam bentuk matriks, menjadi : 31 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

47 Dimana: II. 7 Syarat batas (boundary cindition), perpindahan titik dan gaya batang. Titik 1, 3, 4 dan 6 merupakan tumpuan sendi, maka tidak terjadi perpindahan Gaya yang terjadi di titik 2 dan 5 32 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

48 Sehingga bentuk matriks strutur menjadi: 33 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

49 Dengan memasukan nilai dari dan, maka matriks menjadi: 34 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

50 Sehingga didapatkan perpindahan titik untuk titik 2 dan 4. Kemudian matriks disusun kembali menjadi: 35 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

51 Dengan memasukan nilai, maka didapat reaksi tumpuan di titik 1, 3, 4 dan 6 Mencari gaya batang 36 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

52 Dimana: Untuk gaya batang a: Dimana: dan 37 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

53 Dengan memasukan nilai dari dan maka matriks menjadi: Dengan memasukan nilai dari A, E, L maka didapat gaya batang a 38 Ade Satria : Aplikasi Progaram Metode Elemen Hingga Pada Rangka Ruang (Space Truss) Dengan Program Matlab, 2009.

54 BAB III DASARDASAR PEMROGRAMAN DENGAN MATLAB III.1. Pendahuluan Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain yang sudah ada lebih dahulu seperti Delphi, Basic maupun C++. Matlab merupakan bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk kebutuhan komputasi teknis, visualisasi dan pemrograman seperti komputasi matematik, analisis data, pengembangan algoritma, simulasi dan pemodelan dan grafikgrafik perhitungan. Matlab hadir dengan membawa warna yang berbeda. Hal ini karena matlab membawa keistimewaan dalam fungsifungsi matematika, fisika, statistik, dan visualisasi. Matlab dikembangkan oleh MathWorks, yang pada awalnya dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik pada proyek LINPACK dan EISPACK. Saat ini matlab memiliki ratusan fungsi yang dapat digunakan sebagai problem solver mulai dari simple sampai masalahmasalah yang kompleks dari berbagai disiplin ilmu. III.2. Lingkungan Kerja Matlab III.2.1 Beberapa Bagian dari Window Matlab Current Directory 38

55 Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan matlab. Kita dapat mengganti direktori ini sesuai dengan tempat direktori kerja yang diinginkan. Default dari alamat direktori berada dalam folder works tempat program files Matlab berada. Command History Window ini berfungsi untuk menyimpan perintahperintah apa saja yang sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap matlab. Command Window Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat untuk menjalankan fungsi, mendeklarasikan variable, menjalankan prosesproses, serta melihat isi variable. Workspace Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabelvariabel yang sedang aktif pada saat pemakaian matlab. Apabila variabel berupa data matriks berukuran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan melakukan double klik pada variabel tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan window array editor yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user. III.2.2 Getting Help Matlab menyediakan fungsi help yang tidak berisikan tutorial lengkap mengenai Matlab dan segala keunggulannya. User dapat menjalankan fungsi ini dengan menekan tombol pada toolbar atau menulis perintah helpwin pada command window. Matlab juga 39

56 menyediakan fungsi demos yang berisikan video tutorial matlab serta contohcontoh program yang bisa dibuat dengan matlab III.2.3 Interupting dan Terminating dalam Matlab Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada matlab dapat dilakukan dengan menekan tombol CtrlC. Sedangkan untuk keluar dari matlab dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window atau dengan menekan menu exit pada bagian menu file dari menu bar. Gambar III.1 Tampilan Layar dari Matlab 40

57 III.3. Variabel Pada Matlab Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung menuliskan variabel baru tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu pada command window Contoh pembuatan variabel pada matlab: >> vara = 1000 vara = 1000 >> varb = [ ] varb = >> varc = 'test variabel' varc = test variabel Penamaan variabel pada matlab bersifat casesensitif karena itu perlu diperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan variabel. Apabila terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan mereplace variabel lama tersebut dengan variabel baru yang dibuat user. Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada matlab, setiap isi data harus dimulai dari kurung siku [ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ]. Untuk membuat variabel dengan data yang terdiri beberapa baris, gunakan tanda titik koma (;) untuk memisahkan data tiap barisnya. 41

58 Contoh pembuatan data matriks pada matlab: >> DataMatriks = [1 2 3;4 5 6] DataMatriks = Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk menghasilkan bentukbentuk matriks yang diinginkan. Fungsifungsi tersebut antara lain: zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0 ones : matriks yang semua datanya bernilai 1 rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform randn : matris dengan data random dengan menggunakan distribusi normal eye : untuk menghasilkan matriks identitas contoh penggunaan fungsifungsi diatas: >> a = zeros(2,3) a = >> b = ones(1,3) b = >> c = rand(2,2) c = 42

59 >> d = rand (1,4) d = >> e = eye(3,3) e = Untuk memanggil isi dari suatu data matriks, gunakan tanda kurung () dengan isi indeks dari data yang akan dipanggil. Contoh penggunaan : >> c(2,2) ans = Untuk pemanggilan data berurutan seperti a(1,2,3) dapat disingkat dengan menggunakan tanda titik dua : sehingga menjadi a(1:2). Penggunaan tanda titik dua : juga dapat digunakan untukmemanggil data matriks perbaris atau perkolom. Contoh penggunaan: c(2:5) = memanggil data matrik baris 2 sampai baris 5 a(1,:) = memanggil data matriks pada baris pertama b(:,3) = memanggil data matris pada kolom ketiga 43

60 III.4. Operator Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B) ditunjukkan berikut ini Operasi Bentuk Aljabar Bentuk Matlab Contoh Perkalian A x B A * B 5*3 Pembagian A B A B 2 3 Penambahan A + B A + B 1+2 Pengurangan A B A B 43 Eksponensial B A A ^ B 4^3 III.5. Fungsi Matematika lainnya Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi matematika antara lain sebagai berikut: abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai 1 jika x<0, 0 jika x=0 dan 1 jika x>1 exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, x e log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x 10 log sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x, x rem(x,y) : untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y 44

61 III.6. M File Di dalam matlab, kita dapat menyimpan semua script yang akan digunakan dalam file pada matlab dengan ekstensi.m. MFile dapat dipanggil dengan memilih menu file >new>mfile. Gambar III.2 Contoh gambar MFile Di dalam MFile, kita dapat menyimpan semua perintah dan menjalankan dengan menekan tombol atau mengetikan nama MFile yang kita buat pada command window. III.6.1 Fungsi 45

62 Di dalam M File, kita dapat menuliskan fungsifungsi yang berisikan berbagai operasi sehingga menghasilkan data yang diinginkan. Bentuk penulisan nama fungsi Function [Nilai keluaran ] = namafungsi (nilai masukan) % operasi dari fungsi % % Contoh penggunaan: fungsi yang akan dibuat bernama testfungsi memiliki tiga nilai masukan c,d,e dan dua nilai keluaran a,b : function [a,b] = testfungsi(c,d,e) %operasi yang dijalankan a = c + d +e; b = c * d *e; Selanjutnya Fungsi tersebut akan dijalankan melalui command window dengan nilai masukan 10,2,4. Perhatikan penulisan kurung siku [ ] pada nilai keluaran dan kurung biasa ( ) pada nilai masukan. >> [a,b] = testfungsi(10,2,3) a = 15 b = 60 46

63 III.6.2 Flow Control Matlab memiliki empat macam statement yang dapat digunakan untuk mengatur aliran data pada fungsi yang akan dibuat. 1. If, Else, Elseif Bentuk dasar penggunaan statement jenis ini adalah sebagai berikut: if ekspresi1 statements1; elseif ekspresi2 statements2; else statements3; end Ekspresi akan bernilai 1 jika benar dan bernilai 0 jika salah. Contoh penggunaan: function testfungsi(a,b) if A > B disp('a lebih besar dari B') elseif A == B disp('a sama dengan B') else disp('a lebih kecil dari B') end Funsi disp digunakan untuk menampilkan pesan pada command window. Fungsi tersebut setelah dijalankan melalui command window: 47

64 >> testfungsi(1,2) A lebih kecil dari B >> testfungsi(2,2) A sama dengan B >> testfungsi(2,3) A lebih kecil dari B 2. Switch Bentuk dasar penggunaan statement switch switch switch_ekspresi case case_ekspresi1 statement1 case case_ekspresi2 statement otherwise statementn end Contoh penggunaan: function testfungsi(x) switch x case 1 48

65 disp('x is 1') case {2,3,4} disp('x is 2, 3 or 4') case 5 disp('x is 5') otherwise disp('x is not 1, 2, 3, 4 or 5') end Hasil setelah dijalankan >> testfungsi(2) x is 2, 3 or 4 >> testfungsi(1) x is 1 >> testfungsi(5) x is 5 >> testfungsi(6) x is not 1, 2, 3, 4 or 5 3. while Statement while digunakan untuk aliran data yang bersifat perulangan. Bentuk dasar penggunaan while while ekspresi statements... end 49

66 Contoh penggunaan function testfungsi(x) %selama nilai x kurang dari 10 while x < 10 disp('nilai saat ini : '); %tampilkan nilai x x %increment nilai x x = x+1; end Hasil setelah dijalankan >> testfungsi(6) nilai saat ini : x = 6 nilai saat ini : x = 7 nilai saat ini : x = 8 nilai saat ini : x = 50

67 9 4. for Bentuk dasar penggunaan bentuk for: for index = start:increment:stop statement statement end Default dari nilai increment (penambahan nilai setiap perulangan) jika tidak ditentukan oleh user adalah 1. Contoh fungsi : function a = testfungsi for y = 1:10 a(y) = y^2; end Hasil setelah fungsi dijalankan >> a = testfungsi a = Operator 5. 51

68 Berikut ini adalah jenisjenis operator pada matlab yang dapat digunakan untuk operasi ekspresi pada statement yang membutuhkan perbandingan seperti if atau while. Operator Keterangan A < B A lebih kecil dari B A > B A lebih besar dari B A < = B A lebih kecil atau sama dengan B A > = B A lebih besar atau sama dengan B A = = B A sama dengan B A ~ = B A tidak sama dengan B Sebenarnya masih banyak fasilitasfasilitas lain yang dimiliki oleh matlab. Tugastugas matematika yang membutuhkan analisis ataupun perhitungan yang kompleks dan rumit dapat kita implementasikan dengan mudah dengan memanfaatkan fasilitas yang tedapat di matlab. III.7 Langkahlangkah penyelesaian metode elemen hingga pada rangka ruang dengan Matlab 1. Tentukan matriks kekakuan lokal dari struktur = [K]lokal 2. Transformasikan matriks untuk global ke sistem sumbu lokal = [T] 3. Konversi matriks untuk sumbu lokal ke sistem sumbu global 4. Bentuk matriks kekakuan sumbu global setiap elemen = [K]global 5. Bentuk matriks kekakuan sistem sumbu global dengan superposisi = [K]sis 52

69 6. Bentuk matriks vektor beban dengan superposisi [Q]sis & [P]sis 7. Bentuk persamaan keseimbangan [ ]( d) ( f ) ( P) [ K ] sis *( D) = ( P Q) sis K + = 8. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu global {P}global 9. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu lokal {P}lokal = [T].{P}global 10. Hitung gayagaya dalam struktur per elemen III.8 Filefile Matlab yang dibentuk pada waktu pemrograman File fungsi extract (extract.m) File ini berfungsi untuk mengekstrak matriks (mxm) ke vektor matriks (mxm) x 1 dengan indeks informasi baris dan kolom File fungsi aasembly (assembly.m) File ini berfungsi untuk merangkai berdasarkan informasi baris dan kolom pada bahasa mesin (assembly) sehingga dapat mempercepat prose analisis matriks. File fungsi sdata (sdata.m) File ini berfungsi untuk membaca masukan data berupa jenis portal, koordinat, batang elastisitas, luas penampang dan inersia penampang) File fungsi ldata (ldata.m) 53

70 File ini berfungsi untuk membaca masukan data berupa beban terpusat dan beban batang, serta kekangan dari perletakan File fungsi t3d_stiff (t3d_stiff.m) File ini berfungsi untuk membentuk matriks kekakuan sumbu lokal, matriks transformasi dan matriks kekakuan sumbu global. File fungsi analysis_result (analysis_result..m) File ini berfungsi untuk menganalisa matriks kekakuan sumbu kekakuan sumbu global dan matriks vektor beban dan dengan syarat batas dihitung reaksi perletakan dari struktur serta perpindahan nodal serta gayagaya dalam pada setiap elemen. File fungsi print_result (print_result..m) File ini berfungsi untuk menampilkan hasil berupa reaksi perletakan, perpindahan nodal, gaya momen, gaya geser dan gaya normal pada monitor dalam bentuk text. III.9 Perhitungan SAP2000 SAP2000 adalah program computer untuk merancang struktur keluaran CSi (Computers and Structures Inc.). SAP2000 memungkinkan banyak hal yang sebelumnya dianggap mustahil menjadi sederhana dan mudah. SAP2000 mampu menggeser tugas menghitung yang rumit kekonsep perilaku struktur, pembagian beban dan analisa output sehingga konsep perancangan jauh lebih baik. 54

71 SAP2000 benarbenar mampu mengambil tugas analisa struktur karena jika kita sudah melakukan input data dengan benar, maka proses analisa akan langsung diambil olah SAP2000 dan prosesnya pun tergolong sangat cepat. Secara garis besar, perhitungan analisa struktur rangka dengan SAP2000 ini akan melaui beberapa tahap, yaitu: 1. Menentukan geometri model struktur 2. Mendefinisikan datadata. a) Jenis dan kekuatan bahan. b) Dimensi penampang elemen struktur. c) Macam beban. d) Kombinasi pembebanan 3. Menempatkan (assign) datadata yang telah didefinisikan ke model struktur. a) Data penampang b) Data beban 4. Memeriksa input data. 5. Analisa mekanika teknik (MT). Dalam tugas akhir ini SAP2000 digunakan untuk menghitung analisa struktur rangka ruang, yaitu displacement titik (nodal) dan besar gaya batang yang terjadi. Hasil yang dikeluarkan dari SAP2000 akan dibandingkan dengan hasil program Matlab 55

72 BAB IV APLIKASI Aplikasi penggunaan program Matlab dalam contoh ini adalah menara air yang menampung air dengan volume = 3 atau berat = 3 Ton. Hasil output kemudian dibandingkan dengan output dari program analisa sruktur yang lain, dalam hal ini penulis menggunakan program SAP2000. IV.1 APLIKASI 1 Gambar IV.I adalah rangka menara tangki air yangterdiri dari dua tingkat. Tingkat pertama dan kedua mempunyai ketinggian masingmasing sebesar H = 3 m. Panjang menara (P) = 1,5 m dan lebar (L) = 1,5 m. Tangki air dengan diameter (d) = m dan tinggi (t) = 1.8 m. Rangka menara dibuat dengan profil baja siku dengan luas profil A = Diketahui = kg/ 56

73 d = m tangki air tair = 1.8 m H = 3 m H = 3 m 12 8 L = 1.5 m Gambar IV P = 1.5 m Perhitungan gaya gaya yang bekerja pada tangki : Tangki mempunyai diameter m dengan tinggi 1.8 m. volume tangki adalah: 57

74 Besarnya gaya yang bekerja gaya P didistribusikan ke empat titik maka setiap tititknya menahan gaya sebesar P = 0.75 Ton = 750 kg Lebih jelasnya perhatikan gambar IV.2 untuk pemodelan gaya yang bekerja. 58

75 P P P H = 3 m H = 3 m 12 8 L = 1.5 m P Gambar IV p = 1.5 m IV.1.1 PERHITUNGAN DENGAN PROGRAM MATLAB Dalam menjalankan program MATLAB diperlukan input data agar MATLAB dapat menjalankan perintah dengan benar. Adapun datadata yang dimasukan berupa material properti, koordinat dari struktur rangka, informasi elemen dan kondisi tumpuan. Untuk soal contoh 1, input datanya sebagai berikut: clear all clc type='t3d' 59

76 %Prop i A E prop= [ ] %Koordinat grid: % No.Joint absisx ordinaty ordinatz coord= [ ] %Data Batang: % No.Batang awal(ii) akhir(ij) Prop element= [

77

78 ] %Kondisi Perletakan : % Kekang Kekang Kekang % No.Joint Translasix Translasiz Rotasiy % lokal lokal lokal Support= [ ] %Joint Load: % No.Joint Fx Fy Fz JL= [ ] %Frame Load sebagai Beban Nodal Ekuivalen {matriks 2 x 6 (2 batang x 6 dof)}: % FxII FyII FzII FxIJ FyIJ FzIJ 62

79 AML= [ ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 63

80 ; ; ; ; ; ; ;] Kemudian masih di dalam data masukan Mfile TRUSS.m, lakukan analisa struktur dengan memanggil fungsi Mfile yang telah dibuat sesuai dengan penjelasan pada Bab III.8 yaitu: extract.m assembly.m sdata.m ldata.m grid_stiff.m analysis_result..m print_result..m Perintahnya adalah sebagai berikut: 64

81 %Analisa Struktur dengan memanggil fungsi Mfile : [dof,index,coord,element]=... sdata(prop,element,coord,type); [S,Sm,SmS,Cx,Cy,Cxz,RT,L,A,Joint,Xj,Xk,Yj,Yk,Zj,Zk]=... t3d_stiff(prop,element,coord,index); [IR,IF,Support]=ldata(Support,dof); [DF,AR,AM]=analysis_result(element,dof,index,IF,IR,... S,SmS,JL,AML,RT,Support,type) [joint_disp,support_reaction,beam_endforces]=... print_result(dof,support,element,if,ir,df,ar,am,type); end setelah Mfile TRUSS.m dijalankan, didapat hasil keluaran dari program MATLAB untuk rangka ruang adalah : Tabel IV.1 Perpindahan Titik MATLAB titik Dx Dy Dz cm cm cm

82 Tabel IV.2 Reaksi Perletakan MATLAB titik Rx Ry Rz kg kg kg Tabel IV.3 Gaya Batang MATLAB titik Fy1 Fx1 Fz1 Fy2 Fx2 Fz2 Kg Kg Kg Kg Kg Kg

83

84 IV.1.2 PERHITUNGAN DENGAN PROGRAM SAP2000 Dalam program SAP2000 sistem data masukan yang sering digunakan adalah dengan sistem GUI (Graphical User Interface), yaitu sistem dengan mendesain interface, yaitu memodelkan struktur dan kondisi pembebanannya dalam bentuk grafis. Tapi dalam tugas akhir ini, saya juga akan menyajikan masukan data dibuat dalam file program pengolah kata notepad dengan nama file berekstensi.$2k sebagai berikut: TABLE: "JOINT COORDINATES" Joint=1 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=0 SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=0 Joint=2 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=150 Y=0 Z=0 SpecialJt=No GlobalX=150 GlobalY=0 GlobalZ=0 Joint=3 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=150 Y=150 Z=0 SpecialJt=No GlobalX=150 GlobalY=150 GlobalZ=0 Joint=4 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=150 Z=0 SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=150 GlobalZ=0 Joint=5 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=300 SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=300 Joint=6 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=150 Y=0 Z=300 SpecialJt=No GlobalX=150 GlobalY=0 GlobalZ=300 Joint=7 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=150 Y=150 Z=300 SpecialJt=No GlobalX=150 GlobalY=150 GlobalZ=300 Joint=8 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=150 Z=300 SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=150 GlobalZ=300 68

85 Joint=9 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=600 SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=600 Joint=10 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=150 Y=0 Z=600 SpecialJt=No GlobalX=150 GlobalY=0 GlobalZ=600 Joint=11 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=150 Y=150 Z=600 SpecialJt=No GlobalX=150 GlobalY=150 GlobalZ=600 Joint=12 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=150 Z=600 SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=150 GlobalZ=600 TABLE: "CONNECTIVITY FRAME" Frame=1 JointI=1 JointJ=5 IsCurved=No Length=300 CentroidX=0 CentroidY=0 CentroidZ=150 Frame=2 JointI=2 JointJ=6 IsCurved=No Length=300 CentroidX=150 CentroidY=0 CentroidZ=150 Frame=3 JointI=3 JointJ=7 IsCurved=No Length=300 CentroidX=150 CentroidY=150 CentroidZ=150 Frame=4 JointI=4 JointJ=8 IsCurved=No Length=300 CentroidX=0 CentroidY=150 CentroidZ=150 Frame=5 JointI=1 JointJ=6 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=0 CentroidZ=150 Frame=6 JointI=2 JointJ=5 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=0 CentroidZ=150 Frame=7 JointI=2 JointJ=7 IsCurved=No Length= CentroidX=150 CentroidY=75 CentroidZ=150 Frame=8 JointI=3 JointJ=6 IsCurved=No Length= CentroidX=150 CentroidY=75 CentroidZ=150 Frame=9 JointI=3 JointJ=8 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=150 CentroidZ=150 Frame=10 JointI=4 JointJ=7 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=150 CentroidZ=150 69

86 Frame=11 JointI=4 JointJ=5 IsCurved=No Length= CentroidX=0 CentroidY=75 CentroidZ=150 Frame=12 JointI=1 JointJ=8 IsCurved=No Length= CentroidX=0 CentroidY=75 CentroidZ=150 Frame=13 JointI=5 JointJ=6 IsCurved=No Length=150 CentroidX=75 CentroidY=0 CentroidZ=300 Frame=14 JointI=6 JointJ=7 IsCurved=No Length=150 CentroidX=150 CentroidY=75 CentroidZ=300 Frame=15 JointI=7 JointJ=8 IsCurved=No Length=150 CentroidX=75 CentroidY=150 CentroidZ=300 Frame=16 JointI=8 JointJ=5 IsCurved=No Length=150 CentroidX=0 CentroidY=75 CentroidZ=300 Frame=17 JointI=5 JointJ=9 IsCurved=No Length=300 CentroidX=0 CentroidY=0 CentroidZ=450 Frame=18 JointI=6 JointJ=10 IsCurved=No Length=300 CentroidX=150 CentroidY=0 CentroidZ=450 Frame=19 JointI=7 JointJ=11 IsCurved=No Length=300 CentroidX=150 CentroidY=150 CentroidZ=450 Frame=20 JointI=8 JointJ=12 IsCurved=No Length=300 CentroidX=0 CentroidY=150 CentroidZ=450 Frame=21 JointI=5 JointJ=10 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=0 CentroidZ=450 Frame=22 JointI=6 JointJ=9 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=0 CentroidZ=450 Frame=23 JointI=6 JointJ=11 IsCurved=No Length= CentroidX=150 CentroidY=75 CentroidZ=450 Frame=24 JointI=7 JointJ=10 IsCurved=No Length= CentroidX=150 CentroidY=75 CentroidZ=450 Frame=25 JointI=7 JointJ=12 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=150 CentroidZ=450 70

87 Frame=26 JointI=8 JointJ=9 IsCurved=No Length= CentroidX=0 CentroidY=75 CentroidZ=450 Frame=27 JointI=8 JointJ=11 IsCurved=No Length= CentroidX=75 CentroidY=150 CentroidZ=450 Frame=28 JointI=5 JointJ=12 IsCurved=No Length= CentroidX=0 CentroidY=75 CentroidZ=450 Frame=29 JointI=9 JointJ=10 IsCurved=No Length=150 CentroidX=75 CentroidY=0 CentroidZ=600 Frame=30 JointI=10 JointJ=11 IsCurved=No Length=150 CentroidX=150 CentroidY=75 CentroidZ=600 Frame=31 JointI=11 JointJ=12 IsCurved=No Length=150 CentroidX=75 CentroidY=150 CentroidZ=600 Frame=32 JointI=12 JointJ=9 IsCurved=No Length=150 CentroidX=0 CentroidY=75 CentroidZ=600 TABLE: "JOINT RESTRAINT ASSIGNMENTS" Joint=1 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No Joint=2 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No Joint=3 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No Joint=4 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No TABLE: "JOINT LOADS FORCE" Joint=9 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=750 M1=0 M2=0 M3=0 Joint=10 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=750 M1=0 M2=0 M3=0 Joint=11 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=750 M1=0 M2=0 M3=0 Joint=12 LoadCase=DEAD CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=750 M1=0 M2=0 M3=0 \ 71

88 berikut: Dalam sistem GUI (Graphical User Interface),tampilan model rangka ruang, sebagai ar IV.3 Tampilan Layar Pada SAP 2000 File hasil keluaran (output) dari program SAP2000 adalah: Gamb Tabel IV.1 Perpindahan Titik SAP2000 TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType U1 U2 U3 R1 R2 R3 Text Text Text cm cm cm Radians Radians Radians 1 DEAD LinStatic 2 DEAD LinStatic 72