Kompresi Pohon dengan Kode Prüfer

Transkripsi

1 Kmpresi Phn dengan Kde Prüfer Ygi Salm Mangntang Pratama( ) 1 Prgram Studi Teknik Infrmatika Seklah Teknik Elektr dan Infrmatika Institut Teknlgi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indnesia 1 ygi.salm@students.itb.ac.id Abstrak Makalah ini membahas mengenai salah satu cara kmpresi dalam pemrgraman, yaitu dengan menggunakan Kde Prüfer. Prinsip dari Kde Prüfer ini adalah mereduksi jumlah dari simpul pada phn sehingga ukurannya menjadi lebih kecil pada saat pengiriman. Kde Prüfer ini akan diimplementasikan dalam phn yang merupakan bagian dari teri graf. Nantinya makalah ini akan membahas cara kerja dari Kde Prüfer, membuktikan keabsahannya, serta menyertakan algritma dasarnya. Kata Kunci : Kmpresi, Prüfer, Phn, Graf. I. PENDAHULUAN Dalam pemrgraman, terutama yang melibatkan jaringan, akan dibutuhkan banyak pengiriman data dari satu kmputer ke kmputer lainnya. Dengan banyaknya perpindahan data tersebut, maka serang prgrammer dituntut untuk mencari metde yang paling efektif, untuk memperkecil ukuran dari data yang dikirimkan. Begitu banyak cara kmpresi yang telah ditemukan, seperti Huffman, DEFLATE, LZW (Lempel- Ziv-Welch), hingga LRZ(LZ-Renau). Kde Prüfer yang akan dibahas pada makalah ini adalah salah satu metde untuk kmpresi, yang dikhususkan untuk memperkecil ukuran dari suatu data bertipe phn. Di sini akan dibahas metde untuk menyederhanakan struktur dari suatu phn, terlepas dari isi phn tersebut. Ibaratkan saja dalam salah satu jejaring ssial, twitter. Asumsikan kita ingin mengukur pengaruh ssialnya dengan menghitung jumlah tweet yang ditulis seserang, yang kemudian di-retweet leh fllwer-nya, yang kemudian di-retweet kembali, dan seterusnya. Isi dari tweet, nama pengguna, serta waktu retweet-nya dapat dikirimkan melalui pesan yang berbeda. Yang perlu diamati adalah memetakan struktur phn untuk setiap simpul yang mewakili persebaran tweet tersebut, mulai dari nmr 1 sampai dengan ukuran phnnya (N). Dan persalannya adalah membuat suatu metde, sehingga pihak yang menerima pesan memahami bahwa suatu simpul adalah anak ataupun rangtua dari nde lainnya, dan dapat membentuk kembali sebuah phn yang identik. II. TEORI DASAR II.I. Phn Phn adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Sifat-sifat dari phn : Misalkan G = (V,E) adalah graf tak berarah sederhana dan jumlah simpulnya n, makasemua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen : 1. G adalah phn 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n 1 buah sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan. Gambar 2.1 Cnth Sebuah Phn Gambar di atas merupakan salah satu cnth phn. Melalui cnth tersebut kita dapat mengamati berbagai terminlgi yang perlu kita pahami sehubungan dengan pembahasan makalah ini antara lain : - Anak Anak adalah simpul yang berasal dari suatu nde lainnya. Cnth : b adalah anak dari a. - Orangtua Orangtua adalah simpul yang menjadi sumber dari simpul lainnya. Cnth : f adalah rangtua dari g dan h. - Lintasan Lintasan adalah simpul-simpul yang dilewati untuk menghubungkan satu simpul dengan

2 simpul yang lain. Cnth : lintasan dari a ke I adalah a,f,h,i. - Saudara kandung Saudara kandung adalah nde yang memiliki Orangtua yang sama. Cnth : g dan h adalah saudara kandung. - Upaphn Upaphn adalah phn yang menjadi bagian dari suatu phn. Dapat diperleh dengan menghilangkan sebuah nde dari phn. Cnth : (b (c d e)) adalah upaphn dari Gambar Derajat Derajat dari suatu simpul adalah jumlah simpul yang berasal dari simpul tersebut. Cnth : derajat dari f adalah 2. - Daun Daun adalah semua simpul yang berderajat nl. Cnth : daun d,e,g,i. II.II Phn Berlabel Phn berlabel adalah suatu phn yang pada setiap simpulnya diberikan label berupa karakter yang unik. Cayley(1889) menyatakan dalam rumusnya bahwa untuk n buah simpul, terdapat n n-2 buah phn berlabel. Atau dalam persamaan adalah sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) prses berikut hingga S ksng dan label berukuran dua : 1. Identifikasi nilai terendah yang tidak muncul pada string, sebut sebagai v i, serta elemen pertama pada string, sebut sebagai v j. 2. Tambahkan v i pada graf yang akan dibentuk, kemudian hubungkan dengan v j ( apabila v j belum terdapat dalam graf, tambahkan terlebih dahulu) 3. Hapus v i serta elemen pertama dari string tersebut. Setelah pengulangan selesai, hubungkan dua nilai yang tersisa pada string, maka didapatlah hasil sebuah phn yang memiliki Kde Prüfer S. Pemetaan dari Kde Prüfer ke dalam phn disebut bijektif. III. PEMBAHASAN A. Pengujian Kde Prüfer dalam Kmpresi Phn Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya dari makalah ini, Kde Prüfer berfungsi untuk memperkecil ukuran dari data yang berupa phn. Langkah-langkah yang harus dilakukan telah dijelaskan pada bagian Teri Dasar. Pada bagian ini, akan diuji apakah langkah-langkah yang telah dijelaskan terbukti dapat membuat suatu phn menjadi lebih sederhana, dan apakah nantinya kde yang telah dibuat dapat dikembalikan menjadi phn yang identik tanpa mengetahui bentuk phn sebelumnya. Sebagai cnth, apabila kita memiliki sebuah phn dengan bentuk sebagai berikut : Dimana n adalah jumlah dari simpul, serta d1-dn adalah derajat dari masing-masing simpul tersebut. II.III Kde Prüfer Berikut adalah teri dari Heinz Prüfer yang isinya kurang lebih sebagai berikut. II.III.I. Membuat Kde Prüfer dari sebuah Phn Diberikan sebuah phn T dengan vertex set {v 1,, v n } dengan v 1 < v 2 < v n. Ulangi prses berikut hingga tersisa satu simpul pada phn : 1. Hapus daun dengan label paling kecil ( prses ini akan menghasilkan upagraf dari phn T) 2. Simpan nilai label dari rangtua daun yang dihapus, ke dalam suatu string atau array. Hasil dari prses ini adalah sebuah string dengan panjang n 2 dalam {v 1,, v n }. String tersebut adalah Kde Prüfer dari phn T tersebut. Pemetaan dari Phn ke Kde Prüfer ini disebut injektif. II.III.II Membuat Phn dari Kde Prüfer Setelah phn berhasil dikmpresi, dibutuhkan cara untuk meng encde kde tersebut sehingga dapat kembali dibaca sebagai phn. Berikut adalah langkah-langkah yang harus dilakukan : Diberikan sebuah string S dengan panjang n-2 dalam bentuk {v 1,, v n } dengan v 1 < v 2 < < v n. Ulangi Gambar 3.1 Sebuah phn berlabel Hal yang pertama harus kita lakukan adalah mencari daun dengan label nilai terkecil. Dalam hal ini adalah 2. Setelah itu kita menghapus daun tersebut, dan menambahkan nilai dari label rangtuanya ke dalam kde Prüfer. S = (1) Dimana S adalah sebuah string berisi Kde Prüfer. Gambar 3.2 Bentuk phn setelah prses pertama

3 Setelah prses pertama, diperleh phn dengan bentuk demikian. Dan prses yang sama diulangi kembali, dan kini daun dengan nilai terkecil adalah 3, maka kita kembali menghapus daun tersebut dan menyimpan nilai dari rangtuanya ke dalam S. S = (1, 1) Gambar 3.6 Bentuk phn setelah prses kelima Kini daun dengan nilai terendah adalah 6. Maka kita hapus daun tersebut dan masukkan nilai rangtuanya ke dalam S. S = (1, 1, 1, 1, 6, 5) Gambar 3.3 Bentuk phn setelah prses kedua Gambar 3.7 Bentuk phn saat prses berhenti dilaksanakan Ulangi kembali prses yang sama, kali ini dengan daun berlabel 4 bernilai terendah, dan rangtuanya bernilai 1, simpan nilainya ke dalam S. S = (1, 1, 1) Pada phn yang kita miliki kini tersisa hanya dua simpul. Hal ini menandakan bahwa prses Encding dari Kde Prüfer kita telah selesai, dengan Kde Prüfer dari phn tersebut adalah : S = (1, 1, 1, 1, 6, 5) Gambar 3.4 Bentuk phn setelah prses ketiga Prses yang terakhir menghasilkan phn seperti pada gambar di atas. Phn ini hanya memiliki dua daun, dan daun dengan nilai terendah adalah 7, maka kita hapus daun tersebut dan simpan nilai rangtuanya. S = (1, 1, 1, 1) Setelah berhasil mengubah phn tersebut menjadi Kde Prüfer, kita perlu memeriksa apakah kde tersebut dapat dikembalikan menjadi sebuah phn yang identik, dengan asumsi kita tidak mengetahui terlebih dahulu bagaimana bentuk dari phn tersebut. Kde Prüfer yang diberikan memiliki 6 masukan. Sesuai dengan teri, maka phn yang akan dibangun dari kde ini akan memiliki 8 anggta, dengan label dari 1 hingga 8. Nilai terkecil yang tidak terdapat pada string S adalah 2, dan nilai pertama dari string tersebut adalah 1. Maka kita buat sebuah graf yang menghubungkan sebuah simpul berlabel 2 dengan simpul berlabel 1. Nilai 2 ditambahkan pada string S, sementara nilai pertama string tersebut dihapus. Gambar 3.5 Bentuk phn setelah prses keempat Dapat kita amati pada gambar di atas, simpul 1 yang tadinya merupakan nde dalam, kini menjadi daun, dan nilainya adalah yang terendah, maka kita hapus daun tersebut, dan tambahkan nilai rangtuanya dalam S. S = (1, 1, 1, 1, 6) Gambar 3.8 Bentuk phn setelah prses pertama S = (1, 1, 1, 6, 5, 2) Sekarang nilai terkecil yang tidak ada pada string adalah 3, sementara nilai pertama masih 1. Maka kita menggabungkan simpul 3 dengan simpul 1 yang telah terdapat pada graf. Kemudian menghapus nilai pertama dari string S, dan menambahkan nilai 3 di akhir string tersebut.

4 Gambar 3.9 Bentuk phn setelah prses kedua S = (1, 1, 6, 5, 2, 3) Gambar 3.12 Bentuk phn setelah prses kelima Nilai terkecil yang tidak terdapat pada string tersebut setelah prses sebelumnya dilakukan adalah 4, dan nilai pertama dari string tersebut adalah 1. Maka buat simpul 4 dan hubungkan dengan simpul 1 pada graf. Hapus nilai 1 dan tambahkan nilai 4 pada string S. S = (5, 2, 3, 4, 7, 1) Nilai terkecil yang belum terdapat pada string tersebut kini adalah 6, sementara nilai pertamanya adalah 5. Oleh karena itu, kita buat simpul 5 kemudian hubungkan dengan simpul 6 pada graf. Hapus nilai pertama pada string S, kemudian tambahkan nilai 6 pada string tersebut. Gambar 3.10 Bentuk phn setelah prses ketiga S = (1, 6, 5, 2, 3, 4) Nilai awal dari string S masih tetap 1, akan tetapi sekarang nilai terkecil yang tidak terdapat pada string adalah 7. Maka buat simpul 7 dan hubungkan dengan simpul 1, serta mdifikasi string S dengan menghapus nilai pertamanya, dan menambahkan 7 pada akhirnya. Gambar 3.13 Bentuk phn setelah prses keenam S = (2, 3, 4, 7, 1, 6) Dapat kita amati bahwa prses kembali berulang hingga angka yang pertama kali ditambahkan. Berikutnya kita mencari angka berapa yang hilang dari kumpulan angka ini. Karena phn akan memiliki 8 masukan, maka angka-angka yang belum ada dalam string S adalah 5 dan 8. Buat simpul dari angka-angka tersebut, lalu hubungkan pada graf yang telah kita bentuk, sehingga menghasilkan : Gambar 3.11 Bentuk phn setelah prses keempat S = (6, 5, 2, 3, 4, 7) Sekarang nilai paling pertama dari string S adalah 6, akan tetapi nilai terkecil yang tidak terdapat pada string tersebut adalah 1. Maka kita harus membuat simpul berlabel 6 dan menghubungkannya dengan simpul 1. Kemudian hapus nilai 6 dan tambahkan 1 pada string S. Gambar 3.14 Bentuk akhir phn setelah prses decding Dapat kita amati bahwa tanpa mengetahui bagaimana bentuk phnnya, kita telah berhasil membentuk sebuah phn yang strukturnya identik dengan phn sebelumnya. Hal ini membuktikan bahwa Kde Prüfer ini sahih. Dan dapat dibandingkan string S dengan phn T dari segi penulisannya :

5 S = T = (1 (2) (3) (4) (7) (6 (5 (8)))) S memiliki penulisan yang lebih sederhana, yang akan mengakibatkan ukuran datanya dalam prses algritma juga lebih sederhana dan ringan. Maka terbukti benar Kde Prüfer ini dapat digunakan untuk melakukan kmpresi data yang berupa phn. B. Algritma Sederhana untuk Kde Prüfer Setelah terbukti bahwa kmpresi dengan kde Prüfer adalah metde yang sahih, hal selanjutnya yang perlu dilakukan adalah membuat algritma dari kmpresi kde Prüfer ini sehingga dapat diterapkan dalam dunia pemrgraman. Pada kesempatan ini bahasa yang digunakan adalah dalam ntasi algritmik. functin BuatKdePrüfer(T : Phn) Array f Integer { fungsi untuk membuat kde Prüfer dari sebuah phn berlabel T } Kamus Lkal i, x, y,n : integer P : integer[0..n-3] functin HitungNde (T : Phn) integer { fungsi untuk menghitung jumlah simpul dari sebuah phn} Prcedure DeleteDaunTerkecil (input : T : Phn, utput : T : Phn, y : integer) {Prsedur untuk menghapus sebuah daun terkecil dari phn, dan mengembalikan phn yang telah dikeluarkan daunnya beserta integer y yang berisi nilai rangtua dari daun x yang dihapuskan I.S. : Phn tidak bleh ksng, x adalah daun dari phn yang bersangkutan. F.S. : Phn yang baru akan berkurang daun yang berlabel x, dan y akan berisi nilai dari label rangtua daun x} Algritma n HitungNde(T) fr i0 t n-3 d P DeleteDaunTerkecil(T, y) P[i] y Demikianlah garis besar dari algritma untuk membuat Kde Prüfer dari sebuah Phn. Sementara untuk algritma decding dari Kde Prüfer tersebut menjadi phn adalah sebagai berikut : functin DecdingPrüfer(P : Array f Integer) Phn { fungsi untuk membngkar sebuah Kde Prüfer menjadi sebuah Phn } Kamus Lkal i,m, n, x, y, a, b : integer T : Phn functin IsAnggta (P : Array f Integer, x : integer) blean { fungsi untuk memeriksa apakah sebuah integer adalah anggta dari suatu array f integer} Prcedure DeleteFirstElmt (input : P : Array f Integer, utput : P : Array f Integer, y : integer) {Prsedur untuk menghapus elemen pertama dari sebuah array f integer, dan kemudian memasukkan nilai dari elemen pertama tersbeut ke sebuah integer y. I.S. : Array tidak bleh ksng. F.S. : Anggta pertama Array akan terhapus, dan terbentuk Array baru dengan anggta yang telah bergeser satu elemen ke depan, dan y berisi elemen pertama dari array} Prcedure AddTTree (input : T : Phn, x, y : integer, utput : T : Phn) {Prsedur untuk Menambahkan daun pada sebuah Phn. Apabila kedua integer belum ada yang menjadi bagian dari phn tersebut, maka akan dibuat phn baru dengan simpul x dan y terhubung. I.S. : Phn bleh ksng. F.S. : Phn memiliki elemen tambahan x dan y, apabila salah satunya telah terdapat pada phn, maka integer yang lain akan menjadi anak dari integer yang telah terdapat pada phn tersebut} functin HitungAnggta (P : Array f Integer) integer { fungsi untuk menghitung jumlah anggta dari sebuah array f integer}

6 Algritma m HitungAnggta(P) fr i0 t m-1 d a 1 x 1 b a + 1 while IsAnggta(P,x) d x x + 1 {x akan berisi integer terkecil yang tidak berada pada array} DeleteFirstElmt(P,y) AddTTree(T,x,y) n HitungAnggta(P) P[n] x while IsAnggta(P,a) d a a + 1 while IsAnggta(P,b) d AddTTree(T,a,b) T b b + 1 Demikianlah garis besar dari algritma untuk mengubah Kde Prüfer kembali menjadi sebuah phn. Adapun semua fungsi dan prsedur antaranya tidak disertakan realisasinya, akan tetapi manfaatnya telah dijelaskan pada definisi dan spesifikasinya. C. Sifat-sifat dari Kde Prüfer dan pembuktiannya Kde Prüfer memiliki beberapa karakteristik yang dapat dijadikan pedman dalam pengaplikasiannya antara lain : - Setiap vertex v i akan muncul sejumlah 1 nilai lebih kecil daripada derajat vertex tersebut. Dapat dilihat dari Kde Prüfer cnth, dimana angka 1 muncul sebanyak 4 kali, dan kita lihat bahwa dalam phn T, simpul 1 berderajat 5 (2,3,4,7,6). Berarti sifat ini terbukti benar. - Setelah daun pertama dihapus dan label rangtuanya disimpan, Kde Prüfer berikutnya sama persis dengan Kde Prüfer dari Upaphn T tanpa simpul vi. Misalkan kita menghapus daun 2 dari phn T yang menjadi cnth, maka Kde Prüfer yang akan kita dapatkan adalah : S = (1, 1, 1, 6, 5) Maka sifat inipun terbukti benar adanya. - Jika daun dengan label terendah berbeda, maka Kde Prüfer dari dua phn akan berbeda. Sifat ini telah dibuktikan dengan sifat sebelumnya. - Jika daun dengan label terendah sama, akan tetapi psisi label dari simpul berbeda, akan menghasilkan Kde Prüfer yang berbeda. Gambar 3.15 Dua Buah Phn dengan label daun terkecil sama, akan tetapi susunan daunnya berbeda Dapat dilihat bahwa kedua phn di atas mirip, akan tetapi psisi label 5 dan 8 berbeda. Dengan menggunakan metde yang dijelaskan di atas, diperleh Kde Prüfer untuk kedua Phn : S1 = (1, 1, 1, 1, 6, 5) S2 = (1, 1, 1, 8, 1, 6) Dapat kita amati bahwa Kde Prüfernya berbeda, berarti sifat ini terbukti benar Ada banyak sifat dari Kde Prüfer yang dapat ditemukan, akan tetapi pada makalah ini pembahasan dibatasi hanya sampai sifat-sifat ini saja. Demikianlah pembahasan mengenai Kde Prüfer mulai dari pembuktian kebenaran, algritma, sampai dengan sifat-sifatnya. V. SIMPULAN Kde Prüfer merupakan salah satu metde kmpresi yang unik, dimana kde ini dikhususkan untuk sebuah graf phn. Meskipun tingkat kmpresinya tidak terlalu besar, akan tetapi dapat dimanfaatkan dalam pemrgraman untuk memperingan data yang akan dikirim. VI. UCAPAN TERIMA KASIH Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat- Nyalah makalah ini dapat diselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Rinaldi Munir, yang berkat pengajaran dan bimbingannya, penulis mendapat ilmu yang berguna bagi penyelesaian makalah ini. Tak lupa juga penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam prses penyelesaian makalah ini. VII. REFERENSI [1] Wang, Xiadng, dkk., An Optimal Algrithm fr Prufer Cdes, Atlanta : Gergia Institute f Technlgy, 2009.

7 [2] Munir, Rinaldi Slide Perkuliahan IF2091. Bandung : Institut Teknlgi Bandung. [3] Kenneth H. Rsen, Discrete Mathematics and Applicatin t Cmputer Science 7th Editin, Mc Graw-Hill, Hal [4] Priell, Nimrd, On Cmpressing Trees with Prufer Cdes, URL : prufer-cdes/ diakses tanggal 16 Desember 2012 pukul WIB [5] Prufer Cde URL : diakses tanggal 16 Desember pukul WIB [6] Prufer Cdes URL : diakses tanggal 16 Desember 2012 pukul PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa makalah yang saya tulis ini adalah tulisan saya sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah rang lain, dan bukan plagiasi. Bandung, 19 Desember 2012 Ygi Salm Mangntang Pratama( )