PENERAPAN ALGORITMA GENETIKA PADA OPTIMASI MODEL PENUGASAN. Wayan Firdaus Mahmudy Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Brawijaya ABSTRAK

Transkripsi

1 PENERAPAN ALGORITMA GENETIKA PADA OPTIMASI MODEL PENUGASAN Wayan Firdaus Mahmudy Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Brawijaya ABSTRAK Model penugasan (assignment model) merupakan kasus khusus dari model pemrograman linier (linear programming). Karakteristik khusus yang ada pada model khusus ini diantaranya ialah cenderung membutuhkan pembatas (constrains) dan variabel yang sangat banyak sehingga penggunaan komputer dalam penyelesaiannya dengan model matematis (misalnya dengan metode simplex) akan sangat mahal atau proses perhitungannya sangat panjang dan tidak praktis. Masalah akan bertambah jika ada pembatas khusus yang sulit dibuat model matematikanya. Pada penelitian ini digunakan algoritma genetika untuk menyelesaikan masalah penugasan. Algoritma genetika merupakan salah satu metode heuristik yang merupakan cabang dari evolutionary algorithm, yaitu suatu teknik untuk memecahkan masalah-masalah optimasi yang rumit dengan menirukan proses evolusi mahluk hidup. Masalah penugasan yang diselesaikan dalam penelitian ini adalah masalah penugasan mengajar dosen. Setiap dosen diberi formulir untuk memilih matakuliah mulai dari yang paling disukai. Semakin tinggi tingkatan kesukaan dosen terhadap matakuliah tertentu berarti biayanya (dalam matriks biaya/cost) semakin rendah. Implementasi algoritma genetika dengan program komputer menghasilkan keluaran pembagian mengajar dosen dengan total biaya terkecil. Solusi yang dihasilkan sama dengan solusi dari metode deterministik menggunakan metode simplex. Waktu penyelesaiannya juga relatif cepat. Pada matriks biaya berukuran 16 x 16 solusi optimal dihasilkan dalam waktu kurang dari 5 detik. ABSTRACT Assignment model is a special case a linear programming. Special characteristic on this model needs much constrains. Using a software to find solution with mathematic model will be very expensive and unpractical. This research applies genetic algorithm to find the solution of assignment model. Assignment problem to be solved is lecturer assignment. Every lecturer chooses some favourite course. Higher favorite course degree has lower cost. An implementation of genetic algorithm by using software produce solutions of lecturer assignment with smallest cost. This solutions are equivalent with deterministic method using simplex methods. On cost matrix has 16 x 16 size, optimal solutions produced less than 5 seconds. 1. Pendahuluan Model penugasan (assignment model) merupakan kasus khusus dari model pemrograman linier (linear programming). Karakteristik khusus yang ada pada model khusus ini diantaranya ialah cenderung membutuhkan pembatas (constrains) dan variabel yang sangat banyak sehingga penggunaan komputer dalam penyelesaiannya dengan model matematis (misalnya dengan metode simplex) akan sangat mahal atau proses perhitungannya sangat panjang dan tidak praktis. Masalah akan bertambah jika ada pembatas khusus yang sulit dibuat model matematikanya (Taha, 1993). Untuk mengatasi kasus khusus seperti di atas dapat digunakan metode heuristik, yaitu suatu metode pencarian yang didasarkan atas intuisi atau aturan-aturan empiris untuk memperoleh solusi yang lebih baik daripada solusi yang telah dicapai sebelumnya (Gen, 1997). Algoritma genetika merupakan salah satu metode heuristik yang merupakan cabang dari evolutionary algorithm, yaitu suatu teknik untuk memecahkan masalah-masalah optimasi yang rumit dengan menirukan proses evolusi mahluk hidup. Algoritma genetika berkembang seiring dengan perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat. Algoritma ini banyak digunakan dalam bida ng fisika, biologi, ekonomi, sosiologi dan lain-lain yang sering menghadapi masalah optimasi yang model matematikanya kompleks atau ba hkan sulit dibangun (Rennard, 2000). 1

2 Model Penugasan Pada model penugasan terdapat sejumlah m sumber ditugaskan kepada sejumlah n tujuan (satu sumber untuk satu tujuan) sedemikian sehingga didapat ongkos total minimum. Biasanya yang dimaksud dengan sumber ialah pekerjaan (atau pekerja), sedangkan yang dimaksud dengan tujuan ialah mesin-mesin (dalam masalah pendidikan pekerja adalah dosen dan mesin adalah mata kuliah). Jadi terdapat m pekerjaan yang ditugaskan kepada n mesin yang apabila pekerjaan i (i =1,2,3,,m) ditugaskan kepada mesin j (j =1,2,3,,n) akan muncul ongkos penugasan c ij. Karena satu pekerjaan ditugaskan hanya pada satu mesin, maka supply yang dapat digunakan pada setiap sumber adalah 1. (atau a i =1, untuk seluruh i). Demikian pula halnya dengan mesin-mesin; karena satu mesin hanya dapat menerima satu pekerjaan, maka demand dari setiap tujuan adalah 1(atau b j =1, untuk seluruh j). Jika ada suatu pekerjaan yang tidak dapat ditugaskan pada mesin tertentu, maka c ij yang berkorespondensi dengannya dinyatakan sebagai M yang merupakan ongkos yang sangat tinggi (Taha, 1993). Penggambaran umum persoalan penugasan adalah sebagai berikut: Mesin 1 2 N 1 C 11 c 12 c 1n Pekerjaan 2 C 21 c 22 c 2n m c m1 c m2 c mn Secara matematis, model penugasan dapat dinyatakan sebagai berikut: x ij 0, 1, jika pekerjaan ke - i tidak ditugaskan pada mesin ke - j jika pekerjaan ke - i ditugaskan Dengan demikian, model persoalan penugasan ini adalah: Minimumkan: z = c ij x ij i=1 j=1 berdasarkan pembatas: m x ij = 1, j=1 n m i=1,2,,n pada mesin ke - j n x ij = 1, i=1 j=1,2,,m x ij = 0 atau 1 Dalam dunia pendidikan terdapat masalah seperti: - jika seorang dosen sudah ditugaskan di mata kuliah semester satu maka penugasan kedua adalah pada mata kuliah semester lima. - ada penugasan paralel yang berkaitan, misalnya seorang dosen yang ditugaskan mengajar di program Strata Satu dan Strata Dua. Jika dosen A mengajar di Strata Satu lebih dari 5 sks maka penugasan di Strata Dua maksimal 3 sks - jika dosen A mengajar mata kuliah X maka dia juga harus mengajar mata kuliah Y. Algoritma Genetika Algoritma genetika adalah salah satu cabang evolutionary algorithms, yaitu suatu teknik optimasi yang didasarkan pada genetika alami. Dalam algoritma genetika untuk menghasilkan suatu solusi optimal, 2

3 proses pencarian dilakukan di antara sejumlah alternatif titik optimal berdasarkan fungsi probabilistik. Apabila dibandingkan dengan prosedur pencarian dan optimasi biasa, algoritma genetik a berbeda dalam beberapa hal sebagai berikut (Michalewicz,1996): Manipulasi dilakukan terhadap kode dari himpunan parameter, tidak secara langsung terhadap parameternya sendiri. Proses pencarian dilakukan dari suatu titik populasi, tidak dari satu titik saja. Proses pencarian menggunakan informasi dari fungsi tujuan. Pencariannya menggunakan stochastic operators yang bersifat probabilistik, tidak menggunakan aturan deterministik. Masalah utama pada algoritma genetika adalah bagaimana memetakan satu masalah menjadi satu string kromosom. Siklus perkembangan algoritma genetik diawali dengan pembuatan himpu nan solusi baru (initialization) yang terdiri atas sejumlah string kromosom dan ditempatkan pada penampungan populasi. Kemudian dilakukan proses reproduksi dengan memilih individu -individu yang akan dikembangbiakkan. Penggunaan operator-operator genetik seperti pindah silang (crossover) dan mutasi (mutation) terhadap individu-individu yang terpilih dalam penampungan individu akan menghasilkan keturunan atau generasi baru. Setelah proses evaluasi untuk perbaikan populasi, maka generasi -generasi baru ini akan menggantikan himpunan populasi asal. Siklus ini akan berlangsung berulang kali sampai tidak dihasilkan perbaikan keturunan, atau sampai kriteria optimum ditemukan. Apabila P(t) dan C(t) merupakan parents dan children pada generasi ke-t, maka struktur umum algoritma genetika dapat dideskripsikan sebagai berikut: procedure AlgoritmaGenetika begin t = 0 inisialisasi P(t) while (bukan kondisi berhenti) do evaluasi P(t) seleksi P(t) reproduksi C(t) dari P(t) bentuk P(t+1) dari P(t) dan C(t) terbaik t = t + 1 end while end Inisialisasi Populasi Siklus perkembangan algoritma genetik diawali dengan pembuatan himpunan solusi baru (initialization) yang terdiri atas sejumlah string kromosom dan ditempatkan pada penampungan populasi. Populasi awal sebagai daerah pencarian solusi optimal dibangkitkan secara acak. Representasi kromosom diperlukan untuk menjelaskan setiap individu dalam populasi. Setiap individu atau kromosom tersusun atas urutan gen dari suatu alphabet. Suatu alfabet dapat t erdiri dari digit biner (0 dan 1), floating point, integer, symbol-simbol (seperti A, B, C), matriks, dan lain sebagainya (Houck, 1999). Pada masalah penugasan mengajar dosen misalkan terdapat 10 mata kuliah dan 5 orang dosen maka bisa dibuat individu / kromosom pertama sebagai berikut: Gambar 1. Individu Pertama Panjang kromosom sesuai dengan banyaknya matakuliah. Angka dalam setiap sel (gen) merupakan nomer dosen. Dari Gambar 1 bisa dibaca dosen ke-1 memegang mata kuliah ke-1 dan ke-2. Dosen ke-2 memegang mata kuliah ke-3 dan ke-4, demikian seterusnya. Pada Gambar 1 diasumsikan setiap dosen memegang dua mata kuliah. Jika diinginkan banyaknya matakuliah yang dipegang tidak sama maka bisa dibuat sebagai berikut: 3

4 Gambar 2. Individu Pertama dengan Distribusi Gen Tidak Merata Evaluasi Individu Hal penting dalam algoritma genetika adalah pemilihan individu / kromosom untuk menghasilkan keturunan berikutnya. Pemilihan dilakukan berdasarkan nilai kesesuaian ( fitness value) setiap individu. Pada masalah penugasan terdapat matriks biaya. Dari setiap individu bisa dihitung biaya total. Karena tujuan optimasi adalah meminimalkan total biaya maka fitness value bisa dihitung sebagai berikut: fitness value = konstanta total biaya Konstanta dihitung dengan cara menjumlahkan nilai elemen matriks biaya terbesar pada tiap baris. Seleksi Populasi Seleksi merupakan proses untuk memilih individu yang akan menjadi induk pada proses reproduksi. Pemilihan dilakukan secara probabilistik. Individu yang mempunyai fitness value lebih besar mempunyai peluang lebih besar untuk menjadi induk dari individu berikutnya. Untuk setiap individu k dengan nilai fungsi fitness value f k maka peluang individu tersebut terpilih sebagai induk adalah: p k n f j1 k f j ; n : ukuran populasi Reproduksi Individu baru dihasilkan dari dua induk dengan melakukan tukar silang ( crossover). Tingkat tukar silang (crossover rate) yang tinggi memungkinkan eksplorasi daerah solusi dan mengurangi resiko pencar ian terjebak dalam local maksima. Namum hal ini membuat daerah pencarian terlalu luas. Tukar silang yang dipakai dalam penelitian ini adalah tukar silang 1 titik dengan memilih titik potong secara random dan mempertukarkan daerah sesudah titik tukar antar parents. Parent Parent Child Gambar 3 Ilustrasi tukar silang 1 titik. Individu yang baru terbentuk bisa mengalami proses mutasi. Gambar 4 di bawah ini menunjukkan bagaimana mutasi dilakukan. Individu Hasil mutasi Gambar 4 Ilustrasi mutasi dengan 2 titik tukar 4

5 2. Metode Penelitian Data yang dipakai dalam penelitian ini adalah penugasan mengajar pada Program Studi Manajemen Informatika Jurusan Matematika, Fakultas MIPA Universitas Brawijaya. Setiap dosen diberi formulir untuk memilih matakuliah mulai dari yang paling disukai. Semakin tinggi tingkat kesukaan dosen terhadap matakuliah tertentu berarti biayanya (dalam matriks biaya/cost) semakin rendah. Data ini dikonversi menjadi matriks biaya. Jika dosen tidak memilih satu matakuliah maka pada matriks biaya akan diberi nilai 100. Matriks biaya ini menjadi masukan bagi algoritma genetika yang telah diimplementasikan dalam bentuk perangkat lunak. 3. Hasil Dan Pembahasan Perangkat lunak yang dibuat pada penelitian ini dikhususkan pada masalah penugasan mengajar dosen. Perangkat lunak menghasilkan output pembagian mengajar dosen dengan total biaya terkecil. Uji coba program dilakukan menggunakan komputer dengan prosesor Pentium IV dan memori 256 kb. Hasil ujicoba dibandingkan dengan solusi optimal yang dihasilkan dengan mencoba semua kemungkinan susunan pengajar. Uji Coba dengan Pembagian Kelas Merata Pada uji coba ini dimasukan data kesukaan dosen terhadap matakuliah sebagai berikut DAFTAR DOSEN Nama Beban MK Urutan MK Kesukaan 1. Ach. Ridok Achmad Basuki Bondan Dian Eka R Edi Santoso Kasyful Marji Muh.Arif Rahman Nurul Hidayat Wayan FM DAFTAR MATAKULIAH Matakuliah Kelas 1. Algoritma 1 2. Analisis Sistem Informasi 1 3. Arsitektur Komputer 1 4. Bahasa Pemrograman 1 (Pascal) 1 5. Bahasa Pemrograman 2 (Delphi) 1 6. Bahasa Pemrograman 3 (C++) 1 7. Bahasa Pemrograman 4 (Visual Basic) 1 8. Bahasa Pemrograman 5 (Prog Internet) 1 9. Basis Data Lanjutan Desain Multimedia 1 Sebelum diproses dengan algoritma genetika, program menghitung matriks biaya sebagai berikut:

6 Banyaknya baris matriks sesuai dengan banyaknya kelas matakuliah. Banyaknya kolom sesuai dengan banyaknya dosen. Nilai yang ada pada matriks di atas merupakan urut an kesukaan dosen terhadap matakuliah. Nilai 100 menunjukkan dosen tidak memilih matakuliah tersebut. Individu pertama (ukuran populasi=50) dibangkitkan secara acak. Pada akhir iterasi (iterasi ke-60, kondisi konvergen, waktu proses 3 detik) dihasilkan kromosom sebagai berikut Iterations 60 Chromosom Fitness Total Cost > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

7 > > > > > > > > > Solusi terbaik (total biaya = 20) merupakan solusi optimal. Dengan mencoba semua kemungkinan diperlukan iterasi sebanyak 10! (sesuai banyaknya kelas) dengan waktu perhitungan 25 detik. Gambar 5 menunjukkan penurunan total biaya pada tiap iterasi. Gambar 5. Grafik total biaya tiap iterasi Dari hasil di atas program menghasilkan solusi penugasan sebagai berikut: DAFTAR DOSEN MATAKULIAH Matakuliah Dosen Algoritma Ach. Ridok 2. Analisis Sistem Informasi Marji 3. Arsitektur Komputer Edi Santoso 4. Bahasa Pemrograman 1 (Pascal) Kasyful 5. Bahasa Pemrograman 2 (Delphi) Dian Eka R 6. Bahasa Pemrograman 3 (C++) Muh.Arif Rahman 7. Bahasa Pemrograman 4 (Visual Basic) Wayan FM 8. Bahasa Pemrograman 5 (Prog Internet) Bondan 9. Basis Data Lanjutan Achmad Basuki 10. Desain Multimedia Nurul Hidayat Hasil percobaan selengkapnya dengan pembagian kelas merata adalah sebagai berikut Banyak Kelas Semua Kemungkinan Algoritma Genetika Solusi Optimum Waktu Solusi Terbaik Waktu

8 Dari tabel di atas bisa dilihat jika banyak kelas semakin besar maka algoritma genetika hanya menghasilkan solusi yang mendekati optimal tetapi waktu perhitungannya relatif kecil. Uji Coba dengan Pembagian Kelas Tidak Merata Pada uji coba ini dimasukan data kesukaan dosen terhadap matakuliah sebagai berikut: DAFTAR DOSEN Nama Beban MK Urutan MK Kesukaan 1. Ach. Ridok Achmad Basuki Bondan Dian Eka R Edi Santoso Kasyful Marji Muh.Arif Rahman Nurul Hidayat Wayan FM DAFTAR MATAKULIAH Matakuliah Kelas 1. Algoritma 1 2. Analisis Sistem Informasi 2 3. Arsitektur Komputer 3 4. Bahasa Pemrograman 1 (Pascal) 2 5. Bahasa Pemrograman 2 (Delphi) 1 6. Bahasa Pemrograman 3 (C++) 1 7. Bahasa Pemrograman 4 (Visual Basic) 1 8. Bahasa Pemrograman 5 (Prog Internet) 1 9. Basis Data Lanjutan Desain Multimedia Desain Web Grafika Komputer 1 Pada data di atas beban mengajar dosen tidak sama. Matriks biaya yang dihasilkan sebagai berikut:

9 Pada akhir iterasi (konvergen pada iterasi ke-110, waktu proses 4 detik) dihasilkan solusi terbaik dengan total biaya = 31 yang mendekati solusi optimal. Dengan mencoba semua kemungkinan dihasilkan solusi optimal dengan total biaya = 31, tetapi perhitungan ini memerlukan iterasi sebanyak 16! dengan waktu perhitungan perhitungan lebih dari 5 jam. Gambar 6 menunjukkan penurunan total biaya pada tiap iterasi. Gambar 8. Grafik total biaya tiap iterasi Dari hasil di atas program menghasilkan tampilan solusi sebagai berikut: DAFTAR DOSEN MATAKULIAH Matakuliah Dosen Algoritma Edi Santoso 2. Analisis Sistem Informasi Marji 3. Analisis Sistem Informasi Nurul Hidayat 4. Arsitektur Komputer Edi Santoso 5. Arsitektur Komputer Kasyful 6. Arsitektur Komputer Kasyful 7. Bahasa Pemrograman 1 (Pascal) Dian Eka R 8. Bahasa Pemrograman 1 (Pascal) Kasyful 9. Bahasa Pemrograman 2 (Delphi) Dian Eka R 10. Bahasa Pemrograman 3 (C++) Muh.Arif Rahman 11. Bahasa Pemrograman 4 (Visual Basic) Wayan FM 12. Bahasa Pemrograman 5 (Prog Internet) Bondan 13. Basis Data Lanjutan Achmad Basuki 14. Desain Multimedia Bondan 15. Desain Web Wayan FM 16. Grafika Komputer Ach. Ridok Pola hasil percobaan selengkapnya dengan pembagian kelas tidak merata hampir sama dengan pola 9

10 hasil percobaan dengan pembagian kelas merata. Pada banyak kelas sedikit, algoritma genetika memberikan hasil optimal, tapi jika banyak kelas semakin besar maka algoritma genetika hanya menghasilkan solusi yang mendekati optimal tetapi waktu perhitungannya relatif kecil. Kesimpulan Algoritma genetika dapat menyelesaikan masalah penugasan dosen dalam waktu yang cepat. Solusi optimal diperoleh jika banyaknya kelas sedikit, jika banyak kelas semakin besar maka algoritma genetika hanya menghasilkan solusi yang mendekati optimal. Saran Untuk mendapatkan hasil yang baik dan cepat, nilai tingkat tukar silang dan mutasi harus diatur sedemikian rupa. Perlu dilakukan penelitian untuk mendapatkan nilai ini secara otomatis bergantung masalah yang diselesaikan. DAFTAR PUSTAKA Gen, Mitsuo dan Cheng, Runwei (1997). Genetic Algorithms and Engineering Design. John Wiley & Sons. Houck, Christoper R, Jeffrey K dan Michael G Kay. (1999). A Genetic Algorithms for Function Optimization: A Matlab Implementation. ml. Michalewicz, Zbigniew. (1996). Genetic Algorithms + Data Structures = Evalution Programs. Springer. Rennard, JP. (2000). Genetic Algorithms Viewer. Taha, Hamdy A., (1993). Operations Research: An Introduction. Edisi ketiga. Macmillan Publishing Co, New York. 10