Buana Matematika: Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika Volume 8, Nomor 1, Tahun 2018 p-issn 2088-3021 e-issn 2598-8077 MODEL MATEMATIKA ALIRAN TAK TUNAK FLUIDA VISKOELASTIK MELEWATI SILINDER ELIPTIK DENGAN PENGARUH SUMBER PANAS (HEAT GENERATION) Annisa Dwi Sulistyaningtyas Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Adi Buana Surabaya annisadwistyas@unipasby.ac.id Abstract The mathematical model is the representation of problem to gain a quantitative and qualitative understanding formed within the mathematical framework. The purpose of this research is obtained a mathematical model on unsteady flow of viscoelastic fluid passing through an elliptical cylinder with the influence of heat generation. The governing equations are developed from continuity equation, momentum equation, and energy equation. Dimensional equations are transformed into non-dimensional form and then classified into the similarity equations using boundary layer theory. The result of this research is indicated the effect of heat generation from mathematical model on unsteady flow of viscoelastic fluid. Keywords: unsteady flow, viscoelastic fluid, elliptic cylinder, heat generation PENDAHULUAN Model matematika merupakan respresentasi dari suatu permasalahan untuk mendapatkan pengertian secara kuantitatif dan kualitatif yang dibentuk dalam kerangka matematika. Banyak peneliti yang menggunakan model matematika, khususnya di bidang matematika terapan untuk digunakan sebagai dasar dalam penelitian yang dilakukan. Misalnya di bidang fluida, model matematika digunakan sebagai dasar dalam menyelesaikan permasalahan numerik pada studi kasus yang diambil. Sehingga dalam menyelesaikan permasalahan tersebut model matematika yang digunakan sebaiknya tidak rumit. Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan model matematika pada aliran tak tunak fluida viskoelastik yang melewati silinder eliptik dengan pengaruh sumber panas (heat generation). Aliran tak tunak merupakan aliran yang mengakibatkan perubahan suatu variabel dan waktu di suatu tempat terntentu. Aliran tak tunak tersebut bekerja secara konveksi pada aliran fluida viskoelastik, yaitu fluida yang bersifat viscous (kental) dan elastis sehingga mengakibatkan timbulnya gesekan antara fluida dengan permukaan benda dan memicu timbulnya lapisan-lapisan batas. Pada umumnya bentuk konveksi dibagi menjadi dua, yakni konveksi bebas (free convection) dan konveksi paksa (forced convection). Konveksi bebas disebabkan oleh gaya apung (buoyancy forces) yang dihasilkan dari perbedaan massa jenis. Sedangkan konveksi 31
Annisa Dwi Sulistyaningtyas: Model Matematika Aliran Tak Tunak Fluida Viskoelastik Melewati Silinder Eliptik Dengan Pengaruh Sumber Panas (Heat Generation) paksa terjadi pada saat fluida dipaksa untuk mengalir di atas permukaan oleh sumber eksternal maupun internal. Sumber eksternal bekerja pada saat fluida mengalir tanpa batasan benda padat atau dengan kata lain fluida mengalir di atas permukaan bidang. Sumber internal bekerja pada saat fluida mengalir di antara benda padat, misalnya mengalir melalui pipa (Kasim,2014). Pada pengaplikasian di bidang teknik, banyak peneliti yang melakukan penelitian terhadap jenis-jenis konveksi. Model matematika yang dibangun pada penelitian ini berasal dari pengembangan persamaan kontinuitas, momentum, dan energi. Persamaan teori lapisan batas (boundary layer theory equation) sederhana merupakan upaya awal untuk menghitung permasalahan tersebut. Persamaan dimensional kontinuitas, momentum, dan energi ditransformasikan ke persamaan nondimensional dan selanjutnya dikelompokkan ke dalam persamaan similaritas menggunakan teori lapisan batas. METODE PENELITIAN 1. Studi Literatur Pada bagian ini peneliti melakukan studi literatur terhadap hal-hal yang berkaitan dalam proses penelitian, misalnya literatur mengenai aliran tak tunak, fluida viskoelastik, lapisan batas, silinder eliptik, heat generation, dan hal lain yang berkaitan dalam permasalahan ini. 2. Pengumpulan Data Penelitian Pada tahap ini dilakukan pengumpulan data dengan cara menentukan variabelvariabel yang berhubungan dengan kecepatan dan temperatur yang terjadi pada aliran fluida. Variabel-variabel yang mempengaruhi pada studi kasus ini adalah sebagai berikut: a. Skin friction coefficient C f = τ w ρ U2 b. Bilangan Grashoft Gr = gβaq wa 3 kv 2 c. Temperatur dinding aq w θ w = k(t w T ) d. Parameter viskoelastik K = k 0Gr 1/2 ρa 2 e. Bilangan Prandtl Pr = ν α f. Parameter sumber panas (heat generation) γ = a2 Q 0 νc p Gr 1/2 3. Pembangunan Model Matematika Pada bagian ini dikaji model matematika pada aliran tak tunak fluida viskoelastik yang melewati silinder eliptik. Setiap model mempunyai karakteristik tertentu. Sehingga untuk mengembangkan model perlu dikaji terlebih dahulu dalam kaitan untuk mendapatkan model yang sesuai dengan yang diharapkan. Model fisik silinder eliptik seperti pada Gambar 1. Gambar 1. Model Silinder Eliptik Tiga Dimensi 32
Buana Matematika: Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika Volume 8, Nomor 1, Tahun 2018 p-issn 2088-3021 e-issn 2598-8077 Langkah-langkah dalam membangun model adalah sebagai berikut: a. Membangun model matematika dari persamaan dimensional, yaitu persamaan kontinuitas, momentum, dan energi; b. Menentukan kondisi batas (boundary condition) yang digunakan dalam pembangunan model matematika tersebut; c. Mentransformasikan persamaan dimensional ke persamaan nondimensional yang selanjutnya dikelompokkan ke dalam persamaan similaritas dengan menggunakan teori lapisan batas; Gambar 2. Model fisik dan sistem koordinat dari aliran yang melalui silinder eliptik tampak dari depan d. Menemukan model matematika dari aliran tak tunak fluida viskoelastik yang melewati silinder eliptik tersebut; e. Mencari pengaruh sumber panas (heat generation) berdasarkan model matematika yang telah ditemukan. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada penelitian ini, persamaan pembangun yang digunakan berasal dari persamaan kontinuitas, momentum, dan energi. Persamaan-persamaan tersebut adalah sebagai berikut: Persamaan kontinuitas: ρ + + v y = 0 (1) Persamaan momentum: y ) = P + τ xx + τ yx y + F x v v y ) = P y + τ xy + τ yy y + F y (2) Persamaan energi: ( T T T y ) = α 2 T y + Q 0 (T T 2 ρc ) (3) p Pada Persamaan (2), pengaruh gaya kental fluida ( τ ) diselesaikan dengan menggunakan tensor Walter-B yang didefinisikan sebagai berikut (Kasim, 2014): τ ij = μ 0 (2d ij ) k 0 (2d ij ) (4) dengan d ij = V. (d ij ) (d ij )( V) T. V(d ij ) (5) dan d ij = 1 2 [ V j + V i ] (6) i j Dengan mensubstitusikan Persamaan (4) sampai (6) ke Persamaan (2), diperoleh persamaan momentum pada sumbu-x sebagai berikut: y ) = P + μ 0 [ 2 u 2 + 2 u y 2] k 0 [u ( 3 u 3 + 3 u y 2) + v ( 3 u 2 y + 3 u y 3) y ( 2 u y + 2 v v 2 u 2) 2 y (3 2 u 2 2 u y 2)] + F x (7) Dan persamaan momentum pada sumbu-y: v v y ) = P y + μ 0 [ 2 v 2 + 2 v y 2] k 0 [u ( 3 v + 3 v 3 y 2) + v ( 3 v 2 y + 3 v y 3) + 33
Annisa Dwi Sulistyaningtyas: Model Matematika Aliran Tak Tunak Fluida Viskoelastik Melewati Silinder Eliptik Dengan Pengaruh Sumber Panas (Heat Generation) (3 2 v y 2 2 v v 2) ( 2 v y + 2 u y 2) 2 2 v y y ] + F y (8) Pada kasus ini, aliran fluida dipengaruhi oleh gaya yang bekerja pada fluida. Sehingga, gaya yang bekerja pada fluida F = (F x, F y, 0) didefinisikan sebagai berikut: F = ρg (9) dengan: g : gravitasi ρ : massa jenis fluida Pada aliran dua dimensi, gaya gravitasi didefinisikan dengan g = ( g x, g y, 0). Sehingga Persamaan (7) dapat ditulis sebagai berikut: y ) = P + μ 0 [ 2 u + 2 u 2 y 2] k 0 [u ( 3 u + 3 u 3 y 2) + v ( 3 u 2 y + 3 u y 3) y ( 2 u y + 2 v v 2 u 2) 2 y (3 2 u 2 u 2 y 2)] g x (16) dan Persamaan (8) dapat ditulis sebagai berikut: v v y ) = P y + μ 0 [ 2 v + 2 v 2 y 2] k 0 [u ( 3 v + 3 v 3 y 2) + v ( 3 v 2 y + 3 v y 3) + (3 2 v y 2 v v 2 2) ( 2 v y + 2 u y 2) 2 2 v y y ] g x (17) Persamaan (16) dan (17) direduksi ke bentuk persamaan yang lebih sederhana untuk menghasilkan persamaan pendekatan atau yang disebut dengan persamaan lapisan batas (Bejan, 2004). Teori lapisan batas yang digunakan dalam proses penyederhanaan diukur ke dalam bentuk unit 1 dan sebagai berikut (Ozisik, 1985): u~1, x~1, v~, y~, k 0 ρ ~ 2, μ 0 ρ ~ 2, g~1, σ~ 1 2, B 0 2 ~ 2 Sehingga didapat persamaan momentum sumbu x sebagai berikut: V y = 1 P ρ + ν u ( 2 y 2) k 0 ρ [u 3 u y 2 + v 3 u y 3 2 u y y + 2 u y 2] g x dengan ν = μ 0 adalah viskositas kinematik. ρ Sedangkan untuk persamaan momentum sumbu y diabaikan karena pada pendekatan menggunakan teori lapisan batas menunjukkan bahwa persamaan momentum sumbu y bersifat konstan di seluruh lapisan batas. Pada kasus ini, pengaruh aliran konveksi mengakibatkan tekanan P didefinisikan sebagai kombinasi dari tekanan hidrostatis ( P h ) dan tekanan dinamis ( P d ), sehingga dapat ditulis sebagai berikut: P = P h + P d Tekanan hidrostatis merupakan tekanan pada medium tak bergerak, sehingga besar gravitasi yang diberikan P h = ρ g. dengan ρ adalah densitas fluida. Oleh karena aliran fluida bergerak ke atas, yaitu berlawanan dengan g, maka didefinisikan: P h = ρ g) Boussinesq dan teori lapisan batas, didefinisikan (Cheng, 2012): g x = gsin A dengan sin A = b sin B a (1 e 2 sin 2 B) 1/2 Sehingga didapatkan persamaan kontinuitas, momentum, dan energi sebagai berikut: Persamaan kontinuitas: ρ + + v y = 0 (9) Persamaan momentum: V + u + v y = ν u [ 2 y 2] + gβ(t T ) sin A k 0 ρ [u ( 3 u y 2) + v 3 u y 3 34
Buana Matematika: Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika Volume 8, Nomor 1, Tahun 2018 p-issn 2088-3021 e-issn 2598-8077 y ( 2 u y ) + ( 2 u (10) y 2)] Persamaan energi: ( T T T + u + v y ) = α 2 T y 2 + Q 0 (T ρc T ) (11) p Dengan kondisi batas: T u = v = 0, y = q w on y = 0 k u = 0, y = 0, T = T as y Diberikan variabel-variabel nondimensional berikut ini (Kasim, 2014): v = a ν Gr 1/4 v, θ = (T T )/(q w a/k) x = x a, y = Gr1/4 ( y a ), u = a ν Gr 1/2 u (12) Dengan mensubstitusikan Persamaan (12) ke Persamaan (9) sampai (11), diperoleh persamaan non-dimensional sebagai berikut: Persamaan massa: ρ + + v y = 0 (13) Persamaan momentum: V y = 2 u y K 2 [ (u 2 u y 2) + v 3 u y 2 u 3 ] θ sin A (14) y y Persamaan energi: T θ θ y = 1 2 θ + γθ (15) Pr y2 Dengan kondisi batas: u = v = 0, θ = 1 on y = 0 u = 0, = 0, θ = 0 as y (16) y Dan didefinisikan: Pr = ν α, K = k 0Gr 1/2 ρa 2, γ = a2 Q 0 νc p Gr 1/2 Untuk menyelesaikan Persamaan (13) sampai (15) dan dengan memperhatikan kondisi batas pada Persamaan (16), maka diasumsikan (Kasim, 2014): ψ = xf(x, y), θ = θ(x, y) (17) dengan ψ merupakan fungsi aliran yang didefinisikan: u = ψ y, ψ v = (18) Pada titik stagnasi terendah silinder, x 0, diperoleh persamaan diferensial biasa dari Persamaan (14) dan (15) sebagai berikut: f + ff (f ) 2 + θ sin A + K(2f f ff (4) (f ) 2 ) = 0 (19) 1 Pr θ + fθ + γθ = 0 (20) Dengan kondisi batas: f(0) = f (0) = 0, θ (0) = 1 f ( ) = 0, f ( ) = 0, θ( ) = 0 (21) Dengan menotasikan turunan terhadap y. PENUTUP SIMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan bahwa berdasarkan model matematika yang diperoleh dari perhitungan yang telah dilakukan, maka dapat dilihat bahwa parameter sumber panas (heat generation) berbanding lurus dengan kecepatan dan temperatur. Sehingga disimpulkan bahwa semakin besar parameter sumber panas (heat generation) yang diberikan, maka semakin besar pula kecepatan dan temperatur yang dihasilkan. SARAN Saran penulis dalam penelitian ini adalah sebaiknya dilakukan penyelesaian numeriknya juga agar dapat diketahui perhitungan numerik yang digambarkan dalam bentuk simulasi profil kecepatan dan temperaturnya. DAFTAR PUSTAKA Bejan. 2004. Convection Heat Transfer. John Wiley. New York. Cheng, C.Y. (2012), Free Convection Boundary Layer Flow Over a Horizontal Cylinder of Elliptic 35
Annisa Dwi Sulistyaningtyas: Model Matematika Aliran Tak Tunak Fluida Viskoelastik Melewati Silinder Eliptik Dengan Pengaruh Sumber Panas (Heat Generation) Cross Section in Porous Media Saturted by a Nanofluid, International Communications in Heat and Mass Transfer 39, 1-4:931-936. D Alessio, S.J.D. dan Perera, R.N. (2009), Unsteady Free Convection From Elliptic Cylinders at Large Grashof Numbers, International Journal of Heat and Mass Transfer 52,1-11:5940-5953. Ghasemi, E., Soleimani, B., dan Bararnia, H. (2012), Natural Convection Between a Circular Enclosure and Elliptic Cylinder Using Control Volume Based Finite Element Method, International Communications in Heat and Mass Transfer 39,1-2:1035-1044. Hoffman, K.A. dan Chiang, S.T. (2000), Fourth Edition Computational FluidDynamics Volume I, Engineering Education System. USA. Kasim, A.R.M. (2014), Convective Boundary Layer Flow of Viscouselastic Fluid, Universiti Technology Malaysia, Malaysia. Lienhard, J.H. (2008), A Heat Transfer Textbook Third Edition, Phlogiston Press, Cambridge, Massachussetts, USA. Long, C. dan Sayma, N. (2009), Heat Transfer 1st Edition. Marinet, M.F. dan Tardu, S. (2009), Convective Heat Transfer Solved Problems, ISTE Ltd, UK. Munson, B.R., Young, D.F., dan Okiishi, T.H. (2002), Fourth Edition Fundamentalsof Fluid Mechanics, Lowa State University, USA. Ozisik, M.N. 1985. Heat Transfer: A Basic Approach. McGraw-Hill. New York.Potter, M.C., Wiggert, D.C., dan Ramadan,B.H. (2012), Mechanics of Fluids Fourth Edition, Cengage Learning, USA. Potter, M.C., Wiggert, D.C., dan Ramadan,B.H. (2008), Schaum s OutlineMekanika Fluida, Erlangga, Jakarta. 69 Sarif, N.M., Salleh, M.Z., Tahar, R.M., dan Nazar, R. (2013), Numerical Solution of the Free Convection Boundary Layer Flow over a Horizontal Circular Cylinder with Convective Boundary Conditions, Universiti Malaysia Pahang,Malaysia. Sen, M. (1996), Lecture Notes on Intermediate Fluid Mechanics, University of Notre Dame. Versteg, H.K. dan Malalasekera (1995), An Introduction to Computational FluidDynamics The Finite Volume Method, Longman Scientific Technical, England. Widodo, B., Fatahillah, A., Rahayuningsih, T., (2011), Mathematical Modelling and Numerical Solution of Iron Corrosion Problem Based on Condensation Chemical Properties, Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 5(1), pp. 79-86. Widodo, B., Wen, X., Ingham, D.B, (1997), The Free Surface Fluid Flow inan Arbitrary Shaped in a Channel, Journal of Engineering Analysis with Boundary Element, Vol. 19, PP.299-308. 36