ANALISIS KEMAMPUAN PROSES PADA DATA BERDISTRIBUSI BINOMIAL Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengendalian Kualitas Statistik Yang Dibina Oleh Bapak Hendro Permadi Nama Kelompok: Sudarsono (309312422762) Prisca Abiyani (309312422763) Dwi Susanti (309312426744) Siti Hasanah (309312426746) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG MARET 2012
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis kemampuan proses merupakan suatu tahapan yang harus dilakukan dalam mengadakan pengendalian kualitas proses statistic (statistical process control). Pengendalian kualitas proses statistic (statistical process control) adalah alat yang sangat berguna dalam membuat produk sesuai dengan spesifikasi sejak dari awal proses hingga akhir proses. dalam banyak proses produksi, akan selalu ada gangguan yang dapat timbul secara tidak terduga. Dalam Montgomery (2001), proses produksi yang memenuhi standar mutu yang diinginkan bila dalam grafik pengendali mutu semua titik sampel berada dalam daerah pengendali, sebarannya acak, tidak terdapat run atau giliran, dan lain-lain. Jika ada salah satu syarat yang menyebabkan proses tidak terkendali, maka proses belum terkendali dan perlu dicari penyebab terduganya agar proses menjadi terkendali secara statistik. Oleh karena itu kami membuat makalah dengan judul Analisis Kemampuan Proses pada Data Berdistribusi Binomial agar dapat lebih mengetahui dan memahami tentang analisis kemampuan proses khususnya pada data berdistribusi binomial tersebut serta mengaplikasikannya. 1.2 Rumusan Masalah a. Bagaimana cara menganalisis kemampuan proses untuk data berdistribusi binomial? 1.3 Tujuan a. Mengetahui cara menganalisis kemampuan proses untuk data berdistribusi binomial.
BAB II KAJIAN TEORI Grafik pengendali atau diagram kontrol digunakan untuk : 1. Menentukan apakah suatu proses berada dalam pengendalian statistik.dengan demikian diagram kontrol digunakan untuk mencapai suatu keadaan terkendali secara statistik. 2. Memantau proses terus menerus sepanjang waktu agar proses tetapstabil secara statistik dan hanya mengandung variasi penyebab umum. 3. Menentukan kemampuan proses ( procces capability ). Batas-batas darivariasi proses ditentukan setelah proses berada dalam pengendalian statistik. 2.1 Analisis Kemampuan Proses Menurut Montgomery (1985), Analisis Kemampuan Proses digunakan untuk menaksir kemampuan proses dalam bentuk distribusi probabilitas yang mempunyai bentuk, rata-rata (mean ), dan penyebaran (standar deviation ). Analisis Kemampuan Proses dapat dilakukan apabila proses dapat dilakukan apabila proses berada dalam keadaan terkendali. Analisis Kemampuan Proses dapat dilakukan tanpa mengingat spesifikasi pada karakteristik mutu, tetapi dapat kita nyatakan sebagai presentase yang di luar spesifikasi. Studi kemampuan proses biasanya mengukur parameter fungsional pada produk, bukan prose situ sendiri. Analisis kemampuan proses merupakan prosedur yang digunakan untuk memprediksi kinerja jangka panjang yang berada dalam batas pengendali proses statistik. Sehingga analisis kemampuan proses harus dilakukan hanya apabila proses berada dalam batas pengendali statistik. Menurut Bower (1997) dalam buku Ariani (2004), dalam membentuk analisis kemampuan proses dengan data kontinu, yaitu proses berada dalam batas pengendalian statistik dan distribusi proses adalah distribusi normal. Menurut Systma (1997) dalam buku Ariani (2004), analisis kemampuan proses merupakan konsep yang penting dalam proses statistik, karena analisa ini
menguji variabilitas dalam karakteristik-karakteristik proses dan apakah proses mampu menghasilkan produk sesuai dengan spesifikasi. Sehingga dalam analisa kemampuan proses dikenal adanya batas-batas spesifikasi yang disebut juga batas toleransi. Batas spesifikasi meliputi batas spesifikasi bawah dan batas spesifikasi atas. Kemampuan proses biasanya ditunjukkan dengan formulasi ±3δ atau secara keseluruhan mencakup 6δ, dimana δ menunjukkan standar deviasi proses berada pada kondisi in statistic control tanpa ada perubahan atau penyimpangan. Jika proses terpusat pada spesifikasi nomial dan mengikuti probabilitas normal, maka terdapat 99,73% produk dalam batas ±3δ dari spesifikasi nomial. Proses yang berada pada kondisi in statistic control berada pada kemampuan proses 6δ. Untuk memeriksa proses produksi, kita perlu juga melihat Indeks Kemampuan Proses (Cp) atau Indeks Kemampuan Proses (Cpk) DISTRIBUSI BINOMIAL (n,r) Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan 2 kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Hal ini terjadi, misalnya pada pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian atau usaha dapat menunjukkan apakah suatu barang cacat atau tidak cacat. Kita dpaat menentukan atau memilih salah satu hasil sebagai sukses. Sebagai contoh bila lima kartu ditarik secara berurutan dari sekotak kartu bridge dan tiap penarikan disebut gagal atau sukses tergantung atas apakah kartu merah atau hitam yang terambil. Bila tiap kartu dikembalikan lalu dikocok sebelum kartu berikutnya ditarik maka penarikan kartu merah atau hitam mempunyai sifat yang sama, yaitu bahwa tiap usaha atau penarikan kartu bebas satu dari yang lain dan peluang sukses tidak berubah, tidak tergantung atas urutan keberapa kartu tersebut ditarik. Percobaan seperti ini disebut percobaan binomial. Bila dalam penarikan kartu tadi kartunya tidak dikembalikan maka peluang sukses akan berubah dari penarikan yang satu ke berikutnya. Yaitu peluang mendapat kartu merah pada penarikan pertama adalah ½, tapi pada penarikan kedua peluangnya bersyarat dengan harga 26/51, atau 25/51, tergantung apakah kartu pertama hitam atau merah. Percobaan seperti ini bukan lagi binomial.
Suatu percobaan binomial adalah yang memenuhi persyaratan berikut : a. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang b. Tiap usaha memberi hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal c. Peluang sukses dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya d. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya. Pandang suatu proses yang terdiri dari sederetan n percobaan yang bebas, dengan hasil tiap percobaan dapat berbentuk sukses atau tidak sukses. Percobaan seperti itu dinamakan percobaan Bernoulli. Apabila peluang sukses pada tiap percobaan tetap, misalnya p, maka banyak sukses r dalam n percobaan Bernoulli berdistribusi Binomial. Menurut Ross, (1997) peubah acak X dikatan mempunyai distribusi binomial dengan parameter n,p mempunyai fungsi padat peluang: n! f ( r; n, p) r p (1 p) p (1 p) ( n r)! r! n r n r r nr dimana r = banyaknya peristiwa sukses n-r = banyaknya peristiwa gagal n = banyaknya percobaan yang dilakukan 2.2 Analisis Kemampuan Binomial Analisis kemampuan binomial ini digunakan ketika suatu produk atau jasa dicirikan sebagai cacat atau tidak cacat. Kemampuan Binomial mengevaluasi kesempatan (p) bahwa sebuah item yang dipilih dari proses rusak. Data dikumpulkan jumlah item yang rusak di sub kelompok individu, yang diasumsikan mengikuti distribusi binomial dengan parameter p. Analisis Kemampuan (Binomial) menghasilkan kemampuan untuk memproses laporan data atribut yang mengikuti distribusi Binomial. Laporan ini mencakup: P Chart untuk memverifikasi apakah proses berada dalam kendali statistic Rata-rata P =
Dimana D adalah jumlah dari keseluruhan cacat dan N adalah jumlah dari keseluruhan sampel. % Cacat untuk memverifikasi apakah data memiliki estimasi yang konsisten barang cacat% %Kumulatif grafik cacat = PPM cacat adalah banyaknya kecacatan yang diharapkan dari satu juta produksi. PPM cacat = Proses Z adalah indeks kemampuan. Proses Z terbesar adalah lebih baik dari proses yang dilakukan. Proses Z dihitung dari rata-rata P dengan menentukan nilai dari standart normal dari distribusi (0,1) sehingga daerah sebelah kanan dari nilai adalah rata-rata P. Proses Z = (rata-rata P) Dimana adalah invers dari standart distribusi normal Histogram dari% rusak untuk membantu memvisualisasikan distribusi% cacat dari data sampel Cacat Rate Chart untuk memverifikasi bahwa% rusak tidak terpengaruh oleh ukuran sampel Binomial Plot (ketika ukuran subkelompok konstan) untuk memverifikasi bahwa barang cacat% diharapkan tidak terpengaruh oleh barang cacat% diamati Proses Z - menyediakan indeks kapabilitas proses. Lebih besar nilai Z menunjukkan bahwa proses ini berperforma lebih baik. Idealnya, ingin proses Z untuk minimal 2. Dalam rangka penggunaan Analisis Kemampuan (Binomial), Anda perlu memastikan bahwa asumsi sebagai berikut adalah valid: Hasilnya adalah biner atau hanya 2 hasil yang mungkin Probabilitas keberhasilan adalah sama untuk semua unit Hasil dari unit masing-masing independen satu sama lain
Grafik P (persentase cacat) - memverifikasi bahwa proses ini dalam keadaan kendali statistik. Dengan menggunakan grafik kendali P untuk menentukan apakah proporsi barang cacat per sampel di kontrol. Proses ini harus berada dalam kontrol sebelum menilai kemampuan. Jika proses tidak dalam kontrol, maka statistik akan kemampuan perkiraan salah. Perhatikan grafik P untuk titik-titik yang terletak di luar batas kendali atau pola-pola acak lainnya. Batas Atas dan Batas Bawah Rata-rata P Dimana % Cacat dan dan PPM Cacat Proses Z Dimana adalah invers cdf dari standart distribusi normal
Kumulatif % Kecacatan Banyaknya titik-titik plot sama dengan banyaknya sampel. Kumulatif % cacat untuk sampel kecil adalah perbandingan dari jumlah kecacatan dan jumlah sampel tertinggi dari sampel ke j yang dikalikan dengan 100. Dimana: i = 1,,j = Jumlah kecacatan pada sampel ke i = Ukuran sampel ke i BAB III PEMBAHASAN 3.1 TABEL DATA Misal di suatu perusahaan yang memproduksi kotak teh diambil 25 sampel data masing-masing 50 kotak teh. Pengambilan sampel dilakukan dalam selang waktu setengah jam pada 3 shift waktu mesin yang beroperasi terus menerus. Observasi Ukuran Banyaknya Sampel (n) Produk Cacat (x) 1 50 1 2 50 2 3 50 3 4 50 3 5 50 6 6 50 4 7 50 3 8 50 2 9 50 3 10 50 4
11 50 3 12 50 2 13 50 5 14 50 2 15 50 2 16 50 5 17 50 4 18 50 4 19 50 5 20 50 3 21 50 5 22 50 5 23 50 4 24 50 2 25 50 4 Jumlah 1250 86 Pengecekan Distribusi Binomial Dengan menggunakan EasyFit, didapat hasil yaitu
f(x) 0.26 Probability Density Function 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1 2 3 x 4 5 6 Sample Binomial Menggunakan minitab dengan perintah Stat Quality Tool Capability Analysis Binomial diperoleh
Hasil perhitungan manual : dan
BAB IV PENUTUP KESIMPULAN Pada pengolahan data observasi pengukuran tinggi almari pada uji normalitas diperoleh, sehingga terima, jadi pada pengujian data tersebut berdistribusi normal. Dari grafik pengendali Moving Average terlihat bahwa pada data ke 11 sampai data ke 13 berada di luar batas pengendali dari sini terdapat kesalahan yang no 1, yaitu ada titik yang berada di luar batas pengendali 3σ.Berarti perlu di teliti lebih lanjut apa penyebab dari kesalahan tersebut.tetapi pada data tersebut tidak diperlukan perbaikan karena pada data ke 17 hingga data ke 30 telah stabil yang berarti pada proses produksi almari telah memenuhi Quality Control. Grafik pengendali moving average efektif untuk mendeteksi perubahan kecil dalam proses rataan.grafik pengendali moving average juga dapat digunakan bila sample tiap observasi hanya satu unit.
BAB V DAFTAR PUSTAKA Retno Setyaningtyas,Wuri.2005. Analisis Pengendalian Kualitas Produksi Pembekuan Udang PT. Istana CIPTA SEMBADA dengan menggunakan Diagram Kontrol C. ( http://dc306.4shared.com/doc/kis2x 0/preview.html/ di akses pada tanggal 8 Februari 2012). Saifudin,Toha.BaganKendali Moving Average. (http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=pengertian%20grafik%20kendali%2 0moving%20average&source=web&cd=1&ved=0CB4QFjAA&url=http%3A%2 F%2Felesys.fst.unair.ac.id%2Fcivitas%2Fmateri%2FMateri%25208%2520Bagan %2520Kendali%2520Moving%2520Average.pdf&ei=QHI7T- SNBoTKrAfbt7GHAQ&usg=AFQjCNH-So_6nV_q19_- uukhs1huvmc7yq&cad=rja /di akses pada tanggal 14 Februari 2012). Sudarno. Perbandingan Grafik Pengendali Moving Average dan Geometric Moving Average pada Data Berkelompok. (http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=pengertian%20grafik%20kendali%20mov ing%20average&source=web&cd=2&ved=0ccqqfjab&url=http%3a%2f%2feprint s.undip.ac.id%2f1826%2f1%2f4_qc_-_sudarno.doc&ei=qhi7t- SNBoTKrAfbt7GHAQ&usg=AFQjCNE0vULVqia4wPE04uZ5XeS-I5HnrA&cad=rja / di akses pada tanggal 14 Februari 2012) Douglas C,Montgomery.1990.Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gajahmada University Press.