GENERALIZED LINEAR MODELS (GLM) UNTUK DATA ASURANSI DALAM MENENTUKAN HARGA PREMI

GENERALIZED LINEAR MODELS (GLM) UNTUK DATA ASURANSI DALAM MENENTUKAN HARGA PREMI Agus Supriatna 1), Riaman 2), Sudradjat 3), Tari Septiyani 4) Departemen Matematika, FMIPA Unpad Jalan Raya Bandung-Sumedang Km. 21 Jatinangor 45363 supriatnaagus15@yahoo.co.id 1), tari.septiani@gmail.com 2), adjat03@yahoo.com 3) Abstrak Sehat merupakan hal yang diinginkan setiap manusia namun selalu ada kejadian yang tidak terduga seperti kecelakaan, melahirkan, sakit. Asuransi kesehatan merupakan salah satu cara untuk mengcover biaya yang dibebankan dari rumah sakit ke penderita. Asuransi kesehatan terdiri dari 2 jenis yaitu asuransi kesehatan rawat inap dan rawat jalan. Peserta asuransi akan dibebankan biaya premi ketika mengikuti suatu asuransi. Pada penelitian kali ini akan membahas premi murni menggunakan Generalized Linear Models (GLM) untuk prediksi premi murni pada asuransi kesehatan rawat inap. Setelah diteliti, penelitian menunjukan bahwa untuk mendapatkan peluang harga premi murni untuk asuransi kesehatan rawat inap perusahaan XYZ harus dengan menggunakan model besar klaim berdistribusi gamma dan banyak klaim berdistribusi binomial dengan α=5%. Hasil premi murni yang dibebankan pemegang polis adalah Rp. 780289.1 untuk umur 41-50 tahun Kata Kunci: Asuransi Kesehatan, Generalized Linear Models (GLM), Premi Murni A. Pendahuluan Banyak masyarakat yang mulai mengalokasikan dana untuk asuransi hal ini dikarenakan masyarakat sudah mulai menyadari akan pentingnya asuransi yaitu untuk mengantisipasi terjadinya faktor resiko kematian di kemudian hari. Asuransi terdiri dari beberapa jenis yaitu asuransi jiwa, asuransi kesehatan, asuransi kendaraan, asuransi kepemilikan rumah dan properti, asuransi pendidikan, dan lainlain. Pada skripsi ini akan berfokus pada asuransi kesehatan. Kesehatan merupakan suatu hal yang penting dalam kehidupan. Setiap orang akan melakukan segala cara agar tetap menjaga kesehatannya seperti mengasuransikan kesehatan. Asuransi kesehatan merupakan suatu jenis asuransi yang secara khusus menjamin biaya kesehatan atau perawatan jika mereka mengalami kecelakaan ataupun jatuh sakit. Penelitian akan mencoba menghitung premi murni dengan menggunakan Generalized Linear Models (GLM). Generalized Linear Models (GLM) merupakan suatu metode statistika yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah peubah respon tidak lagi kontinu melainkan kategorik (misalnya biner), dengan menggunakan fungsi penghubung (link function) logit tertentu sehingga diperoleh suatu model yang mampu Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 273

menganalisa hubungan antara peubah respon kategorik dengan satu atau beberapa peubah penjelas. Agar mendapatkan premi murni maka diperlukan dua buah model peluang yaitu model banyak klaim dan juga besar klaim. B. Tinjauan Pustaka B.1. Asuransi Asuransi merupakan salah satu cara untuk mengurangi resiko kerugian yang dikarenakan terjadi sesuatu hal yang tidak diharapkan. Menurut Ketentuan Pasal 246 KUHD, Asuransi atau Pertanggungan adalah perjanjian dengan mana penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung dengan menerima premi untuk memberikan penggantian kepadanya karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan yang mungkin dideritanya akibat dari suatu evenemen (peristiwa tidak pasti). Asuransi terdiri dari beberapa jenis yaitu asuransi jiwa, asuransi kesehatan, asuransi kendaraan, asuransi kepemilikan rumah dan properti, asuransi pendidikan, dan lain-lain. Jenis asuransi kesehatan terdapat 2 yaitu : Asuransi kesehatan rawat inap, Asuransi kesehatan rawat jalan. 2.2 Generalized Linear Models Generalized Linear Models (GLM) merupakan Analisis regresi yang responnya termasuk salah satu keluarga eksponensial dan meneliti hubungan antara variabel respon dengan variabel terikat. GLM memperluasan model regresi biasa yang mencakup variabel respon berdistribusi tidak normal dan fungsi model untuk mean. Fungsi distribusi yang diakomodasi oleh GLM adalah distribusi yang termasuk dalam keluarga eksponensial seperti distribusi binomial, normal, poisson, gamma, eksponensial. Untuk variabel respon, Generalized Linear Models (GLM) adalah : f y = c y, φ exp g μ = x β yθ a(θ) f y = fungsi peluang untuk variabel respon Y yang berdistribusi eksponensial g μ = fungsi link atau berhubungan linier terhadap variabel penjelas yang terkandung dalam x. Ada tiga komponen utama dalam GLM (McCullagh & Nelder, 1989): C. Komponen acak, yaitu komponen dari Y yang bebas dan fungsi sebaran peluang Y termasuk dalam keluarga sebaran eksponensial dengan EY ( ) D. Komponen sistematik, yaitu X1, X 2,..., X p yang menghasilkan penduga linear η dimana X X φ 0 1 1... p p E. Fungsi penghubung (link function) g(.), menggambarkan Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 274

hubungan antara penduga linear η dengan nilai tengah µ. Hubungan ini dapat ditulis dengan η=g(µ). Fungsi ini merupakan fungsi monoton lainnya. Distribusi Keluarga Eksponensial. Persamaan f(y) pada bahasan diatas merupakan bentuk umum dari fungsi peluang variabel respon Y dalam GLM dengan θ dan φ masing-masing adalah parameter kanonik dan parameter dispersi. Sebuah distribusi yang fungsi peluangnya dapat dituliskan seperti persamaan f(y) maka distribusi tersebut termasuk kedalam anggota distribusi keluarga eksponensial. Link dan Link Kanonik. Fungsi link dari distribusi keluarga eksponensial yang bisa digunakan dalam Generalized Linear Models (GLM) untuk data kali ini adalah distribusi Binomial memakai Link Logit dengan μ = ln μ 1 μ B.2. Penentuan Premi Murni dengan Compound Model Compound model dapat digunakan untuk menentukan premi murni karena biasanya digunakan untuk memodelkan aggregate loss. Selanjutkan kita dapat mencari collective risk model dengan penjelasan sebagai berikut Collective Risk Model. Misalkan X merupakan suatu peubah acak yang menyatakan besar kalim dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah f X x.dan misalkan N merupakan suatu peubah acak yang menyatakan banyak klaim. Total klaim untuk collective risk model adalah S = X 1 + X 2 + + X N S = N i=1 X i Asumsi yang harus diperhatikan yaitu : 1. Diberikan N, X 1, X 2,, X N adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. 2. Diberikan N, X 1, X 2,, X N adalah peubah acak yang tidak bergantung pada N. 3. Distribusi dari N tidak bergantung pada nilai X 1, X 2, X N Untuk menentukan premi murni (pure premium) pada model kolektif dapat diperoleh dengan menggunakan premi murni = E S dengan E S = E N E X (2.4) E X = ekspektasi dari distribusi besar klaim E N = ekspektasi dari distribusi banyak klaim. C. Metode Penelitian C.1. Objek Penelitian Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 275

Objek pada penelitian ini adalah data klaim asuransi kesehatan yang berasal dari suatu perusahaan. C.2. Metodelogi Penelitian Metode yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah metode Generalized Linear Models (GLM). Generalized Linear Models (GLM) merupakan analisis regresi yang responnya termasuk salah satu keluarga eksponensial dan meneliti hubungan antara variabel respon dengan variabel terikat. GLM memperluasan model regresi biasa yang mencakup variabel respon berdistribusi tidak normal dan fungsi model untuk mean. Fungsi distribusi yang diakomodasi oleh GLM adalah distribusi yang termasuk dalam keluarga eksponensial seperti distribusi binomial, normal, poisson, gamma, eksponensial Tahapan-tahapan : 1. Menentukan taksiran parameter dari distribusi yang mungkin cocok untuk variabel respon. 2. Mencocokan suatu distribusi f y dengan menggunakan a. Uji Kolmogorov-Smirnov (untuk besar klaim) b. Uji Chi-square (untuk biaya klaim) 3. Memilih fungsi link g μ yang mempunyai hubungan linear dengan Xβ, yaitu: g μ = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k 4. Menentukan kovariat x yang akan dikaitkan dengan mean melalui g μ. 5. Menaksir parameter dengan menggunakan metode Maximum Likelihood untuk model yang dipilih. 6. Melakukan uji diagnostik. Pemodelan banyak klaim dan besar kalim akan digunakan uji asserssing fit and deviance, uji likelihood ratio, uji kecocokan Hosmer dan Lameshow, dan uji ROC hanya saja ntuk besar klaim tanpa menggunakan uji Hosmer dan Lameshow serta uji ROC. 7. Penentuan Harga premi murni mengunakan model Compound. D. Hasil dan Pembahasan D.1 Data Penelitian Data yang digunakan pada penelitian kali ini adalah data asuransi kesehatan untuk underwriting year 2015 pada perusahaan asuransi XYZ dimana terdapat dua kelompok didalamnya yaitu data peserta dan klaim. Biaya klaim merupakan biaya yang disetujui antara peserta dan perusahaan asuransi untuk membayar biaya rawat ini. Biaya klaim ini yg nantinya akan dipakai untuk penentuan model besar klaim. Diagnosa merupakan penyakit-penyakit yg diderita ketika rawat inap dan disini yg dipakai hanya 5 jenis penyakit saja. Unit merupakan jenis layanan yang dipakai atau dengan kata lain kelas yang dipakai. Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 276

D.2. Prediksi Premi Murni untuk Asuransi Kesehatan Rawat Inap Model Peluang Untuk Banyak Klaim. Variabel banyak klaim yang akan digunakan untuk model peluang banyak klaim adalah jenis asuransi kesehatan rawat inap. Selanjutnya dilakukan pemisahan antara yang sudah mengklaim dan belum. Berikut ini adalah tabel dari banyak klaim. Tabel 4.3 Data Banyak Klaim Banyak klaim 0 1 Banyak peserta 23 121 Langkah selanjutnya adalah menentukan kovariat yang mungkin mempengaruhi variabel respon secara signifikan. 4.2.2 Penentuan Jenis Distribusi Respon Variabel respon yang akan digunakan adalah variabel banyak klaim untuk jenis asuransi jiwa berjangka. Variabel jenis ini merupakan peubah acak yang berasal dari sampel diskrit dan memiliki 2 kemungkinan yaitu 121 sebanyak satu kali dan 23 tidak mengajukan klaim. Maka jenis distribusi yang cocok untuk model peluang banyak klaim adalah distribusi binomial. Pemilihan Kovariat. Tahap selanjutnya adalah pemilihan kovariat. Kovariat yang dipilih adalah kovariat yang diperkirakan memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon didalam model. Berikut merupakan kovariat yang kemungkinan berpengaruh : Usia Peserta, Kode Status. Pemilihan Link. Fungsi link yang dipakai adalah logit karena memakai distribusi binomial. Maka model yang terbentuk adalah : g μ = log π 1 π Ket : π = peluang terjadinya klaim Pemilihan Model. Setelah dilakukan pemilihan kovariat maka didapat 2 model peluang yaitu usia peserta, kode status. Berikut merupakan uji apakah seluruh kovariat signifikan terhadap variabel respon. Forward Selection. Tabel 4.4 Output Forward Selection untuk banyak klaim Summary of Forward Selection Step Effect Entered DF Number In Score Chi-Square Pr > ChiSq Variable Label 1 Usia_Peserta 3 1 13.1329 0.0044 Usia Peserta Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 277

Setelah dilakukan pengujian dengan tingkat signifikan 5% dan 10% menyatakan bahwa hanya variabel Usia Peserta yang berpengaruh signifikan terhadap variabel respon. a. Uji ROC Uji Diagnostik. Kecocokan suatu model dengan data dipenuhi atau tidak dapat dilakukan uji diagnostik. Uji ROC dan uji kecocokan Hosmer dan Lemeshow dilakukan untuk uji diagnostik. Gambar 4.1 Output Uji ROC untuk model banyak klaim Terlihat dari gambar bahwa nilai AUC adalah 0.7167 nilai tersebut mengindikasikan bahwa model peluang tersebut telah cukup baik dalam memprediksi dan mencocokan terjadinya klaim. b. Uji Kecocokan Hosmer dan Lemeshow Uji ini merupakan uji diagnostik dengan cara lain untuk melihat apakah model dan observasi sudah cocok. Berikut uji hosmer lemeshow : Tabel 4.5 Output Uji Hosmer Lemeshow untuk Model Banyak Klaim Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test Chi- Square DF Pr > ChiSq 0.0000 2 1.0000 Nilai p-value uji kecocokan hosmer dan lemeshow adalah sebesar 1.0000 yang melebihi tingkat signifikansi 5% maka hipotesa H 0 tidak ditolak atau model sudah cocok dengan data. Maka uji-uji diatas membuktikan bahwa model yang diperoleh sudah cocok digunakan untuk memodelkan banyak klaim. Tabel 4.6 Output Analisis Maximum Likelihood Usia Peserta Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 278

Parameter Analysis of Maximum Likelihood Estimates D F Estimate Standard Error Wald Chi- Square Pr > ChiSq Intercept 1-1.7421 0.3156 30.4770 <.0001 Usia_Peserta 1 1 1.0490 0.4547 5.3227 0.0210 Usia_Peserta 2 1-1.6916 0.7846 4.6485 0.0311 Usia_Peserta 3 1 0.9154 0.4497 4.1433 0.0418 dengan : Penaksiran Parameter Model. Dapat dilihat bahwa kovariat yang signifikan di dalam model yaitu variabel usia peserta. Dengan tingkat signifikan 5% maka model akhir yang terbentuk adalah : log itπ i = 1.7421 + 1.0490X 1 1.6916X 2 + 0.9154X 3.(4.2) π = e 1.7421 +1.0490 X 1 1.6916 X 2+0.9154 X 3 1+e 1.7421 +1.0490 X 1 1.6916 X 2+0.9154 X 3.( 4.3) 4.2.8 Interpretasi Model Setelah didapat penaksiran parameternya yang diperhatika hanya level yang signifikan pada selang kepercayaan 95% didapat model akhir: log itπ i = 1.7421 + 1.0490X 1 1.6916X 2 + 0.9154X 3 X 1 : variabel usia peserta 41-50 tahun X 2 : variabel usia peserta 51-60 tahun X 3 : variabel usia peserta >61 tahun D. Model Peluang Besar Klaim Model peluang besar klaim kali ini merupakan data yang berasal dari data klaim asuransi kesehatan rawat inap dengan variabel besar klaim yang berasal dari klaim akhir atau klaim yang disetujui perusahaan. Berikut ini merupakan langkah-langkah besar klaim menggunakan GLM : Uji Kecocokan Distribusi Respon. Setelah dilihat dari variabel respon bahwa besar klaim untuk shifted model selalu 0. Pada umumnya jenis distribusi dari besar klaim memiliki karakteristik skewed to the right serta memiliki nilai yang selalu positif. Hasil output software SAS untuk uji kecocokan distribusi adalah sebagai berikut: Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 279

Tabel 4.7 Output Uji Kecocokan Distribusi Variabel Respon Goodness-of-Fit Tests for Gamma Distribution Test Statistic p Value Kolmogorov-Smirnov D 0.07470736 Pr > D 0.058 Cramer-von Mises W-Sq 0.13299448 Pr > W-Sq 0.047 Anderson-Darling A-Sq 0.89038928 Pr > A-Sq 0.025 Dapat dilihat dari gambar bahwa memperoleh p-value yang melebihi tingkat signifikan α = 0.05 maka uji Kolmogorov-Smirnov tidak ditolak atau dengan kata lain Hipotesis H 0 merupakan variabel besar klaim yang berasal dari distribusi Gamma. Pemilihan Kovariat. Perkiraan kovariat yang berpengaruh signifikan terhadap variabel respon pada model adalah lama menginap, kode Unit, Kode Diagnosa. Pemilihan Link. Pada sebelumnya sudah dibahas bahwa distribusi besar klaim yang diperoleh adalah distribusi gamma dengan fungsi link power. Fungsi link power menggunakan pangkat -1, pada software SAS ketika membuat model dengan fungsi link power dengan pangkat -1 diperoleh penaksiran parameter yang tidak konvergen. Maka dipilih fungsi link log, dengan bentuk model : Tabel 4.8 Nilai AIC Variabel Besar Klaim Variabel AIC Lama menginap 4236.5923 Kode Diagnosa 4684.665 Kode Unit 4600.962 Setelah dilakukan kovariat dari AIC terkecil dengan di uji g μ = log μ = X β Dengan g μ merupakan fungsi link yang berhubungan secara linear dengan kovariat-kovariat. Proses Pemilihan Kovariat. Langkah selanjutnya adalah memasukkan kovariat satu per satu ke dalam model menggunakan metode forward selection 5% dengan memperhatikan nilai scaled deviance, likelihood ratio test. Apabila memperoleh dua model atau lebih untuk mengetahui mana yang terbaik maka dilihat dai nilai AIC masing-masing variabel. Nilai AIC yang lebih kecil adalah model yang paling baik. Variabel kode status dan usia peserta tidak dimasukan kedalam model karena memiliki signifikan yang melebihi 5%. Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 280

menggunakan Likelihood rasio, chisquare didapatkan Lama Menginap + Kode Unit+Kode Diagnosa Tabel 4.9 Output Uji Variabel Lama Menginap + Kode Unit + Kode Diagnosa Penaksiran Parameter. Variabel yang berpengaruh secara signifikan merupakan variabel yang mempunyai nilai signifikan kurang dari α = 0.05 Model Akhir Besar Klaim. Dibawah ini merupakan bentuk akhir model besar klaim : g μ = 16.3681 2.5056X 11 2.3591X 12 1.9217X 13 1.4965X 14 1.2756X 15 0.8589X 16 0.5725X 17 0.3066X 18 0.1632X 19 + 0.2744X 21 0.0825X 31 0.0924X 33 0.0548X 35 X 12 = lama menginap sebanyak 2 hari X 13 = lama menginap sebanyak 3 hari X 14 = lama menginap sebanyak 5 hari X 15 = lama menginap sebanyak 6 hari X 16 = lama menginap sebanyak 7 hari X 17 = lama menginap sebanyak 8 hari X 18 = lama menginap sebanyak 9 hari X 19 = lama menginap sebanyak 10 hari X 21 = kode unit 11-20 X 31 = kode diagnose untuk penyakit DBD X 33 = kode diagnose untuk penyakit nyeri punggung X 35 = kode diagnose untuk penyakit Tifus Prediksi Premi Murni. E S = E N E X Keterangan X 11 = lama menginap sebanyak 1 hari Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 281

E S = ( 1.7421 + 1.0490X 1 1.6916X 2 + 0.9154X 3 )(16.3681 2.5056X 11 2.3591X 12 1.9217X 13 1.4965X 14 1.2756X 15 0.8589X 16 0.5725X 17 0.3066X 18 0.1632X 19 + 0.2744X 21 0.0825X 31 :13 0.0924X 33 0.0548X 35 ) Contoh Perhitungan Premi Murni dengan Compound Model.Misalkan seorang nasabah pada asuransi kesehatan mengalami sakit dan dirawat dirumah sakit : Nama : xxx xxxx Usia : 45 Tahun Status : menikah Lama menginap : 3 hari Diagnose : Tifus Unit a. Banyak Klaim π = e 1.7421 +1.0490X 1 1.6916X 2 +0.9154X 3 1 + e 1.7421 +1.0490X 1 1.6916X 2 +0.9154X 3 π = b. Besar Klaim μ = e e 1.7421 +1.0490 1 1.6916 0 +0.9154 0 1 + e 1.7421 +1.0490 1 1.6916 0 +0.9154 0 π = e 1.7421 +1.0490 1 1 + e 1.7421 +1.0490 1 π = 0.333344 μ = e β 0X 1 +β 2 X 2 + +β n X n 16.3681 2.5056X 11 2.3591X 12 1.9217X 13 1.4965X 14 1.2756X 15 0.8589X 16 0.5725X 17 0.3066X 18 0.1632X 19 +0.2744X 21 0.0825X 31 0.0924X 33 0.0548X 35 μ = e 16.3681 2.5056.0 2.3591.0 1.9217.1 1.4965.0 1.2756.0 0.8589.0 0.5725.0 0.3066.0 0.1632.0+0.2744.1 0.0825.0 0.0924.0 0.0548.1 μ =2340792.254 premi murni : E S = E N E X E[S]= 2340792.254 x 0.333344= 780289.1 Hasil tersebut menyatakan bahwa besar premi murni yang harus dibayarkan untuk Usia:45 Tahun, Status : menikah, Lama menginap : 3 hari, Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 282

Diagnose : Tifus Unit :13 sebesar Rp 780.289.1 E. Kesimpulan Pada penelitian ini membahas mengenai penentuan model untuk besar klaim dan banyak klaim dari asuransi kesehatan rawat inap, yang selanjutnya menghasilkan suatu perhitungan premi murni asuransi kesehatan menggunakan Generalized Linear Models ( GLM). Model distribusi yang cocok untuk asuransi kesehatan rawat inap variabel respon banyak klaim adalah distribusi binomial karena jenis data yang menggunakan 2 kemungkinan. Metode yang digunakan adalah forward selection dengan α = 0.05 dan fungsi link logit. Variabel yang digunakan untuk banyak klaim adalah usia peserta. Model distribusi yang cocok untuk asuransi kesehatan rawat inap variabel respon besar klaim adalah distribusi gamma dengan menggunaka uji Kolmogorov smirnov dengan α = 0.05 dan fungsi link log. Variabel yang digunakan untuk banyak klaim adalah Lama menginap, Kode Unit dan Kode Diagnosa. Hasil premi murni yang dibebankan pemegang polis adalah Rp. 780289.1 untuk umur 41-50 tahun. Insurance Data, Cambridge University Press, New York McCullagh, P dan Nelder, J.A.1989. Generalized Linear Models second edition, Chapman and Hall, New York Meyricke, R dan Sherris, M. 2013. The determinants of mortality heterogeneity and implications for pricing annuitie. Journal of Insurance: Mathematics and Economics 53 (2013) 379 387 Ohlsson, E., Johansson, B. 2010. Non- Life Insurance Pricing with Generalized Linear Models, Berlin : Springer Sembiring,R. K. Ph.D, 1986. Asuransi Jiwa 1, Karunika Jakarta, Universitas Terbuka, Walpole, Ronald E., Myers, R.H.1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan edisi ke-4, Penerbit ITB, Bandung Daftar Pustaka Jong, Piet De dan Heller,G. Z. 2008. Generalized Linear Models for Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 283

Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN. 978-602-50629-0-2 284