BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Graf Menurut Foulds (1992) graf G adalah pasangan terurut (VV,) dimana V adalah himpunan simpul yang berhingga dan tidak kosong. Dan E adalah himpunan sisi yang merupakan pasangan yang tidak terurut dari simpul ii, dimana ii, VV. Elemen V dinamakan simpul (node) dan elemen E dinamakan sisi (edge), dinotasikan sebagai (i, j), yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j, dengan ii, VV. Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) digambarkan dalam titiktitik, dan E adalah himpunan sisi-sisi (edges atau arcs) digambarkan dalam garis-garis yang menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2009). Dapat dikatakan graf adalah kumpulan dari simpul-simpul yang dihubungkan oleh sisi-sisi. Graf dapat digambarkan pada gambar 2.1. Gambar 2.1 Graf G Pada gambar graf G diatas, graf terdiri darihimpunan V dan E yaitu: V = (A, B, C)... (1) E = (e1, e2, e3, e4); bisa ditulis {(A,B),(B,C),(B,C),(A,C)}... (2)
8 2.2. Jenis-jenis Graf Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul atau berdasarkan orientasi arah pada sisi (Munir R, 2007). Berdasarkan ada tidaknya gelang atau busur ganda pada suatu graf maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis: 1. Graf sederhana (simple graph) yaitu graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (unordered pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita dapat juga mendefinisikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda disebut sisi (Munir R, 2007). 2. Graf tak-sederhana (unsimple graph) yaitu graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf taksederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). a. Graf ganda (multigraph) adalah graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bias lebih dari dua buah. Sisi ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama (Munir R, 2007). b. Graf semu (pseudograph) adalah graf yang mengandung gelang (loop). Graf semu lebih umum daripada graf ganda karena sisi pada graf semu dapat terhubung ke dirinya sendiri (Munir R, 2007). Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah. Menurut orientasi arah pada sisinya, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu: 1. Graf tidak berarah (undirected graph) adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah, pada graf ini, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan (Munir R, 2007). 2. Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah, Graf berarah sering dipakai untuk menggambarkan aliran proses, peta lintas suatu kota, dan sebagainya (Munir R, 2007).
9 Graf juga ada yang mempunyai bobot atau nilai. Berdasarkan bobotnya, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu: 1. Graf tidak berbobot (unweighted graph) adalah graf yang tidak mempunyai bobot atau nilai. 2. Graf berbobot (weighted graph) apabila sebuah busur mempunyai sebuah nilai yang menyatakan hubungan antara dua buah simpul, maka busur tersebut dikatakan mempunyai bobot, dan graf disebut graf berbobot atau weighted graph. Bobot sebuah busur dapat menyatakan panjang sebuah jalan antara dua buah titik, atau jumlah rata-rata kendaraan perhari yang melalui sebuah jalan (Sjukani M, 2012). Contoh graf berbobot diperlihatkan pada Gambar 2.2. Gambar 2.2Graf Berbobot (Weighted Graph) 2.3. Pohon (Tree) Pohon adalah graf tidak berarah yang berhubungan tanpa terhubung dengan sirkuit sederhana, karena pohon tidak dapat memiliki rangkaian sederhana, pohon tidak dapat berisi beberapa tepi atau loop. Maka setiap pohon pasti sebuah graf sederhana (Rosen K.H, 2012). Konsep dalam teori graf terdiri dari beragam jenis, konsep pohon (tree) merupakan konsep yang paling populer karena konsep ini mampu mendukung pemecahan masalah dalam berbagai terapan graf. Dalam kehidupan sehari-hari, orang telah lama menggunakan pohon untuk menggambarkan hirarkhi. Misalnya, pohon silsilah keluarga, struktur organisasi dan lain sebagainya. Gambar dari pohon (tree) dapat dilihat pada Gambar 2.3 berikut:
10 Gambar 2.3Gambar a merupakan pohon, dan gambar b bukan pohon Gambar a disebut pohon karena merupakan graf yang tak berarah (directed graph) dan tidak mengandung sirkuit, sedangkan gambar b bukan pohon karena graf tersebut tidak terhubung. 2.4. Pohon Rentang Minimum (Minimum Spanning Tree) Apabila G adalah graf berbobot, makabobot pohon merentang T dari G didefinisikansebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohonmerentang yang berbeda mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua pohon merentang dalam graf G, pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum. Pohon merentang minimum ini mempunyai terapan yang luasdalam masalah riil (Munir, 2009). Minimum spanning treedari sebuah graf berbobot tree yang mencapai semua node dari graf tersebut dimana jumlah dari semua bobot/linkmenjadi minimal. (Lidia, 2007) Misalkan terdapat graf yang sangat kompleks, dimana ada beberapa alternatifuntuk melakukan kunjungan-kunjungan (visiting) dari satu simpul ke simpul simpul yang lainnya, tentu dapat segera dicari tahu alternatif yang terbaik untuk melakukannya. Dalam hal ini, alternatif yang cukup baik adalah dengan mencari jarak yang terdekat antar simpul itu. Contoh: Misalkan akan dibangun jaringan distribusi listrik primer yang menghubungkan sejumlah titik tiang di suatu daerah, dalam rancangannya digambarkan pada gambar 2.4.
11 Gambar 2.4Contoh graf berbobot rancanganjaringan distribusi listrik primer dan pohon merentang minimum yang terbentuk 2.5. Algoritma Solin Algoritma Solin ditemukan oleh Sollin pada tahun 1960. Algoritma Solin merupakan pohon perentang minimum dengan cara melakukan penghapusan sisi-sisi yang tidak menyebabkan graf menjadi tidak terhubung atau membentuk sirkuit. Penghapusan tersebut dimulai dari sisi yang memiliki bobot terbesar hingga terkecil. (Wright, 1985:404). Langkah-langkah mencari pohon perentang minimum dengan Algoritma Solin sebagai berikut: 1. Urutkan ruas (edges) dari Graf G menurut bobotnya, dari besar ke kecil. 2. Lakukan penghapusan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan, dengan ketentuan bahwa penghapusan ruas tersebut tidak menyebabkan graf menjadi tidak terhubung atau membentuk sirkuit. Contoh Soal : Gunakan algoritma Solin untuk menentukan minimum spanning tree dari graf berbobot G berikut. Gambar 2.5 Graf berbobot G
12 Penyelesaian : 1. Urutkan ruas ruas dari graf berbobot G dengan bobot terbesar sampai bobot yang terkecil, diperoleh AF BC AC BE CE BF AE DF BD 9 8 7 7 6 5 4 4 3 2. Lakukan penghapusan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan, dengan ketentuan bahwa penghapusan ruas tersebut tidak menyebabkan graf menjadi tidak terhubung atau membentuk sirkuit. Hapus ruas AF, karena tidak memutus graf G, diperoleh : Gambar 2.6 Penghapusan ruas AF pada graf berbobot G Hapus ruas BC (boleh) karena tidak memutus graf G, diperoleh : Gambar 2.7Penghapusan ruas BC pada graf berbobot G Hapus ruas AC (boleh) karena tidak memutus graf G, diperoleh :
13 Gambar 2.8Penghapusan ruas AC pada graf berbobot G Hapus ruas BE (tidak boleh) karena memutus graf G Hapus ruas CE (tidak boleh) karena memutus graf G Hapus ruas BF (boleh) karena tidak memutus graf G dan diperoleh : Gambar 2.9 Penghapusan ruas BF pada graf berbobot G Berikutnya ruas AE, DF, dan BD tidak dapat dihapus karena memutus graf G. Jadi minimum spanning tree dari graf berbobot G adalah sebagai berikut :
14 Gambar 2.10Hasil minimum spanning tree pada graf berbobot G Jadi jumlah bobot minimal spanning treedari graf G adalah 6 + 4 + 7 + 3 + 4 = 24 2.6. Euclidean Distance Metode pengukuran jarak pada graf menggunakan metode Euclidean Distance. Menurut Putra (2010), bahwa untuk perhitungan jarak antara dua titik satu dengan lainnya menggunakan Euclidean Distance (Jarak Euclidean). Metode ini bisa diterapkan untuk menghitung jarak antara dua titik bangunan. Pengukuran jarak antara dua titik bangunan menggunakan Euclidean Distance, rumus matematisnya sebagai berikut : Gambar 2.11Rumus Euclidean Distance dimana : d = distance (jarak) xx 1 = titik koordinat p pada poros x xx 2 = titik koordinat q pada poros x yy 1 = titik koordinat p pada poros y yy 2 = titik koordinat q pada poros y Sehingga dari Formula diatas kita dapat implementasi menjadi :
15 Gambar 2.12Rumus Jarak Euclidean Menggunakan Koordinat Hasil perhitungan (Jarak) diatas masih dalam satuan decimal degree (sesuai dengan format longlat yang dipakai) sehingga untuk menyesuaikannya perlu dikalikan dengan 111.319 km (1 derajat bumi = 111.319 km).