DIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m oleh MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI M0112054 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2016 i
ii
ABSTRAK Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. DIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF C n 2 K m. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Misalkan G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) yang dapat dibagi menjadi beberapa partisi S. Himpunan Π dengan S Π disebut partisi pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi berbeda terhadap Π dan Π merupakan himpunan dari k partisi yang terurut. Kardinalitas minimum dari k partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(g). Graf lollipop L m,n adalah graf lengkap K m dan graf lintasan P n yang dihubungkan dengan sebuah bridge. Graf generalized Jahangir adalah graf yang terdiri dari cycle C mn dengan 1 vertex tambahan yang adjacent dengan n vertex dari C mn dengan m jarak yang sama di C mn. Graf C n 2 K m adalah suatu graf hasil dari operasi amalgamasi edge atau menggabungkan salah satu edge pada C n dan satu edge pada K m. Beberapa peneliti telah menentukan dimensi partisi pada beberapa kelas graf. Hal ini menjadi acuhan untuk meneliti beberapa kelas graf yang belum diteliti sebelumnya. Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi dari kelas graf lollipop L m,n, graf generalized Jahangir J m,n, dan graf C n 2 K m. Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka. Hasil penelitian menyatakan bahwa dimensi partisi dari graf lollipop adalah pd(l m,n ) = m untuk m 3 dan n 1. Dimensi partisi dari graf generalized Jahangir terdiri dari dua kasus, yaitu pd(j m,n ) = 3 untuk n = 3, 4, 5 dan pd(j m,n ) = n + 1 untuk n 6. Dimensi partisi dari graf C 2 n 2 K m terdiri dari dua kasus, yaitu pd(c n 2 K m ) = 3 untuk m = 2, 3, 4, dan pd(c n 2 K m ) = m 1 untuk m 5. Kata Kunci: dimensi partisi, partisi pembeda, graf lollipop, graf generalized Jahangir, graf C n 2 K m iii
ABSTRACT Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION OF LOLLIPOP GRAPH, GENERALIZED JAHANGIR GRAPH, AND C n 2 K m GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Let G be a connected graph with vertex set V (G), such that V (G) can be divided into any partition set S. The set Π with S Π is a resolving partition of G if for each vertex in G has distinct representation with respect to Π, and Π is an ordered k partition. The minimum cardinality of resolving k partitions of V (G) is called a partition dimension of G, denoted by pd(g). The lollipop graph L m,n is a graph obtained by joining a complete graph K m to a path P n with a bridge. A generalized Jahangir graph is a graph consisting of a cycle C mn and one additional vertex which is adjacent to n vertices of C mn at m distance to each other on C mn. A C n 2 K m graph is the graph obtained from edge amalgamation or connected to one of edge of C n and one edge of K m. Many researchers have conducted research in determining the partition dimension for specific graph classes. There are as reference to determine some of the graph classes that haven t been studied previously. In this research, we determine the partition dimension of a lollipop graph L m,n, a generalized Jahangir graph J m,n, and a C n 2 K m graph. The research methods in this paper is book study. The results of this research are as follows. We obtain the partition dimension of a lollipop graph is pd(l m,n ) = m for m 3 and n 1. The partition dimension of a generalized Jahangir graph consists of two cases. We showed that pd(j m,n ) = 3 for n = 3, 4, 5 and we prove pd(j m,n ) = n + 1 for n 6. The 2 partition dimension of a C n 2 K m graph consists of two cases. The first case, pd(c n 2 K m ) = 3 for m = 2, 3, 4 and the second case, we found pd(c n 2 K m ) = m 1 for m 5. Keywords : partition dimension, resolving partition, lollipop graph, generalized Jahangir graph, C n 2 K m graph iv
PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk ibu, ayah, kakak, adik dan orang-orang terdekat saya. v
MOTO Sebuah tantangan akan selalu menjadi beban, jika itu hanya dipikirkan. Sebuah cita-cita juga menjadi beban, jika itu hanya angan-angan. vi
KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada 1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing yang telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini, dan 2. teman-teman yang telah membantu dan senantiasa memberikan semangat dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca. Surakarta, Juli 2016 Penulis vii
DAFTAR ISI SAH..................................... iii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv PERSEMBAHAN.............................. v MOTO.................................... vi KATA PENGANTAR........................... vii DAFTAR ISI................................ ix DAFTAR GAMBAR............................ x DAFTAR NOTASI............................. xi I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 3 1.3 Tujuan................................. 3 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Landasan Teori............................ 5 2.2.1 Pengertian Dasar Graf.................... 6 2.2.2 Operasi pada Graf...................... 8 2.2.3 Kelas-Kelas Graf....................... 10 2.2.4 Dimensi Partisi........................ 13 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 14 viii
III METODE PENELITIAN 15 IV PEMBAHASAN 16 4.1 Dimensi Partisi dari Graf Lollipop.................. 16 4.2 Dimensi Partisi dari Graf Generalized Jahangir.......... 17 4.3 Dimensi Partisi dari Graf C n 2 K m................. 22 V PENUTUP 26 5.1 Kesimpulan.............................. 26 5.2 Saran.................................. 26 DAFTAR PUSTAKA 27 ix
DAFTAR GAMBAR 2.1 Graf G 1................................ 6 2.2 Graf G 2................................ 8 2.3 Graf G 1, G 2, dan G 1 G 2...................... 9 2.4 Operasi amalgamasi titik G H dan operasi amalgamasi sisi G 2 H 10 2.5 Graf K p untuk 1 p 4....................... 11 2.6 Graf P n untuk 1 < n 4....................... 11 2.7 Graf Lollipop L m,n.......................... 11 2.8 Graf generalized Jahangir J m,n.................... 12 2.9 Graf C n 2 K m............................. 12 2.10 Graf lintasan P 8............................ 13 x
DAFTAR NOTASI G : graf G u, v : vertex e : edge V (G) : himpunan vertex dari graf G E(G) : himpunan edge dari graf G V (G) : banyaknya vertex dari graf G (order) E(G) : banyaknya edge dari graf G (size) deg G v i : degree vertex v i dari graf G d(u, v) : jarak dari vertex u ke v pada graf G d(v, S) : jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G : operasi union + : operasi join : operasi korona : operasi product : himpunan bagian : anggota : operasi amalgamasi vertex 2 : operasi amalgamasi edge x : bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x (ceiling) x : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x (flooring) S i : kelas partisi ke-i S i : kardinalitas dari kelas partisi ke-i Π : partisi pembeda Π : kardinalitas dari partisi pembeda r(v Π) : representasi jarak setiap vertex v terhadap Π xi
pd(g) : dimensi partisi pada graf G P n : graf lintasan ber-order n K n : graf lengkap ber-order n C n : graf cycle ber-order n K r,s : graf bipartit lengkap ber-order r + s W n : graf wheel ber-order n + 1 G 2n : graf gear ber-order 2n + 1 H n : graf helm ber-order 2n + 1 SF n : graf sunflower ber-order 2n + 1 f n : graf friendship ber-order 2n + 1 S k,m : graf amalgamasi star ber-order km + 1 L n,t : graf (n, t) kite ber-order n + t B n,n : graf barbell ber-order 2n DC n : graf double cone ber-order n + 2 C mn : graf cycle ber-order mn L m,n : graf lollipop ber-order m + n J m,n : graf generalized Jahangir ber-order mn + 1 xii